2011年全国高中数学联合竞赛一试试题

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2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷）
考试时间：2011年10月16日 8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上． 1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
}8,5,3,1{-=B ，则集合=A
．
2．函数1
1)(2-+=x x x f 的值域为．
3．设b a ,为正实数，2211≤+b
a
，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．
4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．
6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．
二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)2
1()(++-=b b f a f ，
2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．
10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，
1
21
)1(2)32(11-+--+-=
++n n n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．
（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．
2009年全国高中数学联合竞赛加试
一、填空（共4小题，每小题50分，共200分）
1．如图，M ，N 分别为锐角三角形ABC ∆（A B ∠<∠）的外接圆Γ上弧BC 、AC 的中点．过
点C 作PC MN ∥交圆Γ于P 点，I 为ABC ∆的内心，连接PI 并延长交圆Γ于T ． ⑴求证：MP MT NP NT ⋅=⋅；
⑵在弧AB （不含点C ）上任取一点Q （Q A ≠，T ，B ），记AQC ∆，QCB △的内心分别为1I ，2I ，
I
T
Q P
N
M
C
B
A
求证：Q ，1I ，2I ，T 四点共圆．
2008年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）
一、（本题满分50分）
如题一图，给定凸四边形ABCD ，180B D ∠+∠<，P 是平面上的动点，令()f P PA BC PD CA PC AB =⋅+⋅+⋅．
（Ⅰ）求证：当()f P 达到最小值时，P A B C ,,,四点共圆；
（Ⅱ）设E 是ABC ∆外接圆O 的AB 上一点，满足：32
AE AB =
，31BC EC =-，1
2ECB ECA ∠=∠，又,DA DC 是O 的切线，2AC =，求()f P 的最小值．
2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷
（考试时间：上午10：00—12：00）
一、（本题满分50分）
如图，在锐角△ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，做PF ⊥AB ，垂足为F 。

O 1、O 2分别是△BDF 、△CDE 的外心。

求证：O 1、O 2、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是△ABC 的垂心。

塞瓦定理在△ABC 内任取一点O ，直线AO 、BO 、CO 分别交对边于D 、E 、F ，则 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1
三角形垂心的性质
设⊿ABC 的三条高为AD 、BE 、CF ，其中D 、E 、F 为垂足，垂心为H ，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，p=(a+b+c)/2．
1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外.
2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心；
3、垂心H 关于三边的对称点，均在△ABC 的外接圆上。

4、△ABC 中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AH ·HD=BH ·HE=CH ·HF 。

5、H 、A 、B 、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。

6、△ABC ，△ABH ，△BCH ，△ACH 的外接圆是等圆。

7、在非直角三角形中，过H 的直线交AB 、AC 所在直线分别于P 、Q ，则 AB/AP ·tanB+
O 2
O 1
F E
P D A B
C
三角形的垂心与外心的位置关系
AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC。

8、三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。

9、设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。

10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之
和的2倍。

11、锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。

12、西姆松(Simson)定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。

13、设锐角⊿ABC内有一点T，那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC*CA。

三角形的重心性质
1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。

2.2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3.3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

5.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。

三角形内心的性质
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．
2、∠BIC=90°+∠A/2．
3、如图在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
[]()c b a
OC
c
OB
b
OA
a
OI+
+
+
+
=/
6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr．
7、点O是平面ABC上任意一点，点O是△ABC内心的充要条件是：[]OC c
OB
b
OA
a+
+
=
0．8、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。

10、（内角平分线定理）△ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.。

2011年全国高中数学联赛一试试题参考答案与评分标准

(t 2 − x1 )(t 2 − x 2 ) + ( 2t − y 1 )( 2t − y 2 ) = 0 ，
即 t 4 − ( x1 + x 2 )t 2 + x1 ⋅ x 2 + 4t 2 − 2( y 1 + y 2 )t + y 1 ⋅ y 2 = 0 ，即 t 4 − 14t 2 − 16t − 3 = 0 ，即 (t 2 + 4t + 3)(t 2 − 4t − 1) = 0 ．从而点 C 与点 A 显然 t 2 − 4t − 1 ≠ 0 ，否则 t 2 − 2 ⋅ 2t − 1 = 0 ，则点 C 在直线 x − 2 y − 1 = 0 上，或点 B 重合．所以 t 2 + 4t + 3 = 0 ，解得 t 1 = −1, t 2 = −3 ．故所求点 C 的坐标为 (1,−2) 或 (9,−6) ．
一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分．把答案填在横线上．
1 ．设集合 A = {a1 , a 2 , a 3 , a 4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B = {−1, 3, 5, 8} ，则集合 A = ．解显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 + a 2 + a 3 + a 4 ) = (−1) + 3 + 5 + 8 = 15 ，故 a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－1）＝6，5－3＝2，5－5 ＝0，5－8＝－3，因此，集合 A = {−3, 0, 2, 6} ．
2011 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（A 卷）

2011年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)

2011年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。

2011B1、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若201011S S -=，则2011S = ． ◆答案：10092011★解析：因为{}n a 是等差数列，所以201011S S -=即120091006=a ，得200911006=a ，所以2011S =()20092011201122011100620111==+a a a2011B 2、已知复数z 的模为1，若1z z =和2z z =时1z i ++分别取得最大值和最小值，则12z z -= .◆答案：()i +12★解析：由z i i z z i ++≤++≤-+111，即12112+≤++≤-i z ，当i z ++1取得最大值（最小值）时，z 与i +1共线，且方向相同（相反），又⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+4sin 4cos 21ππi i ，所以4sin 4cos 1ππi z +=，45sin45cos 2ππi z += 所以()i i i z z +=--+=-1245sin 45cos4sin4cos 21ππππ2011B 3、若正实数b a ,满足2211≤+ba ，32)(4)(ab b a =-，则=b a log . ◆答案： 1- ★解析：由2211≤+ba ，得ab b a 22≤+．又 23322)(8)(24)(44)(4)(ab ab ab ab ab b a ab b a =⋅⋅≥+=-+=+，即ab b a 22≥+． ①于是 ab b a 22=+．②再由不等式①中等号成立的条件，得1=ab ．与②联立解得⎩⎨⎧+=-=,12,12b a 或⎩⎨⎧-=+=,12,12b a ，故1log -=b a ．2011B 4、把扑克牌中,2,,,,A J Q K 的分别看作数字1,2,,11,12,13.现将一副扑克牌中的黑桃、红桃各13张放在一起，从中随机取出2张牌，其花色相同且两个数的积是完全平方数的概率为_____． ◆答案：652 ★解析：从26张牌中任意取出2张，共有325226=C 种取法。

全国高中数学联赛试题参考答案(0000)

2011年全国高中数学联合竞赛一试试卷（A 卷）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上．1．设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A {-3,0,2,6}．2．函数11)(2-+=x x x f 的值域为．3．设b a ,为正实数，2211≤+ba，32)(4)(ab b a =-，则=b a log ．4．如果)cos (sin 7sin cos 3355θθθθ-<-，)2,0[πθ∈，那么θ的取值范围是．5．现安排7名同学去参加5个运动工程，要求甲、乙两同学不能参加同一个工程，每个工程都有人参加，每人只参加一个工程，则满足上述要求的不同安排方案数为．（用数字作答）6．在四面体ABCD 中，已知︒=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为．7．直线012=--y x 与抛物线x y 42=交于B A ,两点，C 为抛物线上的一点，︒=∠90ACB ，则点C 的坐标为．8．已知=n a C ())95,,2,1(2162003200=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅-n nnn ，则数列}{n a 中整数项的个数为．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．（本小题满分16分）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <满足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．10．（本小题满分20分）已知数列}{n a 满足：∈-=t t a (321R 且)1±≠t ，121)1(2)32(11-+--+-=++nn n n n n t a t t a t a ∈n (N )*．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若0>t ，试比较1+n a 与n a 的大小．11．（本小题满分20分）作斜率为31的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于B A ,两点（如图所示），且)2,23(P 在直线l 的左上方．（1）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（2）若︒=∠60APB ，求△PAB 的面积．2011年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A卷）考试时间：2011年10月16日 9：40—12：10二、（本题满分40分）证明：对任意整数4≥n ，存在一个n 次多项式0111)(a x a xa x x f n n n ++++=--具有如下性质：（1）110,,,-n a a a 均为正整数；（2）对任意正整数m ，及任意)2(≥k k 个互不相同的正整数kr r r ,,,21，均有)()()()(21k r f r f r f m f ≠．三、（本题满分50分）设)4(,,,21≥n a a a n 是给定的正实数，n a a a <<< 21．对任意正实数r ，满足)1(n k j i r a a a a jk ij ≤<<≤=--的三元数组),,(k j i 的个数记为)(r f n ．证明：4)(2n r f n <．四、（本题满分50分）设A 是一个93⨯的方格表，在每一个小方格内各填一个正整数．称A 中的一个)91,31(≤≤≤≤⨯n m n m 方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为10的倍数．称A 中的一个11⨯的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求A 中“坏格”个数的最大值．。