高一数学竞赛知识点
在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途
径之一。参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培
养他们的思维逻辑和问题解决能力。然而，能够在数学竞赛中脱
颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。本文
将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取
得优异的成绩。
一、函数与方程
在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数
函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。此外，掌握方程的
解法也非常重要。学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够
灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。
二、排列与组合
排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。学生们需要了解排
列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际
问题中。在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。
三、数列与数列极限
数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。
四、不等式
不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。
五、平面几何
平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。学生们需要掌握平
面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式
解决各种几何问题。熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质
和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。
六、立体几何
除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几
何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。熟练掌握立体几何
的体积、表面积和长宽高等计算方法，以及平行四边形、棱柱、
棱锥、球面等重要几何体的性质对解题至关重要。
总结：通过对高一数学竞赛的知识点的介绍，我们可以看到，
掌握基本的数学知识是参加数学竞赛的基础。函数与方程、排列
与组合、数列与数列极限、不等式、平面几何、立体几何等知识
点是高一数学竞赛中的重要考点。学生们应该通过大量的练习和
实践，深入理解这些知识点，并能够熟练地应用到各种题型中。
只有掌握牢固的数学基础知识，才能在数学竞赛中展现出自己的
才华和水平。
第三讲映射与函数 一映射 设A、B是两个集合，如果按照某个对应法则，，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，这样的对应叫做从A到B的映射．记为f：A→B． 如果给定一个从集合A到集合B的映射，那么与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，记作b=f(a)，a叫做b的原象．A的象记为f(A)． 对映射定义的理解要注意以下几点： (1)A，B是两个集合，可以是数集也可以不是数集，并要注意先后次序，即从A到B的映射与从B到A的映射一般是不同的． (2)存在从A到B的对应法则，这个法则可以是解析的，也可以是表格的、图象的及其他形式． (3)集合A中的元素的任意性与集合B中元素的唯一性构成映射的核心． (4)A中的每一个元素都有象，且唯一，不要求集合B中每一个元素都有原象，即使有原象也不要求唯一．因此，“多对一”、“一对一”是映射，“一对多”不是映射． (5)如果对于集合A中的任意两个元素x1，x2，当x1≠x2时，若必有f(x l)≠f(x2)，则称该映射为从A到B的单射． (6)如果集合B中的每一个元素都有原象，就称f是A到B上的映射，也称为满射． (7)如果f既是单射又是满射，则称f是一一映射．
例1 设A ={4321,,,a a a a }，},,,,{54321b b b b b B = （1）写出一个f ：A →B ，使得f 为单射，并求所有A 到B 的单射的个数。 （2）写出一个f ：A →B ，使得f 不是单射，并求所有这些映射的个数。 （3）A 到B 的映射能否是满射？ 解：（1）作映射f ：A →B ，使得4,3,2,1 ,)(==i b a f i i 则此映射即为A 到B 的一个单射，这种单射的个数为12045=P 。 （2）作映射f ：A →B ，可以先求A 到B 的映射的个数：分四步确定4321,,,a a a a 的象，每步都有5种可能，因此所求映射的个数为45个，因此满足条件的映射的个数为45－45P =505。 （3） 不能。由于A 中的每一个元素恰与B 中的一个元素对应，|A |=4，|B |=5， 所以B 中至少有一个元素在A 中找不到与它对应的元素，因此A 到B 的满射不存在。 说明：一般地，若A 到B 有一个单射，则|A |≤|B |，若A 到B 有一个满射， 则|A |≥|B |,若A 到B 有一个一一映射,则|A |=|B | 思考：在上述问题中,如何求从A 到B 的子集上的一一映射的个数? 解 B 中的4个元素的子集共有45C 个，从A 到B 的每4个元素的子集上的一一映射各有44P 个，所求的映射的个数是45C 44P =120个。
【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set） 1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划 1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数 2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质 3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式 6.2.2柯西不等式 6.2.3排序不等式 6.2.4契比雪夫不等式 6.2.5赫尔德不等式 6.2.6权方和不等式 6.2.7幂平均不等式 6.2.8琴生不等式 6.2.9 Schur不等式 6.2.10嵌入不等式 6.2.11卡尔松不等式 6.3证明不等式的常用方法6.3.1利用重要不等式 6.3.2调整法(放缩法) 6.3.3归纳法 6.3.4切线法 6.3.5展开法 6.3.6局部法 6.3.7反证法
高一数学竞赛知识点 在高中阶段，数学竞赛成为了学生们展示才华和水平的重要途 径之一。参加数学竞赛不仅可以考验学生的数学能力，还可以培 养他们的思维逻辑和问题解决能力。然而，能够在数学竞赛中脱 颖而出并不容易，需要学生们掌握一些重要的数学知识点。本文 将介绍高一数学竞赛的一些重要知识点，帮助学生们在竞赛中取 得优异的成绩。 一、函数与方程 在数学竞赛中，函数与方程是最基本也是最重要的知识点之一。学生们应该熟悉各种类型的函数，如线性函数、二次函数、指数 函数、对数函数等，以及它们的性质与图像。此外，掌握方程的 解法也非常重要。学生们需要理解方程的基本概念和性质，能够 灵活地应用不同的解法求解各种类型的方程。 二、排列与组合 排列与组合是高一数学竞赛中常见的题型。学生们需要了解排 列与组合的基本定义和计算公式，并能够熟练地应用到各种实际
问题中。在解答排列与组合问题时，学生们应该注意题目中的条件限制，灵活运用计数原理和容斥原理等方法，确保得出正确的结果。 三、数列与数列极限 数列与数列极限也是高一数学竞赛中常见的考点。学生们需要对数列的概念和性质有清晰的认识，能够计算数列的通项公式和前n项和。此外，理解数列极限的概念和性质也非常重要。学生们需要学会判断数列的收敛性，并能够计算收敛数列的极限值。 四、不等式 不等式在高一数学竞赛中也扮演着重要的角色。学生们需要熟悉不等式的基本性质和解法，并能够应用到各种实际问题中。掌握不等式的加减乘除运算规则、平方与开方不等式、绝对值不等式等是解决不等式问题的关键。 五、平面几何
平面几何是数学竞赛中常见的另一大考点。学生们需要掌握平 面几何中的基本定义和性质，能够灵活运用各种几何定理和公式 解决各种几何问题。熟练掌握平面几何的计算方法以及对称性质 和相似性质等是高中数学竞赛中得分的关键。 六、立体几何 除了平面几何，立体几何也是高一数学竞赛中重要的考点之一。学生们需要了解立体几何中的基本概念和性质，能够运用立体几 何的公式和计算方法解决各种立体几何问题。熟练掌握立体几何 的体积、表面积和长宽高等计算方法，以及平行四边形、棱柱、 棱锥、球面等重要几何体的性质对解题至关重要。 总结：通过对高一数学竞赛的知识点的介绍，我们可以看到， 掌握基本的数学知识是参加数学竞赛的基础。函数与方程、排列 与组合、数列与数列极限、不等式、平面几何、立体几何等知识 点是高一数学竞赛中的重要考点。学生们应该通过大量的练习和 实践，深入理解这些知识点，并能够熟练地应用到各种题型中。 只有掌握牢固的数学基础知识，才能在数学竞赛中展现出自己的 才华和水平。
高中数学竞赛知识点整 理 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
不等式块 1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a === 21或 n b b b === 21时等号（对任一排列n j j j ,,,21 ）成立. 2．应用排序不等式可证明“平均不等式”： 设有n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均数和几何平均数分别是 此外，还有调和平均数（在光学及电路分析中要用到 n n a a a n H 11121+++= ， 和平方平均（在统计学及误差分析中用到） n a a a Q n n 22221+++= 这四个平均值有以下关系n n n n Q A G H ≤≤≤. ○* 3．应用算术平均数——几何平均数不等式，可用来证明下述重要不等式. 柯西（Cavchy ）不等式：设1a 、2a 、3a ，…，n a 是任意实数，则 等号当且仅当k ka b i i (=为常数，),,2,1n i =时成立. 4．利用排序不等式还可证明下述重要不等式. 切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21 ， 则.21212211n b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++?+++≥+++ 例题讲解
高中数学竞赛知识点 高中数学竞赛一直是让许多学生头疼的问题。它不仅要求我们掌握 基础的数学知识，还需要我们在限定的时间内迅速解决各种复杂的问题。然而，只要我们掌握了一些关键的数学竞赛知识点，我们就能够 在竞争中脱颖而出。 首先，让我们来看一下数列与数列极限的相关知识。数列是数学竞 赛中经常出现的一个概念，它指的是按照一定规律排列的一组数。我 们需要掌握数列的基本性质，包括递推公式、通项公式以及数列的求 和公式等。同时，了解数列的极限概念，包括收敛与发散，也是非常 重要的。在竞赛中，我们会遇到一些关于数列的难题，只有熟悉了数 列的性质，才能够迅速解决问题。 其次，代数方程也是高中数学竞赛的重要内容之一。代数方程是指 含有未知数的等式，我们需要运用代数方程的解题方法来解决各种复 杂的问题。在解代数方程的过程中，我们需要注意方程的整数解、有 理根与无理根等基本概念。同时，熟悉一些有用的代数恒等式，如二 项式定理、配方法和因式分解等，也可以帮助我们在数学竞赛中事半 功倍。 另外，概率与统计也是高中数学竞赛的重要考点。掌握概率与统计 的基本概念，包括事件的概率、条件概率、随机变量、概率分布等， 是解决概率与统计问题的关键。在竞赛中，我们常常需要运用概率与 统计的知识来解决一些实际问题，如抛硬币、掷骰子、抽样等。只有 熟悉了这些知识点，我们才能够快速准确地解答各种概率与统计问题。
最后，解析几何也是高中数学竞赛的重要内容。解析几何是指运用 代数方法研究几何问题的一种数学方法。了解解析几何的基本概念， 如直线方程、平面方程、圆方程以及二次曲线方程等，可以帮助我们 求解各种几何问题。在解析几何中，我们需要掌握坐标系的建立与利用，解决线段相交、面积比例以及直线与圆的位置关系等问题。 总的来说，高中数学竞赛知识点非常广泛，但我们只要掌握了一些 关键的知识点，就能够在竞赛中有所斩获。数列与数列极限、代数方程、概率与统计以及解析几何，这些都是我们需要重点关注的知识点。在备战数学竞赛的过程中，我们还需要注重培养解题技巧与思维能力，多做一些相关的练习题，提高我们的解题速度与准确度。只有坚持不懈，不断提高，我们才能够在高中数学竞赛中取得更好的成绩。
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。如图所示，若AM平分∠BAC，则 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这 条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连线
是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角∠ CAE，则 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半 （2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
不等式块 1．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥ 2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥- （逆序和） 其中 一排列j ,12 设有 n H Q n =3 4 则.21212211n b b b n a a a n b a b a b a n n n n +++⋅+++≥+++ 例题讲解 1．,0,,>c b a 求证：.6)()()(abc a c ca c b bc b a ab ≥+++++ 2．0,,>c b a ，求证：.)(3c b a c b a abc c b a ++≥
3．：.222,,,3 33222222ab c ca b bc a b a c a c b c b a c b a R c b a ++≤+++++≤++∈+ 求证 4．设*21,,,N a a a n ∈ ，且各不相同， 求证：.3213121 12 23221n a a a a n n ++++≤++++ . 5．利用基本不等式证明.222ca bc ab c b a ++≥++ 6．已知a 789．n 1.轮换技巧.(ab +-c b 22≥+2. 不等式关于c b a ,,对称，不妨+∈---≥≥R c a c b b a c b a ,,,则，且c b ,， c a 都大于等于1. 评述：（1）证明对称不等式时，不妨假定n 个字母的大小顺序，可方便解题. （2）本题可作如下推广：若≥=>n a n a a i a a a n i a 2121),,,2,1(0则.)(2121n a a a n n a a a +++ （3）本题还可用其他方法得证。因a b b a b a b a ≥，同理 c a a c b c c b a c a c c b c b ≥≥,， 另c b a c b a c b a c b a ≥，4式相乘即得证.
高一上学期数学竞赛知识点 一、整数与有理数 1. 整数的性质与整数的四则运算 整数的性质包括自然数、正整数、负整数、零以及整数的比较大小等。整数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。要注意整数的加法与减法满足交换律和结合律，乘法满足交换律和结合律，除法需要注意被除数与除数的正负关系。 2. 有理数的性质与有理数的四则运算 有理数包括整数和分数，有理数的性质包括有理数的比较大小以及有理数的表示。有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。有理数的加法和乘法满足交换律和结合律，减法和除法需要注意符号的变化。 3. 整数和有理数的应用 整数和有理数的应用包括数轴的表示与应用、温度的表示与应用等。 二、代数与方程
1. 代数运算 代数运算包括代数式的加法、减法、乘法和除法，以及代数式的化简和展开。 2. 方程与不等式 方程是含有未知数的等式，要通过变量代换、移项和合并同类项等方法求解方程，包括一元一次方程、一元二次方程等。不等式是含有不等号的关系式，求解不等式要注意改变不等式符号的规则。 3. 平方根与实数 平方根是方程x²=a的解，实数是有理数和无理数的统称。要求解含有平方根的方程时，需要注意引入合适的等式变形和解的范围。 三、数列与函数 1. 算术数列与等差数列
算术数列是指后一项与前一项之差相等的数列，等差数列是一 种特殊的算术数列。要求解数列中的某一项或数列的前n项和， 可以利用通项公式和求和公式。 2. 函数与映射 函数是一种特殊的关系，具有唯一性和对应性。函数的表示可 以用函数表、公式或图象等形式。 3. 一次函数与二次函数 一次函数是变量的一次多项式，二次函数是变量的二次多项式。要求解一次函数和二次函数的零点、最值等问题，需要利用解方 程和求导等方法。 四、立体几何 1. 空间几何基本概念和性质 空间几何包括点、线、面、体等基本概念，以及它们之间的关 系和性质。 2. 空间图形的计算与应用
高一数学竞赛知识点 一、集合与函数 1. 集合的概念：集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。 2. 集合的表示方法：列举法、描述法、区间表示法等。 3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集等。 4. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，将一个集合的每个元素映射到另一个集合的元素上。 5. 函数的性质：单射、满射、一一对应、复合函数等。 二、数列与数列极限 1. 数列的概念：数列是按照一定规律排列的一系列数。 2. 等差数列：数列中的任意两项之差都相等。 3. 等比数列：数列中的任意两项之比都相等。 4. 通项公式：数列中的第n项与n的关系式。 5. 数列极限：数列随着项数无限增加，趋向于一个确定的值。 6. 数列极限的性质：唯一性、保序性、四则运算性质等。 三、函数的性质与图像 1. 函数的奇偶性：奇函数和偶函数的定义与性质。 2. 函数的周期性：周期函数的定义与性质。 3. 函数的单调性：增函数和减函数的定义与判定方法。 4. 函数的极值：局部极大值和局部极小值的概念与求解方法。
5. 函数的图像：函数的图像与坐标轴的交点、拐点、对称轴等。 四、数学归纳法 1. 数学归纳法的原理：从已知条件推导出未知结论的一种方法。 2. 数学归纳法的基本步骤：证明基本情况、假设成立、推导出下一步结论。 3. 数学归纳法的应用：证明数列、不等式、恒等式等的成立性。 五、平面几何 1. 平面几何的基本概念：点、线、面、角等的定义与性质。 2. 直线和平面的关系：相交、平行、垂直等的判定方法。 3. 三角形的性质：内角和、外角和、中位线、高线等的性质。 4. 相似三角形：相似三角形的判定条件、比例关系及其应用。 5. 圆的性质：圆心角、弧长、弦长、切线等的性质。 6. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义与性质。 六、概率与统计 1. 随机事件：随机事件的概念、必然事件、不可能事件及其运算。 2. 概率的计算：频率概率、几何概率、古典概型等的计算方法。 3. 条件概率：事件A在事件B发生的条件下发生的概率。 4. 独立事件：两个事件相互独立的概念与判定方法。 5. 统计与统计图表：数据的收集、整理、描述和分析方法。 七、三角函数与解三角形
高中数学竞赛知识点提纲 【高中数学（竞赛）知识点提纲】1.集.合（set）1.1集.合的阶，集.合之间的关系。1.2集.合的分划1.3子集，子集族 1.4容斥原理 1.5极端原理 1.6抽屉原理 2. 函数（function） 2.1函数的基本概念 2.1.1映射 2.1.1.1单射 2.1.1.2满射 2.1.1.3一一映射（双射） 2.1.2函数的定义域、值域 2.2函数的性质 2.2.1对称性 2.2.2单调性 2.2.3奇偶性 2.2.4周期性 2.2.5凹凸性 2.2.6连续性 2.2.7可导性 2.2.8有界性 2.2.9收敛性 2.3初等函数 2.3.1一次、二次、三次函数 2.3.2幂函数 2.3.3双勾函数 2.3.4指数、对数函数
2.4函数的迭代 2.5函数方程 3. 三角函数（trigonometricfunction）3.1三角函数图像与性质3.2三角函数运算 3.3三角恒等式、不等式、最值 3.4正弦、余弦定理 3.5反三角函数 3.6三角方程 4. 向量（vector）4.1向量的运算 4.2向量的坐标表示，数量积 5. 数列（sequence） 5.1数列通项公式求解 5.1.1换元法 5.1.2特征根法 5.1.3不动点法 5.1.4迭代法 5.1.5数学归纳法 5.1.6代换法 5.1.7待定系数法 5.1.8阶差法 5.2数列求和 5.2.1裂项相消法 5.2.2错位相减法 5.2.3倒序相加法 5.2.4分组分解法 5.2.5归纳猜想法 6．不等式（inequality） 6.1解不等式 6.2重要不等式 6.2.1均值不等式
数学 均值不等式 被称为均值不等式。·即调停平均数不高出几何平均数，几何平均数不高出算术平均数，算术平均数不高出平方平均数，简记为“调几算方”。 其中：，被称为调停平均数。 ，被称为几何平均数。 ，被称为算术平均数。 ，被称为平方平均数。 一般形式 设函数（当 r 不等于 0 时）；（当r=0时），有时，。 可以注意到，Hn≤Gn≤An≤Qn 仅是上述不等式的特别状况，即 。 特例 ⑴对实数 a,b ，有（当且仅当a=b 时取“号=”），（当且仅当 a=-b 时取“=号”） ⑵对非负实数a,b，有，即 ⑶对非负实数a,b，有 ⑷对实数 a,b ，有 ⑸对非负实数a,b，有 ⑹对实数 a,b ，有
⑺对实数 a,b,c ，有 ⑻对非负数a,b ，有 ⑼对非负数a,b,c ，有 在几个特例中，最出名的当属算术—几何均值不等式（AM-GM 不等式）： 当 n=2 时，上式即： 当且仅当时，等号成立。 依照均值不等式的简化，有一个简单结论，即。 排序不等式 基本形式： 排序不等式的证明 要证 只需证 依照基本不等式 只需证 ∴原结论正确 棣莫弗定理 设两个复数（用三角形式表示），则： 复数乘方公式：. 圆排列 定义 从 n 个不同样元素中不重复地取出m （1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n 个不同样元素的圆排列。若是一个m-圆排列旋转可以获取另一个m- 圆排列，则认为这两个圆排列相同。 计算公式 n 个不同样元素的特别地，当m=n m- 圆排列个数N 为： 时， n 个不同样元素作成的圆排列总 数 N 为：。
费马小定理 小定理 (Fermat Theory) (a,p)=1 ，那么 a(p- 1) ≡1（ mod p 有一个公数 1) ，那么 a 的 (p-1)是数中的一个重要定理，其内容：若是 p 是数，且 ）。即：若是 a 是整数， p 是数，且 a,p 互 (即两者只次方除以 p 的余数恒等于 1。 组合恒等式 合数 C(k,n) 的定：从n 个不同样元素中取k 个行合的个数。 基本的合恒等式 nC(k,n)=kC(k-1,n-1) C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m) ∑C(i,n)=2^n ∑[(-1)^i]*C(i,n)=0 C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（个性叫合的【聚合性】） C(k,n)+C(k,n+1)+ ⋯⋯ +C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1) -C(k+1,n) C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+ ⋯⋯ +C(p -1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)= C(p,m+n) 韦达定理 逆定理 若是两数α和β 足以下关系：α+β= ，α·β=，那么两个数α和β是方程 的根。 通达定理的逆定理，可以利用两数的和关系构造一元二次方程。[5] 实行定理 达定理不可以明一元二次方程根与系数的关系，可以实行明一元n 次方程根与系数的关系。 定理： （ i=1 、 2、 3 、⋯⋯n）是方程： 的 n 个根，k 整数），有：。[实系数方程虚根成对定理： 系数一元n 次方程的虚根成出，即若z=a+bi(b ≠0)是方程的一个根，=a-bi 也是一个根。 无量递降法 无降法是明方程无解的一种方法。其步： 假方程有解，并X 最小的解。 从 X 推出一个更小的解Y。
北京市高一数学竞赛知识点 北京市高一数学竞赛是一项旨在挖掘和培养学生数学潜能的重 要赛事。竞赛的成功取决于参赛选手对相关数学知识点的掌握和 理解。本文将介绍北京市高一数学竞赛的主要知识点，以帮助参 赛选手提高自己的竞赛水平。 一、函数和方程 函数和方程是高一数学竞赛的基础知识点。在竞赛中，选手需 要熟练掌握一元一次方程、一元二次方程、函数的概念和性质等 内容。同时，对于函数的表示方法、性质和图像也要有深入的理解。选手应该能够熟练地解题和绘制函数图像，例如求解方程组、函数的最值以及二次函数的图像特点等。 二、几何与三角学 几何与三角学是竞赛中的另一重要知识点。选手需要了解常见 几何图形的性质、构造和判断方法。在三角学方面，选手应该熟 悉三角函数、三角恒等式、三角方程等内容，并能够运用这些知 识解决相关问题。此外，选手还应了解平面向量、解析几何等知 识点，并能运用它们进行证明和计算。
三、数列与数学归纳法 数列与数学归纳法是高一数学竞赛中常见的考点。选手需要理 解数列的概念、性质和求和公式。在数学归纳法方面，选手应掌 握基本的证明方法，并能够灵活运用其推理思想解决数列问题。 选手还需要了解等差数列、等比数列以及它们的常见性质和应用。 四、概率与统计 概率与统计是数学竞赛不可忽视的知识点。选手需要掌握概率 的基本概念、计算方法和应用题解法。在统计学方面，选手应了 解常见统计指标的计算方法、频数分布表和频数直方图的绘制等 内容。选手需要能够通过概率与统计的方法解决实际问题，例如 求解可能性、样本空间和概率分布等。 五、向量与解析几何 向量与解析几何也是高一数学竞赛的重点内容。选手需要掌握 向量的基本性质、运算法则和应用题解法。在解析几何方面，选 手应理解直线、平面的方程表示方法和相互关系，并能够灵活运 用它们解决几何问题。选手还需要熟练掌握空间解析几何的基本 概念和计算方法。
高一数学竞赛知识点 一、函数与方程 在高一数学竞赛中，函数与方程是一个重要的知识点。函数是数学中的基本概念之一，可以理解为自变量与因变量之间的一种对应关系。在数学竞赛中，我们需要掌握函数的定义、性质以及函数的图像、单调性等相关知识。方程是数学中另一个重要的概念，是含有未知数的等式。在数学竞赛中，我们需要学会解一元一次方程、一元二次方程、一元三次方程等不同类型的方程，并能够应用解方程的方法解决实际问题。 二、数列与数列的极限 数列是由一系列有规律的数按一定顺序排列而成的序列。在数学竞赛中，我们需要学习数列的概念、公式、性质以及常见数列的求和公式。数列的极限是数学分析中的重要概念，是指当数列的项数趋向无穷大时，数列的极限值。在数学竞赛中，我们需要学会判断数列的极限是否存在，以及求解数列的极限值。 三、平面几何与空间几何 平面几何是数学中的一个分支，研究平面内的点、直线、角等基本几何概念及其性质。在数学竞赛中，我们需要学习平面几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。空间几何是平面几何的延伸，研究空间内的点、直线、面等几何对象及其性质。在数学竞赛中，我
们需要掌握空间几何的基本概念、定理以及相关的解题方法。 四、概率与统计 概率是数学中的一个分支，研究随机事件发生的可能性大小。在数学竞赛中，我们需要学习概率的基本概念、性质以及常见的计算方法。统计是数学中另一个重要的分支，研究数据的收集、整理、分析和解释。在数学竞赛中，我们需要学习统计的基本概念、性质以及常见的统计方法。 五、数论 数论是数学中的一个分支，研究整数的性质和整数之间的关系。在数学竞赛中，我们需要学习数论的基本概念、性质以及常见的解题方法。数论在密码学、编码等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。 六、解析几何 解析几何是数学中的一个分支，通过代数方法研究几何问题。在数学竞赛中，我们需要学习解析几何的基本概念、性质以及常见的解题方法。解析几何在计算机图形学、物理学等领域有广泛的应用，是数学竞赛中的重要知识点之一。 七、立体几何 立体几何是数学中的一个分支，研究空间内的几何对象及其性质。在数学竞赛中，我们需要学习立体几何的基本概念、定理以及相关
高一数学竞赛知识点大全 数学是一门重要的学科，对于学生来说，提前熟悉并掌握数学竞赛的知识点是非常重要的。本文将为大家总结高一数学竞赛的知识点，帮助大家更好地备战竞赛。 一、代数与函数 1. 初步的代数运算：四则运算、分配律、合并同类项等基础运算法则。 2. 整式与分式的乘除：整式与分式的乘法展开、整式与分式的除法。 3. 因式分解：公因式提取法、差平方、完全平方等因式分解方法。 4. 分式运算：分式的加减、化简、乘除等常用运算规则。 5. 线性方程与不等式：一元一次方程与不等式的解法、二元一次方程组的解法和应用。 6. 二次方程与不等式：求根公式、韦达定理、二次不等式的解法和应用。 7. 指数与对数：指数的运算法则、对数的运算法则、指数方程与对数方程的解法。
8. 函数的概念与性质：函数的定义、函数的性质、函数的图像 与性质。 9. 函数的运算：函数的加减、乘、除等运算法则。 10. 函数的图像与性质：一次函数、二次函数、反比例函数的 图像与性质。 11. 幂函数与指数函数：幂函数与指数函数的图像与性质、幂 指对函数的运算法则。 二、几何与立体几何 1. 二维图形的性质：重心、垂直、平行、三角不等式等性质。 2. 三角形的性质：角平分线定理、中线定理、垂心与垂足等性质。 3. 四边形的性质：平行四边形、矩形、菱形、正方形等性质。 4. 圆的性质：圆心角定理、弧长、扇形等性质。 5. 直线与圆的位置关系：点到直线、直线到圆的距离、切线等。 6. 空间几何图形的性质：球的表面积和体积、立体几何图形的 面积与体积。
三、概率与统计 1. 概率的基本概念：随机事件、样本空间、事件概率等。 2. 概率的计算：频率、古典概型、几何概型等概率计算方法。 3. 统计的基本概念：总体、样本、频数等统计学基本概念。 4. 统计图表的制作与分析：条形图、折线图、饼图等常见统计 图的制作与分析方法。 四、数列与数表 1. 数列的定义与性质：数列的概念、等差数列、等比数列等性质。 2. 数列的运算与运算规律：数列的加减、乘除等运算法则。 3. 递推数列的求解：递推公式的建立、递归公式的求解等方法。 4. 等比数列的应用：等比数列在几何图形中的应用。 五、解析几何 1. 平面坐标系与直线：点的坐标、直线的方程与性质。 2. 平面几何图形的方程：圆的方程、抛物线的方程、椭圆的方 程等。
高一数学竞赛知识点汇总 随着数学竞赛的兴起和普及，越来越多的高中生开始加入到数 学竞赛中来。对于高一学生来说，掌握一些常见的数学竞赛知识 点是非常重要的。本文将从数列、概率、三角函数和平面几何四 个方面进行讲解和汇总。 数列部分 在数学竞赛中，数列是一个非常常见的考点。常见的数列有等 差数列、等比数列、斐波那契数列等等。 等差数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。在计算等差数列的和时，可以利用求和公式进行计算。 等比数列是指一个数列中的每个数与它的前一个数之比都相等。同样地，在计算等比数列的和时，可以利用求和公式进行计算。 斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的每个数等于前两个 数之和。斐波那契数列的数学特性被广泛应用于自然界和各个领域。
概率部分 概率是数学竞赛中的一个重要知识点，也是数学中的一个重要分支。概率可以用来描述随机事件发生的可能性。 在计算概率时，可以使用频率概率和几何概率两种方法。频率概率是通过实验统计的结果来计算的，而几何概率则是通过几何上的分析来计算的。 在概率计算中，常见的技巧有加法原理和乘法原理。加法原理用于计算多个事件中至少发生一个事件的概率，而乘法原理则用于计算多个事件同时发生的概率。 三角函数部分 三角函数是数学竞赛中的一个重要知识点，也是解决三角形相关问题的基础。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数问题时，可利用三角函数的周期性、奇偶性和 对称性进行简化。此外，还可以利用三角函数的图像性质进行问 题的解答。 平面几何部分 平面几何是数学竞赛中的另一个重要知识点，涵盖了线段、角、三角形、四边形、圆等内容。 在解决平面几何问题时，可以利用几何图形的对称性、相似性 和尺规作图等方法进行推导和解答。 此外，还有一些常见的几何定理和公式需要掌握，如勾股定理、正弦定理和余弦定理等。 总结 数学竞赛知识点的汇总是为了帮助高一学生更好地准备数学竞赛。数列、概率、三角函数和平面几何是数学竞赛中的常见考点，
高一数学竞赛重点知识点 导语： 数学竞赛在我国被视为培养学生逻辑思维和解决问题能力的有效方式之一。对于高一的学生来说，参加数学竞赛不仅可以提升数学水平，还能培养思维灵活性和创新性问题解决能力。本篇文章将介绍高一数学竞赛中的一些重点知识点，希望对广大参赛学生有所帮助。 1. 排列组合 在高一数学竞赛中，排列组合是一个经常出现的题型。它涉及到计算某些对象的不同排列或组合方式。常见的排列组合题型包括排列、组合以及排列组合的应用。在解题时，首先需要明确题目中所涉及的对象和要求的条件，然后按照排列组合的原理进行计算。需要注意的是，排列和组合的计算公式和性质都需要熟记于心，并能够熟练运用。 2. 函数
函数是高一数学竞赛中的另一个重要知识点。函数的概念是数学中的基础，理解函数的性质和特点对于解题非常关键。在解答函数相关的题目时，需要明确函数的定义域、值域、奇偶性等基本属性，并能够根据给定条件进行函数的构造和推导。此外，对于函数的图像和性质也需要有一定的了解，以便进行函数的综合分析和求解。 3. 三角函数 三角函数是高一数学竞赛中的难点之一。几乎所有与三角函数相关的题目都会涉及到角度的变化和三角函数的基本关系。解答这类题目需要熟悉常用角度的三角函数值以及三角函数之间的基本关系，如正弦、余弦、正切等。在解题时，可以利用三角函数的周期性和性质进行推导和计算，需要通过大量的练习来巩固对三角函数的理解与应用。 4. 数列与数列极限 数列与数列极限是数学竞赛中的常见题型，也是高一时数学重点考察的内容之一。数列的概念和数列的收敛性是解题的核心，而数列的性质和数列运算也是解题的基础。在解答数列相关的问