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微积分基本定理与积分变换微积分是数学的重要分支之一，其核心概念之一就是微积分基本定理和积分变换。
本文将详细介绍微积分基本定理的原理和应用，并探讨积分变换在实际问题中的作用。
1. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心概念之一，由牛顿与莱布尼茨在17世纪分别独立发现。
其表述如下：定理1：对于连续函数f(x)，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理实际上是积分与求导的逆运算，意味着我们可以通过求导的方式来确定函数的不定积分。
基于微积分基本定理，我们可以解决各类函数的积分计算问题。
2. 第一类微积分基本定理第一类微积分基本定理是微积分基本定理的一个重要应用，也被称为牛顿-莱布尼茨公式。
它给出了确定函数F(x)的定积分的方法。
定理2：若f(x)是连续函数，则∫[a,b]f'(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理意味着我们可以通过求函数的原函数来确定其定积分。
这对于解决各类实际问题具有重要意义，比如计算曲线下的面积、求解物体的质量和重心等。
3. 第二类微积分基本定理第二类微积分基本定理是微积分基本定理的另一个重要应用。
它将定积分与不定积分联系在一起，可以用于积分计算和函数的性质分析。
定理3：对于连续函数f(x)，设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(x)|[a,b] = F(x)|[a,b] - F(x)|[a,b]。
这个定理将定积分转化为函数的不定积分，并通过原函数在区间[a,b]两端求值的差来确定。
利用这个定理，我们可以对函数在特定区间上的积分性质进行研究，比如函数值的大小、连续性等。
4. 积分变换积分变换是微积分的一个重要应用领域，它通过对函数进行积分的方式转换函数本身或者函数的性质，从而简化问题或者获得更有用的信息。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换将函数从时域转换到频域，广泛应用于信号与系统分析、控制系统等领域。
微积分基本定理微积分基本定理是微积分学中的重要定理之一，它揭示了函数与它的导数之间的关系。
微积分基本定理分为两部分：第一部分是定积分的基本定理，第二部分是微分方程的基本定理。
本文将从这两个方面详细介绍微积分基本定理的概念、原理和应用。
一、定积分的基本定理定积分的基本定理是微积分中最基础的定理之一。
它表明了定积分与不定积分之间的关系，即定积分可以看作是不定积分的一个特例。
定积分的基本定理可以用以下数学公式表示：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则函数F(x)在区间[a, b]上可积，并且有：∫[a, b] f(x)dx = F(b) - F(a)这个公式表明了定积分与不定积分之间的联系，也称为牛顿-莱布尼茨公式。
它告诉我们，如果知道一个函数在某个区间上的原函数，就可以求出该函数在该区间上的定积分值。
这个定理在计算曲线下面积、求函数的平均值等问题中有广泛的应用。
二、微分方程的基本定理微分方程的基本定理是微积分学中另一个重要的定理。
微分方程描述了函数的导数与函数自身之间的关系，通过微分方程可以求解一些函数的性质和行为。
微分方程的基本定理可以用以下形式表示：若函数f(x)在区间I上具有连续导数，则微分方程y'(x) = f(x)的通解可以表示为：y(x) = ∫f(x)dx + C其中C为积分常数，∫f(x)dx表示f(x)的一个原函数。
这个公式表明了微分方程的解可以通过对方程右侧函数的积分得到，同时需要加上一个积分常数。
微分方程的基本定理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用，可以用来描述很多自然现象的规律。
综上所述，微积分基本定理是微积分学中两个重要的基本定理，它们揭示了函数与导数、函数与积分之间的重要关系。
这两个定理在微积分的理论体系和实际应用中都起着至关重要的作用，对于深入理解微积分学的原理和方法具有重要意义。
希望通过本文的介绍，读者能对微积分基本定理有更深入的理解和认识。
积分中的微积分公式及其应用积分是微积分的重要组成部分。
微积分在自然科学和工程技术领域有广泛的应用，而积分则是它的重要工具之一。
本文将介绍在积分中常用的微积分公式及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它描述了函数的导数和积分之间的关系。
它的公式如下：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=[F(x)]_{a}^{b}=F(b)-F(a)$$其中，$f(x)$是积分的被积函数，$F(x)$是$f(x)$的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式指出，一个连续函数的积分可以通过求它的一个原函数在两个端点处的值之差来计算。
例如，如果$f(x)$是一个速度函数，则$F(x)$是它的一个原函数，表示位移。
那么在$t=a$时刻的位置$x_{a}$和$t=b$时刻的位置$x_{b}$之间的位移$\Delta x=x_{b}-x_{a}$可以表示为：$$\Delta x=\int_{a}^{b}v(t)dt$$其中，$v(t)$是速度函数。
这个积分可以用牛顿-莱布尼茨公式计算，因为速度函数的一个原函数是位移函数。
二、换元积分法换元积分法是微积分的另一个基本方法。
它基于链式法则，通过将被积函数中的一个部分用一个新的变量来表示，来化简和求解积分。
考虑下面的积分：$$\int_{0}^{1} x^{2}\sqrt{1-x^{2}}dx$$我们可以通过换元积分法进行计算。
我们令$x=\sin u$，则$dx=\cos udu$。
将$x$的区间$[0,1]$转化为$[0,\frac{\pi}{2}]$。
将$x$换成$u$后，我们可以将被积函数变成下面的形式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2}u\cos^{2}udu$$然后，我们可以利用三角恒等式将$\sin^{2}u$表示成$\frac{1-\cos2u}{2}$，然后将$\cos^{2}u$表示成$\frac{1+\cos2u}{2}$。
§3.4定积分与微积分基本定理一、明确复习目标1． 直观了解微积分基本定理的含义． 2． 会求简单的定积分．3． 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题．二．建构知识网络1.定积分的定义如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ= 作和式____________________________．当n →∞时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作___________，在()b af x dx ⎰中，___ 和___ 分别叫做积分下限和积分上限，_______叫做被积函数，叫做积分变量，___________叫做被积式． 2．定积分的性质 （1）()b ak f x dx ⎰＝_______________________________（为常数）；（2）12[()()]b af x f x dx ±=⎰_______________________________；（3）()b af x dx ⎰＝_______________________________（其中a c b <<）．3．微积分基本定理一般地，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()b af x dx ⎰＝__________________，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼兹公式，可以把()()F b F a -记作________，即()b af x dx ⎰＝___________＝___________．4．通过定积分的运算可以发现，定积分的值可能取正值也可能取负值，还可能是0．（1）当对应的曲边梯形位于轴上方时，定积分的值取正值，且等于____________________； （2）当对应的曲边梯形位于轴下方时，定积分的值取负值，且等于____________________； （3）当位于轴上方的曲边梯形的面积等于当位于轴下方的曲边梯形的面积时，定积分的值为__；定积分的值等于位于轴上方的曲边梯形的面积______位于轴下方的曲边梯形的面积．4．定积分求曲边梯形面积如右图所示，由三条直线：()x a x b a b x ==<，，轴及一条曲线()()()0y f x f x =≥围成的曲边梯形的面积为S =____________：⑴ 若在 区间[],a b 上，()0f x ≤，则S =____________⑵ 若在 区间[],a c 上，()0f x ≥，在 区间[],c b 上，()0f x ≤，则S =____________5．匀变速运动的路程公式：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数()()()0v v t v t =≥在时间区间[],a b 上的定积分，即____________6．变力作功公式 ：一物体在变力()F x （单位：N ）的作用下作直线运动，如果物体沿着()F x 与相同的方向从x a =移动()x b a b =<（单位：m ），则力所做的功为W =____________三、双基题目练练手1.下列值等于１的积分是( )10.A xdx ⎰()10.1B x dx +⎰1.1C dx ⎰101.2D dx ⎰2.()22sin cos x x dx ππ-+⎰的值 （ ）.0..2.44A B C D π3．如图，直线1y =与抛物线2y x =相交，则阴影部分面积为（ ）24..1..233A B C D4． 211ln xdx x ⎰= （ ）（ ）A ．21ln 22B ．C．2ln 2D ．5． 若11(2)3ln 2a x dx x+=+⎰，且a ＞1，则a 的值为 （ ）A ．6B ．4C ．3D ．26． 已知自由落体运动的速率v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路程为 （ ）A ．203gtB ．C ．202gtD ．206gt7．()0d x F't t =⎰．四、经典例题做一做【例1】（1）221(21)x x dx ++⎰ （2）0(sin cos )x x dx π-⎰（3）2211()x x dx x-+⎰ （4）0(cos )x x e dx π-+⎰【例2】求两曲线2y x =和2y x =所围成图形的面积．【例3】一物体在做变速直线运动，其v t -曲线如图所示，求该物体在12s ～间的运动路程．【例4】如图，阴影部分的面积是 （ ）A ．32B ．329-C ．332 D ．335 【例5】抛物线：()220y x ax a =->，若过原点的直线l 与抛物线所围成的图形面积为329a ，求直线l 的方程．五． 提炼总结以为师1．用定积分的定义求定积分的一般步骤：分割、近似代替、求和、取极限．要借助于求曲边梯形的面积和求变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想．2．用微积分基本定理求定积分：关键是找到()()F x f x '=满足的函数()F x ，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算，运用基本初等函数求导公式和四则运算法则从反方向上求出()F x ．3．利用微积分基本定理求定积分，有时需先化简，再积分．4．在利用定积分求平面图形的面积时，一般要先画出它的草图，再借助图形的直观地确定出被积函数以及积分的上、下限．5．要把定积分和用定积分计算平面图形的面积这两个概念区分开，定积分是一种积分和的极限，可为正，也可为负或零；而平面图形的面积在一般意义下总为正，因此当()f x 0≤时要通过绝对值处理为正，一般情况下是借助定积分求出两个曲边梯形的面积，然后相加起来，例如：当函数()f x 在区间[],a b 上恒为正时，定积分()b af x dx ⎰的几何意义是以曲线()f x 为曲边梯形的面积，一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于轴、函数()f x 的图象以及之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方和面积取负号．6．体会定积分的化归和逼近的思想方法．同步练习1． 下列有定义的定积分为（）A ．111dx x-⎰B ．221cos dx x-⎰C ．42(2)dxx -⎰D ．2ln xdx ⎰2．（2007年山东潍坊）20sin xdx π=⎰（ ）A ．0B ．C ．D ． 3．设a >0，a ≠1，若⎰-=2022xx a dx a ，则a 等于（ ）A ．B ．C ．21-e D ．21e4．（2007年广东潮州）已知()f x 为偶函数且60()8f x dx =⎰，则66()f x dx -=⎰（ ）A ．0B ．4C ．8D ．16 5．42xe dx -⎰的值等于 （ ）A ．42e e --B ．42e e +C ．422e e +-D ．422e e -+-6．（2007年广东汕头）220(42)(43)x x dx --=⎰7．使1()n F x x -'=成立的所有()F x 可以表示为()___________.F x =8．（2006年山东潍坊）汽车从A 处起以速度0()(/)v t v at m s =-（其中0,v a 均为正的常数）开始减速度行驶，至B 点停止，则A 、B 之间的距离____________().s m =9．由3x y =及x y 2=围成平面图形的面积，若选为积分变量，利用定积分应表达为；若选为积分变量，利用定积分应表达为. 10．求下列定积分的值．（1）22|1|x dx -⎰；（2）0⎰；11.已知1220()(2)f a ax a x dx =-⎰，求()f a 的最大值．12.一质点在直线上从时刻0()t s =开始以速度243(/)v t t m s =-+运动．求 （1）在4t s =的位置； （2）在4t s =内运动的路程．§3.3定积分基础自测1.当n 无限趋近于+∞时，n 1(sin n π+sin n π2+…+sin nn π)1(-)写成定积分的形式，可记为. 答案π1sin x d x 2.1d x =. 答案13.由曲线y =e x,x =0,y =2所围成的曲边梯形的面积为（用定积分表示）. 答案ln y d y 或(2-e x)d x4.已知f (x )为偶函数且f （x ）d x =8，则f （x ）d x =. 答案165.已知-1≤a ≤1，f （a ）=（2ax 2-a 2x ）d x ，求f （a ）的值域. 解f (a )=(2ax 2-a 2x )d x=(332x a -222x a )|=-22a +32a =-21(a -32)2+92.∵-1≤a ≤1，∴-67≤f （a ）≤92， 故f (a )的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-92,67例1计算下列定积分 （1）x (x +1)d x ; (2)(e 2x+x1)d x ; (3)sin 2x d x .解（1）∵x （x +1）=x 2+x 且(31x 3)′=x 2,(21x 2)′=x , ∴x (x +1)d x =(x 2+x )d x =x 2d x +x d x =31x 3|+21x 2| =(31×23-0)+(21×22-0)=314. (2)∵(ln x )′=x1,(e 2x )′=e 2x ·(2x )′=2e 2x, 得e 2x=(21e 2x)′ 所以（e 2x+x 1)d x =e 2xd x +x 1d x =21e 2x |+ln x | =21e 4-21e 2+ln2-ln1=21e 4-21e 2+ln2.(3)由(sin2x )′=cos2x ·(2x )′=2cos2x ,得 cos2x =（21sin2x ）′, 所以sin 2x d x =（21-21cos2x ）d x =21d x -21cos2x d x =21x |-21（21sin2x ）| =（2π-0）-21（21sin2 -21sin0）=2π. 例2计算下列定积分（1）|sin x |d x ;(2)|x 2-1|d x . 解（1）∵（-cos x ）′=sin x ， ∴|sin x |d x =|sin x |d x +|sin x |d x =sin x d x -sin x d x =-cos x |+cos x | =-（cos-cos0）+（cos2-cos ）=4.（2）∵0≤x ≤2，于是|x 2-1|=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-)10(1)21(122x x x x∴|x 2-1|d x =(1-x 2)d x +(x 2-1)d x=⎪⎭⎫ ⎝⎛-331x x |+（31x 3-x ）|=（1-31）+（31×23-2）-（31-1）=2. 例3求函数f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈∈∈]3,2(2]2,1(]1,0[23x x x x x x 在区间［0，3］上的积分. 解由积分性质知f (x )d x =f (x )d x +f (x )d x +f (x )d x =x 3d x +x 2d x +2xd x=44x |+31x 3|+2ln 2x |=41+38-31+2ln 8-2ln 4 =2ln 4+1231. 例4（14分）求定积分2616x x -+d x .解设y =2616x x -+, 即(x -3)2+y 2=25 (y ≥0).5分∵2616x x -+d x 表示以5为半径的圆的四分之一面积.10分 ∴2616x x -+d x =π425.14分1.求(cos x +e x)d x .解(cos x +e x)d x =cos x d x +e xd x =sin x |+e x |=1-e1.2.求（|x -1|+|x -3|）d x .解设y =|x -1|+|x -3|=⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<≤+-)3(42)31(2)1(42x x x x x ∴(|x -1|+|x -3|)d x =(-2x +4)d x +2d x +(2x -4)d x =(-x 2+4x )|+2x |+(x 2-4x )| =-1+4+6-2+16-16-9+12=10.3.已知函数:f (x )=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤<≤<≤+--)32()2()21()10()1(211x x xx x x 求f (x )d x .解f (x )d x =2(x +1)-1 d x +d x +()x -1d x =2ln(x +1)|+323x |+321|)2(2ln 1-x=2ln2+32(2-1)+)22(2ln 1-. 4.（2)1(1--x -x ）d x =. 答案42-π一、填空题1.定积分x cos 1-d x =. 答案62.若y =f (x )与y =g (x )是［a ,b ］上的两条光滑曲线的方程，则这两条曲线及直线x =a ,x =b 所围成的平面区域的面积为（用定积分表示）. 答案 |f (x )-g (x )|d x 3.定积分(32x+3)d x =. 答案23ln 4+ 4.设函数f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤≤+,21,3,10,12x x x x 则f （x ）d x =.答案6175.定积分2(x 3+5x 5)d x =. 答案06.根据sin x d x =0推断，直线x =0，x =2，y =0和正弦曲线y =sin x 所围成的曲边梯形的面积时，曲边梯形在x 轴上方的面积在x 轴下方的面积.（用“大于”,“小于”,“等于”填空） 答案等于7.若f (x )d x =1,f (x )d x =-1,则f (x )d x =. 答案-2 8.定积分21x x +d x 的值是.答案21ln2 二、解答题 9.求下列定积分的值 (1)29x -d x ; (2)已知f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x ，求f (x )d x 的值.解（1）29x -d x 表示以y =29x -与x =0,x =3所围成图形的面积，而y =29x -与x =0,x =3围成的图形为圆x 2+y 2=9在第一象限内的部分，因此所求的面积为49. （2）∵f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<<≤≤-10112x x x∴f (x )d x =x 2d x +1d x=31x 3|+x |=31+1=34. 10.已知f （x ）=ax 2+bx +c ，且f （-1）=2，f ′（0）=0，f （x ）d x =-2，求a 、b 、c 的值. 解由f （-1）=2，得a -b +c =2，① 又f ′(x )=2ax +b , 由f ′(0)=0得b =0,② f (x )d x =(ax 2+bx +c )d x =(31ax 3+2b x 2+cx )| =31a +21b +c . 即31a +21b +c =-2，③ 由①②③得：a =6,b =0,c =-4.11.已知f (a )=(2ax 2-a 2x )d x ,求f (a )的最大值. 解(2ax 2-a 2x )d x =(32ax 3-21a 2x 2)|=32a -21a 2即f (a )=32a -21a 2=-21（a 2-34a +94）+92 =-21（a -32）2+92. 所以当a =32时，f (a )有最大值92. 12.(2009·青岛模拟)对于函数f (x )=bx 3+ax 2-3x .（1）若f (x )在x =1和x =3处取得极值，且f (x )的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sin t cos t -2cos 2t +,试求实数t 的取值范围；（2）若f (x ）为实数集R 上的单调函数，且b ≥-1,设点P 的坐标为（a ,b )，试求出点P 的轨迹所围成的图形的面积S .解（1）由f (x )=bx 3+ax 2-3x , 则f ′(x )=3bx 2+2ax -3,∵f （x ）在x =1和x =3处取得极值， ∴x =1和x =3是f ′(x )=0的两个根且b ≠0.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⨯-=+b b a 33313231⎪⎩⎪⎨⎧-==312b a . ∴f ′(x )=-x 2+4x -3.∵f (x )的图象上每一点的切线的斜率不超过 2sin t cos t -2cos 2t +,∴f ′(x )≤2sin t cos t -2cos 2t +对x ∈R 恒成立， 而f ′(x )=-(x -2)2+1,其最大值为1.故2sin t cos t -2cos 2t +≥1 2sin(2t -3π)≥12k +6π≤2t -3π≤2k +65,k ∈Z k +4π≤t ≤k +127π,k ∈Z . （2）当b =0时，由f (x )在R 上单调，知a =0. 当b ≠0时，由f (x )在R 上单调f ′(x )≥0恒成立，或者f ′(x )≤0恒成立. ∵f ′(x )=3bx 2+2ax -3, ∴Δ=4a 2+36b ≤0可得b ≤-91a 2. 从而知满足条件的点P （a ,b )在直角坐标平面aOb 上形成的轨迹所围成的图形是由曲线b =-91a 2与直线b =-1所围成的封闭图形， 其面积为S =(1-91a 2)d a =4. §3.4 定积分的简单应用1.将由y =cos x ,x =0,x =,y =0所围图形的面积写成定积分形式为.答案20π⎰cos x d x +|ππ2⎰cos x d x | 2.一物体沿直线以v =3t +2 (t 单位：s,v 单位：m/s ）的速度运动，则该物体在3 s ～6 s 间的运动路程为 m. 答案46.53.用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 J. 答案104.曲线y =cos x （ 0≤x ≤23π）与坐标轴所围成的面积是. 答案35.有一质量非均匀分布的细棒，已知其线密度为（x ）=x 3（取细棒的一端为原点，所在直线为x 轴），棒长为1，则棒的质量M 为. 答案41 例1求抛物线y 2=2x 与直线y =4-x 围成的平面图形的面积.解由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==x y xy 422解出抛物线和直线的基础自测交点为（2，2）及(8,-4).方法一选x 作为积分变量，由图可看出S =A 1+A 2 在A 1部分：由于抛物线的上半支方程为y =x 2,下半支方程为y =-x ，所以 S =［x 2-(-x 2)］d x =2x21d x=2·32x23|=316， S =［4-x -(-x 2)］d x=(4x -21x 2+322x23)|=338, 于是：S =316+338=18. 方法二选y 作积分变量， 将曲线方程写为x =22y 及x =4-y . S =[（4-y ）-22y ]d y =(4y -22y -63y )| =30-12=18.例2（14分）如图所示，直线y =kx 分抛物线y =x -x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值.解抛物线y =x -x 2与x 轴两交点的横坐标x 1=0,x 2=1,所以抛物线与x 轴所围图形的面积S =（x -x 2）d x =(3232x x -)| =21-31=61.6分 抛物线y =x -x 2与y =kx 两交点的横坐标为 x 1′=0,x 2′=1-k ,9分 所以2S =（x -x 2-kx ）d x =⎪⎪⎭⎫⎝⎛--32132x x k | =61(1-k )，12分又知S =61，所以(1-k )=21， 于是k =1-321=1-243.14分 例3一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求此汽车在这1 min 内所行驶的路程.解由速度—时间曲线易知，v （t ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈+-∈∈]60,40[905.1)40,10[30)10,0[3t t t t t由变速直线运动的路程公式可得 s =3t d t +30d t +(-1.5t +90)d t =23t 2|+30t |+（-43t 2+90t ）| =1 350 (m).答此汽车在这1 min 内所行驶的路程是1 350 m.1.求抛物线y 2=x 与直线x -2y -3=0所围成的平面图形的面积S .解方法一由⎪⎩⎪⎨⎧=--=0322y x x y 得抛物线与直线的交点为P （1，-1），Q （9，3）（如图）.∴S =［-(-)］d x +(-23-x )d x =2d x +(-2x +23)d x =343x |+（32x23-42x +x 23|=34+328=332.方法二若选取积分变量为y ，则两个函数分别为x =y 2,x =2y +3.由方法一知上限为3，下限为-1. ∴S =(2y +3-y 2）d y =（y 2+3y -31y 3)| =(9+9-9)-(1-3+31)=332. 2.如图所示,阴影部分的面积是.答案332 3.一物体按规律x =bt 3做直线运动，式中x 为时间t 内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比，试求物体由x =0运动到x =a 时，阻力做的功. 解物体的速度v =x ′(t )=(bt 3)′=3bt 2,媒质阻力f 阻=kv 2=k ·（3bt 2）2=9kb 2t 4.(其中k 为比例常数，k ＞0)当x =0时，t =0，当x =a 时，t =t 1=31⎪⎭⎫ ⎝⎛b a ,∴阻力做的功是： W 阻=f 阻d x =kv 2·v d t =kv 3d t =k （3bt 2）3d t =727kb 3=727k 327b a =727ka 232ab .一、填空题1.如图所示，阴影部分面积为.答案［g (x )-f (x )］d x +［f (x )-g (x )］d x 2.设f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈],2,1(,2],1,0[,2x x x x 则f （x ）d x =.答案65 3.设f (x )=sin t d t ,则f （f （2π））=. 答案1-cos14.一物体在力F （x ）=⎩⎨⎧>+≤≤)2(43)20(10x x x (单位：N ）的作用下沿与力F 相同的方向，从x =0处运动到x =4（单位：m)处，则力F （x ）做的功为J. 答案465.一物体在变力F (x )=5-x 2(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与F (x )成30°方向作直线运动,则由x =1运动到x =2时F (x )做的功为J. 答案334 6.函数F (x )=t (t -4)d t 在［-1,5］上的最大值为，最小值为. 答案0-332 7.汽车以v =3t +2 (单位：m/s ）作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是 m. 答案6.58.若f (x )是一次函数，且f (x )d x =5,xf (x )d x =617,那么函数f (x )的解析式是. 答案f (x )=4x +3 二、解答题9.证明：把质量为m （单位：kg ）的物体从地球的表面升高h (单位：m)处所做的功W =G ·)(h Mmh+k k ，其中G 是地球引力常数，M 是地球的质量，k 是地球的半径.证明根据万有引力定律：知道对于两个距离为r ,质量分别为m 1、m 2的质点，它们之间的引力为f （r ）=G ·221r mm ，其中G 为引力常数.则当质量为m 的物体距地面高度为x (0≤x ≤h )时，地心对它的引力f （x ）=G ·2)(x Mm +k .故该物体从地面升到h 高处所做的功为 W =f （x ）d x =G ·2)(x Mm +k ·d x=GMm2)(1x +k d （k +x ）=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x k 1|=GMm ⎪⎭⎫ ⎝⎛++-k k 11h=G ·)(h Mmh+k k .10.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx 在点x =1处有极值-2. （1）求常数a ,b 的值；（2）求曲线y =f (x )与x 轴所围成的图形的面积. 解（1）由题意知f ′(x )=3x 2+2ax +b , f (1)=-2且f ′(1)=0,即⎩⎨⎧=++-=++02321b a b a ，解得a =0,b =-3,即f (x )=x 3-3x .(2)作出曲线y =x 3-3x 的草图，所求面积为阴影部分的面积，由x 3-3x =0得曲线y =x 3-3x 与x 轴的交点坐标是(-,0),(0,0)和(,0)，而y =x 3-3x 是R 上的奇函数，函数图象关于原点中心对称. 所以(-,0)的阴影面积与(0,)的阴影面积相等.所以所求图形的面积为 S =230⎰［0-(x 3-3x )］d x=-2（41x 4-23x 2）|3=29. 11.如图所示，抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的两交点为A 、B ，点P 在抛物线上从A 向B 运动. （1）求使△PAB 的面积最大的P 点的坐标(a ,b );(2)证明由抛物线与线段AB 围成的图形，被直线x =a 分为面积相等的两部分. （1）解解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=x y x y 342，得x 1=1,x 2=-4.∴抛物线y =4-x 2与直线y =3x 的交点为 A （1，3），B （-4，-12）， ∴P 点的横坐标a ∈(-4,1). 点P （a ,b )到直线y =3x 的距离为d =22313+-b a ,∵P 点在抛物线上，∴b =4-a 2， =101·(4-3a -a 2)′=101 (-2a -3)=0,∴a =-23，即当a =-23时，d 最大， 这时b =4-49=47, ∴P 点的坐标为（-23,47）时，△PAB 的面积最大. （2）证明设上述抛物线与直线所围成图形的面积为S , 位于x =-23右侧的面积为S 1. S =（4-x 2-3x )d x =6125, S 1=123-⎰（4-x 2-3x )d x =12125, ∴S =2S 1,即直线x =-23平分抛物线与线段AB 围成的图形的面积. 12.在区间［0，1］上给定曲线y =x 2，试在此区间内确定点t 的值，使图中阴影部分的面积S 1与S 2之和最小.解S 1面积等于边长为t 与t 2的矩形面积去掉曲线y =x 2与x 轴、直线x =t 所围成的面积，即S 1=t ·t 2-x 2d x =32t 3. S 2的面积等于曲线y =x 2与x 轴、x =t ,x =1围成的面积减去矩形面积， 矩形边长分别为t 2，（1-t ），即 S 2=x 2d x -t 2(1-t )=32t 3-t 2+31. 所以阴影部分的面积S 为 S =S 1+S 2=34t 3-t 2+31（0≤t ≤1）. ∵S ′(t )=4t 2-2t =4t (t -21)=0时，得t =0，t =21. 当t =21时，S 最小，∴最小值为S (21)=41.。
