华中农业大学数学建模A.B课件下载
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华中农业大学生物学拔尖创新人才页数:11
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华农考研参考书目页数:10
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云南农业大学24部主编教材被批准立项页数:8
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《数学建模》课件
第一章课程概述§1.1 数学模型与数学建模一．基本概念数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
其产生以及许多重大发展都是和现实世界的生产活动和其他相应学科的需要密切相关的；同时，作为认识和改造世界的强有力的工具，又促进了科学技术和生产建设的发展。
特别在当今时代，由于计算机软硬件的迅速发展和普及，数学方法被广泛应用于生产实践、社会管理的各个领域和层面。
对具体的应用问题或问题类进行合理的简化假设以及适当的抽象并最终表述为某种数学结构，即我们在这里讨论的数学模型，是现代生产实践与社会生活实现优化决策和科学管理的必要环节。
而数学建模则是指根据实际需要或最终管理目标，对现实问题构建数学模型，对模型进行分析求解，并最终将模型解翻译为决策方案应用于实际的一个由诸多环节组成的一个完整过程。
为理解现实对象与数学模型的关系，以下给出数学建模的一个流程图：二．（引例1）椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？三．（引例2）商人过河设有三名商人，各带一个随从，欲乘一小船渡河，小船只能容纳两人，须由他们自己划行。
随从们密约，在河的任何一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
而如何乘船渡河的大权掌握在商人们的手中。
商人们怎样才能安全渡河呢？椅子的平稳放置问题将（四脚）椅子置于不平的地面，通常只有三只脚着地，放不稳；然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了——这是我们在日常生活中遇到的一件很普通的事实。
这一现象是偶然的呢，还是有其必然性呢？以下的模型给出了肯定的回答。
一．模型假设：1．椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形；2．地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没台阶）。
即地面可视为数学上的连续曲面；3．对于椅脚的间距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置上至少有三只脚同时着地。
数学建模竞赛PPT资料24页
1.2 竞赛形式、规则和纪律
❖ 竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机 和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何 人（包括在网上）讨论。
❖ 竞赛开始后，赛题将公布在指定的网址供参赛队下 载，参赛队在规定时间内完成答卷，并准时交卷。
❖ 参赛院校应责成有关职能部门负责竞赛的组织和纪 律监督工作，保证本校竞赛的规范性和公正性。
1.1 竞赛内容
❖ 竞赛题目一般来源于工程技术和管理科学等方 面经过适当简化加工的实际问题，不要求参赛者预 先掌握深入的专门知识，只需要学过高等学校的数 学课程。题目有较大的灵活性供参赛者发挥其创造 能力。参赛者应根据题目要求，完成一篇包括模型 的假设、建立和求解、计算方法的设计和计算机实 现、结果的分析和检验、模型的改进等方面的论文 （即答卷）。竞赛评奖以假设的合理性、建模的创 造性、结果的正确性和文字表述的清晰程度为主要 标准。
展趋势，常采用数理统计或模拟的方法 （3）优化管理、决策或者控制事物，需合理地定义
可量化的评价指标及评价方法.
4 建立模型
• 建模过程中的几个要点： 模型的整体设计、合理的假设、建立数学结构、 建立数学表达式
• 数学模型最好明确、合理、简洁，具有一般性； 有些论文不给出明确的模型，只是就赛题所给的 特殊情况，用“凑”的方法给出结果，虽然结果 大致对，但缺乏一般性，不是数学建模的正确思 路
• 要有创新，但要合理。 • 避免出现罗列一系列模型，又不作评价的现象。 建议: 尽可能多地了解数学工具,各种数学模型
5 模型求解——最重要的部分之一
• 算法设计或选择， 算法思想依据，步骤；
• 引用或建立必要的数学命题和定理；
• 在不能求出精确解的情况下，需要给出不只一种 解法（算法），并进行测试比较，给出评价。为 了说明你的算法好，你需要有一个参照与之比较， 你可以从最简单、最易得到的算法开始，逐步改 进直到得到你的最好解。
华中赛B题获奖
王九峥 男
杨鑫
女
孟静
女
张岳文 男
甘艺平 男
李如镜 女
陈江游 男
陈盈
男
赵建敏 女
林刚
男
许磊
男
杨琬
女
张曦
女
交通运输（外贸方向） 数学与应用数学 金融工程 机械制造及其自动化 土木工程 信息与计算科学 船舶与海洋工程 通信工程 信息与计算科学 电气工程与自动化 测绘工程 光信息科学与技术 电气工程及其自动化
武汉大学
本科组
武汉大学
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单
队员3姓名 队员3性别 队员3专业
蔡毅荣 男
陈琳依 女
李丹然 女
孙文涵 男
马晓冬 男
刘慨
男
孙忭
女
雷立
男
信息与计算科学 电气工程与自动化 金融工程 金融工程 工程力学 生物信息学 统计学 电子商务
杨彬
男
张嘉文 男
袁昆筱佳 女
邓鹤龄 男
罗郅炜 男
邱越
女
房迪
女
邹康
男
无
陈宇遥 男
金典
[课件]数学建模 第八章PPT
![[课件]数学建模 第八章PPT](https://img.taocdn.com/s1/m/2b0caeed05087632311212db.png)
0
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡江 河、海峡方 案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
n 2
w1 wn w2 wn wn wn
一致阵 性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
n 2
w1 w 1 w2 成对比较完全一致的情况 w A 1 a a ,i , j , k 1 , 2 , , n 满足 a ij jk ik wn 的正互反阵A称一致阵，如 w1
成对比较阵和权向量
w1 w2 w w w w
2 2
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
n
n 1
美 化 C11
桥梁 D1
隧道 D2
渡船 D3
（1）过河效益层次结构
例3 横渡江 河、海峡方 案的抉择
投 入 资 金 C1
过河的代价 A 经济代价 B1 社会代价 B2 环境代价 B3
操 作 维 护 C2
冲 击 渡 船 业 C3
冲 击 生 活 方 式 C4
交 通 拥 挤 C5
居 民 搬 迁 C6
汽 车 排 放 物 C7
n 2
w1 wn w2 wn wn wn
一致阵 性质
• A的秩为1，A的唯一非零特征根为n • A的任一列向量是对应于n 的特征向量 • A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对 比较阵A，建议用对应于最大特征根 的特征向量作为权向量w ，即
n 2
w1 w 1 w2 成对比较完全一致的情况 w A 1 a a ,i , j , k 1 , 2 , , n 满足 a ij jk ik wn 的正互反阵A称一致阵，如 w1
成对比较阵和权向量
w1 w2 w w w w
2 2
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
二. 层次分析法的广泛应用
• 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配， 人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题， 产业结构，教育，医疗，环境，军事等。
• 处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。
• 建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决 策层参与。 • 构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判 断力强的专家给出。
n
n 1
全国大学生数学建模比赛题目ppt课件
• (2) 当环境温度为65ºC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度， 确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时 间不超过5分钟。
• (3) 当环境温度为80EMBED Equation.3时，确定II层和IV层的最优厚度， 确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时 间不超过5分钟。
问题B 智能RGV的动态调度策略
• 图1是一个智能加工系统的示意图，由8台计算机数控机床 （Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车 （Rail Guide Vehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送 带、1条下料传送带等附属设备组成。RGV是一种无人驾驶、能在 固定轨道上自由运行的智能车。它根据指令能自动控制移动方向 和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能 够完成上下料及清洗物料等作业任务（参见附件1）
• 任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用 性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并 将具体的结果分别填入附件2的EXCEL表中。
表1：智能加工系统作业参数的3组数据表
注：每班次连续作业8小时
C题 大型百货商场会员画像描绘
• 在零售行业中，会员价值体现在持续不断地为零售运营商带来稳 定的销售额和利润，同时也为零售运营商策略的制定提供数据支 持。零售行业会采取各种不同方法来吸引更多的人成为会员，并 且尽可能提高会员的忠诚度。当前电商的发展使商场会员不断流 失，给零售运营商带来了严重损失。此时，运营商需要有针对性 地实施营销策略来加强与会员的良好关系。比如，商家针对会员 采取一系列的促销活动，以此来维系会员的忠诚度。有人认为对 老会员的维系成本太高，事实上，发展新会员的资金投入远比采 取一定措施来维系现有会员要高。完善会员画像描绘，加强对现 有会员的精细化管理，定期向其推送产品和服务，与会员建立稳 定的关系是实体零售行业得以更好发展的有效途径。
• (3) 当环境温度为80EMBED Equation.3时，确定II层和IV层的最优厚度， 确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47ºC，且超过44ºC的时 间不超过5分钟。
问题B 智能RGV的动态调度策略
• 图1是一个智能加工系统的示意图，由8台计算机数控机床 （Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车 （Rail Guide Vehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送 带、1条下料传送带等附属设备组成。RGV是一种无人驾驶、能在 固定轨道上自由运行的智能车。它根据指令能自动控制移动方向 和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能 够完成上下料及清洗物料等作业任务（参见附件1）
• 任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用 性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并 将具体的结果分别填入附件2的EXCEL表中。
表1：智能加工系统作业参数的3组数据表
注：每班次连续作业8小时
C题 大型百货商场会员画像描绘
• 在零售行业中，会员价值体现在持续不断地为零售运营商带来稳 定的销售额和利润，同时也为零售运营商策略的制定提供数据支 持。零售行业会采取各种不同方法来吸引更多的人成为会员，并 且尽可能提高会员的忠诚度。当前电商的发展使商场会员不断流 失，给零售运营商带来了严重损失。此时，运营商需要有针对性 地实施营销策略来加强与会员的良好关系。比如，商家针对会员 采取一系列的促销活动，以此来维系会员的忠诚度。有人认为对 老会员的维系成本太高，事实上，发展新会员的资金投入远比采 取一定措施来维系现有会员要高。完善会员画像描绘，加强对现 有会员的精细化管理，定期向其推送产品和服务，与会员建立稳 定的关系是实体零售行业得以更好发展的有效途径。
数学建模与数学实验 华中农业大学数学建模基地
(3) 单击MATLAB主窗口的“关闭” 按钮。
2. 主窗口
MATLAB主窗口是 MATLAB的主要工 作界面。主窗口除了嵌入一些子窗口外，还 主要包括菜单栏和工具栏。
1）菜单栏 在MATLAB 7.0主窗口的菜单栏，共包
含File、Edit、View、Web、Window和Help 6个菜单项：
如果要清除这些历史记录，可以选择 Edit菜单中的Clear Command History命令。
7 启动平台窗口和Start按钮
MATLAB 7.0 的启动平台窗口可以帮助用 户方便地打开和调用MATLAB的各种程序、函 数和帮助文件。
MATLAB 7.0 主窗口左下角还有一个Start 按钮，单击该按钮会弹出一个菜单，选择其中 的命令可以执行MATLAB产品的各种工具，并 且可以查阅MATLAB包含的各种资源。
lookfor命令只对M文件的第一行进行关键字 搜索。若在 lookfor命令加上 -all选项，则可对M 文件进行全文搜索。
3) 模糊查询 MATLAB 6.0以上的版本提供了一种类似模
糊查询的命令查询方法，用户只需要输入命令的 前几个字母，然后按 Tab键，系统就会列出所有 以这几个字母开头的命令。
名称 正弦函数 余弦函数 正切函数 绝对值 最小值 开平方 自然对数 符号函数
函数 名 称
asin(x)
反正弦函数
acos(x)
反余弦函数
atan(x)
反正切函数
max(x)
最大值
sum(x)
元素的总和
exp(x) 以 e 为底的指数
log10 (x) 以 10 为底的对数
fix(x)
取整
4ห้องสมุดไป่ตู้M文件
2. 主窗口
MATLAB主窗口是 MATLAB的主要工 作界面。主窗口除了嵌入一些子窗口外，还 主要包括菜单栏和工具栏。
1）菜单栏 在MATLAB 7.0主窗口的菜单栏，共包
含File、Edit、View、Web、Window和Help 6个菜单项：
如果要清除这些历史记录，可以选择 Edit菜单中的Clear Command History命令。
7 启动平台窗口和Start按钮
MATLAB 7.0 的启动平台窗口可以帮助用 户方便地打开和调用MATLAB的各种程序、函 数和帮助文件。
MATLAB 7.0 主窗口左下角还有一个Start 按钮，单击该按钮会弹出一个菜单，选择其中 的命令可以执行MATLAB产品的各种工具，并 且可以查阅MATLAB包含的各种资源。
lookfor命令只对M文件的第一行进行关键字 搜索。若在 lookfor命令加上 -all选项，则可对M 文件进行全文搜索。
3) 模糊查询 MATLAB 6.0以上的版本提供了一种类似模
糊查询的命令查询方法，用户只需要输入命令的 前几个字母，然后按 Tab键，系统就会列出所有 以这几个字母开头的命令。
名称 正弦函数 余弦函数 正切函数 绝对值 最小值 开平方 自然对数 符号函数
函数 名 称
asin(x)
反正弦函数
acos(x)
反余弦函数
atan(x)
反正切函数
max(x)
最大值
sum(x)
元素的总和
exp(x) 以 e 为底的指数
log10 (x) 以 10 为底的对数
fix(x)
取整
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全国数学建模B题(2020年整理).pptx
问题一中对于任务悬赏金额量的确定是由一系列因素决定的，包括任务发布 者所期望得到的作品数量、同期不同发布商所给的悬赏金、任务的难易程度、任 务的期限等，对于问题一我们可以将这些因素都考虑进去，挖掘出各因素对于定 价的影响规律，最终确定项目任务的定价规律，在综合分析实际情况和用户的信 誉程度影响，来归纳出任务未完成的原因。
问题一 根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项 目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。
问题二 根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案， 并且与原方案进行比较。
问题三 考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的 多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。基于这 种 条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的 完成 情况有什么影响。
两种因素综合考虑得到的，所以任务定价模型要将这两种因素综合考虑进去。任 务地距离市中心的距离和任务地周围会员数量都会影响任务的定价，所以可以得 出任务定价的基本式子：
P
P1
P 2
已知、 是为决定任务价格因素的参数，前面所得的 P1、P2都是根据自己
的参数所确定的定价，所以、 要满足+ =1，根据具体评优问题的实际，充
学海无 涯
图 3 任务完成分布图 因为这四个区域都是属于同一任务，所以四个区域任务的情况大致相同，表 现为任务完成规律大致相同，任务分布规律大致相同，所以四个区域的任务定价 规律也应该是大致相同，在此对广州市进行分析，得到的结果同样也应适用于其 他三个区域。 因此本文首先考虑广州区域，同理可得其余三个地区的情况，最后可以得到 四个区域的任务情况。 5.3 单个区域 APP 定价模型的建立 对数据进行筛选之后只考虑广州区域的任务分布如图 4 所示：
问题一 根据对所给的附件一已结束项目任务数据的研究，研究（找出）项 目任务的定价规律，同时分析部分任务未完成的原因。
问题二 根据问题一的情况为附件一中的项目设计一个新的任务定价方案， 并且与原方案进行比较。
问题三 考虑到实际情况中，绝大多数用户会争相竞争选择位置比较集中的 多个任务，因此，商家（平台）考虑将这些任务联合在一起打包发布。基于这 种 条件，对问题二的定价模型进行相应的修改并且分析此类情形对最终任务的 完成 情况有什么影响。
两种因素综合考虑得到的，所以任务定价模型要将这两种因素综合考虑进去。任 务地距离市中心的距离和任务地周围会员数量都会影响任务的定价，所以可以得 出任务定价的基本式子：
P
P1
P 2
已知、 是为决定任务价格因素的参数，前面所得的 P1、P2都是根据自己
的参数所确定的定价，所以、 要满足+ =1，根据具体评优问题的实际，充
学海无 涯
图 3 任务完成分布图 因为这四个区域都是属于同一任务，所以四个区域任务的情况大致相同，表 现为任务完成规律大致相同，任务分布规律大致相同，所以四个区域的任务定价 规律也应该是大致相同，在此对广州市进行分析，得到的结果同样也应适用于其 他三个区域。 因此本文首先考虑广州区域，同理可得其余三个地区的情况，最后可以得到 四个区域的任务情况。 5.3 单个区域 APP 定价模型的建立 对数据进行筛选之后只考虑广州区域的任务分布如图 4 所示：
数学建模(华中农业大学课件),数学实验
教材及参考书
汪晓银等. 数学软件与数学实验. 科学出版社, 2010
薛定宇等，高等应用数学问题的MATLAB求解．清华
大学出版社，2008
实验一目的
• 熟悉matlab软件的运行环境以及操作步骤； 熟悉MATLAB基本命令与操作；熟悉 MATLAB的矩阵运算；了解MATLAB的多 项式运算；学好这一专题就为后面的学习 打下基础。
2 矩阵的拆分
1) 矩阵元素 通过下标引用矩阵的元素，例 A(3,2)=200 采用矩阵元素的序号来引用矩阵元素。 矩阵元素的序号就是相应元素在内存中的排 列顺序。在 MATLAB 中，矩阵元素按列存 储，先第一列，再第二列，依次类推。例如 A=[1,2,3;4,5,6]; A(3) ans = 2
MATLAB简单介绍
• MATLAB是建立在向量、数组和矩阵基础上的 一种分析和仿真工具软件包，包含各种能够进 行常规运算的“工具箱”，如常用的矩阵代数 运算、数组运算、方程求根、优化计算、统计、 小波分析、神经网络以及函数求导积分符号运 算等；同时还提供了编程计算的编程特性，通 过编程可以解决一些复杂的工程问题；也可绘 制二维、三维图形，输出结果可视化。目前， 已成为工程领域中较常用的软件工具包之一。
3 特殊矩阵
1) 通用的特殊矩阵 常用的产生通用特殊矩阵的函数有： zeros：产生全0矩阵(零矩阵)。 ones：产生全1矩阵(幺矩阵)。 eye：产生单位矩阵。 rand：产生0～1间均匀分布的随机矩阵。 randn：产生均值为 0，方差为 1的标准 正态分布随机矩阵。
例1.2.5 分别建立3×3、3×2和与矩阵A同样大 小的零矩阵。 (1) 建立一个3×3零矩阵：zeros(3) (2) 建立一个3×2零矩阵：zeros(3,2) (3) 设A为2×3矩阵，则可以用 zeros(size(A))建立一个与矩阵A同样大小零矩 阵。 A=[1 2 3;4 5 6]; %产生一个2×3阶矩阵A zeros(size(A)) %产生一个与矩阵A同样 大小的零矩阵
16233-数学建模-培训课件-B题
A题无人机自主飞行航迹规划问题无人机的发展至今已有70多年的历史，其军事应用主要是遂行各种侦察任务。
随着无人机平台技术和机载遥感技术的不断发展，它的军事应用范围已经并将继续扩展，如通信中继、军事测绘、电子对抗、信息攻击等。
特别是精确制导武器技术的发展，又使它成为这种武器的理想平台。
众所周知自主飞行的能力是无人驾驶飞机所必须具有的。
如果要实现无人驾驶飞机的自主飞行,则要求具有相当程度的飞行航迹规划能力。
无人机的航迹规划是为了圆满完成任务而作的计划。
它往往指单机在初始位置、终止位置和一些目标任务结点确定之后的航迹规划问题,其基本功能是根据无人机的性能和飞经的地理环境、威胁环境等因素,对已知的目标规划提出满足要求的航迹,以便在实际飞行时可以根据需要进行实时局部修改。
现在我们讨论如下的情况：假定无人机的活动范围为20km×20km的区域，无人机起点的平面坐标为[1,2](单位：km), 攻击目标的平面坐标为[19,18](单位：km)，同时不考虑无人机起飞降落时的限制。
数字地图和敌方威胁情况(主要考虑雷达威胁)已在附件中给出。
数字地图可以做适当的简化，比如可以把地形近似分为三种：高地，低地以及过渡地带。
问题1：忽略地形和无人机操作性能等因素的影响，综合考虑敌方威胁，无人机航程等，基于二维平面建立单机单目标的航迹规划模型。
问题2：把模型扩展到三维空间，并同时考虑无人机的操作性能（主要考虑拐弯）和地形因素。
问题3：试讨论和分析你提出的模型的可行性，并做仿真分析。
附件一：雷达威胁的坐标方位表。
附件二：数字地图。
附件一：雷达威胁的平面坐标方位表起始点坐标[1,2] 目标点坐标[19,18]威胁点1坐标[7,20] 威胁点5坐标[13,4]威胁点2坐标[11,14] 威胁点6坐标[15,18]威胁点3坐标[9,6] 威胁点7坐标[14,17]威胁点4坐标[18,2] 威胁点8坐标[20,14]。
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易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t) Ce f (x0 )t x0 ,
关于x0是否稳定有以下结论：
这个结论对 于(4-1)也是
① 若 f (x0 ) 0, 则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f (x0 ) 0, 则x0是不稳定的.
Page 9
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0 x0稳定, x1不稳定
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0 x0不稳定, x1稳定
E~捕捞强度 r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
Page 16
华中农业大学数学建模基
Page 7
华中农业大学数学建模基
一阶微分方程模型平衡点的稳定性
由于 f (x) f (x0 )(x x0 ),在讨论方程(4-1)的
稳性时，可用
来代替.
dx dt
f (x0 )(x x0 )
(4 2)
Page 8
华中农业大学数学建模基
一阶微分方程模型平衡点的稳定性
华中农业大学数学建模基
微分方程组的平衡点的稳定性
dx dt
f (x,
y),
dy
dt
g(x,
y).
代数方程组
(4 3)
f (x, y) 0,
g
(x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作
P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F( x) f ( x) h( x)
• 捕捞情况下渔场鱼量满足
x(t) F (x) rx(1 x ) Ex N
Page 15
华中农业大学数学建模基
产量模型
F(x) 0
平衡点
E
x0 N (1
), r
x1 0
稳定性判断 F ( x0 ) E r, F ( x1 ) r E
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
Page 14
华中农业大学数学建模基
产量模型
假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
x(t) f (x) rx(1 x ) N
x(t) ~ 渔场鱼量，r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
Page 10
华中农业大学数学建模基
微分方程组的平衡点的稳定性
如果
lim
t
x(t)
x0 ,
lim
t
y(t)
y0 ,
则称平衡点P0是稳定的.
Page 11
华中农业大学数学建模基
微分方程组的平衡点的稳定性
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设
f (P0 )
p
f
(P0 x
一 微分方程模型 二 差分方程模型
Page 4
华中农业大学数学建模基
在研究实际问题时, 我们常常不能直接 得出变量之间的关系，但却能容易得出包含 变量导数在内的关系式，这就是微分方程.
在现实社会中，又有许多变量是离散变 化的，如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联 系连续与离散变量的一座桥梁.
产量模型－最大产量
F(x) f (x) h(x)
y
f (x) rx(1 x ) N
hm h
h(x) Ex
图解法
y=rx y=E*x
y=h(x)=Ex
P*
P
y=f(x)
F(x) 0 f 与h交点P
E r x0稳定
产量最大
0
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
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一维微分方程模型平衡点的稳定性
设
dx f (x) dt
(4 1)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1)的平 衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果
lim
t
x(t)
x0
则称平衡点x0是稳定的.
数学建模
微分与模糊专题
专题板块系列
1
概率统计专题
2
优化专题
3
模糊方法及微分方程专题
4
图论专题
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模糊方法及微分方程专题
模糊微分
Part1: 微分方程
Part2: 模糊数学
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part1：微分方程
P*( x0* N / 2, hm rN / 4) E* hm / x0* r / 2
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
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效益模型
假设 • 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c
收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润 R T S pEx cE
)
g ( P0 y
)
,
q
x g(P0 )
x
f (P0 ) y
g(P0 ) y
则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.
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稳定性模型
•建模目的是研究时间充分长以后过程的变 化趋势 ——平衡状态是否稳定。
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不管是微分方程还是差分方程模型，有时 无法得到其解析解 (必要时，可以利用计算机 求其数值解 )，既使得到其解析解，尚有未知 参数需要估计 (这时可利用第二章参数估计方 法).
而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋 势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性 加以讨论.
•不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
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实例： 捕鱼业的持续收获
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与非再生 资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕 捞使产量最大或效益最佳。
稳定平衡点
x N(1 E / r) 0 R(E) T (E) S(E) pNE(1 E ) cE r
求E使R(E)最大
ER
r (1 2
c )
pN
E*
r 2
渔场 鱼量