第二节 函数的求导法则(1)

x
例 4 求函数 y＝arcsin x 的导数。
解：
y arcsin x 是 x sin y 的反函数 其中： x [1,1] ，y [ , ] 2 2 dx 而 cos y 1 sin 2 y 1 x 2 dy
由反函数求导法则：当 x 1 时
证:
在 x 处给增量
d y
因此
例 3 求函数 y＝e 的导数。
解：
x
y e x 是 x ln y 的反函数，而 x ln y 在 (0,) 内导数存在，且不为零 .
1 1 (e ) ＝y e x . (ln y ) 1 y
x
x 可推出 a ＝a ln a
(log a x)
sec x tan x
1 x ln a 1
1 x
2
(cot x) csc 2 x (csc x) csc x cot x
(a x ) a x ln a
( e x ) e x
(ln x)
1 x
(arcsin x) (arctan x)
1 1 例 8 设f ( x )＝ln x 1 －x －ln 2 ， 求 f 及 f ； 2 2 1 解： f ( x) ln x ln(1 x 2 ) ln 2 2 1 1 2x 1 x f ( x) 2 2 x 2 1 x x 1 x
y f (u ) , u ( x)
dy dy d u f (u ) ( x) dx d u dx
4. 初等函数在定义区间内可导, 且导数仍为初等函数
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六、分段函数求导举例
3sin x＋x 2cos 1 ，x 0 例1 证明 f ( x)＝ x ，x＝ 0 0 在 x＝ 0 点可导，但 f ( x) 在 x＝ 0 点不连续。

2.如何求y=ln(x+2)的导数？
提示:由y=ln(x+2)的结构特征，可考虑由外向内求
导数.令u=x+2，则y=ln u，因此y′x=y′u·u′x=
(ln u)′·(x+2)′=
.
1 1 1 u x2
一般地，对于两个函数y=f(u)和
复合函数 的概念
u=g(x)，如果通过变量u，y可以表 示成__x_的_函_数___，那么称这个函数为函 数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记作
(2)方法:先求出复合函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程;若切点未 知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此 类问题时切点起着至关重要的作用.
【跟踪训练】已知曲线f(x)=x3-3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切 线方程.
x x0
x0
(2) y 5=x5，x 5x
x =5.故y=5xx的导数为5.
y lim y lim 5?
x x0
x0
(3)
y x
5 x x
x
5 x
x2
5 x
x
故yy=
l的im导数y为 x0 x
.lim
x0
x2
5 x
x
5 x2
5 x
5 x2
结论:导数的运算法则 1.函数和差的导数，[f(x)±g(x)]′
gx
推论:常数与函数的积的导数，[cf(x)]′=________.
cf′(x)
【对点训练】
1.下列求导运算正确的是 ( )
A.( )′=1+
C.(3x)′x =3x1log3e x
B.(log2x)′=

例3 f ( x ) x 4cos x sin 2 , 求f ( 2 ).
3 '


f ( x ) ( x 4cos x sin ) ( x ) (4cos x ) (sin )' 2 2 3 x 2 4sin x
' 3 '

3 '
'

2 3 所以f ' ( ) 3 ( )2 4sin 4 2 2 2 4
f1 ( x ) f 2 ( x )
f i( x ) f k ( x );
例1 解
求 y 2x 5x 3x 7 的导数.
3 2
y' (2 x 3 5 x 2 3 x 7)' (2 x 3 )' (5 x 2 )' (3 x)' 7'
2( x 3 )' 5( x 2 )' (3 x)' 2 3 x 2 5 2 x 3 6 x 2 10 x 3
推论
(1) [ f i ( x )] f i( x );
i 1 i 1 n n
(2) [Cf ( x )] Cf ( x );
(3) [ f i ( x )] f1 ( x ) f 2 ( x )
i 1 n
fn ( x) f n( x )

n n i 1 k 1 k i
'
(1 tan x)' (1 tan x) (1 tan x)(1 tan x)' | (1 tan x)2
sec2 (1 tan x) (1 tan x)( sec 2 x) (1 tan x)2

2
2 sin x arctan 2 x cos x e
x2 1
2

1 x x 1
2
e
sin x
关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导
内容小结
求导公式及求导法则
u u 注意: 1) (uv) u v, v v
2) 搞清复合函数结构 , 由外向内逐层求导 .
x
(sin x cos x ) e x ( sin x cos x ) y 解： ( e )
x
e (sin x cos x ) e ( cos x sin x )
x
x
2 e cos x
x
例4. y tan x,
sin x (sin x) cos x sin x (cos x) (tan 解： x) 2 cos x cos x
x
1
1 x
) (
1 x
2
)
cos
2
sin
2 x
例15. 设
解:
证明：
例16. 设 解:

1 x x 1
2
1
1 2 x 1
2
2x

1 x 1
2
sh x
e e
x
x
2
记 arsh x ln ( x (反双曲正弦)
x 1) , 则
2
的反函数
(arsh x)
x
x x
例14 设 解:
求
sin 1 x
e

cos
sin 1 x
1 x
(
1 x
2
)
1 x

(11)
(12)
(13) (14)
(15)
(16)
1 ， (log a x) (a>0, a x ln a 1 (ln x) ， x 1 (arcsin x) ， 2 1 x 1 (arccos x) ， 2 1 x 1 (arctan x) ， 2 1 x 1 (arccot x ) 1 x2
六.利用复合函数求导法则求隐函数的导数
如果方程F ( x , y ) 0确定了y是x的函数, 那么，这样的函数叫做隐函数.
由方程F ( x , y ) 0确定， 例如， x 2 xy y 2 4 就是一个隐函数.
y=y(x)
即x与 y的函数关系不能明显表示出来，而
设隐函数y关于x可导，我们可以利用复合 函数求导法则，求出y关于x的导数.
例4 已知y sec x, 求y.
1 解 y (sec x ) ( ) (cos x ) cos x 2 cos x
sin x cos 2 x
(sec x ) sec x tan x,
1 v ( x ) [ ] 2 v( x ) v ( x)
(csc x ) csc x cot x.
1 sin x x cos x 2 2 x 1 sin x 2 x cos x . x
u( x ) u( x )v ( x ) u( x )v ( x ) (3) [ ] (v( x ) 0). 2 v( x ) v ( x)
当u( x ) 1时,
解得 dy sin( x y ) y cos x . dx sin( x y ) sin x
七、对数求导法
( x 1)3 x 1 , 观察函数 y 2 x ( x 4) e

elnx(lnx)
x 1
x
x1.
◆一般幂指函数的导数公式:
设 ( x ) f( x ) g (x ) ,其 f( x ) 中 0 ,g ( x ) 均 ,求 可 ( x ).
(x)[f(x)g(x)] [eg(x)lnf(x)]
f(x )g (x )[g (x )ln f(x )]
f(x )g (x )[g(x)ln f(x)g(x) f ( x ) f (x)
].
例4 求 [2 (sixn )co x]s.
解 原式[ecoxlsn2 (sixn )]
e cx o ln s 2 s(ix )n [cx lo n 2 ss (ix )] n (2six n)coxs[sinxln2 (six n )cx o s cosx ].
例6 设 f(x) x22x2 , x0,求 f(x). ln xco x,sx0
解 当x0时, f(x)(x22x2)2x2xln2,
当x0时, f(x ) (lx n cx o )s1 sinx, x
当x0时,
f(0 ) 1 2 ,f(0 ) , 2x2xln 2, x0
[f1(x)] 1 , f(y)
dy dx
1 dx
.
dy
反函数的导数等于直接函数导数的倒数
如 :x f(y ) 2 y ,其反 :y 函 f 1(x数 )1x, 2
显然 [f1(x)]1, 2
f(y)2,
[f1(x)] 1 . f(y)
例1 求函 ya数 rcx的 sin导 . 数
推论
( 1 )[ k (x ) f ] k f(x ).
n
n
(2) [kifi(x)]kifi(x).

(loga
x)
1 (a y )
1 a y ln a
1. x ln a
特别地
(ln x) 1 . x
10/21
三、常数和基本初等函数的导数公式
(1) (C ) 0;
(2) ( x ) x 1 ( 0);
(3) (sinx) cos x;
(4) (cos x) sin x;
(5) (tan x) sec2 x;
v( x0 x) v( x0 ) x
lim
u( x0
x) x
u( x0 )
v( x0 )
u( x0 )
v( x0
x) x
v( x0 )
x 0
v( x0 x) v( x0 )
u( x0 )
v( x0 ) u( x0 ) [v( x0 )]2
v( x0 )
f ( x) 在 x0 处可导且(3)成立.
(1) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 );
(2) [u( x) v( x)] / x x0 u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 );
(
3)
[
u( v(
x) x)
]
/
x
x
0
u( x0 ) v( x0 ) u( x0 ) v( x0 ) v2( x0 )
8/21
例5 求 y arcsin x 的导数.
解
y sin x 在
Ix
(
2
,
2
)
内单调、可导
,
且 (sin x) cos x 0, 在 I y (1,1) 内有
(arcsin y) 1 (sin x)

x
x x1 .
x
( x ) x1
23
训练：求导数
(1) y (3 2sin x)5 , y 5(3 2sin x)4 (2cos x) 10cos x (3 2sin x)4 .
(2) y tan 1 , x
y
x)
cos x cos2
sin x
x(cos
x)

cos2 x sin2 cos2 x
x

1 cos2
x
sec2 x ，
即 (tan x) sec2 x
类似可得 (cot x) csc2 x
10
例5 求 y secx 的导数 .
解 y (secx) ( 1 ) cos x
12
例6 求 y 5sin x 的导数. 1 cos x
解
y 5
cos x(1 cos x) sin x ( sin x) (1 cos x)2

cos x 1 5 (1 cos x)2

1
5 cos x
.
例7 求 y x tan x secx 的导数 .
解 y 1 tan x x sec2 x secx tan x . 2x
13
训练：求导数
(1) y e x xe ee , y e x ex e1 .
(2) y x cot x xn ln x ,
y 1 cot x x csc2 x nx n1 ln x xn1 . 2x
且( y) 0 , 那么它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内
x

可推广到任意有限项的情形.
(2) (uv)′ = u′v + u v′
证: 设 f (x) = u(x)v(x) , 则有
f (x + h) − f (x) u(x + h)v(x + h) − u(x)v(x) f ′(x) = lim = lim h→0 h→0 h h
u(x + h) −u(x) v(x + h) + u(x) v(x + h) − v(x) = lim h→0 h h

例2. 求证
′ sin x (sin x)′ cos x − sin x (cos x)′ 证: (tan x)′ = = cos 2 x cos x
cos x + sin2 x = sec2 x = 2 cos x
2
′ 1 −(cos x)′ = sinx (sec x)′ = = 2 cos2 x cosx cos x
注：此法则可推广到多个中间变量的情形. ：此法则可推广到多个中间变量的情形. 例如,
y
dy dy d u dv = ⋅ ⋅ dx d u dv dx
u v x
= f ′(u) ⋅ϕ′(v) ⋅ψ′(x)
关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.
例4. 求下列各函数的导数. 求下列各函数的导数. 解:
= f ′( ln cos(ex ) )⋅ [−ex tan( ex )]
含义不同
f ′(u) u=lncos(ex )
例12. 设下列各函数的导数
(1) y = f [ f (sin x)] ; (2) y = f (ln x)e f (x) .
解：(1) y′ = f ′[ f (sin x)] ⋅ f ′(sin x) ⋅ cos x

1 x2 ,
x 1,
例4
已知f (x)
(1
x)(2
x), 1
x
2,
求 f (x), f (0)
(2
x),
2 x ,
2x , x 1,
f (x)
2x 3,
1<x 2,
1, 2 x ,
f (0)=0
二、反函数的求导法则
定理2. 设 y f (x)为 x f 1( y) 的反函数 , f 1( y) 在
x
sec2 x
(csc
x)
1 sin
x
(sin sin 2
x) x
cos x sin 2 x
csc x cot x
类似可证: (cot x) csc2 x , (sec x) sec x tan x .
例3
已知 f (x) x sin x ,
1 cos x
求 f (x)
x sin x . 1 cos x
在点
可导
复合函数
在点 x 可导, 且
d y f (u)g(x) dx
证: y f (u) 在点 u 可导, 故 lim y f (u) u0 u
y f (u)u u （当
时
)
故有
y f (u) u u
x
x x
(x
y 0) u
f
(u)
dy dx
lim y x0 x
lxim0
解: y ( x ) ( x3 4 cos x sin1)
x ( x3 4 cos x sin1)
1 ( x3 4 cos x sin1) x ( 3 x2 4sin x ) 2x
y x1