四边形之间的关系.ppt

F D
B
C
E
体验中考
1．（06常州）已知：如图，在四边形ABCD AO CO， 中，AC与BD相交与点O，AB∥CD， 求证：四边形ABCD是平行四边形.
A O B C D
体验中考
2.（06大连西岗）如图，ABCD中， AE⊥BD于E，CF⊥BD于F. 求证：AE = CF
A F E B D
典型例题
E 变式1：顺次连结矩形四边中点所得的四边形是菱形. D 变式2：顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形. G H 变式3：顺次连结正方形四边中点所得的四边形 是正方形. B F 变式4：顺次连结等腰梯形四边中点所得的四边形 A 是菱形. 变式5：若AC＝BD，AC⊥BD，则四边形EFGH是正方形. 变式6：在四边形ABCD中，若AB＝CD，E、F、G、H分别为AD、BC、 BD、AC的中点，求证：EFGH是菱形. C 变式7：如图：在四边形ABCD中， M D E为边AB上的一点，△ADE和△ Q BCE都是等边三角形，P、Q、M、 N N分别是AB、BC、CD、DA边上 的中点，求证：四边形PQMN是菱形. B A E P
二、选择题： 1、若□ABCD的周长为28，△ABC的周长为17cm，则AC的长 为（ ） A、11cm B、5.5cm C、4cm D、3cm 2、如图，□ABCD和□EAFC的顶点D、E、F、B在同一条直 线上，则下列关系中正确的是（ ） C A、DE＞BF B、DE＝BF D C、DE＜BF D、DE＝FE＝BF E F B
C
典型例题
例3 已知如图，在△ABC中，∠C＝900，点M在BC上， 且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM和BN相交于 P，求∠BPM的度数.
分析：条件给出的是线段的等量关系，求的却是角的度数，为此，我们由条件中 的直角及相等的线段，可联想到构造等腰直角三角形，从而应该平移AN. 证明：过M作ME∥AN，且ME＝AN，连结NE、BE，则四边形AMEN是平行四 边形，得NE＝AM，ME∥AN，AC⊥BC ∴ME⊥BC在△BEM和△AMC中， ME＝CM，∠EMB＝∠MCA＝900，BM＝AC ∴△BEM≌△AMC A ∴BE＝AM＝NE，∠1＝∠2， ∠3＝∠4，∠1＋∠3＝90° 1 ∴∠2＋∠4＝90 ° ，且BE＝NE N P ∴△BEN是等腰直角三角形 3 C B ∴∠BNE＝45 ° ∵AM∥NE M ∴∠BPM＝∠BNE ＝45 ° 2

PART 05
四边形的综合应用题
REPORTING
平行四边形的综合应用题
总结词
平行四边形是常见的几何图形之一，其 综合应用题主要涉及面积、周长以及与 三角形的关系。
VS
详细描述
平行四边形的综合应用题通常会给出一些 条件，如边长、高、底等，要求求解平行 四边形的面积、周长或者与三角形的关系 。在解决这类问题时，需要掌握平行四边 形的性质、面积和周长的计算公式，并且 能够灵活运用。
有一组对边平行且相 等的四边形是平行四 边形
四边形的性质
01
对边平行且相等
02
对角相等
03
04
对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形， 对角线的交点是它的对称中心
四边形的面积计算
面积=底×高 面积=两对角线乘积的一半
面积=两边长的乘积再乘以夹角的正弦值
PART 02
四边形的分类和判定
REPORTING
平行四边形
定义
两组对边分别平行的四边形叫做 平行四边形。
性质
对边平行；对边相等；对角相等 ；邻角互补；内角和等于360度
。
判定
两组对边分别平行的四边形是平 行四边形；两组对边分别相等的 四边形是平行四边形；一组对边 平行且相等的四边形是平行四边
形。
矩形
01
02
03
定义
有一个角是直角的平行四 边形叫做矩形。
四个角都是直角的菱形是正方形
通过证明四个角都是直角的菱形满足对角线互相垂直且相等的条件，从而证明是正方形。
有一个角是直角的菱形是正方形
通过证明有一个角是直角的菱形满足对角线互相垂直且相等的条件，从边不平行的四边形是梯形：通过构造一 组对边平行另一组对边不平行的四边形，利用等腰梯形的性质 证明该四边形是梯形。

对角线互相平分的 四边形
无
对角线相等的平行 四边形
无
对角线互相垂直的 平行四边形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边 形 （既是矩形又是菱形）
对边相等，对边平行 四条边都相等
对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线互相平分
对角线互相垂直、相等， 且每条对角线平分一组 对角
几种平行四边形的判定及比 较
元素 图形 两组对过分角分别相等的 一级对边平行且相等的四边形； 四边形 两组对边分别相等的四边形
有一个角是直角的 平行四边形； 三个角是直角的四边形 有一组邻边相等的平行四边形； 四条边都相等的四边形
几种平行四边形及相互关系
有一组邻边相等并且有 一个角是直角
几种平行四边形的性质及比 较
元素 图形 边 角 对角线
对边相等，对边平行
对角相等，邻角互补
对角线互相平分
对边相等，对边平行
对角相等，邻角互补 四个角都是直角
对角线互相平分 对角线相等
对边相等，对边平行 四条边都相等 对角相等，邻角互补
对角线互相平分 对角线互相垂直，且每 条对角线平分一组对角

A
D
B
C
对称性： 对称轴：
轴对称图形. 4条 .
阶段总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系如何表述呢？ 平行四边形

正
矩形 方 菱形
形
正方形既是特殊的平行四边形,又是特殊的矩形,也是特殊的菱形. 你能说出正方形具有哪些性质吗？ 正方形具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质. 性质：1.角的方面：四个角都是直角
3.对角线： 正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；对角线平分一组对角，且 平分正方形为四个全等的等腰直角三角形 几何语言表示：在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，AC＝BD AC平分∠DAB与∠BCD，BD平分∠ABC与∠ADC
4.对称性： 既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有4条对称轴，分别为过 两对边中点的直线和两条对角线所在的直线，它的对称中心是对 角线的交点
当堂练习
练一练
3.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ A ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
4.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 （ A ）
A.2cm2 B.4cm2
C.6cm2
D.8cm2
例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形，
证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠DAB＝90°. ∵BF⊥AE，DG⊥AE， ∴∠AFB＝∠AGD＝∠ADG＋∠DAG＝90°. ∵∠DAG＋∠BAF＝90°， ∴∠ADG＝∠BAF. ∴△BAF≌△ADG(AAS)． ∴BF＝AG，AF＝DG. ∵AG＝AF＋FG， ∴BF＝DG＋FG. ∴BF－DG＝FG.
求 ∠EAD和∠EDA的度数 . 解：∵ △BEC是等边三角形，

教科书第66页例4
我们认识了长方形、正方形……
长方形和正方形可以看成特殊 的平行四边形吗？为什么？
四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版(共15张PPT)
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我们可以用下面的图来表示四边形之间的关系。
正方形 长方形 平行四边形
平行四边形 长方形
正方形
长方形 平行四边形
正边形
①
②
③
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四年级上册数学课件-第五单元第7课 时 认识梯形、平行四边形的关系 人教版((将正确答案的序号填在括号里)
二、在图中各画一条线段，把图形分成两个不 同的梯形。
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答案不唯一。
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五 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？
只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 特殊梯形：两个腰相等的等腰梯形；有 一个角是直角的直角梯形。
一 复习导入
你能写出下面这图形的名称吗？
圆 平行四边形 三角形 正方形
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二 新课探究
教科书第66页例3
你见过下面这样的图形吗？他们有什么
▷ 特殊的梯形： 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。

（来自教材）
知3－练
证明：在▱ABCD中，因为AB∥CD，所以∠FBE＝∠DCE. 因为E为BC的中点，所以BE＝CE. FBE＝DCE， 在△FBE和△DCE中，BE＝CE , BEF＝CED， 所以△FBE≌△DCE.所以BF＝CD. 又因为AB＝CD，所以BF＝AB，即点B为AF的中 点．
（来自教材）
知3－讲
导引：根据BM平分∠ABC和AB∥CD可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合 ▱ABCD的周长是14得到CD的长，进而得到DM的 长．具体过程如下： ∵在▱ABCD中，AB∥CD，BM是∠ABC的平分 线，∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝ 3.
2. 数学表达式：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， AB＝CD，AD＝BC.
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 [中考·玉林]如图，在▱ABCD中，BM是∠ABC
的平分线，交CD于点M，且MC＝2，▱ABCD的
周长是14，则DM等于( C )
A．1
B．2
C．3
D．4
（来自《点拨》）
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
当题目中平行线和角平分线同时出现时，极有可 能出现等腰三角形，如本题中由AB∥CD和BM平分 ∠ABC就得到△BCM是等腰三角形；在平行四边形 的边的计算中，“平行四边形相邻两边之和等于平行 四边形的周长的一半”会经常用到．
（来自《点拨》）
知3－练
1 在▱ ABCD 中，已知AB=3，AD=2，求▱ ABCD的
第二十二章 四边形
平行四边形的性质
第1课时

（二）选择题：
1.下面判定四边形是平行四边形的方法中，错误的是（ D ）。 (A)一组对边平行，另一组对边也平行；(B)一组对角相等，另一组对角也相等；
(C )一组对边平行，一组对角相等； (D)一组对边平行，另一组对边相等
2.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ B ）。
(A)对角线互相平分。
(B)对角线相等。
10.等腰梯形在同一底上的两个角 相 等 ，对角线 相 等 。
11.如图(1)， ABCD中，∠1 = ∠B =50°,则∠2 = 80° 。
A
D
A
D
B
1
2 C
O
(1)
B
C
(2)
12.如图（2），菱形有一个内角是120°，有一条对角线长是8㎝， 那么菱形边长是 8㎝ 或 38√3 ㎝ 。
13.已知：正方形的边长是4㎝，则它的对角线的长是 4√2 ㎝ ，
C
5.作梯形的中位线
A E B
D F C
7.构建三角形
E
6.构建大平行四边形
A
D
F
O
B
C
E
A
D
B
C
面积是 16 ㎝ 2
。
14.已知，正方形的对角线的长是6 ㎝，则它的边长是 3√2 ㎝ ， 面积是 18 ㎝2 。
15.已知：正方形的面积是12 ㎝2，则它的边长是 2√3 ㎝ ， 对角线的长是 2√6 ㎝ 。
九、几种常见的平行四边形辅助线的画法：
1.对角线
A
D
A
D
B
C
B
C
2.构建新的平行四边形
D A
四、对角线与特殊四边形的关系
1.对角线互相平分的四边形是平行四边形

矩形
具有边长相等且内角为直角 的四边形。
菱形
具有对角线相等且内角为直角的四边形。
梯形
具有两条平行边的四边形，其中两边不平行。
四边形的性质
1
对角线的关系
对角线交于一点，分割四边形成两个全等的三角形。
2
内角和
四边形的内角和等于360度。
3
外角和
四边形的外角和等于360度。
认识四边形
通过本课件，我们将深入探索四边形的定义、特征、分类、性质和应用，了 解它在数学、建筑和艺术中的重要价值。
什么是四边形
1 四边形的定义
四边形是由四条线段组成的图形，每两条线段通过端点相连。
2 四边形的特征
四边形的特征包括四个顶点、四条边、四个内角和四个外角。
四边形的分类
平行四边形
具有对边平行的四边形，如 长方形和正方形。
4
边长关系
四边形的边长可以相等，也可以不相等。
四边形的应用
四边形在建筑中的应用
建筑中的柱子、楼层平面图等都 使用了四边形的原理。
四边形在工程中的应用
道路、桥梁等的设计中，四边形 可以提供结构的稳定性。
四边形在艺术中的应用
艺术品、装饰图案等经常使用四 边形元素，展现独特的美学价值。
总结与提高
1 四边形的本质和价值
四边形是几何学中的重要概念，有助于我们理解形状、结构和模式。
2 学生思维的训练
通过研究四边形，学生可以培养空间想象力、逻辑推理和问题解决能力。
3 学习资源推荐
《数入门与进阶》教材、网络教学资源等提供了更多相关知识和练习。
参考资料
1 四边形课堂笔记
2 《数入门与进阶》教材
3 网络教学资源

02
平行四边形在生活中的应 用
建筑设计中的应用
稳定性
平行四边形结构在建筑设 计中具有稳定性，能够承 受较大的压力和拉力。
空间利用率
平行四边形结构可以有效 地利用空间，提高建筑物 的使用效率。
美学价值
平行四边形在建筑立面上 的运用，可以增强建筑物 的立体感和现代感。
机械制造中的应用
平行四边形机构
理，即a²=b²+c²-2bc×cosA，其中A为夹角。
02
边长与高度关系
平行四边形的高h与底边长a及夹角θ有关，即h=a×sinθ。同时，高度
与面积之间满足的高度与夹角θ有关，当θ为90°时，高h即为直角边，此时
平行四边形为矩形。当θ小于90°时，高h在平行四边形内部；当θ大于
在机械制造中，平行四边形机构 常用于实现物体的平移、升降和
支撑等功能。
精度控制
平行四边形机构的运动轨迹较为稳 定，可以实现较高的精度控制。
传递力量
平行四边形机构可以有效地传递力 量，实现力的放大或减小。
美术与图案设计中的应用
图案构成
创意发挥
平行四边形可以作为美术和图案设计 中的基本元素，通过重复、旋转和对 称等方式构成各种图案。
梯形
平行四边形的一组对边可以看作梯形的上底和下底，而另一组对边则是梯形的 腰。通过作高可以将梯形划分为一个矩形和两个三角形，从而推导出梯形的面 积公式。
04
平行四边形的计算问题
周长、面积、对角线长度计算
周长计算
平行四边形的周长等于其四边之和，即P=2(a+b)，其中a、b为相 邻两边长。
面积计算
平行四边形面积计算公式为S=ah，其中a为底边长，h为高。

四边形ppt课件
REPORTING
目录
• 四边形基本概念与性质 • 平行四边形特征及判定方法 • 梯形特征及判定方法 • 多边形内角和与外角和计算公式 • 相似四边形判定定理及其证明过程 • 四边形在生活中的实际应用场景举例
PART 01
四边形基本概念与性质
REPORTING
四边形定义及分类
四边形定义
对角线互相平分的四边形是 平行四边形。
示例：已知四边形ABCD中 ，AB//CD，AD//BC，求证 ：四边形ABCD是平行四边 形。
矩形、菱形、正方形特殊性质
矩形特殊性质 矩形的四个角都是直角。
矩形的对角线相等且互相平分。
矩形、菱形、正方形特殊性质
• 矩形是轴对称图形，对称轴是两条对角线的所在 直线。
计算六边形外角和
已知六边形边数为6，根据多边形外角和计算公式，六边 形外角和为360°。
PART 05
相似四边形判定定理及其 证明过程
REPORTING
相似四边形定义与性质
定义
两组对边分别成比例且夹角相等的四边 形称为相似四边形。
VS
性质
相似四边形的对应角相等，对应边成比例 ，面积比等于相似比的平方。
THANKS
感谢观看
REPORTING
多边形外角和计算公式推导
要点一
外角定义
要点二
公式推导
多边形的外角是指一个顶点处的外角等于相邻两个内角之 和的补角。
由于一个多边形的每个顶点处都有一个外角，且这些外角 的和等于360°，因此多边形外角和的计算公式为：360°。
应用实例分析
计算五边形内角和
已知五边形边数为5，根据多边形内角和计算公式，五边 形内角和为（5-2）×180°=540°。