§3-3 面积坐标及体积坐标在研究高次单元时，仍采用直角坐标多项式的位移函数，求解时非常繁杂，为了简化计算，多采用局部坐标。
在这一节里介绍一种三角形面积坐标和体积坐标。
一、面积坐标1. 定义● 在如图3-15所示的三角形单元中，任一点p 的位置，它在直角坐标系中可用坐标值(x,y)来确定。
● 如果连接pi 、pj 、pm 则形成三个小三角形pjm 、pmi 、pij ，当x,y 值确定后，则三个小三角形的面积也就确定了。
反之，当三个小三角形面积确定后，p 点的位置也就确定了。
由此可见，三角形单元中任意一点p 的位置，除了用直角坐标x,y 确定外，还可以用p 点与三个节点所形成的三个小三角形的面积来确定。
● 也就是说，三具小三角形的面积与P 点的位置具有一一对应关系，可以做为坐标使用。
以△i 、△j 、△m 分别表示与i 、j 、m 三个节点相对的pjm 、pmi 、pij 三个小三角形的面积，令Li 、Lj 、Lm 分别表示三个小三角形面积与三角形单元面积△的比值，即∆∆=i i L ∆∆=jj L ∆∆=m m L (3-74)则这三个比值就称为三角形单元中p 点的面积坐标。
显然，面积坐标有下面的特性：（1） 三个面积坐标并不是互相独立的。
由于 i j m ∆+∆+∆=∆ 所以1=++m j i L L L (3-75)其中任意一个面积坐标可以用另两个面积坐标来表示。
（2） 面积坐标是一种局部坐标这里所引用的面积坐标，只限于用在一个三角形单元之内，在该三角形之外则无定义，因而是一种局部坐标。
而以前所用的直角坐标系则是一种整体坐标，即通用于整个变形体。
（3） 特殊的点线坐标 根据面积坐标定义，pi pi i i i i h mj h L h h mj∆===∆图3-15 三角形面积坐标● 平行于jm 边的任一直线上所有各点的面积坐标Li 都相等，在图3-15中可看出，在平行于jm 边的任一直线上所有各点与jm 边所构成的小三角形面积相等，所以该直线上所有各点的面积坐标Li 都相等，其值等于该直线至jm 边的距离与节点i 至jm 边的距离的比值。
