第二章 连续系统的时域分析法

第二章连续系统的时域分析法时域分析法不通过任何变换，直接求解系统的微分方程。

系统的分析计算全部在时间变量领域内进行。

这种方法直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析方法的基础。

本章将在用经典法求解微分方程的基础上，讨论零输入响应，特别是零状态响应的求解。

在引入系统的冲激响应之后，零状态响应等于冲激响应与激励的卷积积分，最后介绍卷积积分的性质。

主要内容§2.1 LTI连续系统的响应§2.2 冲激响应和阶跃响应§2.3 卷积积分§2.4 卷积积分的性质§2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解二、关于0-和0+初始值三、零输入响应四、零状态响应五、全响应一、微分方程的经典解：一般而言，如果单输入—单输出系统的激励为f (t )，响应为y (t )，则描述LTI 连续系统激励与响应之间关系的数学模型是n 阶常系数线性微分方程，它可写为：∑∑==−−−−=++++=++++n i m j j j i i m m m m n n n t f b t y a t f b t f b t f b t f b t y a t y a t y a t y 00)()(0)1(1)1(1)(0)1(1)1(1)()()( )()()()( )()()()(L L 即：其中，均为常数，且),,1,0(),,,1,0( m j b n i a j i L L ==1=n a该方程的全解由齐次解和特解组成，即)(t y h )(t y p )()()(t y t y t y p h +=齐次解：齐次解是齐次微分方程0)()()()(0)1(1)1(1)(=++++−−t y a t y a t y a t y n n n L 的解，它是形式为的一些函数的线性组合。

λ为特征方程的根----特征根。

t Ce λ特征根：特征方程00111=++++−−a a a n n n λλλL ),,2,1(n i i L =λ的n 个根称为微分方程的特征根。

齐次解的函数形式由特征根决定。

)(t y h r 重共轭复根或一对共轭复根r 重实根书上漏了常数C 单实根齐次解特征根βαλj ±=2,1)]sin()cos([t D t C e t ββα+其中t Ce λ()t r r r r e C t C t C t C λ 012211++++−−−−L )cos(θβα−t Ae t jD C Ae j +=θ)cos()cos()cos(00222111θβθβθβααα++++++−−−−−−t e A t e t A t e t A t r t r r r t r r L 41页表2-1列出了不同特征根所对应的齐次解。

其中等为待定系数。

i i i i A D C θ,,,特解：特解的函数形式与激励的函数形式有关。

书上表2-2列出了不同激励所对应的特解。

选定特解后，将它带入到原微分方程，求出各待定系数，就可得出方程的特解。

例：若均为单根，则：()t λn t λt λh n n e C e C e C t y +++=L L 212121,,λλλ∑==n i t i i e C 1λ特解激励不等于特征根αβj ±m t 0111P t P t P t P m m m m ++++−−L 所有的特征根均不等于零][011P t P t P t m m m m r +++−−L 有r重等于零的特征根t e αt Pe αt t e P te P αα01+t t t r r t r r e P te P e t P e t P αααα0111++++−−L α等于特征根等于r重特征根α)cos(t β)sin(t β)sin()cos(t Q t P ββ+)cos(θβ−t A 或所有的特征根均不等于其中jQ P Ae j +=θ41页表2-2列出了不同激励所对应的特解.全解：线性常系数微分方程的全解是齐次解和特解之和。

i λ如果微分方程的特征根均为单实根，则全解为:)()()()(1t y e C t y t y t y p n i t i p h i +=+=∑=λ待定系数的求法：一般n阶微分方程，利用已知的n 个初始条件y (0) , y (1)(0) , y (2)(0) …y (n–1)(0),就可求出全部的待定系数。

设f (t )在t =0时接入，则全解适合于区间[0+，∞）。

)t (f )t (y )t (y )t (y '''=6+5+求输入时的全解。

1)0( ,2)0( ,0 ,2)('−==≥=−y y t e t f t 3,221−=−=∴λλt t h e C e C t y 3221)(−−+=∴例2.1-1描述某LTI 系统的微分方程为（书上40页）解：（1）齐次解()t y h 齐次解是齐次微分方程的解。

特征方程为0)(6)(5)('''=++t y t y t y 0652=++λλ查表设，代入原方程，得t p Pe t y −=)(t t t t e Pe Pe Pe −−−−=+−+26)(5t p e t y −=∴)( 解得：1=P 确定待定系数：全解为：()()t t t p h e e C e C t y t y t y −−−++=+=3221)(t t t e e C e C t y −−−++=3221)(t t t e e C e C t y −−−−−−=3221'32)(⎩⎨⎧将代入：1)0(,2)0('−==y y （2）特解()t y p (){0 2332≥+=−−−t e e e t y t t t 特解齐次解4434421-全解：1132)0(21)0(21'21−=−−−==++=C C y C C y ⎩⎨⎧2321-==C C ⎩⎨⎧自由响应强迫响应得:可见，齐次解的函数形式仅仅依赖于系统本身的特性，而与激励的函数形式无关，称为系统的自由响应或固有响应。

特征方程的根称为系统的“固有频率”,它决定了系统自由响应的形式。

特解的形式由激励信号确定，称为强迫响应。

例2 .1-2)()(6)(5)('''t f t y t y t y =++描述某系统的微分方程为:(书上42页)求输入时的全响应。

0)0(,2)0(,0,cos 10)('===y y t t t f ≥解：齐次解同上，t t h e C e C t y 3221)(−−+=∴设特解为：t Q t P t y p sin cos )(+=)(,,,'''t f y y y p p p 将代入微分方程，得t t Q P Q t P Q P cos 10sin )65(cos )65(=++++--⎩⎨⎧=+=+0551055Q P Q P -1==∴Q P )4cos(2sin cos )(π-t t t t y p =+=∴确定待定系数：)4cos(2)(3221π-t e C e C t y t t ++=--)4sin(232)(3221'π------t e C e C t y t t =⎩⎨⎧⎩⎨⎧=+==++=0132)0(21)0(21'21C C y C C y --⎩⎨⎧==1221-C C 0 )4cos(22)(32≥t t e e t y t t ，强迫响应自由响应443442143421π----+=48476 48476 暂态响应稳态响应* 一般输入为有始周期信号或阶跃信号且特征根有负实部时，系统全响应可分为暂态响应和稳态响应两部分。

将代入：0)0(,2)0('==y y 二、关于0-和0+初始值应指+=0t 时刻的值L ),0(),0(),0('''+++y y y 在系统分析中，我们从系统中直接获得的初始条件往往是: ()L −−0)0('y y 、它们提供了以往历史的全部信息而与激励无关，因此，有这样一个问题：如何从)0()0()()(+−→j j y y L ),0(),0('y y 例题中为确定待定系数所用的初值就要考虑：即：)()(t y j ()()L t y t y t y "' )(在时刻是否连续或者说有没有跳变；0=t )0()(−j y 如何从求出呢？)0()(+j y 若有跳变，时刻的值与时刻的值不同，应想办法求出跳变量。

+0−0若无跳变，时刻的值与时刻的值相同；+0−0()−+=0)0(y y ()L 0)0(''−+=y y 当系统用微分方程表示时，系统的响应及其各阶导数在t=0 是否有跳变决定于微分方程右端是否包含及其各阶导数。

()t y ()t δ如果微分方程右端不含冲激函数及其各阶导数，响应及其各阶导数在t=0是连续的，其值等于值。

()t y +0−0如果微分方程右端含有冲激函数及其各阶导数，响应或其各阶导数在t=0将有跳变，其跳变量可用冲激函数匹配法求得。

()t y例2.1-3：描述某LTI 系统的微分方程为(书44页）)(2)()()(2)("'''t f t f t y t y t y +=++已知求),()(,1)0(,1)0('t t f y y δ=−==−−)0(),0('++y y 解：将代入微分方程得：)()(t t f δ=)(2)()()(2)("'''t t t y t y t y δδ+=++设()()()()t r t b t a t y 1''++=δδ()()()()()t r t c t b t a t y 0'""+++=δδδ()()()t r t a t y 2+=δ()()()()[]()()()[]()()[]()()t t t r t a t r t b t a t r t c t b t a δδδδδδδδ22"21'0'"+=++++++++⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=∴22021a b c a b a )(2)()()(2)("'''t t t y t y t y δδ+=++⎪⎩⎪⎨⎧=−==∴521c b a ()()()()[]()()()[]()()[]()()t t t r t a t r t b t a t r t c t b t a δδδδδδδδ22"21'0'"+=++++++++()()200−==−−+b y y ()()500''==−−+c y y ()()1200−=−=∴−+y y ()()4500''=+=∴−+y y冲激函数匹配法的一般步骤：（以二阶系统为例）（1）将输入代入微分方程。