第二节 函数的求导法则
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函数的求导法则
x
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
返回
六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
返回
六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。
函数的求导法则.
例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '
f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '
3 '
'
2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )
n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2
和、差、积、商的求导法则
且 (ay) ayln a 0 , 在 Ix (0,) 内,有
(loga x) (a1y)
1 a y ln a
1. x ln a
特别地 (lnx) 1 .
x
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三、复合函数的求导法则
定理 如果函 u数 (x)在点 x0可导 , 而yf(u)
同理可得 (cx o) tcs2x c.
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例4 求ysexc的导. 数
解 y(sex)c( 1 )
coxs
(cosx) cos2 x
sin x cos 2 x
se x tc a x .n
同理可得 (c x )s c cx scc x o . t
2sinxcoxs1 x
2co2xsln x1si2n x. x
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例3 求ytaxn的导. 数 解 y(tax)n (six n)
coxs (sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s co2scxo2ssxin2 x co12sxse2cx 即(tx a ) n se 2x.c
n3xn1co xns fn1[ n(sx in)n] n1(sx in)n f[ n(sx in)n] (sx in)n.
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五、双曲函数与反双曲函数的导数
(six n ) hcoxsh(cox)sh sin xh tanxhsinxh
第二章 导数与微分 第二节 函数的和、差、积、商的求导法则
y ′ = (2 x sin x ) ′
= 2( x )′ sin x + 2 x (sin x)′
sin x = + 2 x cos x x
例3：求 y = tan x 的导数 . 解
y ′ = (tan x )′ = ( sin x )′ cos x
(sin x )′ cos x − sin x (cos x )′ = cos 2 x 1 cos 2 x + sin 2 x = = sec 2 x = cos 2 x cos 2 x
u u′v − uv′ (3) ( )′ = . 2 v v
证明（略）
二、例题分析
求y = x 4 − cos x + 3 x + ln 5的导数 例1:
解:
y′ = ( x 4 )′ − (cos x)′ + (3 x )′ + (ln 5)′
= 4 x + sin x + 3 ln 3
3 x
例2: 求 y = 2 x sin x 的导数 . 解:
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
= u′(x)v(x) + u(x)v′(x)
故结论成立.
推论: 推论 1) (Cu )′ = Cu′ ( C为常数 )
2) ( uvw)′ = u′vw+ uv′w+ uvw′
同理可得
(csc x)′ = − csc x cot x.
内容小结 1、和、差、积、商的求导法则
(1) [u( x) ± v( x)]′ = u′( x) ± v′( x); (2) [u( x) ⋅ v( x)]′ = u′( x)v( x) + u( x)v′( x); u( x) u′( x)v( x) − u( x)v′( x) (3) [ ]′ = (v( x) ≠ 0). 2 v( x) v ( x)
第二节函数的和、差、积、商的求导法则
(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)
第2节 求导法则
x
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2
cos x 1 5 (1 cos x)2
1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 cos2 x
x
1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2
cos x 1 5 (1 cos x)2
1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x
微积分求导法则
可推广到任意有限项的情形.
(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x
2
′ 1 −(cos x)′ = sinx (sec x)′ = = 2 cos2 x cosx cos x
注：此法则可推广到多个中间变量的情形. ：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
y
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列各函数的导数. 求下列各函数的导数. 解:
= f ′( ln cos(ex ) )⋅ [−ex tan( ex )]
含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
例12. 设下列各函数的导数
(1) y = f [ f (sin x)] ; (2) y = f (ln x)e f (x) .
解：(1) y′ = f ′[ f (sin x)] ⋅ f ′(sin x) ⋅ cos x
(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h
例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x
2
′ 1 −(cos x)′ = sinx (sec x)′ = = 2 cos2 x cosx cos x
注：此法则可推广到多个中间变量的情形. ：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
y
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列各函数的导数. 求下列各函数的导数. 解:
= f ′( ln cos(ex ) )⋅ [−ex tan( ex )]
含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
例12. 设下列各函数的导数
(1) y = f [ f (sin x)] ; (2) y = f (ln x)e f (x) .
解：(1) y′ = f ′[ f (sin x)] ⋅ f ′(sin x) ⋅ cos x
函数求导法则
1 x2 ,
x 1,
例4
已知f (x)
(1
x)(2
x), 1
x
2,
求 f (x), f (0)
(2
x),
2 x ,
2x , x 1,
f (x)
2x 3,
1<x 2,
1, 2 x ,
f (0)=0
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
例3
已知 f (x) x sin x ,
1 cos x
求 f (x)
x sin x . 1 cos x
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
解: y ( x ) ( x3 4 cos x sin1)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
y x1
高等数学2-2
x a cost 例12 求椭圆 在t 处的切线方程和法线方 程.
解
4 y b sin t dy b cos t b dy dt cot t , dx dx a sin t a dt
可得
k切
b b dy cot , dx t a 4 a
1 , 求y . 例3 设y sin 1 x
解
y
1 cos 1 x
1 1 1 cos . 2 1 x (1 x) 1 x
2
例4 设y sin e x , 求y . 解
y ( sin e )
1 2 sin e 1
x2
1 x x2 1 1 x x2 1
2
x
x 2 x2 1
2x 1 2 2 x 1
1 x 1
2
x2 1 例6 求函数 y ln 3 ( x 2) 的导数. x2
例1 求函数 y ln sin x 的导数.
解
y ln u, u sin x .
dy dy du 1 cos x cot x cos x dx du dx u sin x
例2 求函数 y ( x 2 1)10 的导数 . 解
dy 10( x 2 1) 9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1) 9 2 x 20 x( x 2 1) 9 .
例13 求由方程 xy e x e y 0所确定的隐函数
dy dy y的导数 , dx dx
解
x 0
.
方程两边对x求导, dy x y dy y x e e 0 dx dx
二节基本的导数公式与运算法则-精选
n22xx1n12x1(2(x2)x()22x1)(2x)
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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n2 2x x1n1(2 5x)25n ((22 xx )1 n)1 n1
作业： P5813(2)(3)(8),14(2)(4)15(4)(8)(13)(14)216
(5) (sxi)ncoxs
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(6) (cxo )s sixn (7) (tax)nse2xcc1o2xs
(8) (cxo)tcs2xcs1i2nx
(9 ) (sx)e s ce xtcaxn (1)0 (c x )s c cx sc cx ot
(sixn)coxssinx(cox)s
(cox)2s
coxcs oxssixn(sixn) co2xs
1 sec2 x co2sx
类似地可求得 (co x)ts1 i2nxcs2xc
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例
设
f
(x)
ln x x2
,
求f
(e)
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可导，且有
(arcsixn) (si1ny)
1 cos
y
1
1 sin2 y
1 1 x2
即(arcsx)in 1 1x2
类似地可得
(arccx)os 1 1x2
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三、复合函数的求导法则
定理2.6 设函数 yf(u)与 u(x)构成了复合函数
(1)1 (arcxs)in 1 1x2
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(1)2(arc)cox 1 1x2
(1)3(arcx)ta1n1x2
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v
(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v 2 ( x)
于(v(是x) 0) . 证明v = vu(x=) 在u(
于lim是[ul(ixm ux()xv(vx x0 x0
)v( xx)
=xv(
第二节 函数的求导法则 这些法则可简记为
(u v) = u v 推广 (u + v - w) = u + v - w
x
y
解 y(sin(xs)3e(xccs6xoe)cscx8o)x(sx52s5xisn1e101cx)xx2(4ctoa2nsxx), (2c.scxy) seccsxcx cot x x
cos2 x sin 2 x co(sc2oxsx)
c os x
第二节 函数的求导法则
二、反函数的求导法则
例4*设设 y
x2
2x x5 1
2
,求y.解第二节 函数的求导法则
例5y
设 (yx
2 2x = tan
x
2, )求(xy5(.x1)5
(x2 1)2
2x
2)(
x5
1) y
解 例6y设
((y2ta=x(ntsaxen2)c第)x(x)x二,5求节css1(ioen)xycs函52xx.(x数x1,)2(2的co2求txxy导) 2法)se则5ccxs24c2x
定理2 如果函数 x = f (y) 在区间 Iy 单调、可导且
f (y) 0， 则它的反函数 y = f -1(x) 在区间
Ix = { x | x = f (y) , y Iy } 内也可导，且
[ f 1(第x)]二 节 1函数或的求d导y 法 则1 .
函数 x
=f
(y)
在区间
f ( y) dx dx Iy 单调、可导，证dy明[ f 1(x)]
y
dy dx
dy
f (u) g f (u)
(x) 或 g(x)
=
f [g(x)]
dy dy dx du
在点 x
du . dx
可导
dx
证明 由于 y = f (u) 在点 u 可导，因此
lim lim 推广
设
u 0
y=uyf(uf)
,(uu)=
y (v) u,
v=f(u(x))，则( 复合函数0)
(1) [u(x) v(x)] =第u二(x
(1) [u(x) v(x)] = u(x) v(x)； 证明(2)u[u=(xu)(xv()x在)] x= 处u
(2)
[u(x)
v(x)]
=
u(x)
v(x)
+
u(x)
v(x)；证明v =(3v)u(x=)uv在(u(xx())xx)
处在
(3)
u(x)
π
2
y 1π 12x 2
的
反函例数8 ，求而反正x =切s函in数y 在y =I yarctaπ2 n, π2x 的内导单数调、. 可导，且
的 反所 所反 函以 以例解 解函 数， ，9 数 ，yy求yy==y==，而对aala而orr数rx(ccgca(ts(a=arxt函ailcaornxn第=acsng((数ix(ysttxnat0axa二i在axn在nxn在y<)(n)x节-yy(=)xy)(-)(--l在 <1(<=o函s=x1gi,nl<xc11Ins<a1数oye)1y<xy)ascxx)是的内2<1(2+y,<ay(,>+求每 xπ2l+>(n>c,a)0=oπ.2导一 x0r01)是sc,)a)内 ,y,c法点y内a内ox(单则 -t处1x单=每x)调 1可t调)一a<的、n导、y点导y可<1，可处数+导1并导可xπ2，2.且)，导y的且且，π2
解 y = (2x5 –第3二x3节+ 4函x –数9的) 求导法则
例2 f (=x)(=2xx53)+–4(s3ixn3)x +– c(4oxs1)0–, (求9)f (x) 及 f () .
解
f
=2 (x) =
5(xx第34 +–二43节sin3x函x2–+数c4o的s1求0 导) 法则
= 10x4 – 9x2 + 4 .
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理1 如果 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处可导，则
它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点第x二处节
可导，且
2x xy2
可ln 看sin作x由,
u0
y = f {[(yx)]}f的(u链)导u 公 式为u
dyy dxx
dduy f dd(uuv) dduxxv
.
u x
y
u u
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例10 设
y
ysins1in21xx22
x , x
2求,
求dy dx
dy . dx
.
解
第二节 函数的求导法则
例y 11sin设1
1 f ( y)
证明 由于 x = f (y) 在 Iy 内单调、可导(从而连续),
-1
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例7 求反正弦函数 y = arcsin x 的导数 .
解
y
=
ar(casric第nsixn二(x-节)1 函x1数 11的x)2是求, (导xar=c法cso则isnxy)
(u v) = uv + uv v = C (Cu) = Cu (C 为常数)
(u v) = uv + uv 推广 (uvw) = uvw + uvw + uvw
u v
uv uv v2
u=1
1 v
v v2
v=x
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例1 y = 2x55 – 3x3 + 4x – 9 , 求 y .
例3 y = exx=(s3inx2x++4cos x ), , 求 y .
解
yf (=)(e=x)3 (s2in-
4. x+
cos
x
)
+
ex
(sin
x
+
cos
x
)
= ex (sin x + cos x ) + ex (cos x – sin x ) = 2excos x .
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
并且
y (arctanyx)
y
1
1 x2
1
2
第二节 函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
定定理理33
如果函数 如果函数
u u
= =
g(x) g(x)
在点 在点
x x
可导，而 可导，而
y y
= =
f (u) f (u)
在点 在点
u u
= =
g(x) g(x)
且其导数为
可导，则复合函数 可导，则