2014年浙江大学研究生入学考试高等代数试题

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设lim ,n a a =且0,a ≠则当n 充分大时有（ ） （A ）2n aa >（B ）2n a a <（C ）1n a a n >-（D ）1n a a n<+（2）下列曲线有渐近线的是（ ） （A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+（C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+（3） （A ） （B ） （C ） （D ）（4）设函数()f x 具有二阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（ ） （A ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≥ （B ）当'()0f x ≥时，()()f x g x ≤ （C ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥ （D ）当'()0f x ≤时，()()f x g x ≥（5）行列式0000000ab a bcd cd =（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc -- （C ）2222a dbc - （D ）2222b c a d -（6）设123,,a a a 均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件（7）设随机事件A 与B 相互独立，且P （B ）=0.5，P(A-B)=0.3，求P （B-A ）=（ ） （A ）0.1 （B ）0.2 （C ）0.3 （D ）0.4（8）设123,,X X X 为来自正态总体2(0,)N σ服从的分布为 （A ）F （1,1） （B ）F （2,1） （C ）t(1） （D ）t(2)二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）设某商品的需求函数为402Q P =-（P 为商品价格），则该商品的边际收益为_________。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。

（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。

本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。

（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案（江南博哥）1[单选题]A.(2，+∞)B.(1，2)C.(，1)D.(0，)正确答案：B参考解析：2[单选题]下列曲线中有渐近线的是（）．A.y=x+sin xB.y=x2+sin xC.y=x+sinD.y=x2+sin正确答案：C参考解析：3[单选题]设函数f(x)具有二阶导数，g(x)=f(0)(1-x)+f(1)x，则在区间[0，1]上（）．A.当f’(x)≥0时，f(x)≥g(x)B.当f'(x)≥0时，f(x)≤g(x)C.当f”(x)≥0时，f(x)≥g(x)D.当f”(x)≥0时，f(x)≤g(x)正确答案：D参考解析：令F(x)=g(x)-f(x)=f(0)(1-x)+f(1)x-f(x)，则 F(0)=F(1)=0，F'(x)=-f(0)+f(1)-f’(x)，F”(x)=-f”(x)．若f”(x)≥0，则F”(x)≤0，此时F(x)在[0，1]上为凸的．又F(0)=F(1)=0，所以当x∈[0，1]时，F(x)≥0，从而g(x)≥f(x)．4[单选题]（）．A.B.C.D.正确答案：C参考解析：5[单选题]（）.A.1B.C.D.正确答案：D参考解析：6[单选题]A.u(x，y)的最大值和最小值都在D的边界上取得B.u(x，y)的最大值和最小值都在D的内部取得C.u(x，y)的最大值在D的内部取得，最小值在D的边界上取得D.u(x，y)的最小值在D的内部取得，最大值在D的边界上取得正确答案：A参考解析：由题意知，B≠0，A，C互为相反数．由于AC—B2<0，可知u(x，y)在D内无极值．而最值只可能在极值点、不可导点和区间端点(或区域边界)处取得，因此可知u(x，y)的最大值和最小值均在区域D的边界处取得．7[单选题]A.(ad—bc)2B.-(ad—bc)2C.a2d2-b2c2D.b2c2-a2d2正确答案：B参考解析：利用行列式的展开定理，按列步步展开，可得提示：本题也可用特殊值代入，通过排除，从而得出正确答案．令a=d=0，可得行列式值为-(bc)2，排除A、D项；令b=c=0，可得行列式值为-(ad)2，排除C项，故B项正确．8[单选题]设α1，α2，α3均为三维向量，则对任意的常数k，l，向量组α1+kα+lα3，线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的（）．3，α2A.必要非充分条件B.充分非必要条件C.充分必要条件D.既非充分也非必要条件正确答案：A参考解析：9[填空题]_______.参考解析：【解析】10[填空题]设f(x)是周期为4的可导奇函数，且f’(x)=2(x-1)，x∈[0，2]，则f(7)=_______. 参考解析：1【解析】由题意知，当x∈[0，2]时，又f(x)是周期为4的奇函数，可知f(0)=C=0，f(7)=f(-1)=-f(1)=1．11[填空题]_______. 参考解析：【解析】解法一将方程两边对x，y分别求偏导数，得12[填空题]曲线L的极坐标方程是r=θ，则L在点(r，θ)=()处的切线的直角坐标方程是_______.参考解析：【解析】13[填空题]一根长度为1的细棒位于x轴的区间[0，1]上，若其线密度p(x)=-x2+2x+1，则该细棒的质心横坐标=_______.参考解析：【解析】14[填空题]设二次型f(x1，x2，x3)=的负惯性指数是1，则a的取值范围是_______.参考解析：[-2，2]【解析】配方法：f(x1，x2，x3)=(x1+ax3)2-(x2-2x3)2+(4-a2)由于二次型负惯性指数为1，所以4-a2≥0，故-2≤a≤2．15[简答题]参考解析：16[简答题]已知函数y=y(x)满足微分方程x2+y2y’=1-y’，且y(2)=0，求y(x)的极大值与极小值．参考解析：由x2+y2y '=1-y' ，得17[简答题]设平面区域D={(x，y)| 1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0}．参考解析：区域D关于y=x对称，且满足轮换对称性，即18[简答题]参考解析：19[简答题]设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，且f(x)单调增加，0≤g(x)≤1，证明：(I)(1I)参考解析：20[简答题]参考解析：21[简答题]已知函数f(x，y)满足=2(y+1)，且f(y，y)=(y+1)2-(2-y)ln y．求曲线f(x，y)=0所围图形绕直线y=-1旋转所成旋转体的体积．参考解析：22[简答题](I)求方程组Ax=0的一个基础解系； (Ⅱ)求满足AB=E 的所有矩阵B ． 参考解析：23[简答题]参考解析：。

2014年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）B （2）C （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A 二、填空题（9）3π8 （10）1 （11）1(d d )2x y −+ （12）2ππ2y x =−+ （13）2011 （14）]2,2[−三、解答题 （15）21. （16）(1)1y =为极大值，(1)0y −=为极小值. （17）34−. （18）22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）略. （20）1. （21）5π2πln24−. （22）（Ⅰ）T(1,2,3,1)ξ=−.（Ⅱ）123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ,123,,k k k 为任意常数.（23）略.2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】B.【解答】由定义02lim )2(lim )21(ln lim 1000===+−→→→ααααx xx x x x x x ，所以10,1αα−>>.当+→0x 时，ααα1212~)cos 1(x x −是比x 的高阶无穷小，所以210,2αα−><.故选择B.（2）【答案】C.【解答】C 选项，11sinsinlimlim1lim 1,x x x x x x a x x→∞→∞→∞+==+= 11lim[sin ]limsin 0x x b x x x x→∞→∞=+−==，所以x x y 1sin +=存在斜渐近线y x =，故选择C.（3）【答案】D.【解答】令)()1()1)(0()()()(x f x f x f x f x g x F −+−=−=，则0)1()0(==F F ,)()(),()1()0()(x f x F x f f f x F ''−='''−+−='.若()0,f x ''则()0,()F x F x ''在]1,0[上是凸的，又0)1()0(==F F ，故当]1,0[∈x 上时，()0F x ，从而()()g x f x ，故选择D.（4）【答案】C.【解答】22111122d 24d 3,1d 2d 2t t t t y t y t x t x t ====−+====−, 10101,)91(1)1(23232==+='+''=KR y y K ,故选择C. (5)【答案】D. 【解答】因,11)()(2ξξ+='=f x x f 所以)()(2x f x f x −=ξ,313111limarctan arctan lim )()(limlim220202022=+−=−=−=→→→→x x x x xx x f x x f x x x x x x ξ,故选择D. （6）【答案】A.【解答】记C A B yuC y x u B x u A ,,0,,,22222≠∂∂=∂∂∂=∂∂=互为相反数，故20AC B −<. 由于闭区域上连续函数必有极值，所以),(y x u 在D 内无极值，则极值在边界上取得.故选择A. （7）【答案】B.【解答】00000000a b abc d cd=0000000000000000c d c d a b a b c d d c a b b a −=2()c d d cad bc a b b a=⋅=−−. 故选择B.（8）【答案】A.【解答】132312310()(,,)01k ,l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα，记1323()k ,l =++A αααα，123(,,)=B ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r r r ===A BC C ，故1323k ,l ++αααα线性无关，所以13k +αα，23l +αα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的必要条件；反之，未必成立，例如取3=α0，12,αα线性无关，虽然13k +αα，23l +αα线性无关，123,,ααα却线性相关，故选A.二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】3π8. 【解答】1122111113πd d arctan 25(1)4228x x x x x x −∞−∞+===−∞++++⎰⎰. （10）【答案】1.【解答】由于]2,0[),1(2)(∈−='x x x f ，所以]2,0[,)1()(2∈+−=x C x x f ，又)(x f 为奇函数，故0)0(=f ，代入方程可得1−=C ,故]2,0[,1)1()(2∈−−=x x x f ，又)(x f 是周期为4的奇函数，则1)1()1()81()7(=−=−=+−=f f f f . （11）【答案】1(d d )2x y −+. 【解答】对方程两边同时对y x ,求偏导数得22e 210,e (22)20,yzyz z z y x x z z z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当21==y x 时，0=z ，故21,21)21,21()21,21(−=∂∂−=∂∂yz x z ,故11(,)221d (d d )2zx y =−+.（12）【答案】2ππ2y x =−+. 【解答】由直角坐标和极坐标的关系cos cos ,sin sin ,x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩于是ππ(,)(,)22r θ=对应于π(,)(0,)2x y =，切线斜率d d cos sin d d d cos sin d yy x x θθθθθθθθ+==−, 所以π(0,)2d 2d πy x=−，从而切线方程为2ππ2y x =−+. （13）【答案】2011. 【解答】质心坐标为1010()d ()d x x x x x xρρ=⎰⎰,而11205()d (21)d 3x x x x x ρ=−++=⎰⎰,1120011()d (21)d 12x x x x x x x ρ=−++=⎰⎰,所以2011351211==x . （14）【答案】]2,2[−.【解答】3231222132142),,(x x x ax x x x x x f ++−==232232231)4()2()(x a x x ax x −+−−+,由于二次型的负惯性指数为1，故240a −，故22a −.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：11221122(e 1)d (e 1)d limlim 11ln(1)xx t tx x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤−−−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12201e 1lim [(e 1)]limt xx t t t x x x t +→+∞→=−−=−−00e 11lim lim 222t t t t t t ++→→−===.（16）（本题满分10分）解：由y y y x '−='+122得，221)1(x y y −='+ ① 此时方程为可分离变量，通解为C x x y y +−=+333131,由0)2(=y 得32=C ； 由①可得2211)(y x x y +−='，当0)(='x y 时，1±=x ，且有 0)(,1;0)(,11;0)(,1<'>>'<<−<'−<x y x x y x x y x ，所以)(x y 在1−=x 处取得极小值，在1=x 取得极大值，且1)1(,0)1(==−y y ， 故)(x y 的极限值为0，极大值为1. （17）（本题满分10分）解：如图因为D 关于x y =对称，由轮换对称性质，则22sin(π)d d Dx x y x y x y ++⎰⎰22sin(π)d d D y x y x y x y +=+⎰⎰ 所以,22sin(π)d d Dx x y I x y x y +=+⎰⎰22()sin(π)1d d 2D x y x y x y x y++=+⎰⎰ yxO12221x y +=224x y +=221sin(π)d d 2D x y x y =+⎰⎰π220113d sin πd 24r r r θ=⋅=−⎰⎰.（18）（本题满分10分） 解：由(e cos )x z f y =可得(e cos )e cos ,(e cos )(e sin )x x x x z zf y y f y y x y∂∂''=⋅=⋅−∂∂， 22(e cos )e cos e cos (e cos )e cos x x x x xz f y y y f y y x ∂'''=⋅⋅+⋅∂，22(e cos )(e sin )(e sin )(e cos )(e cos )x x x x xz f y y y f y y y ∂'''=⋅−⋅−+⋅−∂.由22222(4e cos )e x xz z z y x y∂∂+=+∂∂，并把以上式子代入得 22(e cos )e[4(e cos )e cos ]e xxx x x f y f y y ''⋅=+，即 (e cos )4(e cos )e cos x x xf y f y y ''−=，令 e cos xu y =得 ()4()f u f u u ''−= ① 特征方程为 042=−λ，特征根为2λ=±，通解2212e e uu y C C −=+.设方程①的特解b au y +=*，代入方程 得1,04a b =−=，特解为*4u y =−， 则原方程的通解为22121()ee 4uu y f u C C u −==+−，由0)0(,0)0(='=f f 得1211,1616C C ==−,则方程为22111()e e 444u u y f u u −⎛⎫==−− ⎪⎝⎭.（19）（本题满分10分） 证：（Ⅰ)由积分中值定理()d ()(),[,]xag t t g x a a x ξξ=−∈⎰，因为0()1g x ，故0()(),0()d ()xag x a x a g t t x a ξ−−−⎰；（Ⅱ)()d ()()()d ()d ua ua g t t aaF u f x g x x f x x +⎰=−⎰⎰令，()()()(()d )()u aF u f u g u f a g t t g u '=−+⋅⎰()[()(()d )]uag u f u f a g t t =−+⎰，由（Ⅰ)知0()d (),()d uuaag t t u a a a g t t u −+⎰⎰，由于)(x f 单调增加，则()(()d )0uaf u f ag t t −+⎰，所以()0,()F u F u '单调不减，则()()0F u F a =， 取b u =得()0F b ，即所证结论成立.（20）（本题满分11分）解：因为12(),()112x xf x f x x x==++,3()13x f x x =+,…,由数学归纳法可得()1n xf x nx =+,所以1100()d d 1n n x S f x x x nx==+⎰⎰， 111000d 1()d d 11ln(1)11n n nx x nS n f x x x n nx nx n===−=−+++⎰⎰⎰，从而可知lim 1n n nS →∞=.（21）（本题满分11分） 解：因为)1(2+=∂∂y yf，所以)(),(2),(2x x y y y x f ϕϕ其中++=为待定函数. 又因为2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+−−，则()(2)ln y y y ϕ=−−，从而x x y x x y y y x f ln )2()1(ln )2(12),(22−−+=−−++=，所以0),(=y x f 对应的方程为2(1)(2)ln ,(12)y x x x +=−， 其所围图形绕直线1−=y 旋转所成旋转体的体积为222221111π(1)d π(2)ln d π2ln d πln d V y x x x x x x x x x =+=−=−⎰⎰⎰⎰π352π(2ln 21)(4ln 2)(2ln 2)π224=−−−=−.（22）（本题满分11分）解：(Ⅰ)对矩阵A 作初等行变换，可得123410010111010212030013−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A ，则方程组=Ax 0的一个基础解系为T)1,3,2,1(−=ξ. (Ⅱ)对矩阵()AE 作初等行变换，有12341001234100()0111010011101012030010431101−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−⎝⎭⎝⎭A E123410010012610111010010213100131410013141−−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→−→−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−⎝⎭⎝⎭. 记T3T 2T 1)1,0,0(,)0,1,0(,)0,0,1(===e e e ，则1e x A =的通解为T1111T1),31,21,2()0,1,1,2(k k k k ξk x +−+−−=−−+=， 2e x A =的通解为T2222T2),34,23,6()0,4,3,6(k k k k k x +−+−−=−−+=ξ， 3e x A =的通解为T3333T3),31,21,1()0,1,1,1(k k k k k x ++−−=−+=ξ，所以，123123123123261123212134313k k k k k k k k k k k k −−−−⎛⎫⎪−+−++ ⎪=⎪−+−++⎪⎝⎭B ，123,,k k k 为任意常数.（23）（本题满分11分）证：不妨设111111111⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭A ，00100200B n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则， ()()111...111...111...111 (1)..................11...111...1n n n λλλλλλλλλ−−−−−−−−−−−−==−=−−−−−−E A ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，()10...10 (2).........00...n n n λλλλλλ−−−−==−−E B ，特征值为1210,n n n λλλλ−=====，因为矩阵A 为对称阵，所以必可以对角化，相似于矩阵00n ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ； 对于矩阵B ，当0λ=时，(0)()1r r −==E B B ，所以矩阵B 对应于特征值0有1n −个线性无关的特征向量，所以矩阵B 可以对角化为00n ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭Λ，所以二者相似.。

2014年全国硕士研究生招生考试数学（一）真题一、选择题（1—8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1．下列曲线有渐近线的是（ ）。

（A）（B）sin y x x =+2sin y x x =+ （C）1siny x x =+（D）21siny x x =+2．设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0上（ ）。

,1]（A）当时，()0f x '≥()()f x g x ≥ （B）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C）当时，()0f x ''≥()()f x g x ≥（D）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤3．设是连续函数，则110(,)ydy f x y dx -=⎰⎰（ ）。

（A）110010(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰（B）11001(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰⎰（C）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r dr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθdrθ（D）112cos sin 02(cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r ++⎰⎰⎰⎰ππθθπθθθθθrdrθ4．若{}ππ2211-π-π,(cos sin )min(cos sin )a b Rx a x b x dx x a x b x dx ∈--=--⎰⎰，则11cos sin a x b x +=（ ）。

（A）2sin x（B）2cos x（C）2sin x π（D）2cos x π5．行列式0000000aba bc d c d =（ ）。

（A）（B）（C）（D）2(ad bc -))2(ad bc --2222a dbc -2222b c a d -6．设123,,ααα均为三维向量，则对任意常数，向量组l k ,132,k 3l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题浙江大学2009年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（360）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

高等代数综合考试试题一、选择题（每题3分，共20题，总分60分）1. 高等代数的基本概念中，下列哪个选项是正确的？A. 定理B. 命题C. 运算D. 推论2. 下列哪个不是线性代数的研究内容？A. 矩阵与行列式B. 向量空间与线性方程组C. 群论与环论D. 特征值与特征向量3. 设A是一个n阶方阵，若有2个不同的正整数p和q使得$A^p = A^q = I$，则矩阵A的阶数n最小可能是：A. 3B. 4C. 5D. 64. 对于线性方程组$AX=B$，若$A^{-1}$存在，则方程组的解为：A. $X=A^{-1}B$B. $X=AB^{-1}$C. $X=A^{-1}AB$D. $X=BA^{-1}B$5. 设矩阵A的特征值为-1和2，特征向量分别为$\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$，则矩阵A 的转置$A^T$的特征值和特征向量分别为：A. -1，2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$B. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} -2 \\ -3 \end{bmatrix}$C. -1，2 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$D. 1，-2 和 $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$，$\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$6. 设A为n阶矩阵，若A的行列式$|A|=0$，则下列哪个选项是正确的？A. A是可逆矩阵B. A的逆矩阵不存在C. A的秩为n-1D. A的行向量线性相关...二、填空题（每空3分，共10题，总分30分）1. 设A为对称矩阵，若$A^2 = 4I$，则A的特征值为______。

高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。

如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。

B. 矩阵的乘积总是可交换的。

C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。

D. 行列式的值总是正数或零。

6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

城院线性代数期中试卷汇集浙江大学姜豪汇编2014年6月目录第一部分：试卷真题13—14学年第二学期期中试卷 (2)13—14学年第一学期期中试卷 (4)12—13学年第二学期期中试卷 (6)12—13学年第一学期期中试卷 (9)11—12学年第二学期期中试卷 (11)第二部分：答案与评估13—14学年第二学期期中试卷答案 (13)13—14学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (14)13—14学年第一学期期中试卷答案 (15)13—14学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (15)12—13学年第二学期期中试卷答案 (16)12—13学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (17)12—13学年第一学期期中试卷答案 (17)12—13学年第一学期期中试卷难度与题量评估 (19)11—12学年第二学期期中试卷答案 (19)11—12学年第二学期期中试卷难度与题量评估 (20)第三部分：试题详解13—14学年第二学期期中试卷详解 (21)13—14学年第一学期期中试卷详解 (28)12—13学年第二学期期中试卷详解 (34)12—13学年第一学期期中试卷详解 (41)11—12学年第二学期期中试卷详解 (48)参考文献[1] 苏德矿，裘哲勇，线性代数，高等教育出版社，2005。

[2] 姜豪，线性代数十三讲.ppt 网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[3] 姜豪，线性代数习题集。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[4] 姜豪，线性代数命题集锦。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[5] 姜豪，[1]的名词索引。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[6] 姜豪，[1]的勘误表。

网易免费邮箱，用户名：mathjh, 密码：math123456[7] 同济大学数学系，（工程数学）线性代数，第五版，高等教育出版社，2007。

2014年浙江专升本（高等数学）真题试卷(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题 5. 综合题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．当x→x0时，若f(x)存在极限，g(x)不存在极限，则下列结论正确的是( )A．当x→x0时，f(x)g(x)必定存在极限B．当x→x0时，f(x)g(x)必定不存在极限C．当x→x0时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零D．当x→x0时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限正确答案：D解析：极限运算法则，可以举反例，若f(x)=x2，g(x)=lnx，则f(x)= x2=0，g(x)=lnx＝－∞，但f(x).g(x)=x2lnx=0；若f(x)=2，g(x)=sin=2，不存在，但f(x).g(x)=不存在；可见选项D正确．2．曲线y=x3－3x上切线平行于x轴的点是( )A．(0，0)B．(1，2)C．(一1，2)D．(0，2)正确答案：C解析：由导数几何意义可知，k切=y′(x0)=3—3=0，所以切点坐标为(1，一2)或(一1，2)，即选项C正确．3．函数f(x)=(x2—x一2)｜x3一x｜的不可导点个数是( )A．3B．2C．1D．0正确答案：B解析：导数定义，f′(0)=所以f′－(0)==2，f′＋(0)==－2所以函数f(x)在x=0处不可导；同理，f′(1)=所以f′－(1)=一(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝4．f′＋(1)=(x2一x—2)｜x(x+1)｜＝－4，所以函数f(x)在x=1处不可导；f′(－1)==(x－2)｜x3－x｜=0，所以函数f(x)在x=－1处可导；综上可知，函数f(x)共有2个不可导点，选项B正确．4．若f(x=sin(t一x)dt，则f(x)= ( )A．－sinxB．－1＋cosxC．sinxD．0正确答案：A解析：变限函数求导数，因为sin(t一x)dt sinudu，所以sin(t—x)dt=sinudu=0一sin(一x).(一1)=－sim，可见选项A正确．5．微分方程y′＋的通解是( )A．arctanx＋CB．(arctanx＋C)C．arctanx＋CD．＋arctanx＋C正确答案：B解析：一阶线性微分方程，由通解公式可得y=e－∫p(x)dx[∫Q(x).e∫p(x)dxdx+C]=.elnxdx+C]=(arctanx+C)，可见选项B正确．填空题6．设f(x)在(－∞，＋∞)上连续，且f(2)=3，则=___________．正确答案：9解析：利用连续性求极限，=3f(2)=9 7．设f(x)=，则f[f(x)]=___________．正确答案：解析：求复合函数的表达式，f[f(x)]=f[f(x)]=8．曲线y=xln(e＋)(x＞0)的渐近线方程是___________．正确答案：y=x+解析：计算斜渐近线，设直线y=ax+b为所求曲线的渐近线，则a==lne=1，b=所以，斜渐近线为y=x+．9．设y=ln，则y′｜x=0=___________．正确答案：-1解析：求导函数，因为y=ln[ln(1一x)一ln(1+x)]所以y′=，故y′(0)＝－1．10．曲线y=(x＞0)的拐点是___________．正确答案：()解析：求曲线的拐点，当x＞0时，y′=令y″=0，得x=，所以拐点为()．11．由曲线y=x和y=x2所围成的平面图形的面积是___________．正确答案：解析：据题意画图，求所围平面图形的面积S=(x—x2)dx=(x2一12．将函数f(x)=sin2x展开成x的幂级数为___________．正确答案：，x∈(一∞，+∞)解析：麦克劳林展式，f(x)=sin2x=cos2x，又因cosx=x2n，x∈(一∞，+∞)，所以cos2x=(2x)2n即f(x)=，x∈(一∞，+∞)．13．设(a×b).c=1，则[(a+b)×(b+c)].(c+a)=___________．正确答案：2解析：混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为0．因此，[(a+b)×(b+c)].(c+a)=[a×(b+c)+b×(b+c)]=[a×b+a×c+b×b+b ×c].(c+a)=[a×b+a×c+b×c].(c+a)=(a×b).c+(a×b).a+(a×c).c+(a×c).a+(b×c).c+(b×c).a=(a×b).c－(b×c).a=2(a×b).c=214．微分方程(1+x)ydx+(1一y)xdy=0的通解为___________．正确答案：ln｜xy｜+x－y+C=0，C为任意常数解析：可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1一y)xdx=0x+ln｜x+C=y—ln｜y｜，即通解为y=x+ln｜xy｜+C，C为任意常数．15．设二阶常系数线性齐次微分方程y″+ay′+by=0的通解为y=C1ex+C1e2x，那么非齐次y″＋ay′＋by=1满足的条件y(0)=2，y′(0)=－1的解为___________．正确答案：y=4ex－解析：求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为r2+ar+b=0，r1=1，r2=2即(r－1)(r－2)=0，r2－3r+2=0，故a=－3，b=2．所以原微分方程为y″一3y′+2y=1，由于λ=0不是特征方程的根，取k=0，因此，设特解y*=A，则(y*)′=0，(y*)″=0，代入可得A=，所以y*=，所以y″一3y′+2y=1的通解为y=C1ex+C2e2x+，再由y(0)=2，y′(0)=－1，可得C1=4，C2=，故满足初始条件的特解为y=4ex－解答题解答时应写出推理、演算步骤。

浙江大学攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x, 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s tu x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b=。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P 第42题. 二、计算行列式210...000121...000.. 00 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+ 在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .st ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T C T M ''为对角形，令P T M =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i n λ>=得证！！ 四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。