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子空间直和的判定与证明子空间直和的判定与证明一、直和的定义：设V1，V2是线性空间V的子空间，如果和V1+V2中每个向量α的分解式α=α1+α2，α1?V1，α2?V2，是惟一的，这个和就称为直和，记为V1⊕V2.二、判定定理：1.定理：和V1+V2是直和的充分必要条件是等式α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）只有在αi全为零向量时才成立.证明：要证明零向量的分解式是唯一的即可。
必要性：显然成立；充分性：设α?V1+V2，它有两个分解式α=α1+α2=β1+β2，αi,βi?Vi （i=1,2）于是（α1-β1）+（α2-β2）=0.其中αi-βi?Vi （i=1,2）.由定理的条件，应有α1-β1=0，αi=βi （i=1,2）.这就是说，向量α的分解式是唯一的。
2.定理：和V1+V2为直和的充分必要条件是V1∩V2={0}.证明：充分性：假设α1+α2=0，αi?Vi （i=1,2）那么α1=-α2? V1∩V2.由假设α1=α2=0.这就是证明了V1+V2是直和。
必要性：任取向量α?V1∩V2，于是零向量可以表成0=α+（-α），α?V1，—α?V2.因为是直和，所以α=-α=0，这就证明了V1∩V2={0}.3.定理：设V1，V2是线性空间V的子空间，令W= V1+V2，则W= V1⊕V2的充分必要条件是维（W）=维（V1）+维（V2）.证明：充分性：维（W）=维（V1）+维（V2），由维数公式知，维（V1∩V2）=0，则V1∩V2={0}，由定理2得，V1+V2是直和。
必要性：因为维（W）+维（V1∩V2）=维（V1）+维（V2），由定理2得，V1+V2是直和的充分必要条件是V1∩V2={0}，这与维（V1∩V2）=0等价，则维（W）=维（V1）+维（V2）.4.定理：设U是线性空间V的一个子空间，那么一定存在一个子空间W，使V=U⊕W.证明：取U得一组基α1，……，αm，把它扩充为V的一组基α1，……，αm，αm+1，……，αn，令W=L（αm+1，……，αn）.W即满足条件。
线性子空间直和证明的若干探讨郭倩 向虎周 刘丹华中农业大学理学院，武汉，湖北，430070摘要：线性空间是高等代数最基本的概念之一(见文献[1])，线性子空间是线性空间这一抽象概念所生发出的重要知识点，而线性子空间的直和是线性子空间之间的一种特殊运算，直和是一种要求更高的和，关于直和的证明有一道典型题目：证明()A A L +()A A E L +-⊕ n R =（n m R A ⨯∈,+A 为A 的广义逆）。
本文将以此题为重点进行展开，通过数种不同证法的展示来探讨直和的证明,给出了一般直和的通用证法。
关键词：线性子空间；直和；证明一、 引言线性代数是很多非数学类专业的公共基础课之一。
线性代数是数学类专业的骨干基础课程，线性空间对很多数学知识有领导作用（侯维民教授）。
线性代数是代数学中应用最广泛的部分之一,它对培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、解决实际问题的能力有重要的意义(文献[2])。
线性代数的基本概念和理论在数学各分支中是一种“通用语言”, 有着基础性的地位, 在科学技术各领域中更有多方面的重要应用, 是理工科大学生的必修课程(文献[3])。
线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念。
单个线性空间有自己的性质和运算法则，同时空间与空间之间相互嵌套，每个线性空间都有自己的子空间。
空间与空间之间会产生新的定义和运算，如空间的和与交。
空间的和与交的概念比线性空间的其他概念更为抽象，证明更加困难，只有掌握清楚了子空间的这些最为抽象的运算，才能对线性空间这一知识点有整体的把握。
子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象、证明困难，但仍然有规律可循。
只要掌握了方法，便能得心应手，本文便致力于此。
研究线性空间直和问题的文章有很多，大多都是研究某种直和的具体模型，如直和与特殊矩阵、直和与线性变换、直和的分解定理、直和与哈密尔顿-凯莱公式等。
本文主要研究研究线性空间直和的两种基本模型，对常见的直和问题做出归纳整理。
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和的证明方法及应用是一个重要的概念，也称为微分空间直和原理。
它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性，甚至可以用来证明不同类型的空间布局的等价性。
子空间直和定理指出，一个空间可以转化为其子空间的“直和”；也就是说，可以将原空间分解为若干子空间，并使用这些子空间重新构建原空间。
通常情况下，证明子空间直和会主要做以下几步：
（1）首先证明原空间本身是由它的一系列子空间组成的；（2）接着将上面的子空间称之为有界空间；
（3）然后，可以使用微分空间的直和原理将有界空间的子空间结合起来，并且令其它的子空间等价的表示出来。
高等代数中子空间直和的应用十分广泛，它可以用来证明各种类型的几何图形及其他几何结构的等价性。
例如，如果旋转某一几何图形，某一点会绕着某一点旋转，其他点会随之旋转，从而引出旋转群的概念，并被用于更具体的应用，比如识别特征。
另外，如果将空间分割为平面和三维空间，我们可以使用子空间直和原理来证明任意空间的几何结构的等价性，而不管它处于何种空间内。
此外，子空间直和在研究几何重整学中也非常有用，它可以用来证明形状重整的可能性，例如将正六边形重整为正三角形，可以用它来研究多维空间中的曲线和曲面，以及连通性等相关问题。
总之，高等代数中子空间直和的证明方法及应用十分广泛，可以帮助我们更好地理解几何图形、多维空间及其他几何结构的等价性，从而应用到实际中。
子空间的直和与因子空间子空间是线性代数中的重要概念，它在研究向量空间时起着关键的作用。
子空间的直和和因子空间是子空间的重要衍生概念，它们在向量空间的分割和表示上发挥着重要的作用。
一、子空间的直和子空间的直和是指由两个或多个子空间组成的全新子空间。
设V是向量空间，W1和W2是V的两个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1和W2的直和，记作V=W1⊕W2。
例如，若V=R3，W1是R3中所有满足x1+x2+x3=0的向量构成的子空间，W2是R3中所有满足2x1-3x2+x3=0的向量构成的子空间。
则V是W1和W2的直和。
直和的概念可以推广到多个子空间的情况。
设V是向量空间，W1、W2、...、Wn是V的n个子空间。
如果V中的任意一个向量既可以表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和，又可以唯一地这样表示，那么我们就称V是W1、W2、...、Wn的直和，记作V=W1⊕W2⊕...⊕Wn。
子空间的直和具有以下性质：1. 若V=W1⊕W2，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1中的一个向量和W2中的一个向量之和。
2. 若V=W1⊕W2⊕...⊕Wn，则V中的任意一个向量都可以唯一地表示为W1、W2、...、Wn中的向量之和。
二、因子空间因子空间（也称为商空间）是指用一个向量空间V的子空间W对V进行分割而得到的新的向量空间。
设V是向量空间，W是V的子空间，我们记为V/W。
在V/W中，等价类[x]代表了所有形如x+w的向量的集合，其中x属于V，w属于W。
换言之，[x]是由W平移x得到的平行于W的子空间。
因子空间的概念可以理解为对子空间的一种降维运算。
通过因子空间，我们可以将原始向量空间V映射到一个低维的向量空间，而这个低维空间的维度就是原始向量空间V中子空间W的维度。
因子空间在理论研究和实际计算中都有广泛的应用和意义。
三、子空间的直和与因子空间的关系子空间的直和与因子空间之间存在着密切的关系。
高等代数中子空间直和的证明方法及应用高等代数中子空间直和可以证明向量空间中子空间的组合是一个新的子空间。
它有助于理解整个子空间的构成，例如子空间变换，因此，在高等代数中应用这一方法非常常见。
子空间直和的证明方法主要有两种：结构性证明和数学归纳法证明。
结构性证明由于其较好的直观效果，通常被推荐用来证明子空间直和。
结构性证明的步骤如下：首先，在子空间V和W中定义两个线性表达式a和b，满足ax + bz = 0，这样就定义了子空间V和W的和空间。
其次，证明任何向量x + z在子空间V和W中均为零。
对于任意给定的向量x + z，设α和β分别为它在V和W中的系数，由于αx + βz = 0，所以它必定等于零。
最后，证明每个给定的向量限于V和W的和的子空间。
由于它们均可以由V和W中定义的线性组合给出，因此限于V和W的和的子空间中的任何向量必定都可以写成V和W的线性组合。
这就是子空间直和的证明。
子空间直和在多个领域中得到了广泛应用，如数值分析、线性代数、统计学中等。
在数值分析中，子空间直和常常用于求解多元函数的最小值。
由于多元函数的大部分特性都可以用子空间直和来表示，所以在求解最优解时，可以使用它来作为一种简单的证明方法。
在线性代数中，子空间直和可以用来证明一个矩阵A的某个子空间P是一个空间基的子空间。
由于任意矩阵A都可以由一组空间基来表示，因此用子空间直和来证明一个矩阵A的子空间P是一个空间基子空间有其独特的优势。
在统计学中，子空间直和可以用来求解某类随机变量的数学期望。
假设X和Y是两个独立的变量，则E(X + Y) = E(X) + E(Y)。
由于E(X + Y) = E(X) + E(Y)，因此它可以用来证明任何随机变量的数学期望的等式。
总之，高等代数中的子空间直和可以用来证明子空间的组合是一个新的子空间，而证明方法主要有结构性证明和数学归纳法证明，并在数值分析、线性代数、统计学等多个领域得到广泛应用。
子空间直和的判定与证明子空间的直和是指两个或多个子空间的并等于它们的直和。
在线性代数中，我们经常需要判断两个子空间的直和关系，并且需要给出证明。
下面将详细介绍子空间直和的判定和证明方法。
首先，我们先回顾子空间的定义。
设V是一个线性空间，U和W是V 的两个非空子集。
如果U和W都是V的子空间，并且U和W的和空间等于V，即U+W=V，则称U和W是V的一个直和，记作V=U⊕W。
接下来我们来讨论子空间直和的判定方法。
设V是一个线性空间，U 和W是V的两个子空间。
要判断U和W是否是V的直和，我们需要验证以下三个条件：1.U+W=V：也就是说，对于V中的任意一个向量v，都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
2.U∩W={0}：也就是说，U和W的交集只包含零向量。
3.U和W的交集只有零向量时，任意向量u+w=0的表示方式唯一、也就是说，如果u1+w1=u2+w2，其中u1和u2属于U，w1和w2属于W，则u1=u2，w1=w2当满足上述三个条件时，我们可以得出结论，U和W是V的直和。
接下来我们来看一个具体的例子，并给出证明。
例子：设V=R^3，U和W是V的两个子空间，其中U={(x,y,z)，x+y+z=0}W={(x,y,z)，x=y=z}我们需要判断U和W是否是V的直和。
首先，我们验证条件1：对于V中的任意一个向量(x,y,z)，是否都可以表示为v=u+w的形式，其中u属于U，w属于W。
可以取一个任意向量(x,y,z)，我们需要找到u和w，使得x=u+w满足。
观察U的定义可以得到，当x+y+z=0时，向量(x,y,z)属于U。
同理，当x=y=z时，向量(x,y,z)属于W。
当我们取u=(x,y,z)和w=(0,0,0)时，显然u属于U，w属于W，并且u+w=(x,y,z)。
所以，条件1满足，即U+W=V。
其次，我们验证条件2：是否有U∩W={0}。
显然，U和W的交集就是满足x+y+z=0且x=y=z的向量。
㊀㊀㊀㊀㊀１４４㊀关于线性子空间直和几个等价命题的证明关于线性子空间直和几个等价命题的证明Һ赵云平㊀（滇西科技师范学院数理学院，云南㊀临沧㊀６７７０９９）㊀㊀ʌ摘要ɔ线性子空间直和理论是数学专业高等代数课程的重要内容之一，也是难点之一，其中蕴含着线性空间分解思想，其在理论上和实际上有着重要的价值．许多教材对线性子空间直和问题进行了探讨，并给出了一些重要结论，但对于子空间直和等价命题的证明却不太详细．本文以线性子空间直和的相关概念为基础，叙述了子空间直和的５个等价命题，并证明了这５个命题彼此等价．ʌ关键词ɔ线性空间；子空间直和；等价命题；证明引㊀言子空间的直和是子空间和运算的一种特殊情形，是高等代数课程的重要概念之一，直和的概念强调首先是和，然后要求满足每个向量分解是唯一的．对于这种特殊的子空间和运算，用定义证明或检验直和问题有时很困难㊁很抽象，需要更深入地研究它的性质．本文叙述了线性子空间直和的５个等价命题，先分析各等价命题的含义及相互关系，再通过循环论证的方法加以证明．这些命题以不同形式刻画了子空间直和，为进一步认识和理解子空间直和提供了具体的模式，为高等代数中一系列重要定理提供了有力依据．学好子空间直和对研究整个子空间及研究整个线性空间的结构起到了非常重要的作用．一㊁预备概念定义１㊀数域Ｋ上线性空间Ｖ的一个非空子集Ｕ若对于Ｖ的加法与数量乘法也构成Ｋ上的线性空间，则称Ｕ是Ｖ的一个线性子空间，简称为子空间．定义２㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上线性空间Ｖ的子空间，则Ｖ的子集｛α１ң＋α２ңα１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２｝是Ｖ的一个子空间，称它是Ｖ１与Ｖ２的和，记作Ｖ１＋Ｖ２，即Ｖ１＋Ｖ２＝｛α１ң＋α２ңα１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２｝．定义３㊀设Ｖ１与Ｖ２都是线性空间Ｖ的子空间，若Ｖ１＋Ｖ２中每个向量αң能唯一表示成αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，则称Ｖ１＋Ｖ２是直和．定义４㊀设Ｓ是Ｖ的任一无限子集，若Ｓ有一个有限子集是线性相关的，则称Ｓ是线性相关的；若Ｓ的任何有限子集都是线性无关的，则称Ｓ是线性无关的．定义５㊀若从ｋ１α１ң＋ｋ２α２ң＋ ＋ｋｓαｓң＝０ң可以推出ｋ１＝ｋ２＝ ＝ｋｓ＝０，则称向量组α１ң，α２ң， ，αｓң是线性无关的．定义６㊀设Ｖ是数域Ｋ上的线性空间，Ｖ中的向量组α１ң，α２ң， ，αｒң若满足下述两个条件：①α１ң，α２ң， ，αｒң线性无关；②Ｖ中的每一个向量都可由α１ң，α２ң， ，αｒң线性表出，则称α１ң，α２ң， ，αｒң是Ｖ的一个基．定义７㊀在数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ中，向量组α１ң，α２ң，，αｒң的所有线性组合组成的集合是Ｖ的一个子空间，称它为α１ң，α２ң， ，αｒң生成的子空间，记作 α１ң，α２ң， ，αｒң⓪．定理１㊀如果一个集合线性无关，那么它的任何一个有限子集也线性无关．定理２㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ的有限维子空间，则Ｖ１＋Ｖ２，Ｖ１ɘＶ２也是有限维的，ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２＝ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＋ｄｉｍ（Ｖ１ɘＶ２）．定理３㊀设Ｖ１与Ｖ２都是数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ的有限维子空间，则ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２⇔Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝．命题１㊀设α１ң，α２ң， ，αｒң与β１ң，β２ң， ，βｓң是数域Ｋ上线性空间Ｖ的两个向量组，则α１ң， ，αｒң⓪＋ β１ң， ，βｓң⓪＝ α１ң， ，αｒң，β１ң， ，βｓң⓪命题２㊀在数域Ｋ上ｎ维线性空间Ｖ中，若每一个向量都可以由α１ң，α２ң， ，αｎң线性表出，则α１ң，α２ң， ，αｎң是Ｖ的一个基．二㊁命题描述及等价性证明定理４㊀设Ｖ１与Ｖ２都是线性空间Ｖ的有限维子空间，则下列命题等价：（１）Ｖ１＋Ｖ２是直和；（２）Ｖ１＋Ｖ２中０ң的表示方法唯一；（即若０ң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，又０ң总是可以表示成０ң＝０ң＋０ң，则意味着α１ң＝０ң且α２ң＝０ң）（３）Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝；（即交集是一个零子空间，只含有零㊀㊀㊀１４５㊀㊀向量）（４）Ｖ１的一个基ｓ１与Ｖ２的一个基ｓ２的并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基；（５）ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２．证明：（１）⇒（２），由定义３，因为Ｖ１＋Ｖ２是直和，所以Ｖ１＋Ｖ２中任何一个向量αң都能唯一表示成αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，所以（２）显然成立；或用反证法，设零向量有两种不同的表示方法，０ң＝０ң＋０ң，０ң＝ｂ１ң＋ｂ２ң，ｂ１ңɪＶ１，ｂ２ңɪＶ２，即０ң＋０ң＝ｂ１ң＋ｂ２ң，则直和Ｖ１＋Ｖ２中任一向量αң就有两种不同的表示方法，αң＝α１ң＋α２ң，αң＝（α１ң＋ｂ１ң）＋（α２ң＋ｂ２ң），这与直和的定义矛盾，因此（２）成立．（２）⇒（３），任取αңɪＶ１ɘＶ２，则αңɪＶ１且αңɪＶ２，因为Ｖ２是子空间对数乘封闭有负元，所以（－１）αң＝－αңɪＶ２，又０ң＝αң＋（－αң），由（２）得αң＝０ң，从而Ｖ１ɘＶ２＝｛０ң｝．（３）⇒（１），任取αңɪＶ１＋Ｖ２，假设αң有两种表示方法：αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，αң＝β１ң＋β２ң，β１ңɪＶ１，β２ңɪＶ２，则α１ң＋α２ң＝β１ң＋β２ң（只需证明α１ң＝β１ң，α２ң＝β２ң，则表法唯一），有α１ң－β１ң＝β２ң－α２ңɪＶ１ɘＶ２（因为Ｖ１与Ｖ２都是子空间对加法和数乘封闭，有α１ң－β１ңɪＶ１，β２ң－α２ңɪＶ２），由（３）得α１ң－β１ң＝０ң，β２ң－α２ң＝０ң，从而α１ң＝β１ң，α２ң＝β２ң，因此Ｖ１＋Ｖ２是直和．综上，（１）⇒（３），（３）⇒（２），（２）⇒（１）显然成立．下面证（２）⇒（４），要证并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基的第一条件是证明ｓ１ɣｓ２线性无关．由定义４，任取ｓ１ɣｓ２的一个有限子集｛γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ｝，其中γ１ң， ，γｔңɪｓ１，δ１ң， ，δｓңɪｓ２，按定义５，设（ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔң）＋（ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓң）＝０ң，其中ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔңɪＶ１，ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓңɪＶ２，由（２）得ｋ１γ１ң＋ ＋ｋｔγｔң＝０ң，ｌ１δ１ң＋ ＋ｌｓδｓң＝０ң，因为ｓ１，ｓ２是基，基是线性无关的，由定理１，ｋ１＝ ＝ｋｔ＝０，且ｌ１＝ ＝ｌｓ＝０，因此｛γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ｝线性无关，ｓ１ɣｓ２的任何一个有限子集线性无关，从而ｓ１ɣｓ２线性无关．要证并集ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基的第二条件是证明Ｖ１＋Ｖ２中的每一个向量可由它线性表出．任取Ｖ１＋Ｖ２中的一个向量αң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，由于ｓ１是Ｖ１的一个基，因此α１ң可由ｓ１中有限多个向量线性表出，同理，α２ң可由ｓ２中有限多个向量线性表出．于是αң＝α１ң＋α２ң可以由ｓ１ɣｓ２中有限多个向量线性表出．因此，ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基．（４）⇒（２），设０ң＝α１ң＋α２ң，α１ңɪＶ１，α２ңɪＶ２，由于ｓ１是Ｖ１的一个基，γ１ң， ，γｔңɪｓ１，因此α１ң＝ａ１γ１ң＋ ＋ａｔγｔң（Ｖ１中的每一个向量可由基ｓ１中的有限个向量线性表出），同理α２ң＝ｂ１δ１ң＋ ＋ｂｓδｓң，从而０ң＝（ａ１γ１ң＋ ＋ａｔγｔң）＋（ｂ１δ１ң＋ ＋ｂｓδｓң），由于γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓɪｓ１ɣｓ２，因此根据（４），ｓ１ɣｓ２是Ｖ１＋Ｖ２的一个基，可得ｓ１ɣｓ２是线性无关的，由定理１，γ１， ，γｔ，δ１， ，δｓ线性无关，所以ａ１＝ ＝ａｔ＝ｂ１＝ ＝ｂｓ＝０，于是α１ң＝０ң，α２ң＝０ң，因此Ｖ１＋Ｖ２中０ң的表法唯一．（３）⇔（５）由定理２可证．（５）⇒（４），设ｓ１＝｛γ１ң， ，γｓң｝是Ｖ１的一个基，ｓ２＝｛δ１ң，，δｒң｝是Ｖ２的一个基，则Ｖ１＋Ｖ２＝ γ１ң， ，γｓң⓪＋ δ１ң， ，δｒң⓪＝γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң⓪，因为ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２＝ｓ＋ｒ，且Ｖ１＋Ｖ２的每一个向量可由γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң线性表出，所以γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң是Ｖ１＋Ｖ２的一个基．（４）⇒（５），设ｓ１＝｛γ１ң， ，γｓң｝是Ｖ１的一个基，ｓ２＝｛δ１ң，，δｒң｝是Ｖ２的一个基，并集ｓ１ɣｓ２＝｛γ１ң， ，γｓң，δ１ң， ，δｒң｝是Ｖ１＋Ｖ２的一个基，则ｄｉｍ（Ｖ１＋Ｖ２）＝ｓ＋ｒ＝ｄｉｍＶ１＋ｄｉｍＶ２，（５）成立．结㊀语至此，子空间直和的５个等价命题得到了证明．这５个命题的描述形式虽然不同，但都刻画了子空间的直和．这样我们在解决有关子空间直和问题时，表述的方式就更加多样化了，可用等价命题互相代替．事实上，线性子空间的直和可被推广到有限多个子空间的直和，也可以推广到无限多个子空间的直和．ʌ参考文献ɔ［１］北京大学数学系前代数小组．高等代数（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１５．［２］张禾瑞．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．［３］丘维声．高等代数（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［４］邱森，朱林生．高等代数探究性课题集［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２０１２．［５］姚慕生，吴泉水．高等代数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２０１４．。
线性子空间直和证明的若干探讨郭倩向虎周刘丹华中农业大学理学院，武汉，湖北，430070摘要：线性空间是高等代数最基本的概念之一(见文献[1])，线性子空间是线性空间这一抽象概念所生发出的重要知识点，而线性子空间的直和是线性子空间之间的一种特殊运算，直和是一种要求更高的和，关于直和的证明有一道典型题目：证明()A A L +()A A E L +-⊕n R =（n m R A ⨯∈,+A 为A 的广义逆）。
本文将以此题为重点进行展开，通过数种不同证法的展示来探讨直和的证明,给出了一般直和的通用证法。
关键词：线性子空间；直和；证明一、引言线性代数是很多非数学类专业的公共基础课之一。
线性代数是数学类专业的骨干基础课程，线性空间对很多数学知识有领导作用（侯维民教授）。
线性代数是代数学中应用最广泛的部分之一,它对培养学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、解决实际问题的能力有重要的意义(文献[2])。
线性代数的基本概念和理论在数学各分支中是一种“通用语言”,有着基础性的地位,在科学技术各领域中更有多方面的重要应用,是理工科大学生的必修课程(文献[3])。
线性空间是线性代数中的重要知识点，线性空间也是线性代数中最为抽象的概念。
单个线性空间有自己的性质和运算法则，同时空间与空间之间相互嵌套，每个线性空间都有自己的子空间。
空间与空间之间会产生新的定义和运算，如空间的和与交。
空间的和与交的概念比线性空间的其他概念更为抽象，证明更加困难，只有掌握清楚了子空间的这些最为抽象的运算，才能对线性空间这一知识点有整体的把握。
子空间的和，尤其是直和虽然概念抽象、证明困难，但仍然有规律可循。
只要掌握了方法，便能得心应手，本文便致力于此。
研究线性空间直和问题的文章有很多，大多都是研究某种直和的具体模型，如直和与特殊矩阵、直和与线性变换、直和的分解定理、直和与哈密尔顿-凯莱公式等。
本文主要研究研究线性空间直和的两种基本模型，对常见的直和问题做出归纳整理。
本文模型一中的前三个等价条件在文献[1]中都可找到，故不详述。
第四个等价条件在文献[4]和文献[5]中都有类似提到，本文给出了不同的证明方法。
本文模型二中的第三种组合在文献[6]有提到，本文的证法与之类似，同时结合了典型例题。
本文的特点是归纳和整理出了线性空间直和常见的形式，同时结合了典型例题去探讨本文整理所的方法的具体应用。
(本文只探讨两个子空间的直和，两个以上的子空间的直和可推广得来)二、子空间直和概念的初步探讨(模型一)定义：设1V ，2V 是线性子空间V 的子空间，如果和21V V +中的每个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)，是唯一的，这个和就称为直和，记为21V V ⊕。
(文献[1])初步探讨：在前提条件：21V V V +=下，21V V V ⊕=的等价条件：1：V 中每个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α(i =1,2)是唯一的；2：等式021=+αα，i i V ∈α)2,1(=i 只有在i α全为零向量时才成立；3：{}021=V V ；4：V 中存在一个向量α的分解式21ααα+=，i i V ∈α)2,1(=i 是唯一的。
说明：充分必要条件1，2，3的证明见文献[1]充分必要条件4的证明如下:法Ⅰ：先证必要性:由直和⇒条件4由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。
再证充分性:由条件4⇒直和易知条件3⇔直和，故可由条件4⇒条件3⇒直和。
不妨证明“条件4⇒条件3”的逆否命题：若1V 2V {}0≠，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一假设1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，),,,(321k L V V γγγ =则任意∈α(21V V +)=),,,,,,,(212121k k L βββααα 必有221111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由1V 2V {}0≠可知3,,,21k γγγ 必不全为0.不妨假设1γ不为0，则+++++=)(1221111γααααn l l l k k )(1222112111γβββn l l l k k k k k -++++++ (),2,1 =n 易知112211)(11V n l l l k k ∈++++γααα ,212211)(22111V n l l l k k k k k ∈-++++++γβββ .且随着n 的变化α的分解便不同，故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯一。
所以，“条件4⇒条件3”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件3”成立，故原命题充分性可证。
法Ⅱ：先证必要性：由直和⇒条件4由定义可知21V V +中每个向量α的分解式唯一，自然存在一个属于21V V +的向量的分解式唯一。
再证充分性：由条件4⇒直和易知条件2⇔直和，故可由条件4⇒条件2⇒直和。
不妨证明“条件4⇒条件2”的逆否命题：若0向量的分解式不唯一，则任意∈α(21V V +)的分解式必不唯一假设1V =L ),,,(121k ααα ，2V ),,,(221k L βββ =，则任意的向量∈α(21V V +)=),,,,,,,(212121k k L βββααα 必有221111122112211k k k k k k k l l l l l l βββαααα++++++++++= 由0向量的分解式不唯一可知，不妨假设存在0=0+0=21γγ+，(21,γγ不全为0，且2211,V V ∈∈γγ)，则)()(22211122112211111γβββγαααα+++++++++=+++k k k k k k k l l l l l l 故可知任意向量∈α(21V V +)的分解式必不唯一所以，“条件4⇒条件2”的逆否命题成立，故“条件4⇒条件2”成立，故原命题充分性可证。
综上可以把初步探讨的结果整合一下：①直和：和空间每个向量分解唯一⇔和空间存在一个向量分解唯一⇔和空间的0向量分解唯一。
②和空间的0向量分解唯一⇔{}021=V V 。
三、直和证明的新思路（模型二）问题：如果1V ,2V 是V 的线性子空间，怎样证明V V V =⊕21呢？需要什么条件呢？解析：有三个条件：①V V V =+21；②维(1V )+维(2V )=维(V )；③{}021=V V ；三个条件任意两个组合都能证出V V V =⊕21。
简单说明：第一种组合：V V V =+21且维(1V )+维(2V )=维(V )由维数公式：维(21V V +)+维)(21V V =维(1V )+维(2V )可得，维)(21V V =0,即{}021=V V ,且V V V =+21.故V 是1V ,1V 的直和，即V V V =⊕21。
第二种组合：V V V =+21且{}021=V V 这个由充分必要条件3可知。
第三种组合：维(1V )+维(2V )=维(V )且{}021=V V 假设V 的维数为n ，设1,,,21k ααα 为1V 的一组基，2,,,21k βββ 为2V 的一组基，由维(1V )+维(2V )=维(V )可推出nk k =+21且由{}021=V V 可知1,,,21k ααα ,2,,,21k βββ 线性无关。
故1,,,21k ααα ,2,,,21k βββ 可作为V 的一组基，可表出V 中的任一向量，即VV V =+21且{}021=V V .由充分必要条件3可知V V V =⊕21。
四、典型试题的证明与分析定义补充：1：矩阵n m R A ⨯∈，如果存在矩阵B m n R ⨯∈使得A ABA =和B BAB =都成立，则称B 为A 的广义逆，记作+A 2：矩阵n n R A ⨯∈，)(A L 为由A 的列向量作为生成向量所生成的线性空间题目：n m R A ⨯∈，证明()()nR A A E L A A L =-⊕++解析：依据三的分析，可证①②③三个条件。
证①：法Ⅰ：设任意n R X ∈,()()()X A A E X A A X A A E A A EX X ++++-+=-+==，即X 可以被A A +A A E +-的列向量线性表出。
故()()nR A A E L A A L =-+++法Ⅱ：设()n A A ααα 21,=+,()n n A A E αεαεαε---=-+ ,,2211则有（n εεε 21,为n R 的一组标准基）：()()()n n n L A A E L A A L αεαεαεααα---=-+++ ,,,,221121易知n ααα 21,,n n αεαεαε--- ,,2211能线性表出n εεε 21,而nεεε 21,能线性表出n R 中的任意向量，故()()nR A A E L A A L =-+++法Ⅲ：设()A A E A A L ++-,的维数为m (A A r m +=)A A E +-(A A r +=)E因为n n R A A ⨯+∈,nn R A A E ⨯+∈-所以A A r +()A A E +-n ≤又因为A A r +(n E ≥)(易知E 的秩为n )所以A A r +()A A E +-n =，nm =故可以从A A L +()L +(+-A E )A 中找出n 个线性无关的向量作为n R 的一组基即()()nR A A E L A A L =-+++证②：法Ⅰ：由+A +AA +=A →A A +A A +=AA +即(+-A E )A A A +0=不妨令+A A (=1α2,α ,n α,),则可把1α2,α ,n α,看作齐次线性方程组(+-A E )A 0=X 的解,则可得+A r (A )n ≤r -(+-A E )A 即+A r (A )+(r +-A E )A n≤又由→+≤+)()()(B r A r B A r (r +-A E +A +A A )≤+A r (A )+(r +-A E )A 即+A r (A )+(r +-A E )A nE r =≥)(故+A r (A )+(r +-A E )A n=即维L ((+-A E )A )+维(+A L ()A )n=法Ⅱ：+A r (A )+(r +-A E )A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++++++E r A A E A A r A A E A A A A r A A E A A r 00000000故+A r (A )+(r +-A E )A n=即维L ((+-A E )A )+维(+A L ()A )n=证③：法Ⅰ：令+A A (=1α2,α ,n α,),(+-A E )A 1(β=2,βn β,, )若有一向量n R ∈α使得∈α+A L ()A 且∈αL (+-A E )A ,则可设=α+A A 1X =(+-A E )A 2X 两边同乘以+A A+A A (+A A 1X )=+A A (+-A E )A 2X 0=而+A A (+A A 1X )=+A A +A A 1X =+A A 1X 故+A A 1X 0=可得+A L (A ) L (+-A E )A {}0=法Ⅱ：令+A A (=1α2,α ,n α,),(+-A E )A 1(β=2,βn β,, )若有一向量n R ∈α使得∈α+A L ()A 且∈αL (+-A E )A ,则可设=α+A A 1X =(+-A E )A 2X 由+A +AA +=A →+A A +A A =+A A即(+-A E )A +A A 0=则(+-A E )A +A A 1X 0=即(+-A E )A =α0①同理可得+A A ((+-A E )A 2X 0)=即+A A =α0②把②代入①,-αE +A A ,0=α=α0故+A L (A ) L (+-A E )A {}0=综上，①②③的证法间随意组合都能证出+A L ()A ⊕L (+-A E )A n R =故此题最终可得十余种证法。
