第一章习题
2、(ii)
()1
11n n n n n n n A B A B ∞∞∞===-
⊂-
证明：对于11
,n n n n x A B ∞
∞
==∀∈
-
1
1
n n n n x A x B ∞∞==⇒∈
∉
且
001,1,n n n x A n x B ⇒∃≥∈∀≥∉且对于 0001,n n n x A B ⇒∃≥∈-
()1
n n n x A B ∞
=⇒∈
- 22、具体构造[]0,1与()0,1之间的一个完全的一一映射.
解：记()0,1中的有理数点集为Q ；()0,1中的无理数点集为M
()0,1Q M =；[]{}0,10,1Q M =,作映射
12132,,0,1,..........n n x M x x r r r r r r +∀∈→→→→→
所以[]()0,10,1与等价
29、求证：n R 中任一集合的导集是闭集.
证明：若()E ''=Φ,则E '为闭集,否则
要证明E '为闭集()E E '''⇔⊂
()x E x ''∀∈⇒为E '的聚点(){}{}0,,V x x E εε'⇒∀>-≠Φ
(){}{}1,x V x x E ε'⇒∃∈-
()(){}11,x V x x ε⇒∈-
()()
()110,,,2V x V x x E δδε⇒∃>⊂'
⇒∈使得
(){}{}11110,,V x x E δδ⇒∀>-≠Φ
10,δ⇒∀>()11,V x δ中含有E 的无穷多个点
()1,V x δ⇒也中含有E 的无穷多个点 ()()1,,E V x E V x δε⊂
()x E E E '⇒∈'''
⇒⊂
从而E '为闭集
30、(i)设,A B 是任意的两个集合,若A B ⊂,则A B ''⊂.
证明：x A x '∀∈⇒为A 的聚点
(){}{}0,,V x x A εε⇒∀>-≠Φ
A B ⊂
(){}{}0,,V x x B εε⇒∀>-≠Φ
⇒x 为B 的聚点
⇒x B '∈ (ii)若A B A '⊂⊂,求证：B 是闭集. 根据(i)式可知B A B ''⊂⊂,则B 是闭集 32、n R 中任一集合的孤立点是至多可数的
证明：先来证明1R 中的孤立点是至多可数的
记B 为1R 中以有理数为端点的开区间全体所成的集合,(){},,m
n
n
m
B r r r r
Q =∈
则B 为可数集.
设A 为1
R 中的孤立点全体,则对于任意的x A ∈,则存在x 的一个以有理数为端点的邻域
(),x x αβ,使得 ()
{},x x A x αβ=`
对于每一个x A ∈,都做出这样的一个邻域,由于每个邻域中只含有一个A 中的点,故对于A 中不同的两个点对应的邻域(),x x αβ，(),y
y α
β也不同.
令(){},x
x
D x A αβ=
∈
则A 与D 等价,而D B ⊂,则D 是至多可数集,从而A 是至多可数集,因此有限个至多可数集的直积是至多可数集.
33、若A 不可数,则A '也不可数.
证明：假设A '是至多可数集,则设B 为A 的孤立点全体,则B 为至多可数集
因为()A B
A A '=,A A A ''⊂,则A A '为至多可数集
则A 为至多可数集与已知矛盾.
第二章习题
2、求证：()(){}*inf :,m E m Q E Q Q =⊂是开集
证明：因为E Q ⊂,所以()(){}
*inf :,m E m Q E Q Q ≤⊂是开集 又因为Q 是开集,而()1
,n n n Q a b ∞==
,其中(),n n a b 为两两不交的开区间
()()}{*
11inf :,n n n n n m E l I E I I ∞∞
==⎧⎫
=⊂⎨⎬⎩⎭
∑是开区间列
因为开区间是开集,但是开集不一定是开区间,所以
()}{11:,n n n n n l I E I I ∞∞
==⎧⎫
⊂⎨⎬⎩⎭
∑是开区间列(){}:,m Q E Q Q ⊂⊂是开集
因此()}{(){}11inf :,inf :,n n n n n l I E I I m Q E Q Q ∞∞
==⎧⎫
⊂≥⊂⎨⎬⎩⎭
∑是开区间列是开集
3、设12,G G 是两个不相交的开集,1122,E G E G ⊂⊂,
求证：()()()*
**1
212m E E m E m E =+
证明：
1G ∈Ω,
所以()()()()()***1
2121121C m E E m E E G m E E G =+
()
()()()
()(
)
**112
1112
1C C m E G E G m E G E
G =+
()()*
*
12m E m E =+
6、设()()**,,m A m B <∞<∞求证：()()()***m A m B m A B -≤∆
证明：要想证明()()()***m A m B m A B -≤∆,只需要证明
()()()()****m A B m A m B m A B -∆≤-≤∆
下面来证明()()()*
**m A m B m A B -≤∆,即证明：()()()***m A m A B m B ≤∆+
而()())
(()
()()*
****m
A B m B m A B B m A B m A ∆+≥∆=≥
同理可证明：()()()*
**m
A B m A m B -∆≤-
10、设{}1n n E ≥是可测集列,(i)求证：()lim lim n n n n m E m E →∞→∞
⎛⎫≤ ⎪⎝⎭.
证明：
1lim n k n k n
n E E ∞∞
==→∞
=
,左右取测度
