数值分析第四章数值积分与数值微分习题复习资料

数值分析第四章习题第四章习题1. 采用数值计算方法，画出dt t t x y x ?=0sin )(在]10 ,0[区间曲线，并计算)5.4(y 。

〖答案〗1.65412. 求函数x e x f 3sin )(=的数值积分?=π 0 )(dx x f s ，并请采用符号计算尝试复算。

〖答案〗s = 5.1354Warning: Explicit integral could not be found. > In sym.int at 58s =int(exp(sin(x)^3),x = 0 .. pi)3. 用quad 求取dx x e x sin 7.15?--ππ的数值积分，并保证积分的绝对精度为910-。

〖答案〗1.087849437547794. 求函数5.08.12cos 5.1)5(sin )(206.02++-=t t t et t f t 在区间]5,5[-中的最小值点。

〖答案〗最小值点是-1.28498111480531 相应目标值是-0.186048010065455. 设0)0(,1)0(,1)(2)(3)(22===+-dt dy y t y dt t dy dt t y d ，用数值法和符号法求5.0)(=t t y 。

〖答案〗数值解y_05 = 0.78958020790127符号解ys =1/2-1/2*exp(2*t)+exp(t)ys_05 =.789580356470605529168507052137806. 求矩阵b Ax =的解，A 为3阶魔方阵，b 是)13(?的全1列向量。

〖答案〗x =0.06670.06670.06677. 求矩阵b Ax =的解，A 为4阶魔方阵，b 是)14(?的全1列向量。

〖答案〗解不唯一x =-0.0074 -0.0809 0.1397 0.0662 0.0588 0.1176 -0.0588。

第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。

若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。

第4章 数值积分与数值微分1 数值积分的基本概念实际问题当中常常需要计算定积分。

在微积分中，我们熟知，牛顿—莱布尼兹公式是计算定积分的一种有效工具，在理论和实际计算上有很大作用。

对定积分()baI f x dx =⎰，若()f x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 的原函数为()F x ，则可计算定积分()()()baf x dx F b F a =-⎰似乎问题已经解决，其实不然。

如1）()f x 是由测量或数值计算给出数据表时，Newton-Leibnitz 公式无法应用。

2）许多形式上很简单的函数，例如222sin 1(),sin ,cos ,,ln x x f x x x e x x-= 等等，它们的原函数不能用初等函数的有限形式表示。

3）即使有些被积函数的原函数能通过初等函数的有限形式表示，但应用牛顿—莱布尼兹公式计算，仍涉及大量的数值计算，还不如应用数值积分的方法来得方便，既节省工作量，又满足精度的要求。

例如下列积分41arc 1)arc 1)1dx tg tg C x ⎤=+++-+⎦+⎰ 对于上述这些情况，都要求建立定积分的近似计算方法——数值积分法。

1.1 数值求积分的基本思想根据以上所述，数值求积公式应该避免用原函数表示，而由被积函数的值决定。

由积分中值定理：对()[,]f x C a b ∈，存在[,]a b ξ∈，有()()()baf x dx b a f ξ=-⎰表明，定积分所表示的曲边梯形的面积等于底为b a -而高为()f ξ的矩形面积（图4-1）。

问题在于点ξ的具体位置一般是不知道的，因而难以准确算出()f ξ。

我们将()f ξ称为区间[,]a b 上的平均高度。

这样，只要对平均高度()f ξ提供一种算法，相应地便获得一种数值求积分方法。

如果我们用两端的算术平均作为平均高度()f ξ的近似值，这样导出的求积公式[()()]2b aT f a f b -=+ (4-1) 便是我们所熟悉的梯形公式（图4-2）。

(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数关系由表格或图形表示.对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的. 由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能或很难解决的积分问题,这时需要用数值解法来建立求积分的近似计算方法.但是点ξ的具体位置一般是未知的, 因而的值也是未知的, 称为f (x )在区间[a ,b ]上的平均高度.那么只要对平均高度提供一种算法，相应地就获得一种数值求积方法)(ξf )(ξf )(ξf定义4.1如果某个求积公式对于次数不大于m 的多项式均能准确的成立,但对于m+1次多项式就不一定准确，则称该求积公式具有m 次代数精度.从而验证求积公式的代数精度时,只需验证该求积公式对是否成立即可.12,,,,,1)(+=m m x x x x x f 4.1.2 代数精度的概念mm xa x a x a a x f ++++= 2210)(注：由于次数不大于m 的多项式可以表示为例4.2验证梯形公式的代数精度.练习4.1验证中矩形公式和Simpson公式的代数精度.（2）先用某个简单函数近似逼近f (x ), 用代替原被积函数f (x )，即)(x ϕ)(x ϕ⎰⎰≈babadxx dx x f )()(ϕ要求：函数应对f (x )有充分的逼近程度,并且容易计算其积分.)(x ϕ由于多项式能很好地逼近连续函数,且又容易计算积分,因此将选取为插值多项式, 这样f (x )的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替)(x ϕ以此构造数值算法.定理4.1n +1个节点的求积公式至少有n 次代数精度的充要条件是它是插值型的.()nn k k k I A f x ==∑代入插值求积公式(4.6)有()0()()k nn n k k I b a C f x ==-∑称为Newton-Cotes 求积公式,称为Cotes 系数()kn C (2)显然, 是不依赖于积分区间[a ,b ]以及被积函数f (x )的常数,只要给出n ,就可以算出Cotes 系数.()kn C (1)容易验证()01nn kk C==∑注(4.7)4.2.2 偶阶求积公式的代数精度n阶Newton-Cotes公式至少具有n次代数精度梯形公式(一阶Newton-Cotes公式)具有1次代数精度Simpson公式(二阶Newton-Cotes公式)具有3次代数精度定理4.2当n为偶数时, Newton-Cotes公式(4.7)至少有n+1次代数精度.4.2.4 复化求积法及其收敛性由梯形、Simpson和Cotes求积公式余项可知，随着求积节点数的增多，对应公式的精度也会相应提高.但由于n≥8时的Newton-Cotes公式开始出现负值的Cotes 系数.根据误差理论的分析研究,当积分公式出现负系数时,可能导致舍入误差增大,并且往往难以估计.因此不能用增加求积节点数的方法来提高计算精度.在实际应用中,通常将积分区间分成若干个小区间,在每个小区间上采用低阶求积公式,然后把所有小区间上的计算结果加起来得到整个区间上的求积公式,这就是复化求积公式的基本思想.常用的复化求积公式有复化梯形公式和复化Simpson 公式.。

第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];hhhh hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+ 从而解得011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3hhhhf x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

（2）若21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1014h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则32211163h h A h A -=+ 从而解得11438383A h A h A h -⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则22322()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=令4()f x x =，则22452264()5hhhhf x dx x dx h --==⎰⎰510116()(0)()3A f h A f A f h h --++=故此时，21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰因此，21012()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

2第四章数值积分要点：(1)数值积分公式的代数精确度概念，代数精确度所蕴含的余项表达式(2) 插值型求积公式的构造及余项表达式 (3) 插值型求积公式关于代数精确度的结论及证明 (4) 梯形公式、SimPSOn 公式的形式及余项表达式 (5) 复合梯形公式、复合 SimPSOn 公式及其余项表达式 (6) 掌握如何根据要求的精度依据复合梯形(或SimPSOn )公式的余项确定积分 区间［a,b ］的等分次数n(7) NeWton-Cotes 求积分公式的特点以及代数精确度的结论 (8) 高斯型求积公式的概念复习题：1、已知求积公式为(1)确定它的代数精度，并指出它是否为GaUSS 公式;解: ( 1)依次取f (x) =1, x, X 2,X 3,X 4, X 5代入积分公式可发现：左端= 右端, 而当取f(x) =X 6时，左端尸可端 可见该是求积公式具有 5阶代数精确度由于求积公式节点数为 n = 3,而公式代数精确度 P = 2n -1 所以该求积公式为 GaUSS 公式1 / χ2+ 0 4 1討心dχ^(5P5166+沪 O.4264+轿 0∙5166" 0.95302、对于2结点插值型求积公式 L f (x Jdx 常A O f(X 0 )+A 1f (x 1 )。

(1)如果求积分公式是两结点牛顿一科特斯求积公式，请给出求积系数 A 0, A 1 ,求积 结点X 0,X 1 ,并给出积分余项表达式f x dx5f √0.6 8f 0 5f -、0.6(2)用此求积公式计算定积分1X 20.4 -讥5X 4 2.2(1)对于f(χ)X 2 0.4 '■ 5X 4 2.2f(-0,6)二X 2 0.4 '■5X 42.2= 0.5166, f (0)=0.426416 31 X3、 分别用梯形公式和二点 GaUSS 公式计算积分[edx ,比较二者的精度1X1 0 1解：利用梯形公式，e x dx (e 0 e 1) 1.8592*0 2注：GaUSS 公式部分不要1X4、 对于积分O ^^dX 。

郑州大学研究生课程数值分析复习---第四章数值微分与数值积分郑州大学研究生课程（2012-2013学年第一学期）数值分析Numerical Analysis习题课第四章数值微分与数值积分4.2.1 显格式导数与差商的关系数值微分取为导数的近似值，即差商。

00()() ()()()()()2lim lim lim h h h f x h f x h f x f x h f x h f x h f x h h →→→+??′=??+[,]()/i a b n x a ih h b a n =+=?将区间等分为份，是等距节点，是步长。

一、要点回顾()()'()i i i f x h f x f x h+?≈向前差商x ix i +h一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!f x h f x hf x f x x hξξ+=++≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x h f x hR x f x f O h hξ+?=?=?=一阶数值微分()()'()i i i f x f x h f x h≈向后差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开2()()'()''(),2!i i i i i hf x h f x hf x f x x hξξ?=?+≤≤+因此，有误差()()()'()''()()2!i i i f x f x h hR x f x f O h h ξ??=?==一阶数值微分()()'()2i i i f x h f x h f x h+??≈中心差商x i -hx i一阶数值微分由Taylor 展开23112322()()'()''()'''(),2!3!()()'()''()'''(),2!3!i i i i i i i i i i i ih hf x h f x hf x f x f x x hh hf x h f x hf x f x f x h x ξξξξ+=+++≤≤+?=?+??≤≤因此，有误差22212()()()'()2 ['''()'''()]'''()()126i i i f x h f x h R x f x hh hf f f O h ξξξ+??=?=+==一阶数值微分()()231000232000120021()()'()''(),2!()()2'()2''(),24()()3()'(),2()4()3()'().2n n n n h f x f x hf x f x O h f x f x hf x h f x O h h f x f x f x f x hf x f x f x f x h=+++=+++??≈?+≈将第一式乘4并减去第二式，除以可得类似可得一阶数值微分数值积分公式求积系数求积节点()()()()nbk k n ak I f f x dx A f x I f =≈∑∫数值积分0()()nn k k k I f A f x ==∑0()()()()(),nbn k k ak R f I f I f f x dx A f x ==?=?∑∫分别称为为数值求积公式和求积公式余项数值积分求积公式的代数精度定义1称求积公式具有m 次代数精度,如果它满足如下两个条件:(i )对所有次数≤m 次的多项式,有(ii )存在m+1次多项式,使得)(x P m 0)()()(=?=m n m m P I P I P R )(1x P m +0)()()(111≠?=+++m n m m P I P I P R 代数精度定义1中的条件(i),(ii)等价于: )()()0(,0)()()()(1≠≤≤== + mknkkxR iimkxxIxR i代数精度012,,,,,()1,,,,.n nx x x n f x x x x =L L 对于给定的一组结点要构造至少有次代数精确度的求积公式则它对于精确成立基本目标代数精度012,,,,n A A A A L 即求积公式的系数满足线性方程组+?=+++?=+++?=+++++1211110022110010n a b x A x A x A a b x A x A x A a b A A A n n nn n n n n n n L M L L 代数精度Newton-Cotes数值积分插值型求积公式上取一组节点在积分区间],[b a bx x x a n ≤<<<≤L 10插值多项式次的作Lagrange n x f )(0()()()nn k k k x f x l x ?==∑为插值基函数),,1,0)((n k x l k L =()(),n x f x ?用作为被积函数的近似有badx x f )(()bn ax dx ?≈∫∫∑==b ank kkdxx l x f 0)()(∑∫==nk bak k dxx l x f 0)()(则，记∫=bak k dx x l A )(∫badx x f )(∑=≈nk k k x f A 0)(Newton-Cotes数值积分()(0,1,,)bk k aA l x dx k n ==∫L 定义：系数由式所确定的求积公式称为插值型求积公式.4.5.11.n n +定理：利用个结点的求积公式至少具有次代数精确度的充分必要条件是它是插值型的Newton-Cotes数值积分等距节点的Newton-Cotes 求积公式],[)(b a C x f ∈设函数插值多项式为的Lagrange x f )([,]a b n 将积分区间分割为等份,nk kh a x k ,,1,0,L =+=为步长其中nab h ?=各节点为0()()()nn k k k x f x l x ?==∑Newton-Cotes数值积分。

第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];hhhh hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+ 从而解得011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3hhhhf x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

（2）若21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1014h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则32211163h h A h A -=+ 从而解得11438383A h A h A h -⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则22322()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=令4()f x x =，则22452264()5hhhhf x dx x dx h --==⎰⎰510116()(0)()3A f h A f A f h h --++=故此时，21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰因此，21012()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

数值分析习题与答案第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。

解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。

四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。

线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。