第四章 数值积分与数值微分

2 2
柯特斯系数表
N
( cnN )
注意：
①
N 7 时，柯特斯系数为正，而 N 7 时，柯特斯系
数有正有负，求积公式的收敛性和稳定性均无法保证，因此只
讨论低阶的牛顿－柯特斯公式。
② Cotes系数 n C
( ( CnN ) C NN )n
( C nN ) 1 n 0 N
(N)
2、辛蒲生（Simpson）公式
ba ba 取N 2,则x0 a , x1 , x2 b , h 2 2
Cotes系数为:
C02
1 6
C12
2
4 6
2 C2
1 6
求积公式为：
( I 2 (b a ) C n2 ) f ( xn ) n 0
1 4 1 (b a )[ f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x2 )] 6 6 6
y f ( x)
f (b )
f (a )
a
b x
矩形公式都是用了一个点上的函数值代替 f ( ) ，而梯形公式是用
了a, b两个点上函数值的算术平均代替 f ( ) 。 可以想象，多利用几个点上的函数值的算术（加权）平均来代替 f ( ) 可能会更好。
a x0 x1 xN b ， 然后用 f ( xn ) 0,1, N ) 的加权平均作为 f ( ) 的近似值， (n
y
y f ( x)
y
y f ( x)
f (b )
f (a )
a
左（下）矩形公式：
b x
a
b
x
a
b
f ( x)dx f (a )(b a)
a
b
右（上）矩形公式：
a
b
f ( x)dx f (b)(b a)
y
y f ( x)
ab f( ) 2
a
b x
中矩形公式：
计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立。
四、代数精度
定义：
如果求积公式对任何不高于 m 次的多项式都精确成立， 而对
m次多项式是不精确的，则称该求积公式具有 1
次代数精度。 m
或者说，要使求积公式有m次代数精度，只要它对于1，x，x2， …，xm都能准确成立，而对于xm＋1不一定能准确成立。
仅与 n和N 有关。
③
④
二、低阶Newton-Cotes公式
在Newton-Cotes公式中,N=1,2,4时的公式是最常用也最重
要三个公式,称为低阶公式。
1、梯形公式
取N 1, 则x0 a , x1 b , h b a
( I1 f ( x )dx An f ( x n ) (b a ) C n1) f ( xn )
第四章
数值积分与数值微分
数值积分的必要性 求积公式及其代数精度 插值型求积公式
牛顿-柯特斯求积公式
高斯求积公式 复化求积公式 龙贝格求积公式 数值微分
第一节 引言
一、数值积分的必要性 实际问题中经常需要计算定积分，如：
I ( f ) f ( x )dx
a
b
在微积分中， Newton Leibniz公式
N b a ( 1) 0 0N(t j )dt N n!( N n)! j j n N ( 1) N n (b a ) 0 0N(t j )dt N n!( N n)! j j n j n N n
牛顿－柯特斯 求积公式
误差RN ( f ) RN ( x )dx
a b
( C nN ) f ( x n ) n 0
N
f ( N 1) ( ) 而RN ( x ) N 1 ( x ) ( N 1)!
示形式相当复杂。
（4） f ( x ) 的解析式根本不存在，表格或图形给出，例如为 实验或测量数据。 以上情况，Newton-Leibniz很难发挥作用，也说明通过原函数计 算积分有它的局限性，因此，研究定积分的数值计算问题具有很重要
的实际意义。
二、机械求积的概念
由积分中值定理知，对于积分 使得
a
ba ab [ f (a ) 4 f ( ) f (b )] 6 2
ba ab I2 [ f (a ) 4 f ( ) f (b)] 6 2
上式称为Simpson求积公式，也称三点公式或抛物线公式
y
y f ( x)
可验证，辛蒲生公 式具有３次代数精度。
f (b )

b
a
f ( x)dx F ( x ) a F (b ) F ( a )
b
要求被积函数 f ( x ) 有解析表达式。 要求原函数 F ( x ) 为初等函数
但是在工程实际中,常会见到以下现象:
（1） f ( x ) 本身形式复杂，求原函数更加困难； （2） f ( x ) 的原函数不能用初等函数形式给出； （3） f ( x ) 虽有初等函数形式表示的原函数 F ( x ) ，但其原函数表
j n
h ( 1) N n N 0 0N(t j )dt n!( N n)! j
j n
( t j )h N (n j )h h dt 0 j j n
h ( 1) N n N 0 0N(t j )dt n!( N n)! j
这类机械求积方法直接利用某些节点上的函数值计
算积分值，而将积分求解问题归结为提供函数值，这样
就避开了微积分方法寻求原函数困难的问题。 机械求积公式的构造本质上是选取参数 xn ， n 的 A 代数问题。
建立数值积分公式最基本的思想是选取一个即简单 又有足够精度的函数 P ( x ) ，用 P ( x ) 来代替被积函 数 f ( x ) ，于是有

b
a
f ( x )dx p( x )dx
a
b
现在用插值多项式 PN ( x ) 来代替被积函 数 f ( x ) ，可得到插值型求积公式。
三、插值型求积公式
利用插值多项式来构造数值求积公式，具体步骤如下: 在积分区间[a,b]上取一组节点： 作f(x)的N次插值多项式：
a x0 x1 xN b
①
②若
f ( x ) 为次数不超过N 的代数多项式，则
b N
I f ( x )dx An f ( xn )
a
，即插值求积公式对次数不超过
N的代数多项式都精确成立。
③
n 0
A
n 0
N
n
ba
（求积系数的内在联系，即其和为区间长度）。
④求积系数
An 可由待定系数法求出。
为了使一个求积公式能对更多的积分具有较好的实际
f (a )
a
b x
3、Cotes公式
ba 取N 4, 则 xn a nh , n 0,1, ,4 , h 4
ba I4 [7 f ( x0 ) 32 f ( x1 ) 12 f ( x2 ) 32 f ( x3 ) 7 f ( x4 )] 90
上式称为Cotes求积公式，也称五点公式
0.5
原积分的准确值

1
0.5
3 2 2 xdx x 3
1 0.5
0.43096441
三、误差估计
f ( x) LN ( x) RN ( x )
误差RN ( f )
b


b b a a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
f ( x )dx LN ( x )dx RN ( x )dx
a a
b
f ( x )dx LN ( x )dx (b a )
n
)l n ( x )dx
f ( xn ) l n ( x )dx
若令 An l n ( x )dx ， 则
a
b
插值型求
积公式
I f ( x )dx An f ( x n )
b a
n 0
N
其中 An 称为求积系数
求积系数的性质：
An (n 0,1, N ) 只与节点有关，与 f ( x ) 无关。即 A 当节点不变时， n 不会因 ( x ) 的变化而变化。 f
b
f ( x ) dx
，总存在一点 [a, b]
a
b
f ( x)dx f ( )(b a)
成立。
但是该式中的

的具体位置一般是不知道的，因而难以准确地算出
f ( ) 的值。通常 称 f ( ) 为区间[a,b]上的平均高度。
这样，只要对平均高度 数值求积方法。
f ( )
提供一种算法，便获得一种
Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值
多项式建立的数值求积公式。
I f ( x )dx
a
b
An f ( x n )
n 0
N
插值型求 积公式
An ln ( x )dx
a
b
等距节点时，如何得到 An ? 系数
An的计算过程 :
An l n ( x )dx a
①由定义可以求出所给定求积公式的代数精度。
梯形公式与中矩形公式对于一次多项式（即线性函数）能准确成立，
而对于二次多项式不能准确成立。因此它们都具有一次代数精度。
②给定代数精度，根据待定系数法求出求积公式的参数。 ③N+1个节点的插值型求积公式至少具有N次代数精度。
第二节 牛顿－柯特斯求积公式
一、牛顿－柯特斯求积公式
b
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