有理数加减混合运算法则

1 第一章 有理数

1.3 有理数的加减法

1．有理数的加法

（1）有理数加法法则：

①同号两数相加，取___________的符号，并把___________相加；

②绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较___________的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得___________．

③一个数同0相加，仍得这个数．

（2）用字母表示有理数加法法则：

①同号两数相加：

若a>0，b>0，则ab___________；

若a<0，b<0，则ab___________．

②异号两数相加：

若a>0，b<0，且||||ab时，则ab___________；

若a>0，b<0，且||||ab时，则ab___________；

若a>0，b<0，且ab时，则a+b=___________．

③a+0=___________．

（3）有理数的加法运算律：

①加法交换律：学科=网

文字语言：两个数相加，交换加数的位置，和___________．

符号语言：a+b=___________．

②加法结合律：

文字语言：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和___________．

符号语言：（a+b）+c=___________．

2．有理数的减法：

（1）有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的___________．

即a–b=a+（–b）．

（2）对于有理数的减法运算，应先转化为___________，再根据有理数加法法则计算，即加法与减法是互逆运算．

（3）有理数减法的三种情况：①减去一个正数等于加上一个负数；②减去一个负数等于加上一个正数；③任何 2 数减去0仍得这个数，0减去一个数等于这个数的相反数．

K知识参考答案：

1．（1）相同，绝对值，大，0（2）()ab，()ab，()ab，ba，0，a（3）不变，b+a，不变，a+(b+c) 2．（1）相反数（2）加法

K—重点 （1）有理数加法法则；（2）有理数减法法则．

K—难点 （1）异号两数相加的法则；（2）有理数的加减混合运算．

K—易错 带分数的加减运算．

一、有理数加法的运算律

加法交换律：有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．

表达式：a+b=b+a．

加法结合律：有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变．

表达式：（a+b）+c=a+（b+c）

【例1】用字母表示有理数的加法运算律．

（1）交换律；（2）结合律．

【答案】（1）a+b=b+a；（2）（a+b）+c=a+（b+c）

【解析】根据有理数的加法运算律，可得答案为：（1）交换律：a+b=b+a；（2）结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．

【名师点睛】在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

（1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

（2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

（3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

（4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

（5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”．

二、利用特殊规律解有关分数的计算题

1．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，要先确定符号，后确定绝对值．

2．当一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如（–2）+（–1）中–1必须用括号括起来，不要写成–2+–1这样的形式．

3．将减法变为加法时，注意“两变”和“一不变”．“两变”即改变运算符号（减变加）和改变减数的性质 3 符号（变为相反数）；“一不变”即被减数和减数的位置不能变换．

4．两数相减，当被减数大于减数时，差为正数；当被减数小于减数时，差为负数．

5．根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．

【例2】计算：5231591736342．

【解析】带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加．

【名师点睛】利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性．

三、有理数与相反数、绝对值的综合考查

1．互为相反数的两个数的和为0．

2．绝对值具有非负性．

【例3】若|x–3|与|y+2|互为相反数，求x+y+3的值．

【答案】4

【解析】因为|x–3|与|y+2|互为相反数，

所以|x–3|+|y+2|=0，

所以|x–3|=0，|y+2|=0，即x–3=0，y+2=0，

所以x=3，y=–2．

所以x+y+3=3+（–2）+3=4．

四、有理数运算的应用

用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．

【例4】有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1.2，–0.8，2.3，1.7，–1.5，–2.7，2，–0.2，则这8箱橘子的总重量是多少？ 4

【解析】本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．

【例5】一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3.5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7.5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．

（1）以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗？

（2）“志远”修理部距“捷达”修理部多远？

（3）货车一共行驶了多少千米？

【答案】详见解析．

【解析】（1）能．三家修理部的位置如下图所示．

（2）由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4.5–(–3)=4.5+3=7.5（千米）．

（3）货车共行驶了|8|+|–3.5|+|–7.5|+|–3|=8+3.5+7.5+3=22（千米）．

答：货车一共行驶了22千米．

1．计算(–4)+6的结果为

A．–2 B．2 C．–10 D．2

2．计算|–2|+1，结果正确的是

A．4 B．3 C．–2 D．–4

3．计算(–3)–(–5)的结果等于

A．–2 B．2 C．–8 D．15 5 4．两数相加，如果和比每两个加数都小，那么这两个数

A．同为正数 B．同为负数

C．一正一负 D．一个为零，一个为负数

5．计算1–(–2)的正确结果是

A．–2 B．–1 C．1 D．3

6．下列各计算题中，结果是零的是

A．(+3)–|–3| B．|+3|+|–3| C．(–3)–3 D．23+(–32)

7．计算│–4+1│的结果是

A．–5 B．–3 C．3 D．5

8．比–2208大1的数是

A．–2207

B．–2009 C．2007

D．2009

9．绝对值大于1且小于4的所有整数的和是

A．6 B．–6 C．0 D．4

10．0–（–2017）=___________．

11．计算：5–(–6)=___________．

12．计算：–9+5=___________．

13．计算：2113()()3838．

14．下列代数和是8的式子是

A．（–2）+（+10） B．（–6）+（+2）

C．(−512)+(−212) D．(213)+(−1013)

15．绝对值不小于1，而小于4的所有的正整数的和是

A．8 B．7 C．6 D．5

16．下列各式中，计算结果为正的是

A．（–7）+（+4） B．2.7+（–3.5）

C．（–13）+25 D．0+（–14）

17．请写出两个有理数，并把它们相加，使它们的和的比两个加数都小______________．

18．某公交车原坐有22人，经过3个站点时上下车情况如下（上车为正，下车为负）：（+4，−8），（−5，6）， 6 （−3，2），则车上还有________人．

19．若室内温度是20°C，室外温度是−5°C，则室内温度比室外温度高_______°C．

20．计算：–14+23+（–23）．学！科网

21．计算：(9)(10)(2)(8)(3)．

22．a=4，b=2018，ab≠a+b，试计算a+b的值．

23．足球循环赛中，红队胜黄队4︰1，黄队胜蓝队1︰0，蓝队胜红队1︰0，计算各队的净胜球数．

24．计算：（1）–（–2）+（–3）；（2）（–5.3）+|–2.5|+（–3.2）–（+4.8）．

25．（2018•自贡）计算–3+1的结果是

A．–2 B．–4 C．4 D．2

26．（2018•武汉）温度由–4°C上升7°C是

A．3°C B．–3°C C．11°C D．–11°C

27．（2018•德州）计算：|–2+3|=__________．