浙江大学601高等代数99-12年真题

浙江大学1999年研究生高等代数试题一．n a a a ,,,21 是n 个不相同的整数，证明1)())(()(21+---=n a x a x a x x f 在有理数域上可约的充分必要条件是)(x f 可表示为一个整数多项式的平方二．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a 21α，且0=ααT，求(1)T n E αα- (2)1)(--T n E αα(其中n E 为n 阶单位阵，的转置为ααT)三．矩阵n m A ⨯是行满秩)(m A =即秩，证明(1)存在可逆阵Q ，使得Q E A m )0,(= (2) 存在矩阵m n B ⨯，使得m E AB =四．设n 阶方阵A 满足A A =2，n ααα,,,21 是nP 中n 个线形无关的列向量，设2V 是由n A A A ααα,,,21 生成的子空间，1V 是0=AX 的解空间，证明：21V V P n ⊕=(21V V ⊕表示1V 与2V 的直和)五．设B A ,都是n 阶实对称矩阵，且B 正定，则存在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n D S λλ 1及，使得T T SS B SDS A ==,六．设n 阶矩阵)(ij a A =，满足下列条件：)0≤ij a ≤1,j i ,∀求证：(1)A 的每一个特征值λ，都有1≤λ(2)10=λ为A 的一个特征⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ℜ是实数i n nx x x |1 ，阶正定阵是n A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n x x 1α，n n y y ℜ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 1β，求证：(1)))(()(2ββααβαA A A TTT≤等号成立当且仅当βα与线形相关时成立 （2）若是正定矩阵，则A ))(()(2ββααβαA A A TTT≤也成立八（1）设B A ,分别为复数矩阵域上的阶方阵阶和l k ，并且B A ,没有公共的特征值，求证XB AX =只有空解（这里k k ij x X ⨯=)(）（2）在nn ⨯ℜ中，变换n n A XA AX X ⨯ℜ∈+A ,: ，A 为一个固定的矩阵，且A 的特征值不为（-A ）的特征值，求证：A 为一个线形变换。

式的平方。

可表示为一个整数多项分必要条件是在有理数域上可约的充个不同的整数，证明是一、分年)(1)())(()(f n ...,,)101999(,21,21x f a x a x a x x a a a n n +---= 一、证明：充分性：若()f x 能表示成一个整数多项式的平方，显然()f x 在有理数域上可约必要性：由于()f x 在有理数域上可约，在存在整数系数多项式()(),g x h x 有 ()()()f x g x h x =，()()()()0,0g x h x ∂>∂>，由于1i n ∀≤≤，()1i f a =，即()()1i i g a h a =，则()()0i i g a h a -=令()()()F x g x h x =-，则()(),F x n ∂<或()0F x =，由于有n 个不同的数为 ()0F x =的根，从而()F x 为零多项式，即()()g x h x =，即()()2f x g x =，就有()f x 能表示成一个整数多项式的平方二：解；()111T T n E αααα-=-=()2由于T T T T T T n n n n E E E E αααααααααααα⎡⎤⎡⎤-+=-+-=⎣⎦⎣⎦，从而 1T T n n E E αααα-⎡⎤⎡⎤-=+⎣⎦⎣⎦ 三：证明：()1由于存在m 阶可逆矩阵1P 和n 阶可逆矩阵2P ，有[]120m A P E P =，即[][]11220000m n m P A P P E P E -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，令1200n m P Q P E -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然Q 可逆，则 []0m A E Q =()2令10m E B Q -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然可知m AB E = 四：证明：n x P ∀∈，不妨设1ni i i x a α==∑，又x x Ax Ax =-+，则 1n i i i Ax a A α==∑，从而2Ax V ∈，又()()20A x Ax A A x -=-=，从而可知1x Ax V -∈即12x V V ∈+，即12n P V V ⊆+，任取12x V V ∈，所以0Ax =，且存在1,,n k k ，有1n i i i x k A α==∑，又2A A =，从而可知 211n ni i i i i i Ax k A k A x αα=====∑∑，从而0x =，即{}120V V =，所以12n P V V =⊕五：证明：由于B 正定，则存在可逆矩阵C 有T n C BC E =，又由于A 对称，从而 T C AC 也对称，即存在正交矩阵F ，使{}1,,T T n F C ACF diag D λλ==，即 ()(),T T n CF BCF D CF ACF E ==，若取()11T S F C --=，则有,T T B SS A SDS ==六：证明：()1若A 的一个特征值0λ，有01λ>，则此时0n E A λ-为严格对角占优矩阵，即0n E A λ-可逆，这与0λ为A 的特征值矛盾，从而， 1λ≤()2，令[]111Tx =，则 110111n i i n ni i a Ax x x a λ==⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑，从而0λ为A 的一个特征值 七：证明：由于A 正定，从而，存在可逆矩阵C 有，TA C C =， ()()()()()()()()()222,,,T T T T T T T T T A C C C C C C C C C C C C A A αβαβαβααββααββααββ∴==≤==由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数12,k k ，使120k C k C αβ+=，即120k k αβ+=，即,αβ线性相关八：证明：()1设A 的特征多项式为()fλ，B 的特征多项式为()g λ，由于,A B 无公共特征值，从而()()(),1f g λλ=，所以()f B 可逆，由于AX XB =，故对于n *∀∈，均有 n n A X XB =，就有()()f A X Xf B =，所以()00Xf B X =⇒=，即AX XB =只有零解；()2,,n n x y k ⨯∀∈∈，由()()()x y A x y x y A Ax xA Ay yA x y A +=+++=+++=A +A()()()()A kx A kx kx A kAx kxA k Ax xA k x =+=+=+=A所以A 是一个线性变换，由于A 和A -无公共特征根，即根据()1的结论就有()AX X A =-只有零解，即0AX XA +=只有零解，从而A 可逆，即A 为一个可逆线性变换。

2000年攻读硕士学位研究生入学考试试题解答 一、()f x 是数域P 上的不可约多项式（1）()[]g x P x ∈，且与()f x 有一公共复根，证明：()|()f x g x 。

（2）若c 及1c 都是()f x 的根，b 是()f x 的任一根，证明：1b 也是()f x 的根。

Proof ：（1）()f x 是数域P 上的不可约多项式，故对于P 上任一多项式()g x 只有以下两种情形：01()|()f x g x , 02 ((),())1f x g x =下证不可能是情形二。

（反证法）若不然为情形二，就是((),())1f x g x =则(),()[].()()()()1(*)u x v x P x s t u x f x v x g x ∃∈+=由已知条件，f 与g 有一公共复根（设为α），则()()0f g αα==，将α代入(*)中得到10=的矛盾，故假设不正确，得证！（2）设b 是()f x 的任一根，下证1()0f b =。

证明见《高等代数题解精粹》钱吉林编20P第42题.二、计算行列式210...000121...000........000 (012)n D =Solution:我们已经知道：1111,1(1),1n n n n αβαβαβαβαβαβαβαβαββαβαβ+++++⎧-≠⎪=+-⎨⎪+=⎩+在此结论中令1αβ==，知1n D n =+三、（1）A 是正定矩阵，C 是实对称矩阵，证明：∃可逆矩阵P .s t ,P AP P CP ''同时为对角形Proof: (1)A 正定，∴ ∃可逆矩阵T 使得T AT E '=，此时T CT '还是对称的，∴∃ 正交矩阵M 使得M T CTM ''为对角形，令P TM =，此时P AP E '=P CP '是对角形，得证！（2）由（1）知P ∃非异s.t 12n P AP E P ABP λλλ'=⎧⎪⎛⎫⎪⎨ ⎪'=⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩所以112n P BP λλλ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故AB 正定⇔0,1,2,,i i nλ>=得证！！四、设n 维线性空间V 的线性变换A 有n 个互异的特征值，线性变换B A 与可交换的充分必要条件是B 是121,,,,n E A A A -的线性组合，其中E 为恒等变换。

浙江大学1998年硕士研究生入学考试西方经济学一、名词解释（每题4分）1、乘数2、萨伊定律3、摩擦失业4、边际转换率5、外在经济6、消费者剩余二、简答题（每题10分）1、在市场经济的国民收入她集中，如按产品流动法分，一般有哪些项目？、请导出费雪(I.Fsiher)的效应方程，费雪通过该方程的出什么结论？依据是什么？3、产商决定销售价格是否应该考虑需求价格弹性因素？为什么？4、加尔布雷斯（J.K.Galbraith）施工怎样说明生产者主权与消费者主权的？三、论述题(每题18分)1、试述国民收入核算中的缺陷及纠正2、试述“蛛网理论”(Cobweb theorem)浙江大学1999年硕士研究生入学考试西方经济学一、名词解释：（每题4分）1．支持价格2．一般均衡3．边际转换率4．加速系数5．"挤出效应" 6．准货币二、简答题（每题10分）1．生产规模扩大导致收益的变动可分为哪些阶段？它说明了什么问题？2．欲望与效用的关系如何？关于欲望有什么样的规律？3．什么是"流动性陷阱"？请用图表示。

4．什么是"需求管理"的目的？其主要内容包括哪些政策？三、论述题（每题18分）1．试述西方经济学，解释滞胀问题的"市场操纵论"。

滞涨专题1.需求管理政策无法应对“滞涨”“滞涨”出现的根源是生产成本的上升。

生产成本上升之后，企业为了生存，就得要么提高价格，要么削减产量，要么既削减产量，又提高价格，这就导致了“滞涨”的出现。

在现代经济史中，“滞涨”最早出现于1970年代初的西方发达国家，尤其是美国。

那时发生的第一次石油危机导致世界石油价格大幅上升，导致了依赖石油输出国组织的石油的西方国家能源成本的上升，就导致了“滞涨”。

因此，所谓“滞涨”实际上就是成本推动的通货膨胀。

它跟需求拉动的通货膨胀不同的是，当通货膨胀是由需求拉动时，经济会出现高通胀、高增长的情况，此时应用目前世界各国已经十分熟悉的需求管理政策就可以治理。

目　录2012年浙江大学601高等代数考研真题2011年浙江大学601高等代数考研真题及详解2010年浙江大学360高等代数考研真题2009年浙江大学360高等代数考研真题2008年浙江大学724高等代数考研真题及详解2007年浙江大学741高等代数考研真题及详解2006年浙江大学341高等代数考研真题及详解2005年浙江大学341高等代数考研真题2004年浙江大学341高等代数考研真题2003年浙江大学344高等代数考研真题2002年浙江大学365高等代数考研真题2001年浙江大学359高等代数考研真题2000年浙江大学226高等代数考研真题1999年浙江大学高等代数考研真题及详解2012年浙江大学601高等代数考研真题浙江大学2012年攻读硕士学位研究生入学试题考试科目：高等代数（601）考生注意：1．本试卷满分为150 分，共计10道题，每题满分15分，考试时间总计180 分钟；2．答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上均无效。

一、设是阶单位矩阵，，矩阵满足，证明的行列式等于.二、设是阶幂零矩阵满足，.证明所有的都相似于一个对角矩阵，的特征值之和等于矩阵的秩.三、设是维欧氏空间的正交变换，证明最多可以表示为个镜面反射的复合.四、设是阶复矩阵，证明存在常数项等于零的多项式使得是可以对角化的矩阵，是幂零矩阵，且.五、设.当为何值时，存在使得为对角矩阵并求出这样的矩阵和对角矩阵；求时矩阵的标准型.六、令二次型.求次二次型的方阵；当均为实数，给出次二次型为正定的条件.七、令和是域上的线性空间，表示到所有线性映射组成的线性空间.证明：对，若，则和在中是线性无关的.八、令线性空间，其中是的线性变换的不变子空间.证明；证明若是有限维线性空间，则；举例说明，当时无限维的，可能有，且.九、令.求阶秩为的矩阵,使得（零矩阵）；假如是满足的阶矩阵，证明：秩.十、令是有限维线性空间上的线性变换，设是的不变子空间.那么，的最小多项式整除的最小多项式.。

二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目： 高等代数 编号： 741一、（17分）设整系数的线性方程组为,证明该方程组对任意整数都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于． ),..2,1(,1n i b x a i j nj ij ==∑=n b b b ,..,,211±二、（17分）计算阶行列式, 其中．(1n n >)2−1211232341112...........................n n n n nn n ns s s s s s s s s s s s s s s −+−+⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠kn k k k x x x s +++=...21三、（17分）设矩阵,,A B C 满足有意义.求证： ABC ()()()AB BC B ABC +≤+秩秩秩秩.四、（17分）设s ξξξ,...,,21是某个齐次线性方程组的基础解系，而k ηηη,...,,21是该齐次线性方程组的个线性无关的解，并且k k s <s k −s ξξξ,...,,21.求证中必可取出个解，使得它们个k ηηη,...,,21一起构成原方程组的一个基础解系．五、（17分）设阶方阵(1n n >)A 满足其中,0652=+−E A A E 是阶单位矩阵．证明:n A 相似于对角矩阵；如果A 行列式等于是正整数).求与m n m m n m ,0(32<<−A 相似的对角矩阵． )(2R M V =六、（17分）假设22×是由实数域上所有矩阵构成的实数域上向量空间.1112,11A B λ−⎛⎞⎛==⎜⎟⎜−−⎝⎠⎝1⎞⎟⎠λ,其中是参数. 是V 上的线性变换. （1）证明 AXB X =)(ϕ1−≠λ（2）当ϕ时,证明是可逆线性变换. 1−=λ（3）当ϕ时,求线性变换的核和值域.（4）在值域中取一组基,并把它扩充成V 的基,求线性变换ϕ在这组基下的矩阵．222211λλλλλλλλλ⎛⎞−⎜⎟−⎜⎜⎟+−⎝⎠λ七、（16分）求-矩阵⎟的初等因子和不变因子． 8111181111811118A −⎛⎞⎜⎟−⎜⎟=⎜⎟−⎜⎟−⎝⎠八、（16分）已知矩阵 123412341234(,,,)(,,,)(,,,)T f x x x x x x x x A x x x x =（1）求二次型； （2）用正交线性替换化二次型为标准型；),,,(4321x x x x f （3）证明定义了βαβαA T =),(α4R 4R 上的内积，其中βα,是的列向量，是T α的转置，并求在该内积下4R 的一组标准正交基；（4）求实对称矩阵B 使得A B k =,其中为正整数(只要写出k B 的表达式，不必计算其中的矩阵乘积)． 九、（16分）设, 其中是互不相同的整数．证明n a a a ,...,,211)()()()(22221+−⋅⋅⋅−−=n a x a x a x x f ()f x 是有理数域上的不可约多项式.。

目录Ⅰ历年考研真题试卷 (2)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (2)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (5)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (7)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (9)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (11)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (13)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (15)浙江大学2015年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (16)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (17)浙江大学2017年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (18)浙江大学2018年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (19)浙江大学2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 (21)Ⅱ历年考研真题试卷答案解析 (23)浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (23)浙江大学2008年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (31)浙江大学2009年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (39)浙江大学2010年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (46)浙江大学2011年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (52)浙江大学2012年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (57)浙江大学2014年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (64)浙江大学2016年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题答案解析 (70)Ⅰ历年考研真题试卷浙江大学2007年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题考试科目：高等代数编号：601注意：答案必须写在答题纸上，写在试卷或草稿纸上均无效。

一、（17分）设整系数的线性方程组为),..2,1(,1n i b x ai j nj ij==∑=，证明该方程组对任意整数n b b b ,..,,21都有整数解的充分必要条件是该方程组的系数行列式等于1±。

1。

解：由题意可知1123212233131231,1,1δλλλδλλλλλλδλλλ=++=-=++=== 从而知()()()2123121231g g g λλλδδδ++=-++=()()()()()()2212233121312312122324231g g g g g g λλλλλλδδδδδδδδδδ++=-+-+-+++=-()()()22123311223313212213g g g λλλδδδδδδδδδδδ=++++--++=-故()323p x x x x =--+2。

证明：由分析知()()21112221n n n n f x nx nx nx x ---'=+=+。

如果()f x 有重数大于2的非零根，在()f x '有重数大于1的非零根，根据()f x '的表达式可知()f x '没有非零重根，从而()f x 没有重数大于2的非零根 3。

解：由于()111n nk jk k k j nD x xx =≤<≤=-∏∏，又可知()()12111111121111211111112112111111n ni i i i i n n n n k j k i i i i i k k j nn n i i i i i n nnnn nnn nx x x x yx x x x y y x x x x x x x y x x x x y x x x x y -------=≤<≤-+++++--=--∏∏ 从而知()()()()1111111nn i n i i i i ijk k j nD yxx y δ+-----≤<≤-=--∏即()1ni ijk k j nD xx δ≤<≤=-∏，从而知()111nnn i i j k i i k j n D x x δ==≤<≤⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∏ 4。

解；由于11TT A E XYY X α=+=+=+从而()1当1α≠时，A 可逆()2由于当1α=时()()()111n T TE E XY E XY λλλλ--+=--=-，从而A 的特征多项式为()11n λλ--故()1rank A n =-，又()()()1TTrank A E rank X Y rank YX-===从而()()rank A rank A En =-=，从而2A A =，故A 的最小多项式()m λ能整除()1λλ-，从而()m λ无重根，从而A 可对角化5。