下载文档原格式
第3章 静定梁与静定刚架
3.1 复习笔记【知识框架】
【重点难点归纳】
一、单跨静定梁 ★★★★
1．内力
表3-1-1 内力的基本概念
图3-1-1
图3-1-22．内力与外力间的微分关系及积分关系（1）由平衡条件导出的微分关系式
计算简图如图3-1-3所示，微分关系式为
（Ⅰ）
d d d d d d s
s N
F q x
x M F
x F p x
x ⎧=⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪=-⎪⎩-（）（）
图3-1-3
（2）荷载与内力之间的积分关系
如图3-1-4
所示，结合式（Ⅰ）可得梁的内力积分公式，积分公式及其几何意义见表3-1-2。
图3-1-4
表3-1-2 内力的积分公式及几何意义
3．叠加法作弯矩图
表3-1-3 常用叠加法及其作图步骤
图3-1-5
图3-1-6
二、多跨静定梁 ★★★★
多跨静定梁是由构造单元（如简支梁、悬臂梁）多次搭接而成的几何不变体系，其计算简图见图3-1-7，几何构造、计算原则、传力关系见表3-1-4。
第3章静定梁与静定刚架复习思考题1．用叠加法作弯矩图时，为什么是竖标的叠加，而不是图形的拼合？答：因为有时叠加弯矩图时的基线与杆轴不重合，如果用图形拼合，不能完全保证叠加后弯矩值是实际同一点的两个弯矩相加后的值。
2．为什么直杆上任一区段的弯矩图都可以用简支梁叠加法来作？其步骤如何？答：（1）因为根据内力分析可以求出直杆任一区段两端的内力，所以直杆任一区段两端均可以看成两端有外力（集中力或集中力偶）的简支梁。
（2）设有直杆任一区段简支梁AB，具体步骤如下①分解作用区段AB上的荷载；②分别作出分解荷载下的弯矩图；③求解出区段AB两端的弯矩M A和M B；④将两端弯矩M A和M B绘出并连以直线（虚线）；⑤以步骤④中的虚线为基线叠加各个分解荷载下的弯矩图（竖标叠加），得最终弯矩图。
3．试判断图3-1所示刚架中截面A、B、C的弯矩受拉边和剪力、轴力的正负号。
图3-1答：轴力以受压为负，受拉为正；剪力以使截面顺时针旋转为正。
（1）截面A：左边受拉，剪力为负，轴力为负；（2）截面B：右边受拉，剪力为正，轴力为正；（3）截面C：左边受拉，剪力为正，轴力为正。
4．怎样根据静定结构的几何构造情况（与地基按两刚片、三刚片规则组成，或具有基本部分与附属部分等）来确定计算反力的顺序和方法？答：（1）与地基按两刚片，例如简支梁，支座反力只有三个，对某一端点取矩直接解除约束反力。
（2）与地基按三刚片规则组成，例如三铰刚架，支座反力有四个，考虑结构整体的三个平衡方程外，还需再取刚架的左半部（或右半部，一般取外荷载较少部分）为隔离体建立一个平衡方程方可求出全部反力。
（3）具有基本部分与附属部分时，按先附属后基本的计算顺序，求解支座反力。
5．当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，有哪些规律可以利用？答：当不求或少求反力而迅速作出弯矩图时，如下规律可以利用（1）结构上若有悬臂部分及简支梁部分（含两端铰接直杆承受横向荷载）弯矩图可先行绘制出；（2）直杆的无荷区段弯矩图为直线和铰处弯矩为零；（3）刚结点的力矩平衡条件；（4）外力与杆轴重合时不产生弯矩；（5）外力与杆轴平行及外力偶产生的弯矩为常数；（6）对称性的合理利用；（7）区段叠加法作弯矩图。
结构力学试题一、对下图所示平面杆件体系作几何组成分析。
（9分）二、计算下图所示静定组合结构，求出链杆轴力并画出梁式杆的M图和Q图。
（24分）三、下图对称刚架受反对称荷载作用，试取一半结构，用力法计算该刚架，并画出其M图。
（18分）四、图示刚架支座E产生沉降a，用位移法计算此刚架，并画出其M图。
（17分）五、用力矩分配法计算下图所示超静定刚架，并画出其M 图。
（17分）六、利用影响线求下图所示三跨静定梁D 支座的反力D R 。
（用其它方法不得分）。
（5分）结构力学试题参考答案及评分标准一、分析：基础以上部分与基础之间，用三根不交于一点也不完全平行的链杆相连，可只分析基础以上部分。
铰接ADF ∆和CDF ∆铰接BEG ∆和CEG ∆ 此体系几何不变，无多余约束。
二、解：先求出支座反力为 kN Y Y kN Y B A B 5.75.21010,5.28210=-=-==⨯=取出CGEB 部分为隔离体，其受力如右下图所示，由∑=0Cm024=⨯-⨯DE B S Y（1分）（2分） （2分） （1分） （3分）（2分）（2分）kN S DE 5=再以E 结点为对象，其受力如下图所示，由∑∑==0,0Y X45cos 045sin =+=-BE EG DE BE S S S S解出 kN S kN S EG BE 5,07.7-==（压）根据结点的对称性知kN S S kN S S EG DF BE AD 5,07.7-====（压）将梁式杆上引起弯矩和剪力的荷载标示如下图，再作出其弯矩图和剪力图。
三、解：此对称刚架受反对称荷载作用，取一半结构及其力法基本结构如下图：画出基本结构的P M 和1M 如下：（1分）（2分）（2分）（2分）（3分）（3分）（2分）（2分）（2分）（2分）EIl l l l l l l EI 2472223222211311=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=δEIql l ql l l l ql EI P122832222114221-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-⨯=∆ 721111qlX P=∆-=δ 由11M X M M P +=得此刚架的弯矩图如下图所示。
一、几何组成分析
二、作出图示静定梁的弯矩图。
三、弯矩图
四、绘图题
解：
五、弯矩图
六、试用位移法计算图示刚架，并作出M图（EI=常数）。
七、 弯矩图
八、 弯矩图
作出图示静定梁的弯矩图。
作出图示静定梁的弯矩图（不必写出作出过
程）
九、弯矩图
十、作出图示静定刚架的弯矩图。
十一、作出图示多跨静定梁的F Q K影响线。
十二、 弯矩图
十三、
试用力法解图示连续梁，并画弯矩图。
EI =常数。
（15分）（建议取图示基本结
构计算）。
十四、对称钢架作出M图
十五、钢架M图
十六、求图示体系的自振频率和主振型，并验算主振型的正交性。
十七、 作出图示静定刚架的弯矩图。
十八、 试用力法计算图示对称刚架，并作出M图。
=72/EI
常数。
二十、自振频率和主振型。
静定梁和静定刚架习题[习题1]解：①取整体为研究对象，∑M B=0，V A L+M=0，得：V A= -M/L∑Y=0，V A+V B=0，得：V B= M/L取左半为研究对象，∑M C=0，V A L/2=H A L，得：H A= -M/2L（向左）∑X=0，H A-H B=0，得：H B= H A= -M/2L（向右）②取AD为研究对象，∑M D=0，得：M DA=H A L= -M/2 （右侧受拉）同理：M EB= H B L= -M/2 （左侧受拉）N DA M CEM DAV DAH A H BV A V BBEC为研究对象，∑M C=0，M CE+H B L-V B L/2=0，得：M CE=M（下侧受拉）③M DC与M EC可由结点D和E的平衡条件得到。
[习题2] 作弯矩图20 kN/m4m解：①几何构造分析。
ABCDF是附属部分，BE是基本部分②先计算附属部分，是简支刚架。
取整体为研究对象，∑M B=0，V F×6+20×3×1.5-20×6×3=0得：V F = 45 kN∑Y=0，得：V B=135 kN∑X=0，得：H B=0*M CF=V F×3=135 kNm ，下侧受拉*CD、AB是悬臂杆，直接写出弯矩F M BA=90 kNm，M CD=90 kNm，上侧受拉。
*由结点C的平衡，M CB=-45 kNm，下侧受拉。
③基本部分的计算，为悬臂杆。
V B =135 kNM E=135×3=405 kNm左侧受拉E④作出弯矩图。
[习题3] 作弯矩图，剪力图，轴力图。
4 kN4m解：①取整体为研究对象，∑M A=0 ，V C×9-4×5-2×5×2.5=0 ，解得：V C= 5 kN ，8 kN∑Y=0，V A=5 kN6kN 2×5=10 kN②取BC为研究对象，V BC4kNCB M BCV C∑M B=0 ，得：M BC=22 kNm （下侧受拉）∑Y=0，得：V BC= -1 kN③取AB为研究对象，∑Y=0，N BA=0.8 kN X ∑X=0，V BA= -0.6 kN④取结点A为研究对象，YV AB=9.4 kN N ABN AB= 0.8 kN V ABN ABV A⑤作M、V、N图X[4m4m 2m 2m 4m解：①几何构造分析，DEFG是附属部分，ABCD是基本部分②先计算附属部分∑Y=0 ，V F =20+10×4=60 kN MFG是悬臂部分M FG =80 kNm （上侧受拉）∑M D=0 ，M DE= - 40 kNm（上侧受拉）取DE为研究对象，可得：M ED= 80 kNmV F③计算基本部分∑Y=0，V B=40kNDE取整体，∑M A=0M AB+10×4×2-V B×4-M DE = 0得：M AB= 40 kNm （下侧受拉）BCD可视为悬臂。
④作弯矩图M图，单位：kNm[习题5]F2mBB解：①几何构造分析中间工字型刚片与左右分别以三铰连接，最后与地基连接。
几何不变，无多余约束。
②由对称性，V A=V B=6 kN③计算DEBH部分（它为中间工字型刚片的附属部分）这是三铰刚架。
同理，GAEC部分的弯矩图与DEH④计算中间工字型6kN 6 kN 63kN 3kN3kN 3kN3kN 3kN3kN 3kN 6⑤弯矩图6[习题6] 作弯矩图qa2a6×a解：①几何构造分析ADEF刚片与BFGH刚片和地基刚片由不在同一直线的三铰构成几何不变，无多余约束的体系。
CHIJ是附属部分。
②附属部分CHIJ的计算取整体，∑M H=0，R C a+qa2+qa×a/2=02得：R= -3qa/2 （向右）C所以，M IC=R C a= -3qa2/2（左侧受拉）IJ是悬臂部分，M IJ=qa2（上侧受拉）R C由结点I的平衡，M IH=qa2/2（下侧受拉）R H=qaqa2③基本部分的计算取整体，∑Y=0，得：V B=3qa取BFGH为研究对象，=0，M B+V B a=qa×2a+qa×3a/2∑M得：M B=qa2/2（左侧受拉）易得：M GB= qa2/2（左侧受拉）GH是悬臂部分，M GH=3qa2/2（上侧受拉）由结点G的平衡，M GF= qa2（上侧受拉）取考虑整体，∑M D=0，qa×2a+H A×a=qa2/2得：H A= -3qa/2 （向左）3qa/2 M EA=3qa2/2（右侧受拉）M EF= qa2（下侧受拉）M ED= qa2/2（上侧受拉）qa2[习题7] 作弯矩图3m2m4m2m 2m 2m 4m解：①几何构造分析，ACDE是附属部分，BEFGH是基本部分。
②先计算附属部分取整体为研究对象，∑M E=0，R A×4+4=3×4得：R A=2 kN ∑Y=0，V E=3 kNM DC=6kNm（上侧受拉）M DA= R A×4= 8 kNm（右侧受拉）M DE= 3×2=6 kNm（下侧受拉）[习题8] 作弯矩图2mE2m2m 2m 2m 2m解：①几何构造分析。
GFD是基本部分，ABCDE是附属部分。
②先计算附属部分，与地基构成三铰刚架。
由BCDE部分，∑Y=0得：V D=2 kN由AB部分，∑Y=0得：V A=2 kNE 取整体，∑M A=0，得：H D=3 kNM DE取CDE为研究对象，M CD= 4 kNm（左侧受拉）取BCD为研究对象，M B= 4 kNm（下侧受拉）取AH为研究对象，M H= 4 kNm（下侧受拉）③计算基本部分F D 3 kN M ED=2×4=8 kNm（上侧受拉）2 kN M GF= 2×4-3×2=2 kNm（左侧受拉）G④弯矩图。
[习题9] 作弯矩图aa a 2a 2a 2a解：①几何构造分析，BFG、DHG分别看作链杆，ABC、CDE及地基看作三刚片。
由三刚片法则，构成几何不变，无多余约束的体系。
②取ABC为研究对象，∑M B=0，XXE AV A×2a - P×a + Y C×2a=0 -----------（1）取CDE为研究对象，∑M D=0，V E×2a - Y C×2a=0 ------------（2）取整体为研究对象，∑M G=0，V A×4a - P×3a - V E×4a=0 -----------（3）Y B解得：V A=5P/8 ，V E= -P/8 ，Y C= -P/8 X B从而，M BC= Pa/4（下侧受拉）M DC= Pa/4（上侧受拉）取ABC为研究对象，∑Y=0，得：Y B= P/4 F G取CDE为研究对象，∑Y=0，得：Y D= P/4取BFG为研究对象，∑M G=0，Y B×2a + X B×a = 0 ，得：X B= -P/2从而，M FB=Pa/2（左侧受拉）同理，得M HD= Pa/2（右侧受拉）③弯矩图[习题10] 作弯矩图2.5m2.5m4m 2m 2m 4m解：①几何构造分析，ADE、BHG看作链杆，CEFG、地基看作刚片由两刚片法则得，构成几何不变，无多余约束的体系。
②求支反力支座A的约束力的作用线为AE，如图，取整体为研究对象，∑M O=0X BBY B×10 = X B×2.5+120 ---------（1）取BHG为研究对象，∑M G=0Y B×4 = X B×5 ----------（2）解得：Y B=15 kN ，X B= 12 kN 从而，M HB=60 kNm（右侧受拉）取ECFGHB为研究对象，120kNm弯矩图EM FE= 30 kNm（上侧受拉）[习题11]aaaa a a a解：ABCG是附属部分M AB=qa2（上侧受拉），取AB为研究对象，∑M A=0，得：V BA=qa /2V AB= qa /2V ABN AB N BAM AB V BA取结点B为研究对象，∑Y=0，得：V BC= -3qa/2 BA V BC取BCG为研究对象，∑Y=0，得：V G=2qaV BC∑M G=0，得：N BC= -qaN BC M CB=3qa2/2（上侧受拉）M CJ= qa2/2（上侧受拉）X G G M CG= qa2（右侧受拉）V G V G取FGH为研究对象，N FG V FG X G V HN FG=X G= -N BC= qa∑M F=0，得：V H= qa ，M GH=qa2（下侧受拉）∑Y=0，得：V FG=qa取ADEI为研究对象，M DA=qa2（右侧受拉），M EF=qa2（上侧受拉），M ED=3qa2/2（上侧受拉），V=qa/2 M E I = qa2A N ABED N FG qaV FGI。
