新北京课改版八年级数学上册《全等三角形的判定(2)》习题(附答案)

2021北京重点校初二（上）期中数学汇编三角形全等的判定2一、单选题1．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连t t接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为秒，当的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或72．（2021·北京八中八年级期中）下列命题中正确的有（）个①三个内角对应相等的两个三角形全等；②三条边对应相等的两个三角形全等；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等；④等底等高的两个三角形全等．A．1 B．2 C．3 D．43．（2021·北京八十中八年级期中）如图，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的面积S是（）A．50 B．62 C．65 D．684．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠1＝∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CD C．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA5．（2021·北京师大附中八年级期中）下列判断中错误的是( )A．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B．有一边相等的两个等边三角形全等C．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等6．（2021·北京八中八年级期中）如图，用尺规作图作∠AOC =∠AOB 的第一步是以点O 为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA 、OB 于点E 、F ，那么第二步的作图痕迹②的作法是（ ）A ．以点F 为圆心，OE 长为半径画弧B ．以点F 为圆心，EF 长为半径画弧C ．以点E 为圆心，OE 长为半径画弧D ．以点E 为圆心，EF 长为半径画弧二、填空题7．（2021·北京师大附中八年级期中）如图，要测量池塘两岸相对的两点A ，B 的距离，可以在池塘外取AB 的垂线BF 上的两点C ，D ，使BC =CD ，再画出BF 的垂线DE ，使E 与A ，C 在一条直线上.若想知道两点A ，B 的距离，只需要测量出线段______________即可．8．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，已知AC 与BD 交于点E ，且AB=CD ，请你再添加一个边或角的条件使△ABC ≌△DCB ，添加的条件是：________．（添加一个即可）9．（2021·北京八中八年级期中）如图，点，，，在的边上，，且A C D E Rt MON 90MON ∠=︒AE AB ⊥，且，于点，于点，，，，，AE AB =BC CD ⊥BC CD =BH ON ⊥H DF ON ⊥F 12OM =6OE =3BH =4DF =，图中阴影部分的面积为__．8FN =10．（2021·北京八十中八年级期中）如图，，欲使，只需添加一个条件__________，若AC DB =ABC DCB △≌△，，可利用__________判定方法证明．AC DB =90A D ∠=∠=︒ABC DCB △≌△11．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在的两边上，分别取，再分别过点，作，AOB ∠OM ON =M N OA 的垂线，交点为，画射线．可判定，依据是_______．（请从“、、、OB P OP OMP ONP ≅△△SSS SAS AAS 、”中选择一个填入）．ASA HL12．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，BE 与CD 交于点A ，且．请添加一个条件使得B E ∠=∠，这个条件是：_________（写出一个即可）ABC AED ≌△△三、解答题13．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，在三角形中，，，点，分别在坐标轴ABC 90ABC ∠=︒AB BC =A B 上．（1）如图①，若点的横坐标为-3，点的坐标为______；C B （2）如图②，若轴恰好平分，交轴于点，过点作垂直轴于点，试猜想线段与x BAC ∠BC x M C CD x D CD AM 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，，，连接交轴于点，点在轴的正半轴上运动时，与OB BF =90OBF ∠=︒CF y P B y BPC △AOB 的面积比是否变化？若不变，直接写出其值，若变化，直接写出取值范围．14．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，∠BAC =∠DAM ，AB =AN ，AD =AM ，求证：∠B =∠ANM ．15．（2021·北京八中八年级期中）如图，在中，已知，过点作于点，过点作ABC ∆45ABC ∠= C CD AB ⊥D B 于点，连接，过点作，交于点.BM AC ⊥M MD D DN MD ⊥BM N（1）求证：≌；DBN ∆DCM ∆（2）设与相交于点，若点是的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结CD BM E E CD NE ME CM 论.16．（2021·北京·101中学八年级期中）下面是小明同学设计的“作一个角等于已知角”的尺规作图过程.已知：∠O ，求作：一个角，使它等于∠O.作法：如图：①在∠O 的两边上分别任取一点A ，B ；②以点A 为圆心，OA 为半径画弧；以点B 为圆心，OB 为半径画弧；两弧交于点C ；③连结AC,BC ，所以∠C 即为所求作的角.请根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下列证明．证明：连结AB ，∵OA=AC ，OB= ， ，∴≌（ ）（填推理依据）．OAB CAB △∴∠C=∠O ．17．（2021·北京八中八年级期中）已知：如图，D是△ABC的边BA延长线上一点，且AD＝AB，E是边AC上一点，且DE＝BC．求证：∠DEA＝∠C．18．（2021·北京四中八年级期中）如图，已知AB=AC，E为AB上一点，ED∥AC，ED=AE.求证：BD=CD.19．（2021·北京八中八年级期中）如图，∠A=∠D=90°，AB=DC，AC与DB交于点E，F是BC中点．求证：∠BEF=∠CEF．20．（2021·北京·清华附中八年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F 为垂足．求证：DE＝DF．21．（2021·北京八中八年级期中）阅读下面材料，并补全证明过程：在学习“全等三角形”一章时，课本中介绍了一个平分角的仪器：老师倡议班上同学动手制作这个仪器，并思考平分角的仪器能否进行三等分角？同学们展开了研究，有的同学在二等分角的仪器基础上进行了拓展，设计制作了三等分角仪器，如图3．小易同学对制作等分角工具的数学活动非常感兴趣，他通过查阅资料，发现了一个工具——“勾尺”：“勾尺”的直角顶点为，“宽臂”的宽度，勾尺的一边为，且满足，，三点共线（所以P PQ QR ==MN M N Q ．)PQ MN ⊥小易自己制作了一把勾尺，通过实践探索发现：勾尺既可以把角二等分，也可以把角三等分，以下是他想到的两种二等分角的方法．方法一：简要步骤：1．如图4，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线；OP BC MN EF 2．如图5，将勾尺边与已知角边重合，沿勾尺边画直线，OP BA MN GH 3．如图6，直线与交于点，作射线；射线即为的平分线．EF GH D BD BD ABC ∠（1）证明过程：过点分别作于，于，D DS BC ⊥S DT BA ⊥T 勾尺宽臂的宽度相同，，DS DT ∴=平分 ．BD ∴(ABC ∠)方法二：简要步骤：1．如图7移动勾尺到合适位置，使其顶点落在边上，使勾尺的边经过点，同时让点落在边上；P BC MN B R BA 2．标记此时点所在位置，作射线．射线是的平分线．证明过程： ；Q BQ BQ ABC ∠（2）您还有其他利用勾尺将已知角二等分的画法吗？请画出数学示意图并写出简要步骤．22．（2021·北京·101中学八年级期中）如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，∠B =∠DEF ，∠ACB =∠F ，BE =CF ．求证：△ABC ≌△DEF ．23．（2021·北京一七一中八年级期中）如图，在中，D 是边的中点，于点E ，于点ABC BC DE AB ⊥DF AC ⊥F ，且．BE CF =求证：平分．AD BAC ∠24．（2021·北京八中八年级期中）如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAE ＝∠DAC ．求证：∠C ＝∠E ．25．（2021·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）已知，如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，试问：DE和DF相等吗？说明理由．26．（2021·北京·101中学八年级期中）已知：如图，AB平分∠CAD，AC=AD．求证：∠C=∠D．参考答案1．C【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD ，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS 证得△BAP ≌△DCE ，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t 的值为1或7秒时．△ABP 和△DCE 全等．故选C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，HL ．2．B【详解】根据三角形全等的判定定理SSS ，SAS ，AS A ，AAS ，HL ，可得出正确结论．解：①三个内角对应相等的两个三角形全等不一定全等，错误；②三条边对应相等的两个三角形全等，正确；③有两角和一边分别对应相等的两个三角形全等，正确；④等底等高的两个三角形不一定全等，错误．故选B ．3．A【分析】由AE ⊥AB ，EF ⊥FH ，BG ⊥AG ，可以得到∠EAF=∠ABG ，而AE=AB ，∠EFA=∠AGB ，由此可以证明△EFA ≌△AGB ，所以AF=BG ，AG=EF ；同理证得△BGC ≌△CHD ，GC=DH ，CH=BG ．故可求出FH 的长，然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积．【详解】∵如图，AE ⊥AB 且AE=AB,EF ⊥FH,BG ⊥FH ⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90º，∠EAF+∠BAG=90º，∠ABG+∠BAG=90º⇒∠EAF=∠ABG ，∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG ⇒△EFA ≌△AGB ，∴AF=BG ，AG=EF.同理证得△BGC ≌△CHD 得GC=DH ，CH=BG.故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16故S= (6+4)×16−3×4−6×3=50.12故选A.【点睛】此题考查全等三角形的性质与判定，解题关键在于证明△EFA≌△AGB和△BGC≌△CHD.4．B【详解】试题分析：利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．解：A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故A不符合题意；B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故B符合题意；C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故C不符合题意；D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故D不符合题意．故选B．考点：全等三角形的判定．5．C【详解】试题分析：对于三角形全等的判定，已知两边和一角的情况，这个角必须是两边的夹角.考点：三角形全等的判定.6．D【详解】解：用尺规作图作∠AOC=∠AOB的第一步是以点O为圆心，以任意长为半径画弧①，分别交OA、OB于点E、F，第二步的作图痕迹②的作法是以点E为圆心，EF长为半径画弧．故选D．7．DE【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD=CD，可以判断两个三角形全等；所以AB=DE.【详解】根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD∴△ABC≌△EDC∴AB=DE即只需要测量出线段DE即可.故答案为：DE【点睛】解答本题的关键是设计三角形全等，巧妙地借助两个三角形全等，寻找所求线段与已知线段之间的等量关系，做题时要认真观察图形，根据已知选择方法．8．AC=DB【分析】本题已知条件是一条公共边BC=BC 和AB=CD ，所填条件必须和已知条件构成或经推理可以得出SSS 、SAS ，所以添加的条件可以是一条边对应相等或一个夹角对应相等．【详解】添加AC=DB 或∠ABC=∠DCB 或△AOB ≌△DOC 后可分别根据SAS 、SSS 、SSS 判定△ABC ≌△DCB ．故答案为：AC=DB 或∠ABC=∠DCB 或△AOB ≌△DOC ．（添加一个即可）【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．添加时注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．50【分析】易证△AEO ≌△BAH ，△BCH ≌△CDF 即可求得AO ＝BH ，AH ＝EO ，CH ＝DF ，BH ＝CF ，即可求得梯形DEOF 的面积和△AEO ，△ABH ，△CBH ，△CDF 的面积，即可解题．【详解】解：∵∠EAO +∠BAH ＝90°，∠EAO +∠AEO ＝90°，∴∠BAH ＝∠AEO ，在△AEO 和△BAH 中，，90AEO BAH O BHA AE AB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴△AEO ≌△BAH （AAS ），同理△BCH ≌△CDF （AAS ），∴AO ＝BH ＝3，AH ＝EO ＝6，CH ＝DF ＝4，BH ＝CF ＝3，∴梯形DEOF 的面积（EO +DF ）•FO ＝80， 12=S △AEO ＝S △ABH AO •OE ＝9， 12=S △BCH ＝S △CDF CH •BH ＝6， 12=∴图中实线所围成的图形的面积S ＝80﹣2×9﹣2×6＝50，故答案为：50．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEO ≌△BAH ，△BCH ≌△CDF 是解题的关键．10． AB ＝DC （答案不唯一） HL【分析】添加一个条件AB ＝DC 可以利用SSS 定理证明△ABC ≌△DCB；由已知条件利用HL 可证明△ABC ≌△DCB ．【详解】解：添加一个条件AB ＝DC ；在△ABC ≌△DCB 中，，AB DC AC BD BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△DCB （SSS ）；∵，，AC DB =90A D ∠=∠=︒又BC=CB故可用HL 判定△ABC ≌△DCB ．故答案为： AB ＝DC （答案不唯一）；HL ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．11．．HL 【分析】根据题意得到和均为直角三角形，再由判断三角形全等，即可得出答案．MPO △PNO HL 【详解】由题意可得PM OA PN OB ⊥⊥，∴和均为直角三角形MPO △PNO 在和中RT MPO RT NPO OM ON OP OP =⎧⎨=⎩∴()RT MPO RT NPO HL ≌故答案为：．HL 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键．12．（答案不唯一）AB AE =【分析】根据题意可知已有两组对应角相等，再确定一组对应边相等即可判定．ABC AED ≌△△【详解】，B E ∠=∠BAC EAD ∠=∠当时，依据ASA 可得，，∴AB AE =ABC AED ≌△△故答案为：（答案不唯一）AB AE =【点睛】本题考查了全等三角形的判定，两角及其夹边对应相等的两个三角形全等，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．13．（1）；（2）；理由见详解；（3）与的面积比不变；比值为 (0,3)12CD AM =BPC △AOB 12【分析】 （1）过点C 作轴于点，通过证明可得，进而即可求得点B 的坐标； CH y ⊥H BCH ABO △≌△CH BO =（2）延长AB 与CD 交于点N ，先通过证明可得，再通过证明可得ABM CBN △≌△AM CN =ADN ADC △≌△，进而即可得证； 12CD ND CN ==12CD AM =（3）过点C 作轴于点，先通过证明可得，再通过证明可CQ y ⊥Q AOB BQC △≌△AOB BQC S S =△△PQC PBF △≌△得，进而得到，即可得证，则． 12PQ PB BQ ==12BPC BQC S S =△△12BPC AOB S S =△△1:2BPC AOB S S =△△【详解】（1）如下图，过点C 作轴于点CH y ⊥H ∵轴CH y ⊥∴90CBH BCH ∠+∠=︒∵90ABC ∠=︒∴90CBH ABO ∠+∠=︒∴BCH ABO ∠=∠在与中BCH ABOBHC AOBBCH ABOAB BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCH ABO AAS △≌△∴CH BO =∵点的横坐标为C 3-∴3CH BO ==∴点的坐标为；B (0,3)（2）12CD AM =证明：如下图，延长AB 与CD 交于点N∵90ABC ∠=︒∴90CBN ∠=︒∵轴CD x ⊥∴90CDA ∠=︒∵ DMC BMA ∠=∠∴BCN BAM ∠=∠在与中ABM CBNCBN ABMAB CBBCN BAM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ABM CBN ASA △≌△∴AM CN =∵轴平分x BAC ∠∴NAD CAD ∠=∠又∵轴CD x ⊥∴90ADC ADN ∠=∠=︒在与中ADN △ADCNAD CADAD ADADN ADC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()ADN ADC ASA △≌△∴12CD ND CN ==∴；12CD AM=（3）与的面积比不变；比值为 BPC △AOB 12如下图，过点C 作轴于点CQ y ⊥Q ∵轴CQ y ⊥∴，90CQB ∠=︒90QCB CBQ ∠+∠=︒∵OA OB ⊥∴90BOA ∠=︒∴BOA CQB ∠=∠∵90ABC ∠=︒∴90CBQ ABO ∠+∠=︒∴BCQ ABO ∠=∠在与中AOB BQCCQB BOA BCQ ABO AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOB BQC AAS △≌△∴，AOB BQC S S =△△OB QC =∵OB BF =∴QC BF =又∵轴，CQ y ⊥90OBF ∠=︒∴FBP CQP ∠=∠在与中PQC △PBF △ CPQ FPB FBP CQP BF QC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()PQC PBF AAS △≌△∴ 12PQ PB BQ ==∵ 111222BPC S PB QC BQ QC =⋅=⋅⋅△ 12BQC S BQ QC =⋅△∴ 12BPC BQC S S =△△∴ 12BPC AOB S S =△△∴． 1:2BPC AOB S S =△△【点睛】本题主要考查了三角形全等的综合应用，熟练掌握相关三角形全等的构造及全等的证明是解决本题的关键． 14．证明见解析.【分析】要证明∠B =∠ANM ，只要证明△BAD ≌△NAM 即可，根据∠BAC =∠DAM ，可以得到∠BAD =∠NAM ，然后再根据题目中的条件即可证明△BAD ≌△NAM ，本题得以解决．【详解】证明：∵∠BAC =∠DAM ，∠BAC =∠BAD +∠DAC ，∠DAM =∠DAC +∠NAM ，∴∠BAD =∠NAM ．在△BAD 和△NAM 中，∵AB =AN ，∠BAD =∠NAM ，AD =AM ，∴△BAD ≌△NAM （SAS ），∴∠B =∠ANM ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，根据题目条件选择适当的判定定理是关键.15．（1）见解析；（2），见解析.NE ME CM -=【分析】（1）根据两角及夹边相等的两个三角形全等即可证明．（2）结论：NE−ME ＝CM ，作DF ⊥MN 于点F ，由（1）△DBN ≌△DCM 可得DM ＝DN ，证明△DEF ≌△CEM ，推出，由此即可证明．EF EM =DF CM =【详解】解：（1）证明：∵，，45ABC ∠= CD AB ⊥∴，45ABC DCB ∠=∠= ∴BD DC =∵，90BDC MDN ∠=∠= ∴，BDN CDM ∠=∠∵，，CD AB ⊥BM AC ⊥∴90ABM A ACD ∠=-∠=∠ 在和中， DBN ∆DCM ∆BDN CDM BD DCDBN DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴≌；DBN ∆DCM ∆（2）结论：NE ME CM -=证明：由（1）≌可得．DBN ∆DCM ∆DM DN =作于点，又，DF MN ⊥F ND MD ⊥∴，DF FN =在和中，，DEF ∆CEM ∆DEF CEM DFE CME DE EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴≌，DEF ∆CEM ∆∴，，EF EM =DF CM =∴.CM DF FN NE FE NE ME ===-=-【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．16．（1）见解析；（2）BC，AB= AB，边边边【分析】（1）根据描述利用尺规作出图形；（2）根据作图可得AO=AC，BO=BC,AB=AB，再利用SSS判定△AOB≌△ACB即可得出∠O=∠C．【详解】解：（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）BC，AB= AB，边边边【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作一个角等于已知角的方法，掌握三角形全等的判定方法．17．见解析【分析】要直接证明∠DEA＝∠C，没有全等三角形也没有等腰三角形，不好证明，所以添加辅助线，过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，可证△ADF≌△ABC，从而利用全等三角形的性质DF＝BC，从而有DE＝DF，进而通过等量代换可得∠C＝∠DEA【详解】证明：过点D作BC的平行线交CA的延长线于点F，∴∠C ＝∠F ．∵点A 是BD 的中点，∴AD ＝AB ．在△ADF 和△ABC 中，C F DAF BAC AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△ABC （AAS ）∴DF ＝BC ，∵DE ＝BC ，∴DE ＝DF ．∴∠F ＝∠DEA ．又∵∠C ＝∠F ，∴∠C ＝∠DEA ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键.18．见解析.【分析】根据平行线性质得∠EDA =∠DAC ，由ED=AE ，得∠EAD =∠EDA ．证△ADB ≌△ADC （SAS ）可得.【详解】证明：∵ED ∥AC ，∴∠EDA =∠DAC ，∵ED=AE ，∴∠EAD =∠EDA ．∴∠EAD =∠DAC ．在△ADB 和△ADC 中，,,,AB AC DAB DAC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADB ≌△ADC （SAS ）．∴BD=CD ．【点睛】考核知识点：全等三角形判定，等腰三角形性质.判定三角形全等是关键.19．详见解析.【分析】可先利用“AAS”证明△AEB ≌△DEC ，根据全等三角形对应边相等可证EB=EC ，然后利用等腰三角形“三线合一”可证∠BEF =∠CEF.【详解】证明：在△AEB 和△DEC 中，∠A =∠D ，∠AEB =∠DEC ，AB =DC .∴△AEB ≌△DEC （AAS ）∴EB =EC .∵F 是BC 中点，∴∠BEF =∠CEF .【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质.熟练掌握相关定理，并能灵活运用是解决此题的关键. 20．见解析．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B =∠C ，运用AAS 证明△DEB ≌△DFC 即可．【详解】∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴∠B =∠C ，DB =DC ，∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD =90°，∴△DEB ≌△DFC （AAS ），∴DE =DF ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的全等判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键． 21．方法一：（1）到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上；方法二：证明见解析；（2）见解析【分析】（1）方法一，利用角平分线的判定定理证明即可．方法二：利用线段的垂直平分线的性质证明BR ＝BP ，再利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图9中，利用“勾尺”分别在BC ，BA 上截取BM ＝BN ＝OP ，BH ＝BG ＝PR ，连接NH ，GM 交于点O ，作射线BO ，则BO 平分∠ABC ．利用全等三角形的判定和性质证明即可．【详解】解：（1）方法一：如图6中，过点分别作于，于，D DS BC ⊥S DT BA ⊥T勾尺宽臂的宽度相同，，DS DT ∴=平分（到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上）． BD ∴ABC ∠故答案为：到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上． 方法二：如图8中，，，BQ PR ⊥ PQ QR =，BR BP ∴=，QBR QBP ∴∠=∠平分．BQ ∴ABC ∠（2）如图9中，利用“勾尺”分别在，上截取，，连接，交于点，作射BC BA BM BN OP ==BH BG PR ==NH GM O 线，则平分．BO BO ABC ∠，，，GB BH = GBM HBN ∠=∠BM BN =，()GBM HBN SAS ∴∆≅∆，BMG BNH ∴∠=∠，，BN BM = BG BH =，NG MH ∴=，NOG MOH ∠=∠ ，()NOG MOH AAS ∴∆≅∆，OG OH ∴=，BO BO = ，()BOG BOH SSS ∴∆≅∆，GBO HBO ∴∠=∠平分．BO ∴ABC ∠【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找全等三角形解决问题．22．答案见详解．【分析】由BE=CF 可得BC=EF ，然后再利用SAS 证明△ABC ≌△DEF 即可．【详解】证明：∵BE=CF ，∴BE+EC=FC+EC ，即BC=EF ．在△ABC 和△DEF 中，B DEF BC EFACB F ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．见解析【分析】由于D 是BC 的中点，那么BD ＝CD ，而BE ＝CF ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，利用HL 易证Rt △BDE ≌Rt △CDF ，可得DE ＝DF ，利用角平分线的判定定理可知点D 在∠BAC 的平分线上，即AD 平分∠BAC ．【详解】证明：∵，D 是的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥BC ∴．90,DEB DFC BD CD ∠=∠=︒=在和中， Rt BDE Rt CDF ,,BD CD BE CF =⎧⎨=⎩∴，()Rt BDE Rt CDF HL ≌∴．DE DF =又∵，,DE AB DF AC ⊥⊥∴平分．AD BAC ∠【点睛】本题考查了角平分线的判定定理、全等三角形的判定和性质．解题的关键是证明Rt △BDE ≌Rt △CDF ． 24．见解析【分析】根据∠BAE ∠DAC ，可推出∠BAC ∠DAE ，解题已知可证△BAC ≌△DAE 即可得出答案．==【详解】∵∠BAE ∠DAC ，=∴∠BAE ＋∠EAC ∠DAC ＋∠EAC ，=即：∠BAC ∠DAE ．=在△BAC 和△DAE 中，AB AD BAC DAE AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△DAE ．∴∠C ∠E ．=【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明△BAC ≌△DAE 是解题关键．25．相等，理由见解析【分析】连接AD ，证明ACD ≌△ABD ，可得，进而根据角平分线的性质即可证明DE 和DF 相等．DAE DAF ∠=∠【详解】连接AD ，如图，在△ACD 和△ABD 中，，AB AC AD AD BD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴ACD ≌△ABD （SSS ），DAB DAC ∴∠=∠即DAE DAF ∠=∠∵DE ⊥AE ，DF ⊥AF ，∴DE ＝DF ．【点睛】本题考查了角平分线的性质，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的性质是解题的关键．26．见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠CAB =∠DAB ，推出△ACB ≌△ADB ，根据全等三角形的性质即可得到结论．【详解】∵AB 平分∠CAD ，∴∠CAB=∠DAB ．在△ABC 和△ABD 中，∵， AC AD CAB DAB AB AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABC ≌△ABD ，∴∠C=∠D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．。

北京版数学八年级上册《全等三角形的判定（二）——SAS》说课稿3一. 教材分析《全等三角形的判定（二）——SAS》是北京版数学八年级上册的教学内容。

本节课是在学生已经掌握了全等三角形的概念和SSS判定方法的基础上进行教学的。

教材通过引入实际问题，引导学生探究全等三角形的判定方法，培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了全等三角形的概念和SSS判定方法，对数学图形有了一定的认识和理解。

但是，学生对于全等三角形的判定方法的理解和应用能力还有待提高。

此外，学生的空间想象能力和解决实际问题的能力也需要进一步培养。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握SAS判定全等三角形的方法，能够运用SAS判定两个三角形是否全等。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、猜想、验证等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。

四. 说教学重难点1.教学重点：掌握SAS判定全等三角形的方法，能够运用SAS判定两个三角形是否全等。

2.教学难点：对SAS判定全等三角形的理解，能够灵活运用SAS判定两个三角形是否全等。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等教学方法，引导学生主动参与教学过程，培养学生的思维能力和解决实际问题的能力。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，直观展示全等三角形的判定过程，帮助学生理解和掌握判定方法。

六. 说教学过程1.导入：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考全等三角形的判定方法。

2.新课导入：介绍SAS判定全等三角形的方法，引导学生通过观察、操作、猜想、验证等过程，理解和掌握判定方法。

3.案例分析：分析具体的例子，让学生运用SAS判定两个三角形是否全等，巩固所学知识。

4.练习与讨论：设计相关的练习题，让学生独立完成，并进行小组讨论，培养学生的解决问题能力和团队合作意识。

八年级数学上册《全等三角形的判定》练习题及答案一、选择题1.如图，已知AB=AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A.CB=CDB.∠BAC=∠DACC.∠BCA=∠DCAD.∠B=∠D=90°2.下列说法正确的是( )A.两个等腰直角三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等3.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙4.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD5.如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，那么在下列各条件中，不能判定Rt△ABC≌Rt△A′B′C′的是( )A.AB=A′B′=5，BC=B′C′=3B.AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°C.AC=A′C′=5，BC=B′C′=3D.AC=A′C′=5，∠A=∠A′=40°6.如图, OD⊥AB于点D,OE⊥AC于点E, 且OD=OE, 则△AOD与△AOE全等的理由是（）A.SASB.ASAC.SSSD.HL7.如图所示，已知AC=CD，∠B=∠E=90°，AC⊥CD，则不正确的结论是（）A.∠A与∠D互为余角B.∠A=∠2C.△ABC≌△CEDD.∠1=∠28.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（）A.两个锐角对应相等B.一条边和一个锐角对应相等C.两条直角边对应相等D.一条直角边和一条斜边对应相等9.如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，若AB=4，CF=3，则BD的长是( )A．0.5 B．1 C．1.5 D．210.如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F是中线AD上两点，则图中可证明为全等三角形的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对二、填空题11.如图，已知∠C=∠D=90°，请你添加一个适当的条件：______________，使得△ACB≌△BDA．12.如图，已知AD=AE，请你添加一个条件，使得△ADC≌△AEB，你添加的条件是．(不添加任何字母和辅助线)13.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是(只填一个即可)．14.如图，旗杆AC与旗杆BD相距12 m，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM=DM.已知旗杆AC的高为3 m，该人的运动速度为1 m/s，则这个人运动到点M所用时间是 s.15.如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA=OB，则图中有____对全等三角形.16.如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC=7，AD=EB，DE=EC，则AB= .三、解答题17.如图，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD=BC．(1)求证：△AOD≌△OBC；(2)若∠ADO=35°，求∠DOC的度数．18.如图，点A、B、C、D在一条直线上，CE与BF交于点G，∠A=∠1，CE∥DF.求证：∠E=∠F.19.如图，在△ADF和△BCE中，AF=BE，AC=BD，∠A=∠B，∠B=32°，∠F=28°，BC=5cm，CD=1cm．求：（1）∠1的度数；（2）AC的长．20.如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE. （1）求证：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度数.参考答案1.答案为：C2.答案为：C3.答案为：B4.答案为：D5.答案为：B.6.答案为：D7.答案为：D8.答案为：A9.答案为：B 10.答案为：D11.答案为：AD=CD；（答案不唯一）.12.答案为：AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠ACD.13.答案为：AB=DE．14.答案为：3；15.答案为：316.答案为：7.17. (1)证明：∵点O是线段AB的中点，∴AO=BO，∵OD∥BC，∴∠AOD=∠OBC，在△AOD与△OBC中，，∴△AOD≌△OBC(SAS)；(2)解：∵△AOD≌△OBC，∴∠ADO=∠OCB=35°，∵OD∥BC，∴∠DOC=∠OCB=35°．18.证明：19.解：（1）∵AC=BD∴AD=BC且AF=BE，∠A=∠B∴△ADF≌△BCE（SAS）∴∠E=∠F=28°，∴∠1=∠B+∠E=32°+28°=60°；（2）∵△ADF≌△BCE∴AD=BC=5cm，且CD=1cm，∴AC=AD+CD=6cm．20.解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，∠1=∠D，∠3=∠5，BC=CE，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴AC=CD；（2）∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠2=∠D=45°，∵AE=AC，∴∠4=∠6=67.5°，∴∠DEC=180°-∠6=112.5°.。

第11章全等三角形 单元测试题一、选择题（每题 3分，共24分）1、下列说法中正确的是（ ）A 、两个直角三角形全等B 、两个等腰三角形全等C 、两个等边三角形全等D 、两条直角边对应相等的直角三角形全等2、（易错易混点）如图，已知 AB AD,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ABCADC的是（）A . CB CDB . / BAC / DAC3. 如图所示,将两根钢条AA ' BB'的中点O 连在一起,使AA ' 一个测量工件,则A'B'的长等于内槽宽 AB,那么判定△ OAB ^A OA'B'的理由是（）A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边 4、如图，△ ABC 中，/ C=90o, AD 平分/CAB 交BC 于点D , DE 丄AB ，垂足为 E ,且CD=6cm ,则DE 的长为（）C . / BCA / DCAD ./ B / D 90BB'可以绕着点0自由旋转,就做成了A 、 4cmB 、 6cmC 、 8cmD 、 10cmB5、（易错易混点）下列命题中：⑴形状相同的两个二角形是全等形；⑵在两个二角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（）A、3个B、2个C、1个D、0个6、（易错易混点）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（）去配。

A.①B.②C.③D.①和②7•下列说法中：①如果两个三角形可以依据AAS”来判定全等，那么一定也可以依据ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等.正确的是（）AOB, PA OA, PB OB，垂足分别为A, B.下列结论中不一定成立的是A. PA PBB.PO平分APBC. OA OB D . AB垂直平分OP、填空题（每题3分，共24 分）9、如图，若△ ABC ABQ i，且A 110°A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③8、如图，0P平分B 40°,则C i= ___________10、如图已知 △ ABD g △ ACE ,且 AB=8, BD=7, AD=6 则 BC=第9 题B11、 如图，已知AC=BD ,那么△ ABC g, 其判定根据是12、 如图，已知AB AD BAEDAC ，要使△ ABC g△ ADE ，可补充的条件是（写出一个即可）.13、 如图，△ ABC 的周长为 32,且 BD DC, AD BC 于 D ,△ ACD 的周长为24, 那么AD 的长为第2屯笋12範A / K \/ 1 \D 14、 如图，D ,E 分别为△ABC 的AC , BC 边的中点，将此三角形沿 DE 折叠，使点 C 落在AB边上的点P 处•若 CDE 48°,则APD 等于15、如图，在 Rt AABC 中, B 90 ,ED 是AC 的垂直平分线，交 AC 于点D , 交BC 于点E •已知 BAE 10，则 C 的度数为PC16. 已知△ ABC中，AB=BC祺C，作与△ ABC只有一条公共边，且与△ ABC全等的三角形，这样的三角形一共能作出_____ 个•三、用心做一做（17题10分，18题12分，19-21题每题10分）17、已知：如图，工'/■ 三三点在同一条直线上，亠「1 3S，"匚一「三，- _£ .求证：—一一亠■.第门龐18、小红家有一个小口瓶（如图5所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了。

2022-2023学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）12.2 三角形全等的判定【题型1】SSS 证明三角形全等1．（2022·山西·运城市盐湖区教育科技局教学研究室七年级期末）小华在复习用尺规作一个角等于已知角的过程中，回顾了作图的过程，他发现OCD V 与'''O C D V 全等，请你说明小华得到全等的依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】利用全等三角形的判定定理即可求解．【详解】解：在OCD D 和O C D ¢¢¢D 中，OD O D OC O C DC D C ¢¢¢¢¢=ì¢ï=íï=î，()OCD O C D SSS ¢¢¢\D @D ．故选：A ．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．【变式1-1】2．（2021·重庆·华东师范大学附属中旭科创学校八年级期中）已知，如图，AD=AC ，BD=BC ，O 为AB 上一点，那么图中共有___对全等三角形．【答案】3【分析】由已知条件，结合图形可得△ADB ≌△ACB ，△ACO ≌△ADO ，△CBO ≌△DBO 共3对．找寻时要由易到难，逐个验证．【详解】解：∵AD=AC ，BD=BC ，AB=AB，∴△ADB ≌△ACB ；∴∠CAO=∠DAO ，∠CBO=∠DBO ，∵AD=AC ，BD=BC ，OA=OA ，OB=OB∴△ACO ≌△ADO ，△CBO ≌△DBO ．∴图中共有3对全等三角形．故答案为3．【题型2】SAS 证明三角形全等1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，要证BC ＝CD ，证明中判定两个三角形全等的依据是（ ）A ．角角角B ．角边角C ．边角边D ．角角边【答案】B 【分析】根据已知条件，直接利用ASA 进行证明即可求解．【详解】解：在△ABC 与△ADC 中，1234AC AC Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，则△ABC ≌△ADC （ASA ）．∴BC ＝CD ．故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式2-1】2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，BE BA =，//AB DE ，BC DE =，若40BAC Ð=°，25E Ð=°，则BDE Ð=___．【答案】115°【分析】根据//AB DE ，推出Ð=ÐABC BED ，联合题目的条件可证明(SAS)BED ABC ≌△△，进而可求得结论．【详解】解：∵//AB DE ，∴Ð=ÐABC BED ，在BED V 与ABC V 中BE AB BED ABC DE CB =ìïÐ=Ðíï=î，∴(SAS)BED ABC ≌△△，∴40EBD BAC Ð=Ð=°，而180BDE EBD E Ð=°-Ð-Ð，且25E Ð=°，∴1804025115BDE Ð=°-°-°=°，故答案为：115°．【点睛】本题考查利用SAS 判定三角形全等，三角形内角和定理，利用平行推出角等，进而推出三角形全等是解题关键．【题型3】ASA 或AAS 证明三角形全等1．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）已知如图，要测量水池的宽AB ，可过点A 作直线AC ⊥AB ，再由点C 观测，在BA 延长线上找一点B ¢，使ACB ACB ¢ÐÐ＝，这时只要出AB ¢的长，就知道AB 的长，那么判定ABC D ≌AB C D ¢的理由是（ ）A ．ASAB ．AASC ．SASD ．HL【答案】A 【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出答案．【详解】解：∵AC ⊥AB ，∴90CAB CAB Ð=Т=°，在ABC D 和AB C D ¢中，ACB ACB AC ACCAB CAB Ð=Ðìï=íïТ=Ðî¢，∴ABC D ≌()ASA AB C D ¢，∴AB AB ¢=．故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是能够利用ASA 判定两个三角形全等．【变式3-1】2．（2021·江苏南京·八年级阶段练习）如图，AB 、CD 相交于点E ，且AE ＝BE ，AC BD ∥．求证：△AEC ≌△BED ．【答案】见解析【分析】采用“ASA ”的全等三角形的判定方法即可求证．【详解】∵AC BD∥∴∠A ＝∠B ，在△AEC 和△BED 中，A B AE BEAEC BED Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△AEC ≌△BED （ASA ），【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质的知识，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键．【题型4】HL 证明三角形全等1．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知AD BD ^，BC AC ^，AC BD =．则CAB DBA △△≌的理由是（ ）A ．HLB ．SASC ．AASD ．ASA 【答案】A 【分析】利用直角三角形全等的判定方法进行判断．【详解】证明：∵AD ⊥BD ，BC ⊥AC ，∴∠C ＝∠D ＝90°，在Rt △CAB 和Rt △DBA 中，AB BA AC BD =ìí=î，∴Rt △CAB ≌Rt △DBA （HL ）．故选：A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．【变式4-1】2．（2022·湖南·新化县东方文武学校八年级期中）如图，AB =AD ，CB ⊥AB 于点B ，CD ⊥AD 于点D ，求证△ABC ≌△ADC ．【答案】见解析【分析】求出∠B =∠D =90°，根据全等三角形的判定定理得出Rt △ABC ≌Rt △ADC ．【详解】解：∵CB ⊥AB ，CD ⊥AD∴∠B =∠D =90°又∵AB =AD ，AC =AC∴Rt △ABC ≌Rt △ADC （HL ）【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．【题型5】全等三角形判定的灵活应用1．（2021·甘肃·庄浪县阳川中学八年级期中）下列各组条件中，可以判定△ABC ≌△DEF 的条件是（ ）A ．AB =DE 、AC =DF 、BC =EFB ．∠A =∠D 、∠B =∠E 、∠C =∠F C ．AB =DE 、AC =DF 、∠C =∠FD ．BC =EF 、∠A =∠D 【答案】A 【分析】全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，直角三角形全等还有HL ，根据以上定理判断即可【详解】解： A 、符合全等三角形的判定定理SSS ，即能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意；B 、只有角相等，不能判定△ABC ≌△DFE ，故本选项不合题意；C 、只满足SSA ，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不合题意；D 、只有一角一边两个条件，不符合全等三角形的判定定理，即不能推出△ABC ≌△DEF ，故本选项不合题意； 故选A ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS ，ASA ，AAS ，SSS ，直角三角形全等还有HL ．【变式5-1】2．（2022·浙江·舟山市普陀第二中学八年级期末）如图，在ABC V 中，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，且AD ，BE 交于点F ，若BF AC =，BD =8，3CD =，则线段AF 的长度为______．【答案】5【分析】首先证明△BDF ≌△ADC ，再根据全等三角形的性质可得FD =CD ，AD =BD ，根据AD =8，DF =3，即可算出AF 的长．【详解】解：∵AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边上的高，∴∠ADC =∠FDB =90°，∠AEB =90°，∴∠1+∠C =90°，∠1+∠2=90°，∴∠2=∠C ，∵∠2=∠3，∴∠3=∠C ，在△ADC 和△BDF 中，3C FDB CDA BF AC Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△BDF ≌△ADC （AAS ），∴FD =CD ，AD =BD ，∵CD =3，BD =8，∴AD =8，DF =3，∴AF =8-3=5，故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．一．选择题1．（2022·福建·福州十八中八年级期末）如图，已知AC BD ^，垂足为O ，AO CO =，AB CD =，则可得到AOB COD D @D ，理由是( )A ．HLB ．SASC ．ASAD ．AAS【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理分析即可．【详解】解:∵AC BD^∴∠AOB=∠COD=90°在Rt △AOB 和Rt △COD 中AO CO AB CD=ìí=î∴AOB COD D @D （HL ）故选A ．【点睛】此题考查的是全等三角形的判定定理，掌握用HL 判定两个三角形全等是解决此题的关键．2．（2022·全国·七年级期末）如图，为测量桃李湖两端AB 的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点C ，测得∠ACB 的度数，在AC 的另一侧测得∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，再测得AD 的长，就是AB 的长．那么判定△ABC ≌△ADC 的理由是（ ）A ．SASB ．SSSC ．ASAD ．AAS【答案】A【分析】已知条件是∠ACD =∠ACB ，CD =CB ，AC =AC ，据此作出选择．【详解】解：在△ADC 与△ABC 中，CD CB ACD ACB AC AC =ìïÐ=Ðíï=î．∴△ADC ≌△ABC （SAS ）．故选：A ．【点睛】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ，做题时注意选择．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．（2021·全国·七年级课时练习）如图，△ABC 和△EDF 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝∠E ，点B ，F ，C ，D 在同一条直线上，再增加一个条件，不能判定△ABC ≌△EDF 的是( )A ．AB ＝EDB ．AC ＝EF C ．AC ∥EFD ．BF ＝DC 【答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法即可判断.【详解】A. AB ＝ED ，可用ASA 判定△ABC ≌△EDF ；B. AC ＝EF ，可用AAS 判定△ABC ≌△EDF ；C. AC ∥EF ，不能用AAA 判定△ABC ≌△EDF ，故错误；D. BF ＝DC ，可用AAS 判定△ABC ≌△EDF ；故选C.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定方法.4．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在ABC V 中，D ，E 是BC 边上的两点，,,12110,60AD AE BE CD BAE ==Ð=ÐÐ=°=°，则BAC Ð的度数为（ ）A ．90°B ．80°C ．70°D ．60°【答案】B 【分析】先证明BD =CE ，然后证明△ADB ≌△AEC ，∠ADE =∠AED =70°，得到∠BAD =∠CAE ，根据三角形内角和定理求出∠DAE =40°，从而求出∠BAD 的度数即可得到答案．【详解】解：∵BE =CD ，∴BE -DE =CD -DE ，即BD =CE ，∵∠1=∠2=110°，AD =AE ，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∠ADE =∠AED =70°，∴∠BAD =∠CAE ，∠DAE =180°-∠ADE -∠AED =40°，∵∠BAE =60°，∴∠BAD =∠CAE =20°，∴∠BAC =80°，故选B ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，邻补角互补，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．5．（2022·全国·八年级专题练习）如图，点B ，C ，E 在同一直线上，且AC CE =，90B D Ð=Ð=°，AC CD ^，下列结论不一定成立的是（ ）A ．2A Ð=ÐB ．90A E Ð+Ð=°C ．BC DE =D ．BCD ACEÐ=Ð【答案】D 【分析】根据直角三角形的性质得出∠A =∠2，∠1=∠E ，根据全等三角形的判定定理推出△ABC ≌△CDE ，再逐个判断即可．【详解】解：∵AC ⊥CD ，∴∠ACD =90°，∵∠B =90°，∴∠1+∠A =90°，∠1+∠2=90°，∴∠A =∠2，同理∠1=∠E ，∵∠D =90°，∴∠E+∠2=∠A+∠E=90°，在△ABC 和△CDE 中，2A B D AC CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，∴△ABC ≌△CDE （AAS ），∴BC DE =，∴选项A 、选项B ，选项C 都正确；根据已知条件推出∠A =∠2，∠E =∠1，但是∠1=∠2不能推出，而∠BCD =90°+∠1，∠ACE =90°+∠2，所以BCD ACE Ð=Ð不一定成立故选项D 错误；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理和直角三角形的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有：ASA ，SAS ，AAS ，SSS ，两直角三角形全等，还有HL ．6．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下结论错误的是（ ）A ．∠AOB =60°B ．AP =BQC ．PQ ∥AED ．DE =DP 【答案】D【分析】利用等边三角形的性质，BC ∥DE ，再根据平行线的性质得到∠CBE =∠DEO ，于是∠AOB =∠DAC +∠BEC =∠BEC +∠DEO =∠DEC =60°，得出A 正确；根据△CQB ≌△CPA （ASA ），得出B 正确；由△ACD ≌△BCE 得∠CBE =∠DAC ，加之∠ACB =∠DCE =60°，AC =BC ，得到△CQB ≌△CPA （ASA ），再根据∠PCQ =60°推出△PCQ 为等边三角形，又由∠PQC =∠DCE ，根据内错角相等，两直线平行，得出C 正确；根据∠CDE =60°，∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，可知∠DQE ≠∠CDE ，得出D 错误．【详解】解：∵等边△ABC 和等边△CDE ，∴AC =BC ，CD =CE ，∠ACB =∠DCE =60°，∴∠ACB +∠BCD =∠DCE +∠BCD ，即∠ACD =∠BCE ，在△ACD 与△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE =∠DAC ，又∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，即∠ACP =∠BCQ ，又∵AC =BC ，在△CQB 与△CPA 中，ACP BCQ AC BCPAC CBQ Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴△CQB ≌△CPA （ASA ），∴CP =CQ ，又∵∠PCQ =60°可知△PCQ 为等边三角形，∴∠PQC =∠DCE =60°，∴PQ ∥AE ，故C 正确，∵△CQB ≌△CPA ，∴AP =BQ ，故B 正确，∵AD =BE ，AP =BQ ，∴AD -AP =BE -BQ ，即DP =QE ，∵∠DQE =∠ECQ +∠CEQ =60°+∠CEQ ，∠CDE =60°，∴∠DQE ≠∠CDE ，故D 错误；∵∠ACB =∠DCE =60°，∴∠BCD =60°，∵等边△DCE ，∠EDC =60°=∠BCD ，∴BC ∥DE ，∴∠CBE =∠DEO ，∴∠AOB =∠DAC +∠BEC =∠BEC +∠DEO =∠DEC =60°，故A 正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，利用旋转不变性，解题的关键是找到不变量．二、填空题7．（2022·全国·八年级课时练习）如图，90B D Ð=Ð=°，AB AD =，130BAD Ð=°，则DCA Ð=______°．8．（2020·北京·中考真题）在V ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上（不与点B ，C 重合）．只需添加一个条件即可证明V ABD ≌V ACD ，这个条件可以是________（写出一个即可）【答案】∠BAD=∠CAD （或BD=CD ）【分析】证明V ABD ≌V ACD ，已经具备,,AB AC AD AD == 根据选择的判定三角形全等的判定方法可得答案．【详解】解：,,AB AC AD AD ==Q\ 要使,ABD ACD V V ≌则可以添加：∠BAD=∠CAD ，此时利用边角边判定：,ABD ACD V V ≌或可以添加：,BD CD =此时利用边边边判定：,ABD ACD V V ≌故答案为：∠BAD=∠CAD 或（.BD CD =）【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，属开放性题，掌握三角形全等的判定是解题的关键．9．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点D 、A 、E 在直线m 上，AB =AC ，BD ⊥m 于点D ，CE ⊥m 于点E ，且BD =AE ．若BD =3，CE =5，则DE =____________【答案】8【分析】根据BD ⊥m ，CE ⊥m ，得∠BDA =∠CEA =90°，再结合已知AB =AC ，BD =AE 可推出Rt △ADB ≌Rt △CEA ，最后由全等三角形的性质，即可计算出结果．【详解】解：∵BD ⊥m ，CE ⊥m ，∴∠BDA =∠CEA =90°，在Rt △ADB 和Rt △CEA 中，∵AB =AC ，BD =AE ，∴Rt △ADB ≌Rt △CEA （HL ），∵BD =3，CE =5，∴AE =BD =3，AD =CE =5，∴DE = AD + AE =8．故答案为：8．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握利用HL 判定直角三角形的全等是解题的关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝CB ，F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，且AE ＝CF ，若∠CAE ＝29°，则∠ACF 的度数为________°．【答案】61【分析】由“HL”可证Rt△ABE≌Rt△CBF，可得∠BAE＝∠BCF＝16°，即可求解．【详解】解：∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，∴∠BAC＝∠BCA＝45°，∵∠CAE＝29°，∴∠BAE＝16°，在Rt△ABE和Rt△CBF中，AB BC AE CF=ìí=î，∴Rt△ABE≌Rt△CBF（HL），∴∠BAE＝∠BCF＝16°，∴∠ACF＝∠BCA＋∠BCF＝61°，故答案为：61．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△ABE≌Rt△CBF是本题的关键．11．（2021·广东·深圳市龙岗区木棉湾实验学校八年级阶段练习）如图，△ABC的面积为25cm2，BP平分∠ABC，过点A作AP⊥BP于点P，则△PBC的面积为________；∵BP 平分ABC Ð，∴ABP EBP Ð=Ð．∵AP BP ^，12．（2022·全国·八年级专题练习）如图，BD 是△ABC 的中线，E 为A B 边上一点，且:2:1AE EB =，连接CE 交BD 于F ，连接AF 并延长交BC 于点G ，则:BGF ADF S S =△△______．【答案】1:3【分析】作//DK EC ，交AB 于K ，作//DH BC ，交AG 于H ．通过平行线的性质证明AH GH =，GF FH =，3AH HF =，即可求出:1:3BGF ADF S S D D =．【详解】解：作//DK EC ，交AB 于K ，作//DH BC ，交AG 于H ，BD Q 是ABC D 的中线，AD CD \=，AK EK \=，AH GH =，:2:1AE EB =Q ，EB EK AK \==，//EF DK Q ，BF DF \=，//DH BC Q ，GBF HDF \Ð=Ð，在GBF D 和HDF D 中，GBF HDF BF DF BFG DFH Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，()GBF HDF ASA \D @D ，GF HF \=，BGF DHF S S D D =，AH GH =Q ，3AH HF \=，33ADF DHF BGF S S S D D D \==，:1:3BGF ADF S S D D \=，故答案为：1:3．【点睛】本题考查三角形的面积，三角形全等，平行线的性质，等高模型等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．三、解答题13．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，D 是AB 边上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ．求证：FC //AB ．【答案】见解析【分析】由DE =FE ，AE =CE ，易证得△ADE ≌△CFE ，即可得∠A =∠ECF ，则可证得FC ∥AB ．【详解】证明：在△ADE 和△CFE 中，DE FE AED CEF AE CE =ìïÐ=Ðíï=î，∴△ADE ≌△CFE （SAS ），∴∠A =∠ECF ，∴FC //AB ．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．14．（2022·江苏·八年级课时练习）已知：如图AD 为△ABC 的高，E 为AC 上一点BE 交AD 于F 且有BF ＝AC ，FD ＝CD ．求证：Rt △BFD ≌Rt △ACD ．【答案】证明见解析【分析】由题意可知BFD △和ACD △都为直角三角形，即可直接利用“HL ”证明BFD ACD @△△．【详解】证明：∵AD 是ABC V 的高，∴AD BC ^，即BFD △和ACD △都为直角三角形．∴在Rt BFD V 和Rt ACD △中BF AC FD CD =ìí=î，∴()BFD ACD HL @V V ．【点睛】本题考查全等三角形的判定；掌握判定三角形全等的方法是解答本题的关键．15．（2022·陕西·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，CD =AB ，DE ∥AB ，∠DCE =∠A ．求证：DE =BC ．【答案】证明见解析【分析】利用角边角证明△CDE ≌△ABC ，即可证明DE =BC ．【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠EDC =∠B ．又∵CD =AB ，∠DCE =∠A ，∴△CDE ≌△ABC (ASA)．∴DE =BC ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键．16．（2021·广东广州·中考真题）如图，点E 、F 在线段BC 上，//AB CD ，A D Ð=Ð，BE CF =，证明：AE DF =．【答案】见解析【分析】利用AAS 证明△ABE ≌△DCF ，即可得到结论．【详解】证明：∵//AB CD ，∴∠B =∠C ，∵A D Ð=Ð，BE CF =，∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE DF =．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．17．（2021·全国·八年级专题练习）如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE,求证：AE ＝DE.【答案】见解析【分析】利用SSS 证明△ABC ≌△DCB ，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB ，再由SAS 定理证明△ABE ≌△CED ，即可证得AE=DE ．【详解】证明：在△ABC 和△DCB 中，AB DC AC DB BC CB ìïíïî＝＝＝ ，∴△ABC ≌△DCB （SSS ）．∴∠ABC=∠DCB ．在△ABE 和△DCE 中，AB DCABC DCB BE CE ＝＝＝ìïÐÐíïî，∴△ABE ≌△DCE （SAS ）．∴AE=DE ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．18．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，V ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE ⊥AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断V BEG的形状，并说明理由．。

北京课改版数学八年级上册12.5《全等三角形的判定》课时练习一、选择题1.如图，AD，BC相交于点O，OA=OD，OB=OC．下列结论正确的是（）A．△AOB≌△DOC B．△ABO≌△DOC C．∠A=∠C D．∠B=∠D2.如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是（）A．AC=BD B．∠CAB=∠DBA C．∠C=∠D D．BC=AD3.如图，△ABC和△DEF中，AB=DE、∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）A.AC∥DFB.∠A=∠DC.AC=DFD.∠ACB=∠F4.如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上.正确的是（）A.①B.②C.①②D.①②③5.如图，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，AC=DE，AB=BD，则下列说法不正确的是（）A.BC=BEB.∠BAC=∠BDEC.AE=CDD.∠BAC=∠ABC6.如图，在△ABC中，AB=AC，点E，F是中线AD上两点，则图中可证明为全等三角形的有( )A.3对B.4对C.5对D.6对7.如图．从下列四个条件：①BC=B′C，②AC=A′C，③∠A′CA=∠B′CB，④AB=A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8.在如图所示的5×5方格中,每个小方格都是边长为1的正方形,△ABC是格点三角形（即顶点恰好是正方形的顶点），则与△ABC有一条公共边且全等的所有格点三角形个数是（）A.1B.2C.3D.4二、填空题9.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，请增加一个条件，使△ABC≌△AED，你添加的条件是．10.要测量河两岸相对的两点A，B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C，D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A，C，E在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此测得ED的长就是AB的长，判定△EDC≌△ABC最恰当的理由是11.已知△ABC的三边长分别为5，7，8，△DEF的三边分别为5，2x，3x﹣5，若两个三角形全等，则x= ．12.如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=5cm，则DE的长是．13.如图，已知△ABC三个内角的平分线交于点O，点D在CA的延长线上，且DC=BC，AD=AO，若∠BAC=80°，则∠BCA的度数为．14.如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．三、解答题15.已知：如图AC，BD相交于点O，∠A=∠D，AB=CD，求证：△AOB≌△DOC．16.如图，已知△ABC中，∠1=∠2，AE=AD，求证：DF=EF．17.如图，AB=AD，AC=AE，∠1=∠2．求证：BC=DE．18.如图，已知AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°，试判断CD与BE的大小关系和位置关系，并进行证明.参考答案1.A2.A3.C．4.D.5.D；6.D；7.B8.C9.答案为：AE=AB．10.答案为：ASA11.答案为：4；12.答案为：2cm．13.答案为：60°．14.答案为：相等或互补．15.证明：在△AOB和△DOC中，，所以，△AOB≌△DOC（AAS）．16.证明：在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AB=AC，∵AE=AD，∴AB﹣AD=AC﹣AE，即BD=CE，在△BDF和△CEF中，，∴△BDF≌△CEF（AAS），∴DF=EF．17.证明：∵∠1=∠2，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC．即：∠BAC=∠DAE．在△ABC与又△ADE中，，∴△ABC≌△ADE．∴BC=DE．18.证明：CD=BE，CD⊥BE，理由如下：因为∠BAD=∠CAE=90°，所以∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC.因为，所以△BAE≌△DAC(SAS).所以BE=DC，∠BEA=∠DCA.如图，设AE与CD相交于点F，因为∠ACF+∠AFC=90°，∠AFC=∠DFE，所以∠BEA+∠DFE=90°.即CD⊥BE.。

在证明线段相等或者角相等时,常见的方法是通过证明线段或角所在的三角形全等来证明线段或者角相等.但有的时候,根据题目条件无法简单地通过一次全等证明来得到最终的结论,这时就需要证明两次三角形全等,即证明图中的两对三角形全等.这种方法较多见于对称型全等和旋转型全等的题目中.第2节 二次全等一、典型例题[例]图2-1是某产品商标的示意图,已知AB ＝CD,∠A ＝∠D,有人认为△ABC ≌△DCB,他的思考过程是:∵AB ＝CD,∠A ＝∠D,BC ＝CB,∴△ABC ≌△DCB.你认为这个思考过程对吗？如果正确,请指出他用的是判定三角形全等的哪个定理？如果不正确,请写出你的思考过程.解:他的思考过程不正确.在△ABE 和△DCE 中,∵{∠AEB =∠DEC∠A =∠D AB =DC∴△ABE ≌△DCE （AAS ）.∴AE ＝DE,BE ＝CE.∴AE+EC ＝DE+EB,即AC ＝BD.在△ABC 和△DCB 中,∴{AC =BDAB =DC BC =CB∴△ABC ≌△DCB （SSS ）.二、分层练习1.如图2-2所示,点A,E,C 在一条直线上,∠1＝∠2,∠3＝∠4.求证:△ABE ≌△ADE.图2-22143E B2.如图2-3所示,点A,E,F,C 在一条直线上,AE ＝CF,分别过点E,F 作DE ⊥ AC,BF ⊥AC,连接AB,CD,且AB ∥CD,连接BD 交AC 于点C.求证:△DEG ≌△BFG.3.如图2-4所示,AB ＝AC,DB ＝DC,F 是AD 延长线上的一点.求证:BF ＝CF.4.如图2-5所示,AE 是∠BAC 的角平分线,EB ⊥AB 于点B,EC ⊥AC 于点C,点D 是AE 上一点.求证:BD ＝CD.5.如图2-6所示,DE ⊥AC,BF ⊥AC,AD ＝BC,DE ＝BF.求证:AB ∥DC.图2-3C图2-4图2-5图2-66.如图2-7所示,点E,F 在BD 上,且AB ＝CD,BF ＝DE,AE ＝CF.求证:AO ＝CO.7.如图2-8所示,AB 之间有一条河.想要测量AB 的长,但无法过河接近点A,于是在AB 外任取一点D,在AB 的延长线上任取一点E,连接ED 和BD,并延长BD 到点G,使DG ＝DB,延长ED 到点F,使DF ＝DE,连接FG,并延长FG 到点H,使点H,D,A 在一条直线上,则HG ＝AB.试说明这种测量方法的原理.8.如图2-9所示,在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,∠ABC ＝∠ADE ＝90°,BC 与DE 相交于点F,且AB ＝AD,AC ＝AE,连接CD,EB.求证:(1)∠CAD ＝∠EAB;（2）CF ＝EFDH图2-8图2-99.如图2-10所示,在等边△ABC 内取一点D,使DA ＝DB,在△ABC 外取一点E,使∠DBE ＝∠DBC,且BE ＝BA,则∠BED ＝_______°.10.如图2-11所示,∠BAC 是钝角,AB ＝AC,点D,E 分别在AB,AC 上,且CD ＝BE.试说明:∠ADC ＝∠AEB.一个同学的解法是这样的: 在△ACD 和△ABE 中, ∵{AB =AC BE =CD ∠BAE =∠CAD ∴△ABE ≌△ACD.∴∠ADC ＝∠AEB.这种解法遭到了其他同学的质疑.理由是错在不能用“SSA ”判定三角形全等.请你给出正确的解法.图2-10E D CB A E DC B A答案解析1.证明:在△DEC和△BEC中,{∠1=∠2 EC=EC ∠3=∠4∴△DEC≌△BEC（ASA）.∴DE＝BE.∵∠3＝∠4,∴∠DEA＝∠BEA.在△ABE和△ADE中,{AE=AE∠AEB=∠AED BE=DE∴△ABE≌△ADE（SAS）.2.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AFB＝90°＝∠CED. ∵AE＝CF,∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.∵AB∥CD,∴∠A＝∠C.在△ABF和△CDE中,{∠A=∠CAF=CE∠AFB=∠CED∴△ABF≌△CDE（ASA）.∴DE＝BF.在△BFG和△DEG中,{∠BFG=∠DEG ∠BGF=∠DGE BF=DE∴△BFG≌△DEG（AAS）.3.证明:在△ABD和△ACD中,{AB=ACBD=CDAD=AD ∴△ABD≌△ACD（SSS）.∴∠BAD＝∠CAD.在△BAF和△CAF中,{AB=AC∠BAF=∠CAFAF=AF∴△BAF≌△CAF（SAS）.∴BF＝CF.4.证明:∵AE是∠BAC的角平分线, ∴∠CAE＝∠BAE. ∵EB⊥AB,EC⊥AC, ∴∠ECA＝∠EBA＝90°.在△CAE和△BAE中,{∠CAE=∠BAE ∠ECA=∠EBA AE=AE∴△CAE≌△BAE（AAS）.∴AC＝AB.在△CAD和△BAD中,{AC=AB ∠CAD＝∠BAD AD=AD∴△CAD≌△BAD（SAS）.∴BD＝CD.5.证明:∵DE⊥AC,BF⊥AC, ∴∠AED＝∠CFB＝90°, ∠AFB＝∠CED＝90°,在Rt△ADE和Rt△CBF中,∵{AD=CBDE=BF∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）.∴AE＝CF.∴AE+EF＝CF+FE,即AF＝CE.在△AFB和△CED中,∵{AF=CE∠AFB=∠CED DE=BF∴△AFB≌△CED（SAS）.∴∠BAF＝∠DCE.∴AB∥DC.∴AO＝CO.6.证明:∵BF＝DE, ∴BF-EF＝DE-FE,即BE＝DF.在△ABE和△CDF中,{AB=CD AE=CF BE=DF∴△ABE≌△CDF（SSS）.∴∠B＝∠D.在△AOB和△COD中,{∠AOB=∠COD ∠B=∠DAB=CD∴△AOB≌△COD（AAS）.7.解:在△BED 和△GFD 中, {DB =DG ∠BDE =∠GDF DE =DF∴△BED ≌△GFD （SAS ）.∴∠EBD ＝∠FGD.∴∠ABD ＝∠HGD.在△ABD 和△HGD 中,{∠ABD =∠HGDBD =GD∠BDA =∠GDH∴△ABD ≌△HGD （ASA ）.∴HG ＝AB.8.证明:（1）在Rt △ABC 和Rt △ADE 中,{AC =AE AB =AD∴Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）.∴∠BAC ＝∠DAE.∴∠BAC-∠DAB ＝∠DAE-∠DAB,即∠CAD ＝∠EAB.（2）在△ACD 与△AEB 中,{AC =AE ∠CAD =∠EAB AD =AB∴△ACD ≌△AEB （SAS ）.∴CD ＝BE,∠ACD ＝∠AEB.∵Rt △ABC ≌Rt △ADE （HL ）, ∴∠ACB ＝∠AED.∴∠ACB-∠ACD ＝∠AED-∠AEB,即∠DCF ＝∠BEF.又∵∠DFC ＝∠BFE, ∴△DFC ≌△BFE （AAS ）.∴CF ＝EF.9.解:如图2所示,连接CD.∵△ABC 是等边三角形, ∴AB ＝BC ＝CA.∵BE ＝BA,BA ＝BC, ∴BE ＝BC.在△BDC 和△BDE 中,{BD =BD ∠DBE =∠DBC BE =BC∴△BDC ≌△BDE （SAS ）.∴∠BED ＝∠BCD.在△BCD 和△ACD 中,{BC =AC BD =AD CD =CD∴△BCD ≌△ACD （SSS ）.∴∠BCD ＝∠ACD ＝30°.∴∠BED ＝30°.C10.证明:因为∠BAC 是钝角,故过点B,C 分别作CA,BA 的垂线,垂足分别为点F, G,如图3所示.在△ABF 和△ACG 中,{∠F =∠G =90°∠FAB =∠GAC AC =AB∴△ABF ≌△ACG （AAS ）.∴BF ＝CG.在Rt △BEF 和Rt △CDG 中,{BF =CGBE =CD ∴Rt △BEF ≌Rt △CDG （HL ）.∴∠ADC ＝∠AEB.。

京改版八年级上册数学第十二章三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、下列长度（单位：cm）的三条线段能组成三角形的是（）A.5，5，13B.1，2，3C.5，7，12D.11，12，132、如图，在Rt△ABC中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA= ；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π.其中正确的是（）A.①②B.①②③C.①③④D.①②④3、△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC的形状是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定4、如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tan∠MCN=（）A. B. C. D. ﹣25、有A，B，C三个社区(不在同一直线上)，现准备修建一座公园，使该公园到三个社区的距离相等，那么公园应建在下列哪个位置上？( )A.△ABC三条角平分线的交点处B.△ABC三条中线的交点处C.△ABC三条高的交点处D.△ABC三边垂直平分线的交点处6、在正方形网格中△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（）A. B. C. D.7、如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A.△EHDB.△EGFC.△EFHD.△HDF8、下列图形“线段、角、等腰三角形、平行四边形、圆”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个9、如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A 6B6A7的边长为（）A.6B.12C.32D.6410、如图，已知一商场自动扶梯的长l为13米，高度h为5米，自动扶梯与地面所成的夹角为θ，则tanθ的值等于（）A. B. C. D.11、将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的一组是（）A.2、4、6B.4、6、8C.8、10、12D.6、8、1012、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.13、如图1，每个小正方形的边长均为1，按虚线把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分重新拼成如图2所示的正方形，那么所拼成的正方形的边长为（）A. B.2 C. D.14、下列图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A. B. C. D.15、下列各组图形中不一定相似的是( )A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是105°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，△ABC是边长为4等边三角形，以点B为圆心，1为半径作圆，点P 为⊙B上一点，过点P作⊙B的切线交AC于Q，连接BQ，则PQ的最小值为________.17、如图，在中，，点在边上，DA=DB，，垂足为，若，则线段BC的长为________.18、如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP长为半径画弧交BC于点D，连接PD，如果PO ＝PD，那么AP的长是________.19、如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若，则图中阴影部分面积是________.20、如图，△ABC的两条高线AD，BE交于点F，∠BAD=45°，∠C=60°，则∠ABF的度数为________.21、如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC=75°，BC=cm，则OC的长为________cm．22、小芳同学有两根长度为4cm、10cm的木棒，她想钉一个三角形相框，桌上有五根木棒供她选择（如图所示），从中任选一根，能钉成三角形相框的概率是________．23、如图，△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，BE⊥AC，AF⊥BC，则∠EFC=________°．24、在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．25、如图，等边中，和分别是和边上的高，且相交于点，则度数为 ________ .三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，点A、B、C、D均在小正方形的顶点上。

《全等三角形》习题典例分析例1如图13.4—6所示，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，指出其他的对应边和对应角.思路分析：可以先将两个三角形分离出来(这一步可以在草稿纸上完成)，再根据题设找出对应边和对应角.解：∵∠l＝∠2，∠B＝∠C，∴另一组对应角为∠BAE和∠CAD，∵∠1和∠2对应边为AB和AC，∠B和∠C的对应边为AE和AD，∴它们的对应边为AB和AC，AE和AD，BE和CD.例2用同样粗细、同样材料的金属粗线制作两个全等的三角形，如图13.4—7所示，△ABC 和△DEF.已知∠B＝∠E，AC的质量是25千克，求DF的质量.思路分析：因为两个三角形全等，所以它们的对应边相等，又因为构成三角形的金属材料是同样粗细、同样材料的，所以对应边的质量就相等.解：∵△ABC≌△DEF，∠B＝∠E，∴∠B和∠E是对应角，∴AC、DF是对应边，∵AC 的质量是25千克，∴DF的质量是25千克.例3如图13.4—8所示，点ADCF在同一条直线上，△ABC≌△FED，试说明：AB∥EF.思路分析：要说明AB∥EF，需要找同位角、内错角相等或同旁内角互补.题中有三角形全等，可得对应角相等，由此可解决问题.解：∵△ABC≌△FED，∴∠A＝∠F，∴AB∥EF.规律总结善于总结★触类旁通1 方法点拨：在识别全等三角形的对应边和对应角时，先结合图形判断已知条件中的“△ABE≌△ACD”是否按对应顶点的顺序写，若顺序正确，则按相应的书写位置就是对应顶点.2 方法点拨：本题是利用全等三角形的性质解题.由于构成三角形的材料和粗细相同，长度相等，所以质量相等.3 方法点拨：从求证出发寻找所需条件，再从已知中得到所获结论，找到解决问题的办法.。

12.5 全等三角形的判定（1） (练) 一．选择题1. 如图，已知∠BAD=∠CAD，再从下列条件中选一个能用“ASA”证明△ABD≌△ACD的选法是（）A．∠ADB=∠ADC B．∠B=∠C C．DB=DC D．AB=AC【答案】A．【解析】由∠BAD=∠CAD，AD=AD，∠ADB=∠ADC，根据ASA能推出△ABD≌△ACD．故选：A．考点：全等三角形的判定．2. 如图，O是AB的中点，要使通过角边角（ASA）来判定△OAC≌△OBD需要添加一个条件，下列条件正确的是（）A．∠A=∠B B．AC=BD C．∠C=∠D D．CO=DO答案：A．【解析】添加∠A=∠B，∵O是AB的中点，∴AO=BO，在△ACO和△BDO中，A BAO BOCOA BOD∠=∠∠⎩∠⎧⎪⎨⎪＝＝，∴△OAC≌△OBD（AAS），故选：A．考点：全等三角形的判定．3. 在△ABC和△EFD中，已知∠C=∠D，∠B=∠E，要用“ASA”判断这两个三角形全等，还需要条件是（）A．∠A=∠F B．AB=FD C．BC=ED D．AB=ED【答案】C．【解析】如图所示：由题意得，∠C=∠D，∠B=∠E，要用“ASA”判断两三角形全等，还需要BC=ED．故选C．考点：全等三角形的判定．4.如图，∠1=∠2，BC=EF，能用“ASA”判定△ABC≌DEF的条件是（）A．∠B=∠E B．AC=DF C．∠A=∠D D．AB=DF【答案】A．【解析】∵∠B=∠E，BC=EF，∠1=∠2，∴△ABC≌DEF（ASA）．故选A．考点：全等三角形的判定．5．如图，一块三角形的玻璃打碎成了三块，某同学要到玻璃店配一块与此玻璃一样形状、大小完全一样的玻璃，最省事的办法是带哪一块去（）A．① B．② C．③ D．不能确定答案：C．【解析】第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去．故选C．考点：全等三角形的判定．6.如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，要使△ABC≌△DEF，还需增加的条件是（）A．AB=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．CB=DE【答案】B．【解析】增加的条件是：AC=DF，在△ABC和△DEF中，∵A DAC DFC F∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝，∴△ABC≌△DEF（ASA）．故选B．考点：全等三角形的判定．二、填空题7.如图，AD和CB相交于点E，BE=DE，请添加一个条件，能用“ASA”判定△A BE≌△CDE（只添一个即可），你所添加的条件___________．【答案】∠B=∠D．【解析】添加∠B=∠D，在△ABE和△CDE中，∵AEB CEDBE DEB D∠∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩＝，∴△ABE≌△CDE（SAS），故答案为：∠B=∠D．考点：全等三角形的判定．8.如图，四边形ABCD中，∠1=∠2，请你补充一个条件__________，能用“ASA”判定△ABC≌△CDA．【答案】∠BAC=∠DCA．【解析】由题意知，已知条件是△ABC与△CDA对应角∠1=∠2、公共边AC=CA，所以根据全等三角形的判定定理ASA来证△ABC≌△CDA时，需要添加的条件是∠BAC=∠DCA；故答案可以是：∠BAC=∠DCA．考点：全等三角形的判定．9. 如图，点B 、E 、C 、F 在一条直线上，AB ∥DE ，且AB=DE ，请添加一个条件__________，能用“ASA ”判定△ABC ≌△DEF ．【答案】4．【解析】添加条件为∠A=∠D ．理由如下：∵AB ∥DE ，∴∠B=∠DEF ．∵在△ABC 和△DEF 中，A D AB DE B DEF ∠∠⎧⎪⎪⎩∠∠⎨＝＝＝，∴△ABC ≌△DEF （ASA ）．故答案是：∠A=∠D ．考点：全等三角形的判定．10．如图，AB=AC ，要使△ABE ≌△ACD ，依据ASA ，应添加的一个条件是．【答案】∠C=∠B ．【解析】添加∠C=∠B ，在△ACD 和△ABE 中，A A AB AC C B ∠∠∠⎧⎪∠⎪⎨⎩＝＝＝，∴△ABE ≌△ACD （ASA ）．故答案为：∠C=∠B ．考点：全等三角形的判定．三、解答题11.如图，已知OB=OC ，∠B=∠C ，求证：△ABO ≌△DC O ．【答案】见解析． 【解析】在△ABO 和△DCO 中，OB OC AOB DOC B C ∠∠∠⎧⎪∠⎪=⎨⎩＝＝，∴△ABO ≌△DCO （ASA ）．考点：全等三角形的判定．12.如图：已知：∠1=∠2，AC=AF ，∠C=∠F ．求证：△ABC ≌△AEF ．【答案】见解析．【解析】∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC ，∴∠BAC=∠EAF ，在△ABC 和△AEF 中，BAC EAF AC AFC F ∠∠⎪⎪⎩∠∠⎧⎨＝＝＝，∴△ABC ≌△AEF （ASA ）．考点：全等三角形的判定．。