浙江大学2006年高等代数试题解答
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浙江大学2006年攻读硕士研究生入学初试试题考试科目：高等代数 科目代号：341注意：所有解答必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上一律无效！{},(,)0(,)0(,)0(,)0,0(,)i i i A B B A B A A B rankArank A b xA x A b x A B x A b i xA rankA rank A B =⇒=⇔==⇔=∀⇔=⇒===：一、(15分)矩阵具有相同的行数，把的任意一列加到得到矩阵秩不变，证明:把的所有列同时加到上秩也不变.:法一：取的列向量的极大线性无关组，那么知道的任何列都可以由这些向量线性表（行出，从而得结论。
法二秩列秩矩阵证的秩）明而11121212221211121212221.....................(2)..................n n n n nn n n n x a x a x a x a x a x a x D a xa xa xD a x a x a x a x a x a x D a ++++++=+++++++++=+二、(15分)(1)把下面的行列式表示成按的幂次排列的多项式把行列式的所有元素都加上同一个数，则行列式所有元素代数余 子式之和不变.)证明：(11112121112212212111212111121211122122121112212211112121......................................................n n nn nn n n nn nnn n n nn n nn n a x a x a x a a a a a a x a xa x a a a a a a a a a xx x a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++---=++---------=+---111212121112212211,1112121............11...1..................(),n n nn n n n iji j nn n nn nij n n ij ij a a a a a a a a a a a a A xA xA a a a a a a A a A A a ≤≤⨯------=+=+---=∑为中的代数余子式。
21112212212111221221111212111121211112121222:100 (011)...111...1...1.................................11...011...11..................1n nn nn n nn nn n nn nn n Lemma a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---=---------=1,12(895)....ij i j nn n nnP A a a ≤≤∑依第一列和第二行展开参考中科大课本习题。
111211112121222212221,1212(2)()1...1...011...1011 (1)1 (1).................................1...1...ij n n ij n n i j nn n nn n n nnD D x a x a x a x a a a D a x a x a x a a a a x a x a x a a a ≤≤+++=+++=+++∑只需说明的代数余子式之和与无关即可。
,得证。
**2*()()()()111det ()()'(det )1det 1det 'n n i ii i A ii A A A n A A A AA A I i ii AA I A A A A A ±===⋅⇒=⇒=⇒=±=⋅三、(15分)证明下面的和等价：矩阵是正交矩阵；矩阵的行列式为；当时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身，当－时，矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以－1.证明：对阶矩阵，设的伴随矩阵为，我们有，；且，也就是矩阵所有元素的代数余子式为其本*det ()()det det 1det 'det det ''n A ii i A A A A A A I A AA AA I A ⇒=±⇒=⋅⇒⋅=⋅⇒=⇒身乘以.，由矩阵所有元素的代数余子式为其本身乘以，是正交矩阵.22222,()0;0,2,0.()()(),()0()0;,00,k k k a b A A x a d x ad bc c d A k A A abI A a d ad bc A cdA x a d x ad bc a b A c d A A x ϕλλϕλλλλϕλ⎛⎫=-++-= ⎪⎝⎭=>=--=-==-++-=---++-=⎛⎫= ⎪⎝⎭==四、(15分)(1)设矩阵则矩阵满足方程(2)二阶矩阵满足则：(1)的特征多项式为:又故满足方程(2)设矩阵也就是满足方程证明222()0,0,00.k x a d x ad bc x a d ad bc A x A -++-⇒+=-===由(1)：由(1)，满足方程，也就是1*1*2322010232,101,2,223001011522900100,252,274001225225900274(9)(225A P B P A P E B P A B I B λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==--∴=-- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎛⎫ ⎪-=-=-- ⎪⎪-⎝⎭五、(15分)设矩阵求的特征值和特征向量.解：123933),9,3;02{|9}20,110{|3}11V v Bv v F F V v Bv v F λλλ===-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪===-⊕ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪===- ⎪ ⎪⎝⎭特征值属于9的特征子空间为：属于3的特征子空间为：，（特征向量为相应特征子空间的非零向量）。
12121212121212112,,,,,.dim()dim dim dim(),1,2.dim dim ,.i i i W W W V W W W W W W W W W W W W W W W W W W i W W W W W W W W W W ⊆=+=+=+=+-===⊆⇒=六、(15分)设是向量空间的子空间，证明：由维数定理而，故又证明12312312111212,,,,,(,,),,1(,,)A B C D X Jordan X Jordan diag X Jordan diag X λλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭（两重）七、(15分)三阶矩阵具有相同的特征多项式，证明其中必有两个矩阵相似.：列举出三阶方阵所有可能的标准型如下，1)有三个不同的特征值，则标准型必为：；2)有两个不同的特征值则标准型为： ，或者 ；3)有只有证明一个特征1111111111,11(,,)Jordan diag Jordan λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭值则标准型为：， 或者 1；从而四个具有相同特征多项式的三阶方阵必有两个方阵的标准型相同故相似.121212dim ,dim .,,,,,,,,'0,'00''r r r n n n n V W W V n W r W W V O W O X Z X Z X O OO I I Y Y Z Y ψψψαααααααααψψ⊥⊥++==⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⇒=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭八、(15分)设是向量空间的正交变换，是的不变子空间，证明也是的不变子空间.：设分别取和的单位正交基：和则为的标准正交基，则在这组基下的方阵应为正交阵,又是的不变子空间证,故可设为明','000,0n r YY I YZ Z X O W Y ψ-⊥⇒==⇒=⎛⎫= ⎪⎝⎭从而故也是的不变子空间.111112121212.()1,(,,,),(,,,),(,,,)(,,,n n n A G G AG A A n n n k n k A O O AO A A A λαααααααααααααα-⇐=<====九、(15分)设为实矩阵，证明存在正交矩阵，使为上三角矩阵的充要条件是的特征值均为实数证明：必要性显然。
对的阶数进行归纳：时显然成立；设时充分性成立，那么时：设属于的特征值的单位特征向量为把扩充成标准正交基令则为正交阵。
且111111111111111111111111111)0011110010101010000000n O A A n A n n O O AO G O O O G AG O AO O O O A O O AO λβλββλβλβ-----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭－其中为维行向量，为阶实方阵而且特征值均为实数，由归纳假设，存在阶正交阵使得为上三角阵令则⎪为上三角方阵。
11221212121211122212121212112211()[],()[],1,2,(,)(,)(,,,)(,),(,)|,,1,2,,(,)1,1,2,(,,,)(,i i i i i i i i i i i i i i i P f f x P x g g x P x i f g f g f f f g g f g g f g d f g d d f g i f a d g b d a b i d f f f g g f g g a d a d a d b =∈=∈====⇒=======十、(15分证明)设为数域，证明:：设且有则221122112212121212121212121212121221121212211112121122,,)(,,,)(,,,)','|(,)(,),'|(,)(,)'|(,)1'1,'(,)(,)d b d a d b d b d d d a a a b b a b b a a a b b a b b d d a a a b a a b a d b a b b b a b b d a b d d d d d d d f g f g ======⇒=⇒====。
令则且从而注：这是我凭记忆记下来的，有些题目可能不是很准确。
希望对大家有用！ dragonflier 2006-1-16（注：素材和资料部分来自网络，供参考。
