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第三章：标量衍射理论基础历史引言 数学预备知识 平面屏幕衍射的基尔霍夫理论 平面屏幕衍射的瑞利-索末非理论 瑞利-索末非理论推广到非单色波情形 在边界上的衍射 平面波的角谱1：历史引言光的波动理论形成 *惠更斯原理 *惠更斯——菲涅尔原理ndΣ QSΣ(波前)·θ r% dU ( p ) • p% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫衍射:不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现像— Sommerfield标量衍射理论(傅立叶光学＼信息光学，波动光学，近场光学，激光光学）只考虑电场或磁场的一个横分量的标量振幅和行为，而 假定任何别的有关分量也具有相同的行为，可以用同样 的方式来独立处理。
电场 \ 磁场 的各个分量通过麦氏方程耦合起来 , 并不能独 立的处理。
标量衍射理论的适用性和局限性 1、衍射孔径∑>λ 2、不要在太靠近孔径的地方观察衍射场 （傍轴条件） 比如：高分辨率光栅，使用标量衍射理论有其很 大的局限性 f=1/d，d越小越精细，则空间频率越高，场甚至 不能以辐射波的形式传播，以表面波的形式存在。
衍射理论的种类 1）惠－菲衍射理论 2）基尓霍夫衍射理论 3）瑞－索衍射理论 4）角谱衍射理论 5）边界衍射理论ＨＦ衍射理论v nv r21Q θdΣθ0% U ( p) =% dU ( p ) ∫∫ikr01v r01ΣSikr21% dU ( p ) •pikr01Ae % ( p ) = U (Q ) F (θ , θ ) e % dU dΣ = 0 r01 r21e F (θ 0 , θ ) dΣ r01ikr01% ( p ) = Ae U r21ikr21e ∫∫ F (θ 0 , θ ) r01 d Σ惠－菲原理的数学表达式2：数学预备知识２.１.单色平面波表示法和亥姆霍兹Helmholtz方程单色波（实数）U ( P,t ) = U ( P ) cos[2πν t + ϕ ( p )]单色波的复数表示% Re[U ( P )e − i 2πν t ]% U ( P ) = U ( P )e − iϕ ( p ) → 复振幅U ( P ) → 实振幅U ( P, t )满足标量波动方程1 ∂2 ∇ U ( P, t ) − 2 2 U ( P, t ) = 0 c ∂t2% U ( P)满足不含时的helmholtz方程% ( ∇ 2 + k 2 )U ( P ) = 0自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅必满足Ｈ.Ｅ.2.2 格林定理衍射、传播→不见源只见面→表－里⇒高斯定理→格林定理定义：令U(P)和G(P)为位置坐标的两个任意的复值函数，S为包围体积 定义 V的封闭曲面，若U、G以及它们的一阶和二阶偏微商都是单值的并 且在Ｓ内和Ｓ上连续，则有：∂U ∂G ∫ V ∫ (G∇ U − U ∇ G)dv = ∫ ∫ (G ∂n − U ∂n )ds ∫ S2 2∂ 表示在S上每一点沿向外的法线方向上的偏微商。
傅里叶光学实验
傅里叶光学实验是一种经典的实验，被广泛应用于光学研究和应用领域。
该实验利用
傅里叶变换原理，将一个复杂的光学场分解成一系列简单的光学场。
傅里叶变换是一种重要的数学方法，它可以将非周期信号分解成一系列正弦和余弦波，这些正弦和余弦波又被称为“频谱”。
在光学中，傅里叶变换可以将一个复杂的光学场分
解成一系列简单的光学场，如平面波、球面波和高斯光束等。
傅里叶光学实验通常使用一束激光作为光源，这束激光经过一个干涉仪，被分解成一
系列平行的光束。
这些光束经过一个透镜组，被聚焦成一组直径相等，强度相等的高斯光束。
接下来，这些高斯光束进入一个透镜组，被聚焦成一组空间频率不同，方向相同的平
面波。
这些平面波通过一个透镜组，被聚焦成一组直径相等，方向相同的球面波。
傅里叶光学实验在光学研究和应用领域具有广泛的应用。
例如，在成像领域，傅里叶
变换被广泛应用于光学全息成像和自适应光学成像等技术中。
此外，傅里叶光学实验还可
用于测量光学元件的传递函数，以及对光学信号进行滤波和处理。
频 谱 面
物 面 高频信息 阿贝成像原理的意义在于:它以一种新的频谱语言来描述 信息,它启发人们用改造频谱的方法来改造信息。
y
y′
λ
x
x′
经典衍射光学语言： 衍射屏 现代变换光学语言： 光学图象 频谱分析仪 傅里叶频谱面 透镜 夫琅和费衍射
空间滤波概念 （光学信息处理）
然而图像还原并非所有光学仪器的要求，人们还有更 积极的需要，那就是改造图像。
阿贝成像原理的真正 价值在于它提供了一种新的频谱语言来描述信息，启 发人们用改变频谱的手段来改造信息。
现代变换光学 中的空间滤波技术和光学信息处理，就概念来说，都 起源于阿贝成像原理
空间滤波具体作法如下
阿贝成像原理告诉我们，物信息的频谱展现在透镜的后焦 面(傅氏面)上,我们可在这平面上放置不同结构的光阑 （空间滤波器），以提取(或摒弃)某些频段的物信息，亦 即我们可主动地改变频谱，以此来达到改造图像的目的。
用频谱分析的眼光来看，傅氏面上的光阑起着“选频”的作 用。
广义地说,凡是能够直接改变光信息空间频谱的器件, 通称空间滤波器，或光学滤波器。
(1) 阿贝-波特空间实验
x
x′
栅
a / d = 1/ 3
光 栅 谱 面 的 频 谱
光
频 面
像
光栅的像
一维光栅 光栅的夫衍射图样，记录 下光栅的空间频率信息。
x′
光 栅 的 频 谱
I (x′)
傅 氏 面 上 的 光阑只让 光阑 零级通过.
像面上光强分布
像面无条纹
控制频谱就控制了像面
光 栅 的 频 谱
x′
傅氏面上的光阑 让零级和正负一 级通过.
屏幕上光强分 布,是基频和 直流成分
屏上有细小的 亮条纹
频谱面上的光阑使物的频谱通过得越多,所成的像与物越接近
(2) 网格实验
物平面 (网格) 频谱面 像平面
S
f′ f′ f′ f′
四空间滤波系统 通过控制频谱来控制像面的信息
物:网格
频谱（衍射图样）
一 列 频 谱 通 过 像
一 行 频 谱 通 过 像
像 倾斜方向的频谱通过
灰 尘
网 格 粘 上 的
通 过
只 让 网 格 的 频 谱
尘 消 失
网 格 的 像 灰
(3) θ调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是由不同取向的透射光栅片组成。
频谱面上(除零级外)干涉主极大呈彩色。
物面上不同的部分的频谱在不 同方向上。
将一个方向的频谱,只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对 应的象面上,就显示出该频率的颜色来。
物面 白光 傅里叶 变换镜 频谱面 输出面
S
f′ f′ f′ f′
物面
频谱面
调制后的频谱面
调制后的像
空间滤波器
H ( f x , f y ) = A( f x , f y )e
i ( f x , f y )
1、振幅滤波器 ( f x , f y ) = 0, 按A( f x , f y )制作 2、位相滤波器A( f x , f y )常数，改变 ( f x , f y ) 3、全息滤波器 4、计算滤波器
二元振幅全息滤波器 (0-1,透光－不透光） 1、低通滤波： 、低通滤波
x y fx = , fy = ;r = λf λf x2+y
2
y
f(x)
x
滤高频，故可忽略细节.
空间滤波提高光束质量，如谐振腔或透镜引起的衍射，产生高频部分。
可加一小孔——空间滤波，使第一透镜产生的爱里斑通过。
D1 = 3mm, f1 = 5mm = z 0.63 × 103 × 5 Δr = 1.22 = 1.22 × = 1.3μ m 3 D
λz
D1 f1
实际上一般用10 ~ 20 μ m的小孔
2、高通滤波：
y
f(x)
可突出轮廓，可处理反差 低，边缘不清晰的图像。
x
3、带通滤波（圆环或狭缝）：
y
f(x)
x
4、方向滤波：
作一定方向的阻挡光阑，滤去特定方向的频谱. 可用于集成电路掩模检查。
滤波器的制作方法：
机械法、照相法、镀膜法、光刻法…
4F图像处理系统
( x, y) (u , v ) ( x ′, y ′ )
F
O
F
F
F I
T
T（共焦面）变换平面、滤波平面 T 对L1物场的频谱面，L2物面，其频谱面是系统的像面 二次傅里叶变换
数学描述
x sin θ = f x λ F
1、物场经L1实现第一次F变换，得其频谱：
U1 (u , v) = {U o ( x, y )}
变换平面T上的线坐标与物平面上空间频率的关系：
(u , v) = ( F λ f x , F λ f y )
2、滤波器有透过率（滤波）函数，改变了物频谱，或 者说造成一个新的频谱：
U 2 (u , v) = H (u , v) U1 (u , v)
。
