《旋转曲面的面积》PPT课件

§4 旋转曲面的面积一 微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x )的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x 处的值， 为小区间的长度),那么就把称为量 的元素并记做，即 dx x f dU )(= 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式：⎰badx x f )(例如求由两条曲线)(,)(21x f y x f y == (其中],[,21b a C f f ∈)及直线 b x a x ==, 所为成图形的面积A.容易看出面积元素dx x f x f DA |)()(|21-=于是得平面图形b x a x f y x f ≤≤≤≤,)()(21 的面积为⎰-=badx x f x f A |)()(|21采用微元法应注意一下两点：1）所求量 关于分布区间 具有代数可加性.2）)()(x o x x f U ∆=∆-∆对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：x y s xx S V xy S ∆'+≈∆∆≈∆∆≈∆21)(||二 旋转体的侧面积设y ＝y(x)于[a,b]上非负，且连续可微，该曲线绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积：2b aS π=⎰ 例1、 计算圆222R y x =+在],[],[21R R x x -⊂上的弧段绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 例2、 计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转后所得的旋转面的侧面积． 作业：P255 1（2）（3）， 3（2）。

第十章定积分的应用4 旋转曲面的面积一、微元法定义：已知：若φ(x)=⎰xf(t)dt，则当f为连续函数时，φ’(x) =f(x)，或adφ=f(x)dx，且φ(a)=0，φ(b)=⎰bf(t)dt.a现将问题倒过来，若所求量φ是分布在某区间[a,x]上的，或它是该区间端点x的函数，即φ=φ(x), x∈[a,b]，且当x=b时，φ(b)适为最终所求的值.在任意小区间[x,x+△x]⊂[a,b]上，若能把φ的微小增量△φ近似表示为△x的线性形式：△φ≈f(x)△x，其中f为某一连续函数，而且当△x→0时，△φ- f(x)△x=o(△x)，亦即dφ=f(x)dx，那么只要把定积分⎰bf(x)dx计算出来，就是该问题所求的结果，这种a方法通常称为微元法.注：1、所求量φ关于分布区间必须是代数可加的；2、微元法的关键是正确给出△φ的近似表达式△φ≈f(x)△x.应用：求平面图形面积的微元表达式：△A≈|y|△x，且dA=|y|dx. 求立体体积的微元表达式：△V≈A(x)△x，且dV=A(x)dx.求曲线弧长的微元表达式：△s≈2y1'+dx.+△x，且ds=2y1'二、旋转曲面的面积设光滑曲线C 的方程为y=f(x), x ∈[a,b]，不妨设f(x)≥0.曲线C 绕x 轴旋转一周得旋转曲面如图，可用微元法导出其面积公式. 通过x 轴上点x 与x+△x 分别作垂直于x 轴的平面，在旋转曲面上截得一狭带，当△x 很小时，近似于一圆台侧面，即△s ≈π[f(x)+f(x+△x)]22y x ∆+∆=π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x ，其中△y=f(x+△x)-f(x)，又y lim 0x ∆→∆=0,2x x y 1lim ⎪⎭⎫⎝⎛∆∆+→∆=)x (f 12'+. 由f ’(x)的连续性可保证：π[2f(x)+△y]2x y 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∆∆+△x-2πf(x))x (f 12'+△x=o (△x).∴dS=2πf(x))x (f 12'+, S=2π⎰'+ba2)x (f 1f(x )dx.若光滑曲线C 由参数方程：x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出，且y(t)≥0，则 由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为： S=2π⎰'+'βα22)t (y )t (x y(t)dt.例1：计算圆x 2+y 2=R 2在[x 1,x 2]⊂[-R,R]上的弧段绕x 轴旋转所得球带的面积.解：圆在x 轴上方的曲线为y=22x R -，则y ’=22xR x --，所得球带的曲面面积为：S=2π⎰-+⋅-21x x 22222xR x 1x R dx=2πR(x 2-x 1).注：当x 1=-R, x 2=R 时，则得球的表面积S 球=4πR 2.例2：计算由内摆线x=acos 3t,y=asin 3t 绕x 轴旋转所得旋转曲面面积。