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实变函数本科试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 实数集R上的开区间(a, b)是一个开集，这是因为它满足：A. 任意点的邻域性质B. 包含所有有理数C. 包含所有整数D. 包含所有实数答案：A2. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 空集B. (0, 1)C. 整数集ZD. 实数集R本身答案：C3. 一个函数在某点连续的充要条件是：A. 在该点导数存在B. 该点的左极限等于右极限C. 在该点的极限存在且等于函数值D. 在该点的振幅为零答案：C4. Lebesgue可测集的定义是基于：A. 开区间B. 闭区间C. 开集D. 半开半闭区间答案：A5. 如果一个实值函数在区间[a, b]上单调增加且有界，则根据Weierstrass定理，该函数必定：A. 有最大值和最小值B. 仅在有限点处不连续C. 仅在至多可数点处不连续D. 在区间[a, b]上连续答案：A6. 一个函数在某点的导数为0，这意味着该点是函数的：A. 驻点B. 极值点C. 拐点D. 渐近点答案：A7. 集合的外测度是：A. 集合所有开覆盖的体积的上确界B. 集合所有闭覆盖的体积的下确界C. 集合所有开覆盖的体积的下确界D. 集合所有闭覆盖的体积的上确界答案：A8. 如果一个函数在区间[a, b]上可积，则它的积分值：A. 必须为正B. 必须为负C. 可以是任意实数D. 必须为零答案：C9. 一个函数在某区间上一致连续的定义是：A. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值有界B. 该区间内任意两点的函数值之差的绝对值无界C. 函数在该区间的任意子区间上连续D. 函数在该区间的端点处的极限存在答案：A10. 根据Riemann积分的定义，如果一个函数在区间[a, b]上的积分存在，则：A. 该函数在该区间上必定连续B. 该函数在该区间上必定有界C. 该函数在该区间上必定单调增加D. 该函数在该区间上必定一致连续答案：B二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果函数f(x)在点x=c处的左极限为L，则记为______。
《实变函数》试卷及参考答案《实变函数》试卷一一、单项选择题(3分×5=15分)1、1、下列各式正确的是( ),,,,limAA,,,limAA,,,(A); (B); nknk,,,,nnkn11nknn,,,,,,,,limAA,,,limAA,,,(C); (D); nknk,,,,nnkn1,,nkn1,,n2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是( ),'P,mP,0(A) c (B) (C) (D) P,PP,P3、下列说法不正确的是( ) (A) 凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 (D)波雷耳集都可测fx()E是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) 4、设ae..,,n sup()fxfxfx()(),fxfx()(),(A)若, 则 (B) 是可测函数 ,,nnnnfxfx()(), (C)是可测函数;(D)若,则可测 inf()fxfx(),,nnn5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是( ) [a,b](A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数 f(x)[a,b]f(x)[a,b]b'f'(x)dx,f(b),f(a)f(x)(C)在上L可积 (D) [a,b],a二. 填空题(3分×5=15分)()(())CACBAAB,,,,,1、_________ sso'E0,12、设是上有理点全体，则=______,=______,=______. EEE,, nET3、设是中点集，如果对任一点集都有R1 (第页，共47页)EL_________________________________，则称是可测的、可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数. 4f(x)(填“充分”，“必要”，“充要”)ab,ab,5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使fx(),,,,ab,______________________,则称为上的有界变差函数。
复习题1 一、判断1、若N 是自然数集，e N 为正偶数集，则N 与e N 对等。
（对）2、由直线上互不相交的开间隔所成之集是至多可列集。
（对）3、若12,,,n A A A 是1R 上的有限个集，则下式()1212n n A A A A A A ''''+++=+++成立。
（对）4、任意多个开集的交集一定是开集。
（错）5、有限点集和可列点集都可测。
（对）6、可列个零测集之并不是零测集。
（对）7、若开集1G 是开集2G 的真子集，则一定有12mG mG <。
（错） 8、对于有界集1ER ⊆，必有*m E <+∞。
（对）9、任何点集E 上的常数函数()f x =C ，x E ∈是可测函数。
（错）10、由()f x 在()1,2,k E k = 上可测可以推出()f x 在1kk E E ∞==∑上可测。
（对）二、填空1、区间（0,1）和全体实数R 对等，只需对每个()0,1x ∈，令 ()tan()2x x πϕπ=-2、任何无限集合都至少包含一个 可数子集3、设12,S S 都可测，则12S S ⋃也可测，并且当12S S ⋂为空集时，对于任意集合T 总有***1212[()]()()m T S S m T S m T S ⋂⋃=⋂+⋂4、设E 是任一可测集，则一定存在F ∂型集F ，使F E ⊂，且 ()0m E F -=5、可测集n ER ⊂上的 连续函数 是可测函数。
6、设E 是一个有界的无限集合，则E 至少有一 个聚点。
7、设π是一个与集合E 的点x 有关的命题，如果存在E 的子集M ，适合mM=0，使得π在E\M 上恒成立，也就是说，E\E[π成立]= 零测度集 ，则我们称π在E 上几乎处处成立。
8、E 为闭集的充要条件是'(E E)E E ⊂∂⊂或 。
9、设A 、B 是两个非空集合，若,A B B A ≤≤，则有 A =B。
三、证明 1、证明：若A B ⊂，且~A A C ⋃，则有~B B C ⋃。
《实变函数》 一、单项或多项选择题1、下列正确的是(234(3) (?1UB )\C = ?1U (B C UC )C 2、下列正确的是(24)(1) 无理数集是可数集；(2) 超越数构成的集合是不可数集；(3) 若/?屮两个Lebesgue 可测集A 和B 的基数相等，则它们的测度也相等;(4) 0表示全体有理数集，则Q?。
也是可数集.3、在R 中令A = {1,丄丄…丄,…},则(2 3 n6、设几九 wM(X),则(12 3 4(3) /2 G M(X)7、若/在［0,1］上乙可积，则下列成立的是8、设= 1,2,3,…)是X 上儿乎处处有限的可测函数，则下列结论正确的是(1(1)若人 则£—/,心.;(1) A\(B\C) = (A\B)\C(2) AU(BAC) =(AUB )n (AUC )(4)⑷B)\C = A\(BUC )(1) A 为闭集 (2) A 为开集 (3) 几{0}(4) A 为疏集4、设 AuR 满足 mA = 0 ,贝 ij ( 1 3 (1) A 为Lebesgue 可测集)(2)(3)任意可测函数/在A 上可积(4) 4为疏集5、在/?上定义/(%),当兀为有理数时, f(x) = 1 ,当x 为无理数时，/(x) = 0,贝ij( 3(1) /儿乎处处连续 (2) /不是可测函数(3)/在上处处不连续(4) /在/?上为可测函数⑴\f <+oo 在［0,1 ］上儿乎处处成立 (2) |.f|在［0,1］上厶可积 (3) /在［0,1］±几乎处处连续(4)兀在［of 上非厶可积(2) 若九 T/,d.e.,则九(3) 若 f n —> f ,a.u.,则 f n T f ； (4) 若 f 厶 f,则£->/•,“.・9、若｛A“｝为降列,且 M = 2，贝(4 )n —>oc、“8 、(1) 0(2) 0(3) “U4(4) “CM1心10、有界实函数/在区间［G , /?］± Riemann 可积的充要条件是/的不连续点集为（ 4 ）11、设f eBV ［a,b ］f 则下列成立的是（1 416、超越数的个数为（3(1) 2 (2) a (3) c (4) 2C（1）空集（2）有限集 （3）可数集 （4）零测度集(1) 于在［a 问上有界; (2) /在［a 问上连续; (3) /在［a 问上可微; (4) /是两个增函数Z 差.12、整数集 的内部和闭包分别为（1）（3） 0,(1) 0, (2) (4)13. 设/(%) =x,xe[0,l]2-x,x w(l ，2]' 令 A = <x\f(x)(1) 0(2) 1(3) 2(4)14、下列哪些集合是测度为零的不可数集（3 ）(4)(1) 031O )XEB(2) 1 ，则（1(3) 2 ⑷3100,XG [0,1]\17、f G AC[0,1],/(O) = 2,Kf = 0,a.e , B'J/(x)=_318、 设A ，%是R 的可测集，且A 0A 2，则下列正确的是( 2 4 )(1)< mA.(2) mA l <mA 2(3) mA x -mA 2 =\ A 2)(4) mA x =777(71^X2) + mA 219、 当/在[1,+00)上连续且Lebesgue 可积时，则lim f(x)=1L7X->4<0(1) 0 (2) 1 (3) -1 (4) +0020、 人2”-1=[°」]，A” =[°，2],(斤= 1,2,…)，则limA “和lim 人分别为" >1(I) [0,1],[0,2] ⑶[0,2],[0,1]21、下列正确的是(1 4 )(1) (4UB )\C =(A\C )U (B\C ) (3) A\(B\C) = (A\B)\C ⑵[0,1],[0,2](4) [0,2],[0,2](2) ACl(BUC) =(4nB )UC (4) (A\B)\C = A\(BUC ))⑵ r 1 2 3(Aus )=r ,(A )ur 1(5) ⑷ /-i (An5)=r i (A )ny 1(B )2 3 )24、 设人是[0,1]上所有有理数构成的集合，则川二(3 )(1) A (2) [0,l]\A (3) El(4)以上都不对25、 下列说法正确的是(12 3)1 A =(3) B = P 7(B )23、下列与 有相同基数的集合是( (1) [0,1] (2)3(4)(1) 0(2) 1 (3) 2 (4) 322、设f:X —X 是一个映射，4,B u X ,下列正确的是(2 4(2)上的开集都可以表示成互不相交的开区间的并（4） 的了集不是开集就是闭集 26、 下列正确的是（1 ） （1） 有理数集是可数集；（2） 代数数构成的集合是不可数集；（3） 若中两个Lebesgue 可测集A 和B 的测度相等,则它们的基数也相等; （4） ［0,2］内包含的点比［0,1］内包含的点多。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='(D) P P =3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的 4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
《实变函数》试卷一一、单项选择题（3分×5=15分） 1、下列各式正确的是（ ）（A ）1lim n k n n k n A A ∞∞→∞===⋃⋂; （B ）1lim n k n k n n A A ∞∞==→∞=⋂⋃;（C ）1lim n k n n k nA A ∞∞→∞===⋂⋃; （D ）1lim n k n k nn A A ∞∞==→∞=⋂⋂;2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ）（A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A ）若()()n f x f x ⇒, 则()()n f x f x → (B){}sup ()n nf x 是可测函数（C ）{}inf ()n nf x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ⇒,则()f x 可测5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数（C ）)('x f 在],[b a 上L 可积 (D)⎰-=b aa fb f dx x f )()()('二. 填空题(3分×5=15分)1、()(())s s C A C B A A B ⋃⋂--=_________2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,oE =______,E =______.3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，则称E 是L 可测的4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使_____________________________________,则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。
实变函数复习题一、填空题1. 设10,1i A i ⎡⎫=+⎪⎢⎣⎭,1,2,.i = 则1i i A ∞== . 2. 若A =ℵ, B =ℵ, 则=⋃B A 。
3. 给出(1,1)-与(,)-∞+∞之间的一一对应关系 .4. 设222{(,):1}E x y R x y =∈+<, 则E '= 。
5. 设(1,3)(2,6)E =⋃，写出E 的所有的构成区间 。
6. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是开集.7. 设n E R ⊂,若 ,则称E 是闭集.8. 设12,E E 为可测集，且21,E E ⊂2mE <+∞，则12()m E E -= 。
9. 设0x 为E 的内点，则*m E 0。
(填大于、等于或小于)10. 设Q 是有理数集，则mQ = 。
11. 设I 为n R 中的开区间，则*m I = 。
12. 设C 是Cantor 集，则mC = 。
13. 叙述可测函数的四则运算性 。
14. 叙述可测函数与简单函数的关系 。
15. (鲁津定理)设()f x 是E 上..a e 有限的可测函数,则0δ∀>,存在闭子集F E δ⊂,使()f x 在 上是连续函数,且()m E F δδ-<.16. 叙述伯恩斯坦定理 。
17．叙述可测集与开集的关系 。
18. 叙述测度的可数可加性 。
19. 叙述叶果洛夫定理 。
20. 叙述()k f x 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义 。
21. 叙述中开集的结构定理 。
22. 叙述R n中的集合E 是Lebesgue 可测集的卡氏定义(即 C.Caratheodory 定义) 。
23. 叙述测度的可数可加性 。
24. 叙述可测函数的定义 。
25. 叙述F.Riesz 定理(黎斯定理) 。
二、单选题1. E 是实数全体，则E 是 ( )A. 可数集；B.不可数集；C.有限集；D.不可测集.2. 有限个可数集的并集是 ( )A.可数集；B.不可数集；C.有限集；D.以上都不对.3. 若A 是有限集或可数集,B 是不可数集, 则 ( )A. A B 是可数集；B. A B 是不可数集；C. 0A B =ℵ ；D. A B A = .4. 设{}G λλ∈Λ是一族开集,G G λλ∈Λ= , 则G 一定是 ( ) A. 开集; B. 闭集; C. G δ型集; D. 开集，也是闭集.5. 点集E ⊂R n 的全体边界点所成的集合称为E 的 ( )A. 开核;B. 边界;C. 导集;D. 闭包.6. 设{}F λλ∈Λ是一族闭集,F F λλ∈Λ= ,则F 一定是 ( ) A.开集; B.闭集; C.F σ型集; D. 开集，也是闭集.7. 设{}n F 是一列闭集,1n n F F∞== ,则F 一定是 ( )A.开集;B.闭集;C.F σ型集;D. 开集，也是闭集.8. 设Q 是1中有理数全体，则mQ = ( )A.0;B.+∞;C.1;D.不存在.9. 关于Cantor 集P ,下述说法不成立的是A. P 无内点;B. P 中的点都为孤立点;C. P 中的点都为聚点;D. P 是闭集.10. 设E 是任一可测集, 则 ( )A.E 是开集; B ．E 是闭集;C.0ε∀>,存在开集G E ⊃,使得()m G E ε-<; D ．E 是F σ型集或G δ型集.11. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊂⊂⊂⊂ ,则有 ( ) A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ;C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 12. 设{}n E 是一列可测集合,且12n E E E ⊃⊃⊃⊃ ,1mE <+∞,则有 ( )A.1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ;B. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ; C. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫> ⎪⎝⎭ ; D. 1lim n n n n m E mE ∞→∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭ . 13. 关于简单函数与可测函数下述结论不正确的是 ( )A. 简单函数一定是可测函数;B. 简单函数列的极限是可测函数;C. 简单函数与可测函数是同一概念;D. 简单函数列的极限与可测函数是同一概念.14. 设{}()n f x 是可测集E 上的几乎处处有限的可测函数列, 则下述命题错误的是( )A ．{}sup ()n nf x 是可测函数;B ．{}inf ()n nf x 是可测函数; C. 若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则()f x 是可测的; D ．若.()()mes n f x f x −−−→(依测度收敛), 则() ()n f x f x → a .e . 于E . 15. 若)(x f 是连续函数，则它必是. ( )A. 可测函数；B. 单调函数；C.简单函数；D.连续函数列的极限.16. 设⎩⎨⎧-∈-∈=E x x E x x x f ]1,0[,,)(其中E 是[0,1]的不可测集，则下列函数在[0, 1]可测的是 ( ) A.|)(|x f ； B.)(x f ； C.)(x f +； D.)(x f -。
1.若E有界,则m*E<正无穷
2.可数点集的外测度为零
3.设E是直线上一有界集合,m*E>0,则对任意小于m*E的正数c,恒有E的子集E1,使m*E=c
4.设S1,S2,…，Sn是一些互不相交的可测集合，Ei包含于Si，i=1，2，3...n，求证m*（E1并E2并E3...并En）=m*E1+m*E2+…+m*En
5.若m*E=0，则E可测。
6.证明康托尔（Cantor）集合的测度为0
7.设A，B包含于Rp，且m*B<正无穷，若A是可测集，证明m*（A并B）=mA+m*B-m*（A 交B）
8.证明：若E可测，则对于任意e〉0，恒有开集G及闭集F，使F包含于E包含于G，而m （G-E）〈e，m（E-F）〈e
9.设E包含于Rq，存在两列可测集{An}，{Bn}，使得An包含于E包含于Bn且m（Bn-An）--> 0(n-->无穷)，则E可测。
10.设是一列可测集，证明和都是可测集且
11.设{En}是一列可测集，若求和m（En）<正无穷，证明m（En上极限）=0
12.设E是[0，1]中可测集，若m（E）=1，证明对任意可测集A包含于[0，1]，m（E交A）=m（A）
13.设{En}是[0，1]中可测集列，若m（En）=1，n=1，2，...，则
定理5.6设E是任一可测集，则一定存在型集G，使G包含E，且m（G-E）=0。
设E是任一可测集，则一定存在型集F，使F包含于E，且m（E-F）=0。
次可数可加性证明
卡拉泰奥多里条件：m*T=m*（T交E）+m*（T交Ec）极限的测度等于测度的极限
1.证明：f（x）在E上为可测函数的充要条件是对任一有理数r，E[f〉r]可测，如果集E[f=r]可测，问f（x）是否可测？
2.设{fn}为E上可测函数列，证明它的收敛点集和发散点集都是可测的。
散点集也是可测的。
3.设E是[0，1]中的不可测集，令问f（x）在[0，1]上是否可测？|f（x）|是否可测？
4.设fn（x）（n=1，2，...）是E上a.e.有限的可测函数列，而{fn}a.e.收敛于有限函数f，则对任意的e>0存在常数c与可测集E0包含于E，m（E\E0）<e,使在E0上对一切n有|fn（x）|<=c.这里mE<无穷。
6.设f（x）是（负无穷，正无穷）上的连续函数，g（x）为[a，b]上的可测函数，则f（g（x））是可测函数。
7.设函数列fn（x）（n=1，2，...）在有界集E上“基本上”一致收敛于f（x），证明{fn}a.e.收敛于f。
，叶果洛夫逆定理
8.试证明鲁津定理的逆定理成立。
鲁津定理
9.设函数列{fn}在E上依测度收敛于f，且fn（x）<=g（x）a.e.于E，n=1，2，...。
试证f（x）<=g（x）在E上几乎处处成立。
10.设在E上fn（x）推出f（x），且fn（x）<=fn+1（x）几乎处处成立，n=1，2，...，则几乎处处有fn（x）收敛于f(x)。
11.设在E上fn（x）推出f（x），而fn（x）=fn（x）a.e.成立，n=1，2，...，则有gn（x）推出f（x）
12.设mE<正无穷，证明：在E上fn（x）推出f（x）的充要条件是，对于{fn}的任何子函数列{fnk}，存在{fnk}的子函数列{fnkj}，使得 a.e.于E
13.设mE<无穷，几乎处处有限的可测函数列fn（x）和gn（x），分别依测度收敛于f（x）和g（x），证明
叶果洛夫定理
例3：设E包含于R1，f（x）是E上a.e.有限的可测函数。
证明：存在定义在R1上的一列连续函数{gn}，使得极限gn（x）=f（x）a.e.与E。
定理3：设fn（x）依测度收敛于f（x），fn（x）依测度收敛于g（x），则f（x）=g（x）在E 上几乎处处成立。
设{fn（x）}是E上一列可测函数，则F（x）=也在E上可测，特别当存在时，它也在E 上可测。
可测函数与简单函数的关系
若f（x）在E上非负可测，则存在可测简单函数列是的对任意
若f（x）在E上可测，则存在可测简单函数列，使得对任意若f（x）还在E上有界，则上述收敛可以是一致的。
勒贝格里斯定理
2.设在康托尔（Cantor）集P0上定义函数f（x）=0，而在P0的余集中长为1/3^n的构成区间上定义为n，试证f(x)可积分，并求出积分值。
3.设E可测，f（x）在E上可积，en=E（|f|>=n）则n*men在n的极限=0
6.设{fn}为E上非负可积函数列，若则f(x)依测度收敛与0.
7.设mE<无穷，{fn}为a.e.有限可测函数列。
证明：的充要条件是fn（x）依测度收敛与0 9.设由[0,1]中取出n个可测子集E1,E2,...,En，假定[0，1]中任一点至少属于这n个集中的q 个，试证必有一集，它的测度大于或等于q/n。
10.设mE不等于0，f（x）在E上可积，如果对于任何有界可测函数，都有则f（x）=0a.e.于E。
11.证明：
12.试从1/1+x=(1-x)+(x^2+x^3)+...,0<x<1求证ln2=1-1/2+1/3-1/4+...
14.求证
17.设f（x），fn（x）都是E上的可积函数，极限fn（x）=f（x）a.e.于E，且试证，在任意可测子集e包含与E上，都有
在一般情况下L积分并不是R反常积分的推广，主要是因为L积分是绝对收敛的积分而收敛的R反常积分并不一定绝对收敛。
设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，则f（x）在[a,b]上R可积的充要条件为f（x）在[a,b]上a.e.连续，即f（x）的不连续点全体成一零测度集。
设f（x）是[a，b]上的一个有界函数，若f（x）在[a,b]上R可积，则f（x）在[a,b]上L可积，且
设f属于L[a,b]，则对于任意的e>0,存在g属于C[a，b]，使得
列维定理levi设为可测集，为E上的一列非负可测函数，当x属于E时对于任一自然数n，有fn（x）<=fn+1（x），令则
法图引理fatou
一般可测函数的勒贝格积分（做题用）
积分的绝对连续性
设为可测集则对于任意的存在使得对于任意的可测集，只要mA<就有
勒贝格控制收敛定理：设为可测集为E上的一列可测函数。
F是E上的非负L可积函数，如果对于任意的自然数n
设为可测集，f和fn都是E上的可测函数，F是E上的非负L可积函数，如果|fn（x）|<=F （x）a.e.与E且
推论：设E mE<正无穷，f和fn都是E上的可测函数，如果存在M>0使得对于任意的自然数
n，|fn（x）|<=Ma.e.于E且。
