功能原理 机械能守恒定律1

牛顿的《自然哲学的数学原理》插图， 牛顿的《自然哲学的数学原理》插图，抛体 的运动轨迹取决于抛体的初速度
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 1） 人造地球卫星 第一宇宙速度 ） 第一宇宙速度 所需的最小速度 . 设 地球质量
v1，是在地面上发射人造地球卫星
mE , 抛体质量 m , 地球半径 RE .
r r 一般情况下， 是变化的， 一般情况下， r1 − r2 是变化的，即 r r d(r1 − r2 ) ≠ 0
所以
dW1 = F1 ⋅ dr1 r 、dW2 = F2 r dr2 ⋅ r r r r dW1 + dW2 = F1 (dr1 − dr2 = F1 ⋅ d (r1 − r2 )
dW +dW ≠ 0 1 2
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 一 质点系的动能定理 个质点， 对第 i 个质点，有
Wi + Wi = E ki − E ki 0
ex in
m1
v ex Fi
外力功
内力功
v in m i m2 Fi
对质点系， 对质点系，有
∑W
i
ex
i
+ ∑Wi = ∑ Eki − ∑ Eki 0 = Ek − Ek 0
P
R
30°
Q A → B 只有保守内力做功 ∴系统机械能守恒 EB = E A
取图中点 B为重力势能零点
o
B
A
Ep = 0
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
系统机械能守恒 E B 即
= E A , 图中B点为重力势能零点
又
1 2 1 2 mv B + kR = mgR(2 − sin 30°) 2 2 P 2 R vB kR − mg = m 30° A R o
解 取抛体和地球为一系统 ， 系统的机械能 E 守恒 .
1 2 E = m v1 + ( − G 2 1 = m v 2 + (−G 2
mm E ) RE mm E ) RE + h
h
``````
v v
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
1 2 mmE 1 2 mmE Q E = mv1 + (−G ) = mv + (−G ) 2 RE 2 RE + h
m(v − V ) − MV = 0
机械能守恒 1 1 2 m(v − V ) + MV 2 = mgR 2 2 得
2(m + M ) gR v= M V =m
M
B
2 gR M (m + M )
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 到达B点时 运动， （2）当m到达 点时，M以V运动，且对地加 ） 到达 点时， 以 运动 速度为零， 速度为零，可看成惯性系
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 如图，一内壁为1/4圆弧性的容器 圆弧性的容器AB放置在一光滑的 例 如图，一内壁为 圆弧性的容器 放置在一光滑的 水平面上，半径为R，质量为M，今有一质量为m的小球 水平面上，半径为 ，质量为 ，今有一质量为 的小球 端静止下滑,试求当 滑到最低点B时 （ ） 相对于 从A端静止下滑 试求当 滑到最低点 时,（1）m相对于 端静止下滑 试求当m滑到最低点 M的速度 及M对地的速度 ；（ ）M对m的作用力 。 的速度v及 对地的速度 ；（2） 对 的作用力 对地的速度V；（ 的作用力N。 的速度 A ：（1） 解 ：（ ） 由动量守恒 m O R
又
E2 − E1 = −mgh
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
v v s ' FN Ff
h
P cosθ
Psinθ
h = 50 m , µ = 0.050 , s ' = 500 m , W f ≈ − µ mg ( s '+ s )
由功能原理 可得 代入已知数据有
v P
θ
Wf = E2 − E1
由牛顿第二定律和万有引力定律得
mmE m =G 2 RE + h ( RE + h)
v
2
h
``````
v v
解得
v1 =
2Gm E Gm E − RE RE + h
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
v1 =
Gm E 2 Gm E − RE RE + h
h
``````
v v
RE GmE ) Q g = 2 ∴v1 = gRE (2 − RE + h RE
2mg k= R
B
Ep = 0
所以
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 在一截面积变化的弯曲管中， 例 3 在一截面积变化的弯曲管中， 稳定流动着不 可压缩的密度为 ρ 的流体 . 点 a 处的压强为 p1、截面积 在点b 为A1 ,在点 处的压强为 2 截面积为 2 .由于点 a 和点 b 在点 处的压强为p 截面积为A 由于点 之间存在压力差, 流体将在管中移动. 和点b 之间存在压力差 流体将在管中移动 在点 a 和点 处的 速率分别为 v 1和 v 2 .求流体的压强和速率之间的关系 . 求流体的压强和速率之间的关系
dWp = p1 A1dx1 − p2 A2dx2
A1dx1 = A2dx2 = dV
又
∴dWp = ( p1 − p2 )dV
dWg = −dm ⋅ g ( y1 − y2 ) = −ρ ⋅ g ( y1 − y2 )dV
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
− µmg ( s'+ s) = −mgh
s = h − s' = 500m
µ
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 有一轻弹簧, 例 2 有一轻弹簧 其一端系在铅直放置的圆环的 顶点P, 另一端系一质量为m 的小球, 顶点 另一端系一质量为 的小球 小球穿过圆环并 在圆环上运动(不计摩擦 开始小球静止于点 不计摩擦) 在圆环上运动 不计摩擦 .开始小球静止于点 A, 弹簧 处于自然状态,其长度为圆环半径 当小球运动到圆环 处于自然状态 其长度为圆环半径R; 其长度为圆环半径 的底端点B时 小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数. 小球对圆环没有压力. 的底端点 时,小球对圆环没有压力 求弹簧的劲度系数 解 以弹簧、小球和地球为一系统， 以弹簧、小球和地球为一系统，
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
v v1
b A2 v p2 v2
x 2 x2 + dx2
o
x
伯努利方程
1 2 p + ρgy + ρv = 常量 2
若将流管放在水平面上， 若将流管放在水平面上，即 则有
y1 = y2
1 2 p + ρv = 常量 2
r r 如弹簧振子中的弹力。对于刚体来说， 不变， 如弹簧振子中的弹力。对于刚体来说，r1 − r2 不变，即 r r d ( r1 − r2 ) = 0
所以内力做功为零。 所以内力做功为零。
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 二 质点系的功能原理 质点系动能定理
W
i
ex
+ W = Ek − Ek 0
v N − mg = m 以M为参照系 为参照系 R v2 N = mg + m R mg = mg + 2( M + m) M
得
2
(3M + 2m)mg N= M
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理 一雪橇从高度为50m 的山顶上点 沿冰道由 的山顶上点A沿冰道由 例 1 一雪橇从高度为 静止下滑,山顶到山下的坡道长为 山顶到山下的坡道长为500m . 雪橇滑至山下 静止下滑 山顶到山下的坡道长为 又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 点B后,又沿水平冰道继续滑行 滑行若干米后停止在 后 又沿水平冰道继续滑行 滑行若干米后停止在C 处 . 若摩擦因数为0.050 . 求此雪橇沿水平冰道滑行的 若摩擦因数为 附近可视为连续弯曲的滑道.忽略空气阻力 路程 . (点B附近可视为连续弯曲的滑道 忽略空气阻力 .) 点 附近可视为连续弯曲的滑道
地球表面附近
RE >> h
故
3
v1 = gRE
E <0
计算得
v1 = 7.9 × 10 m/s
第一宇宙速度
Gmm E E =− <0 2( RE + h )
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
我国1977年发射升空的东方红三号通信卫星 年发射升空的东方红三号通信卫星 我国
只有保守内力作功的情况下， 机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下， 质点系的机械能保持不变 .
Ek − Ek0 = −(Ep − Ep0 )
∆E k = − ∆E p
守恒定律的意义 守恒定律的意义 不究过程细节而能对系统的状态下结论， 不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点 .
y y2
y1
o
a A1 p1 v1
x 1 x1 + dx1
p2
b A2
v2
x
x2 x2 + dx2
§3.6功能原理 机械能守恒定律 3.6功能原理
y
y2
y1
a A1 p1
x 1 x1 + dx1
v v1