数学苏教版选修1-1作业：第1章1.1.2 充分条件和必要条件

2021年高中数学 1.1.2充分条件和必要条件同步练习（含解析）苏教版选修1-1课时目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.2.会求(判定)某些简单命题的条件关系．1．如果已知“若p ，则q ”为真，即p ⇒q ，那么我们说p 是q 的____________，q 是p 的______________．2．如果p ⇒q ，且q ⇒p ，就记作__________．这时p 是q 的______________条件，简称________条件，实际上p 与q 互为________条件．如果pq 且qp ，则p 是q 的________________________条件．一、填空题1．“x >0”是“x ≠0”的____________条件．2．对于三个集合A ，B ，C ，条件A ⊆B ，B ⊆C ，C ⊆A 是A ＝B ＝C 的________条件．3．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的____________条件．4．“k ＝1”是“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的____________条件．5．a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的____________条件．6．α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的____________条件． 7．不等式(a ＋x )(1＋x )<0成立的一个充分而不必要条件是－2<x <－1，则a 的取值范围是________．8．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是__________．二、解答题9．下列命题中，判断条件p 是条件q 的什么条件：(1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y .(2)p ：△ABC 是直角三角形，q ：△ABC 是等腰三角形；(3)p ：四边形的对角线互相平分，q ：四边形是矩形．10.已知P ＝{x |a －4<x <a ＋4}，Q ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，若x ∈P 是x ∈Q 的必要条件，求实数a 的取值范围．能力提升11．记实数x 1，x 2，…，x n 中的最大数为max{x 1，x 2，…，x n }，最小数为min {}x 1，x 2，…，x n .已知△ABC 的三边边长为a ，b ，c (a ≤b ≤c )，定义它的倾斜度为l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ， 则“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的____________条件．12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝(n ＋1)2＋c ，探究{a n }是等差数列的充要条件．1．判断p 是q 的什么条件，常用的方法是验证由p 能否推出q ，由q 能否推出p ，对于否定性命题，注意利用等价命题来判断．2．证明充要条件时，既要证明充分性，又要证明必要性，即证明原命题和逆命题都成立，但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立．“A 的充要条件为B ”的命题的证明：A ⇒B 证明了必要性；B ⇒A 证明了充分性．“A 是B 的充要条件”的命题的证明：A ⇒B 证明了充分性；B ⇒A 证明了必要性．1.1.2 充分条件和必要条件知识梳理1．充分条件 必要条件2．p ⇔q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要作业设计1．充分不必要解析 对于“x>0”⇒“x≠0”，反之不一定成立．因此“x>0”是“x≠0”的充分不必要条件．2．充要解析 由A ⊆B ，B ⊆C ，得A ⊆C ；又因C ⊆A ，所以A ＝C ，同理得A ＝B.由A ＝B ＝C ，得A ⊆B ，B ⊆C ，C ⊆A.3．必要不充分解析 因为NM.所以a∈M 是a∈N 的必要而不充分条件．4．充分不必要解析 把k ＝1代入x －y ＋k ＝0，推得“直线x －y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”；但“直线x －y ＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”不一定推得“k＝1”．故“k＝1”是“直线x －y＋k ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交”的充分不必要条件．5．充分不必要解析 当a<0时，由韦达定理知x 1x 2＝1a<0，故此一元二次方程有一正根和一负根，符合题意；当ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根时，a 可以为0，因为当a ＝0时，该方程仅有一根为－12，所以a 不一定小于0.由上述推理可知，a<0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的充分不必要条件．6．充分不必要解析 ∵当α＝π6＋2k π(k ∈Z )时， cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4k π＝12， ∴“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”是“cos 2α＝12”的充分条件．而当α＝－π6时，cos 2α＝12， 但不存在k ∈Z 使得－π6＝π6＋2k π， ∴“α＝π6＋2k π(k ∈Z )”不是“cos 2α＝12”的必要条件． 7．a >2解析 不等式变形为(x ＋1)(x ＋a )<0，因当－2<x <－1时不等式成立，所以不等式的解为－a <x <－1.由题意有(－2，－1)(－a ，－1)，∴－2>－a ，即a >2.8．b ≥－2a解析 由二次函数的图象可知当－b 2a≤1，即b ≥－2a 时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在[1，＋∞)上单调递增．9．解 (1)∵|x |＝|y |x ＝y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |，∴p 是q 的必要不充分条件．(2)△ABC 是直角三角形△ABC 是等腰三角形．△ABC 是等腰三角形△ABC 是直角三角形．∴p 既不是q 的充分条件，也不是q 的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p 是q 的必要不充分条件．10．解 由题意知，Q ＝{x |1<x <3}，Q ⇒P ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤1a ＋4≥3，解得－1≤a ≤5.∴实数a 的取值范围是[－1,5]．11．必要不充分解析 当△ABC 是等边三角形时，a ＝b ＝c ，∴l ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ·min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝1×1＝1. ∴“l ＝1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件．∵a ≤b ≤c ，∴max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝c a. 又∵l ＝1，∴min ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a b ，b c ，c a ＝a c， 即a b ＝a c 或b c ＝a c， 得b ＝c 或b ＝a ，可知△ABC 为等腰三角形，而不能推出△ABC 为等边三角形． ∴“l ＝1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件．12．解 当{a n }是等差数列时，∵S n ＝(n ＋1)2＋c ，∴当n ≥2时，S n －1＝n 2＋c ，∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝2为常数．又a 1＝S 1＝4＋c ，∴a 2－a 1＝5－(4＋c )＝1－c ，∵{a n }是等差数列，∴a 2－a 1＝2，∴1－c ＝2.∴c ＝－1.反之，当c ＝－1时，S n ＝n 2＋2n ，可得a n ＝2n ＋1 (n ≥1)为等差数列，∴{a n }为等差数列的充要条件是c ＝－1.33431 8297 芗31199 79DF 租 m31645 7B9D 箝36026 8CBA 貺37896 9408 鐈[p 28435 6F13 漓•G40129 9CC1 鳁34324 8614 蘔。

1.1.2 充分条件和必要条件学习目标：1.理解充分条件、必要条件的意义；2.会判断所给的条件是充分条件还是必要条件．问题导学：问题1：阅读并思考下面问题：（1）x＝y⇒x2＝y2，但是x2＝y2x＝y；（2）x2＞1 x＞1，但是x＞1⇒x2＞1；（3）两个三角形相似⇒两个三角形对应角相等．反之，两个三角形对应角相等⇒两个三角形相似．思考：上述命题中，条件与结论有什么关系？问题2：通过自主学习，你能填写以下内容吗？一般地，自主检测：从“⇒”、“”、“⇔”中选择适当的符号填空．（1）x2＞1 x＞1（2）a，b都是偶数a＋b是偶数（3）n是2的倍数n是4的倍数典型例题：例1 指出下列命题中， p 是q 的什么条件．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中选出一种）（1）p ： x －1＝0，q ：（x －1）（x ＋2）＝0；（2）p ：两直线平行，q ：内错角相等；（3）p ：a ＞b ，q ：a 2＞b 2 ；（4）p ：四边形的四条边相等，q ：四边形是正方形．例2 从“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空．（1）“a ＝b ”是“2a ＝2b ”的 ．（2）“ln a ＝ln b ”是“a ＝b ”的 ．（3）“两条直线不相交”是“这两条直线是异面直线”的 ．（4）“直线l 与平面α内无数条直线垂直”是“l ⊥α”的 ． 学习拓展问题：充要条件判断的常用方法有哪些？例：若b a ,都是实数，则①0>ab ；②0>+b a ；③0=ab ；④0=+b a ； ⑤022>+b a ；⑥022=+b a 中，使b a ,不都为0的充分条件是 当堂检测：1 从 “充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分又不必要条件”中，选出适当的一种填空. （1）“1->x ”是“12>x ”的 ．[来源:学科网ZXXK]（2）“22b a =”是“a ＝b ”的 ．（3）“1>a ”是“11<a ”的 ． （4）在ABC ∆中，“B A >”是“B A sin sin >”的 ．。

2019-2020学年苏教版数学精品资料课题：1.1.2 充分条件与必要条件班级：姓名：学号：第学习小组【学习目标】1、正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．2、交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础．【课前预习】创设情境[ 当某一天你和你的妈妈在街上遇到老师的时候，你向老师介绍你的妈妈说：“这是我的妈妈”.那么，大家想一想这个时候你的妈妈还会不会补充说：“你是她的孩子”呢？不会了！为什么呢？因为前面你所介绍的她是你的妈妈就足于保证你是她的孩子.那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？问题1：前面讨论了“若p则q”形式的命题的真假判断，请同学们判断下列命题的真假，并说明条件和结论有什么关系？（1）若x＝y，则x2＝y2（2）若ab = 0，则a = 0（3）若x2>1，则x>1（4）若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0推断符号“”“”的含义简单地说，“若p则q”为真，记作p q（或q p）；“若p则q”为假，记作p q（或q p）.一般地，如果已知p q，那么就说：p是q的；同时称q是p的；如果p q，且q p，那么就说：p是q的，简称为p是q的；如果p q，且q p，那么称p是q的；如果p q，且q p，那么就说：p是q的；如果p q，且q p，那么就说：p是q的；【课堂研讨】例1.指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：（1） p：x-1=0；q：(x-1)(x+2)=0.（2） p：两条直线平行；q：内错角相等.（3） p：a>b；q：a2>b2（4）p：四边形的四条边相等；q：四边形是正四边形例2. 如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆 B. 请回答：⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色”中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么条件；“B为绿色”又是“A为绿色”的什么条件.⑵命题：若“红点在B内”，则“红点一定在A内”中，“红点在B内”是“红点在A 内”的什么条件；“红点在A内”又是“红点在B内”的什么条件.来源:]【学后反思】课题：1.1.2充分条件与必要条件检测案班级：姓名：学号：第学习小组【课堂检测】[来源:]1．用“充分”或“必要”填空，并说明理由：①“a 和b 都是偶数”是“a+b 也是偶数”的条件；[来源:]②“x ＞5”是“x ＞3”的条件；③“x3”是“|x|3”的条件；④““个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的条件；⑤“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的条件；⑥对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（其中a,b,c 都不为0）来说，“b 2-4ac0”是“这个方程有两个正根”的条件；2．设命题甲为：0＜x ＜5，命题乙为|x －2|＜3，那么甲是乙的条件;3．已知真命题“a ≥bc ＞d ”和“a ＜be ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的____条件．4．已知p ∶x 2-8x-20＞0，q ∶x 2-2x+1-a 2＞0。

1．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则m＝2是A∩B＝{4}的__________条件．2．已知向量a＝(x,1)，b＝(－x,4)，其中x∈R，则“a⊥b”是“x＝2”的__________条件．3．设a＞0，且a≠1，则“函数f(x)＝a x在R上是减函数”是“函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数”的__________条件．4．“α是锐角”是“cos α__________条件．5．对于函数y＝f(x)，x∈R，p：y＝|f(x)|的图象关于y轴对称是q：y＝f(x)是奇函数的__________条件．6．函数f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上是单调减函数的一个必要不充分条件是__________．7．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的__________条件．8．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的__________条件是c＝0.9．已知p是q的充要条件，r是q的必要不充分条件，则非p是非r的__________条件．10．下列命题中是真命题的是__________．(填序号)①若“x＜3”是“x＜m”的充分不必要条件，则m≥3；②函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)是偶函数的充要条件是φ＝kπ＋π2(k∈Z)；③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件；④已知a，b是实数，则“a＞0且b＞0”是“a＋b＞0且ab＞0”的充要条件．11．求证：y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)的充要条件是a＋b＋c＝0.12．求直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件．参考答案1.答案：充分不必要解析：当m＝2时，A＝{1,4}，满足A∩B＝{4}，但当A∩B＝{4}时，只需m2＝4，所以m＝±2.故m＝2是A∩B＝{4}的充分不必要条件.2.答案：必要不充分解析：当a⊥b时，－x2＋4＝0，即x＝±2，∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分条件.3.答案：充分不必要解析：由函数f(x)＝a x在R上是减函数可得0＜a＜1，由函数g(x)＝(2－a)x3在R上是增函数可得a＜2，因为0＜a＜1a＜2，a＜20＜a＜1，所以题干中前者为后者的充分不必要条件.4.答案：充分不必要解析：由cos αcos α≥0，∴2kπ－π2≤α≤2kπ＋π2，k∈Z.从而“α是锐角”是“cos α.5.答案：必要不充分解析：若y＝f(x)是奇函数，则y＝f(x)的图象关于原点对称，y ＝|f(x)|的图象关于y轴对称.若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，则y＝f(x)可以是偶函数，∴p是q的必要不充分条件.6.答案：a≥0(答案不惟一) 解析：f(x)＝x2－2ax＋1在(－∞，2]上递减的充要条件是a≥2，记A＝{a|a≥2}，寻求的条件B满足A B即可.7.答案：充分不必要解析：φ＝0时，f(x)＝cos x，f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数；若f(x)为偶函数，则f(0)＝±1，∴cos φ＝±1，∴φ＝kπ(k∈Z).∴是充分不必要条件8.答案：充要解析：若函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点，则f(0)＝0，即c＝0.若c＝0，则f(0)＝0，∴y＝f(x)的图象过原点.∴c＝0是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过原点的充要条件.9.答案：必要不充分解析：由已知p⇔q，q r，r q，∴p r，r p.∴r是p的必要不充分条件.∴非p是非r的必要不充分条件.10.答案：②④解析：①记A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜m}.由已知A B，∴m＞3.∴①为假命题，②是真命题.③易知x2＝1是x＝1的必要不充分条件，∴x≠1是x2≠1的必要不充分条件.∴③是假命题，④由不等式性质知是真命题.11.答案：证明：充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，代入y＝ax2＋bx＋c中得y＝ax2＋bx－a－b＝(x－1)(ax＋a＋b)，∴函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0).必要性：当y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1,0)时，将x＝1，y＝0代入得a×12＋b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.∴原命题成立.12.答案：解：由22303510x yx y--=⎧⎨-+=⎩，，得交点P171144⎛⎫⎪⎝⎭，.若直线l：ax－y＋b＝0经过点P，则a×174－114＋b＝0.∴ 17a＋4b＝11.设a，b满足17a＋4b＝11，则11174ab-=，代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋11174a-＝0，整理，得111744y a x⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.∴直线l：ax－y＋b＝0恒过点171144⎛⎫⎪⎝⎭，，此点即为l1与l2的交点.∴综上，直线l：ax－y＋b＝0经过两直线l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交点的充要条件为17a＋4b＝11.。

学业分层测评（二）充分条件和必要条件（建议用时:45分钟）［学业达标]一、填空题1。

“α＝错误!＋2kπ（k∈Z）"是“cos 2α＝错误!”的________条件.【解析】“α＝错误!＋2kπ（k∈Z）”⇒“cos 2α＝错误!”，“cos 2α＝错误!”“α＝错误!＋2kπ”（k∈Z)。

因为α还可以等于2kπ－错误!（k ∈Z),∴“α＝错误!＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝错误!”的充分而不必要条件。

【答案】充分而不必要2.（2016·聊城高二检测）已知a，b是实数，则“a〉0且b〉0”是“a＋b>0且ab〉0”的________条件.【解析】当a〉0且b>0时，a＋b〉0且ab〉0；当ab>0时，a，b同号,又a＋b>0，∴a>0且b>0。

故“a〉0且b>0”是“a＋b>0且ab〉0”的充分必要条件。

【答案】充分必要3。

“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的________条件。

【解析】由ln（x＋1）<0得x＋1〉0,即x〉－1，又ln(x＋1)〈0,所以－1〈x<0，故“ x＜0"是“ln(x＋1）＜0”必要而不充分条件.【答案】必要而不充分4。

对任意的a,b，c∈R,给出下列命题：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件;②“a＋5是无理数"是“a是无理数”的充要条件;③“a>b"是“a2〉b2"的充要条件；④“a〈5”是“a〈3”的必要条件。

其中真命题的个数是________.【导学号：24830007】【解析】命题②、④是真命题.【答案】25。

（2016·徐州高二检测)已知集合A＝｛x｜x＞5}，集合B＝{x｜x＞a｝，若命题“x∈A"是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值的集合是________.【解析】∵命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B,∴a＜5.因此实数a的取值的集合是｛a｜a＜5 ｝.【答案】{ a｜a＜5 ｝6.给定空间中直线l及平面α,条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的________条件.【解析】“直线l与平面α内两条相交直线都垂直"⇔“直线l与平面α垂直".【答案】充要7.不等式ax2＋ax＋a＋3>0对一切实数x恒成立的充要条件是________.【解析】①当a＝0时，原不等式为3〉0,恒成立;②当a≠0时，用数形结合的方法则有错误!⇒a>0。