第二章导数与微分

易见
1. f ′( x0 ) = f ′( x )
x = x0
.
k = tan α = lim tan ϕ
ϕ→α
割线 M N 的斜率 tan ϕ =
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
• 求导数的步骤 (1)求增量 Δy = f ( x + Δx ) − f ( x ); (2)算比值 (3)求极限
= lim
Δ x →0
f ( x0 + Δ x ) − f ( x0 ) f ( x0 + h ) − f ( x0 ) = lim h →0 Δx h
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一、 引例
1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为
运动质点的位置函数 s = f (t ) 在 t0 时刻的瞬时速度 v = lim
′ (0) = lim f− −
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例8 讨论函数 f ( x) = ⎨
1 ⎧ ⎪ x sin , x ≠ 0 , x ⎪ x=0 ⎩ 0,
5. 设 f ′( x) 存在, 且 lim
1
在x=0处的连续性和可导性
x sin = 0 解 因为 sin 是有界函数 , 所以 lim x →0 x
′ 0 )表示曲线 y = f(x) f (x 在点 M( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即 f ′( x0 ) = tanα (α为倾角)
y
y = f ( x)
h h = lim 2 cos( x + ) sin 2 2 h h →0 h h sin = lim cos( x + ) h 2 = cos x h →0 2 2
k1 = (− 12 ) x = 1 = −4 , k2 = − 1 = 1 . k1 4 x 2
( a x )′ = a x ln a .
(e x )′ = e x .
例4 求函数 f ( x ) = log a x( a > 0, a ≠ 1) 的导数 解
f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x ) = lim log a ( x + h) − log a ( x) h →0 h h →0 h x 1 h 1 x+h 1 . = lim log a = lim log a (1 + ) h = h →0 h x ln a x x h→0 x 1 1 (log a x )′ = (ln x)′ = x (t0 )
f (t )
t0
t
s
y = f ( x) N
C M T
o
α ϕ
x0
x
x
所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 类似问题还有: 加速度 是速度增量与时间增量之比的极限 角速度 是转角增量与时间增量之比的极限 线密度 是质量增量与长度增量之比的极限 电流强度 是电量增量与时间增量之比的极限
f (t 0 )
f (t )
t0
t
s
x → x0
0
f ( x ) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) x − x0
注: xlim →x
f ( x) − f ( x0 ) Δy = lim Δ x →0 Δ x x − x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导. Δy lim = ∞ , 也称 f ( x) 在 x0 的导数为无穷大 . Δ x →0 Δ x
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x 例3 求函数 f ( x ) = a ( a > 0, a ≠ 1) 的导数.
解 即
(a x )′ = lim
ah − 1 a x+h − a x = a x lim = a x ln a . h→ 0 h→ 0 h h
1 1 例6.求等边双曲线 y = 在点 ( , 2) 处的切线的斜率 x 2 并写出在该点处的切线方程和法线方程. 1 解 y′ = − x 2 , 所求切线及法线的斜率分别为
f (0) = lim f ( x) = 0 所以f ( x )在x = 0处连续.
x →0
x →0
f (1) − f (1 − x ) = −1, 求 f ′(1). 2x
解: 因为
1 x
lim
x →0
但在 x = 0处有
当 x → 0时,
Δy f ( x + Δ x ) − f ( x ) = ; Δx Δx Δy . y′ = lim Δx → 0 Δ x
k = lim
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
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例1. 求函数 f ( x ) = x (n ∈ N ) 在 x = a 处的导数.
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2. 曲线的切线斜率
曲线 C : y = f ( x ) 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当ϕ → α 时) 切线 MT 的斜率
•导函数的定义
y
y = f ( x)
N
C
M
T
o
α ϕ
x0
x x
如果函数y=f(x)在区间I内每一点x都对应一个导数值, 则这一对应关系所确定的函数称为函数y=f(x)的导函数, 简称导数, 记作 dy df ( x) , 或 . y′ , f ′(x) , dx dx
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第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
f (t ) − f (t0 ) t →t 0 t − t0 切线斜率 k = lim f ( x) − f ( x0 ) x − x0 x → x0 两个问题的共性:
Δy = f ( x ) − f ( x0 ) Δ x = x − x0
存在, 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导, 并称此极限为
y = f ( x ) 在点 x0 的导数. 记作: d f ( x) y ′ x = x0 ; f ′( x0 ) ; d y ; d x x = x0 d x x = x0 Δ y y ′ x = x0 = f ′( x0 ) = lim 即 Δ x →0 Δ x
即 类似可证得
T M
α
o
x0
x
(sin x)′ = cos x (cos x)′ = − sin x
切线方程为 y − y0 = f ′( x0 )( x − x0 ). 1 法线方程为 y − y 0 = − f ′( x ) ( x − x 0 ). 0
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n n 解: f ′( a ) = lim f ( x ) − f ( a ) = lim x − a x→ a x→ a x − a x−a
n
+
例5 讨论函数 f ( x ) = x 在x = 0处的可导性. 解 因为
x → 0+
= lim ( x
x→ a
n −1
+ax
n−2
+a x
2 n −3
+
变化率问题
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第一节 导数概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数可导性与连续性的关系
二、导数的定义
定义1 . 设函数 y = f ( x ) 在点 x0 的某邻域内有定义 , 若
x → x0
lim
f ( x ) − f ( x0 ) Δy = lim x − x0 Δ x →0 Δ x
4. 设 f ( x) = ⎨ 解: 显然该函数在 x = 0 连续 .
x
sin x − 0 =1 x−0 x→ 0 ax − 0 ′ (0) = lim =a f+ x→ 0+ x − 0 故 a = 1 时 f ′(0) = 1 , 此时 f ′( x) 在 ( −∞ , + ∞) 都存在, cos x , x < 0 f ′( x) = 1, x≥0
f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) = lim+ ; Δx → 0 x − x0 Δx
例7. 问曲线 y = 的切线与直线 y =
3
x 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处
平行 ? 写出其切线方程.
1 x −1 3
2.右导数:
1 −2 1 1 解 : ∵ y ′ = ( 3 x )′ = x 3 = 3 2 , 3 x 3
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所求切线方程为
y − 2 = −4( x − 1 ) , 即4x+y-4=0. 2
所求法线方程为
y − 2 = 1 (x − 1 ) , 即2x-8y+15=0. 4 2
即
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单侧导数
1.左导数:
f ( x ) − f ( x0 ) f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) f −′( x0 ) = lim = lim− ; x → x0 − Δx → 0 x − x0 Δx