2018-2019学年山西省应县一中高二上学期第四次月考数学(理)试题(Word版)

山西省应县第一中学2018-2019学年高二数学上学期第四次月考试题理时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共12题，每题5分）1．在空间四边形中,设, ,点是的中点,则下列对应关系正确ABCD AB a = AD b =M BD 的是( )A. B.()12MA a b =+()12MC a b =+ C. D.()12MD b a =-()12MB b a =- 2．已知,, ,则直线与 ( )222-+-=333+-=CD a b c =-+AD BC A.平行 B.相交 C.重合 D.平行或重合3．设,若,则的值等于( )()3232f x ax x =++()'14f -=a A.B. C. D. 1931631331034．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ） 2ky x 22=+A.B.C. D. （0，1）()∞+,0()2,0()∞+,15．已知曲线的一条切线的斜率为,则切点的横坐标为( )23ln 4x y x =-12A. B. C. D.321126．过点（0，1）与双曲线仅有一个公共点的直线共有（ ） 1y x 22=-A. 0条B. 2条C. 4条D. 6条7．已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是椭圆的右焦点，则△ABF 2的周长的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．108．若平面的法向量分别为,则( ),αβ(2,3,5),(3,1,4)u v =--=-A. B. C. 相交但不垂直 D.以上均不正确//αβαβ⊥,αβ9．已知点P 是以、为焦点的椭圆上的一点，若，1F 2F ()0b a 1by a x 2222>>=+0PF PF 21=⋅，则此椭圆的离心率为（ ） 21F PF tan 21=∠A.B.C.D.2132313510．设曲线在点处的切线与直线平行,则实数等于( )1cos sin x y x +=,12π⎛⎫⎪⎝⎭10x ay -+=a A. B.C. D. 1-122-211．如图所示,已知点为菱形外一点,且面,,点为P ABCD PA ⊥ABCD PA AD AC ==F中点,则二面角的正切值为( )PC C BF D --12．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6二．填空题（共4题，每题5分）13. 已知点的坐标分别为, ,,点的坐标为,若,,A B C ()0,1,0()1,0,1--()2,1,1P (),0,x z , ,则点的坐标为__________.PA AB ⊥ PA AC ⊥P 14．在空间直角坐标系中,点A(1,-2,3)关于平面xoz 的对称点为B,关于x 轴的对称点为C,则B 、C 间的距离为__________.15．双曲线的虚轴是实轴长的2倍，则m 的值为__________.1y mx 22=+16．过原点作曲线的切线,则切点的坐标为__________,切线的斜率为__________. xy e =三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分） 17．求曲线在点处的切线方程. sin y x =1,62A π⎛⎫⎪⎝⎭18．在平行六面体中,若,求的值.1111ABCD A B C D -1123AC x AB yBC zC C =⋅++x y z ++19．在棱长为的正方体中, 分别是的中点, 建立空间直角11111ABCD A B C D -,E F 11,A B CD 坐标系，运用空间向量求点到截面的距离. B 1AEC F20．如图,四棱锥中, 底面,,,P ABCD -PA ⊥ABCD AD AB ⊥//AB DC ,2AD DC AP ===,点为棱的中点.1AB =E PC（1）证明: ;BE DC ⊥（2）求直线与平面所成角的正弦值;BE PBD （3）若为棱上一点,满足,求二面角的余弦值. F PC BF AC ⊥F AB P --21.如图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P （1，2），A （，），B 1x 1y （，）均在抛物线上。

应县第一中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． α是第四象限角，，则sin α=（ ）A ．B ．C ．D ．2． 如图，空间四边形ABCD 中，M 、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（ ）A ．B ．C ．D ．3． “a ＞b ，c ＞0”是“ac ＞bc ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4． 已知(2,1)a =-r ，(,3)b k =-r ，(1,2)c =r (,2)k =-c ，若(2)a b c -⊥r r r ，则||b =r（ ）A ．35B ．32C ．25D ．10【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．5． 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤+≥-1210y x y x y x 表示的平面区域为D ，若D 内存在一点00(,)P x y ,使001ax y +<，则a 的取值范围为（ ）A ．(,2)-∞B ．(,1)-∞C ．(2,)+∞D ．(1,)+∞ 6． 在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ） A ．y= B ．y=﹣x+ C ．y=﹣x|x| D ．y=7． 已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin 2，则该数列的前10项和为（ ）A ．89B ．76C ．77D ．358． 函数y=|a|x ﹣（a ≠0且a ≠1）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9． 若函数f （x ）的定义域为R ，则“函数f （x ）是奇函数”是“f （0）=0”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()f x 在定义域R 上的导函数是'()f x ，若()(2)f x f x =-，且当(,1)x ∈-∞时，'(1)()0x f x -<，设(0)a f =，(2)b f =，2(log 8)c f =，则（ ）A ．a b c <<B ．a b c >>C ．c a b <<D ．a c b << 11．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30° 12．设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+取得最小值时，实数a 的值是（ ）A ．B ．C ．或 D ．3二、填空题13．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想．14．设f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣2）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＞0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 ． 15．已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，M ，N ，F 三点不共线，则△MNF 的重心到准线距离为 ．16．已知（ax+1）5的展开式中x 2的系数与的展开式中x 3的系数相等，则a= ．17．若函数f （x ）=﹣m 在x=1处取得极值，则实数m 的值是 ．18．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=a 1+3a 2，则公比q= ．三、解答题19．在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点．（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD⊥AE．20．已知双曲线C：与点P（1，2）．（1）求过点P（1，2）且与曲线C只有一个交点的直线方程；（2）是否存在过点P的弦AB，使AB的中点为P，若存在，求出弦AB所在的直线方程，若不存在，请说明理由．21．斜率为2的直线l经过抛物线的y2=8x的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．22．已知函数，且． （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若对于任意，都有，求的最小值；（Ⅲ）证明：函数的图象在直线的下方．23．（本题满分14分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos 3sin )cos 0C A A B +-=． （1）求角B 的大小；（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力． 24．在中，、、是 角、、所对的边，是该三角形的面积，且（1）求的大小; （2）若，，求的值。

2018-2019学年山西省朔州市应县一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.直线2x−y+k=0与4x−2y+1=0的位置关系是()A. 平行B. 不平行C. 平行或重合D. 既不平行也不重合2.点(−2,3)到直线l：3x+4y+3=0的距离是()A. 2B. 95C. 85D. 753.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,3)的圆的方程是()A. x2+(y−2)2=1B. x2+(y+2)2=1C. x2+(y−3)2=1D. x2+(y+3)2=14.对于不重合的两个平面α与β，则“存在异面直线l、m，使得l//α，l//β，m//α，m//β”是“α//β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.设a⃗，b⃗ 是非零向量，“a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |”是“a⃗//b⃗ ”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A. 2√17B. 2√5C. 3D. 27.下列命题中正确的是()A. 经过点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C. 经过任意两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线都可用方程(x2−x1)(y−y1)=(y2−y1)(x−x1)表示D. 不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示8.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面()A. 一定平行B. 一定相交C. 平行或相交D. 一定重合9.若直线y=−2x+3k+14与直线x−4y=−3k−2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是()A. −6<k<−2B. −5<k<−3C. k<−6D. k>−210.若方程x2+y2−4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是()A. (−∞,1)B. (−∞,1]C. [1,+∞)D. R11.命题“∀x∈[1,2]，x2−a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A. a≥4B. a≤4C. a≥5D. a≤512.已知异面直线a，b所成的角为60°，过空间一点O的直线与a，b所成的角均为60°，这样的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.“数列{a n}(n∈N∗)满足a n+1=a n⋅q(其中q为常数)”是“数列{a n}(n∈N∗)是等比数列”的______．14.已知A(2,3)、B(1,0)，动点P在y轴上，当|PA|+|PB|取最小值时，则点P的坐标为_____．15.若直线kx−y−k+2=0与直线x+ky−2k−3=0交于点P，则OP长度的最大值为______．16.已知圆C：(x−1)2+(y−√3)2=1和两点A(0,m)，B(0,−m)(m>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则实数m的取值范围为________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知两直线l1：x+8y+7=0和l2：2x+y−1=0．(1)求l1与l2交点坐标；(2)求过l1与l2交点且与直线x+y+1=0平行的直线方程．18.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标为A(−1,2)，B(0,−1)，C(4,1)．(Ⅰ)求顶点D的坐标；(Ⅱ)求四边形ABCD的面积．19.已知圆的方程为：(x−1)2+y2=1求：(1)斜率为3且与圆相切直线的方程；(2)过定点(2,−3)且圆相切的直线的方程．20.在平面直角坐标系中，△ABC顶点的坐标为A(−1,2)，B(1,4)，C(3,2)．(1)求△ABC外接圆E的方程；(2)若直线l经过点(0,4)，且与圆E相交所得的弦长为2√3，求直线l的方程．21.如图，在底面是菱形的四棱锥P−ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=√2a，点E是PD的中点．(Ⅰ)证明PA⊥平面ABCD，PB//平面EAC；(Ⅱ)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角θ的正切值．22.已知圆C：x2+y2+x−6y+m=0与直线l：x+2y−3=0．(1)若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵由方程组{2x −y +k =04x −2y +1=0，得2k −1=0，当k =12时，方程组由无穷多个解，两条直线重合，当k ≠12时，方程组无解，两条直线平行，综上，两条直线平行或重合， 故选 C ．化简方程组得到2k −1=0，根据k 值确定方程组解的个数，由方程组解得个数判断两条直线的位置关系．本题考查方程组解得个数与两条直线的位置关系，方程有唯一解时，两直线相交，方程组有无穷解时，两直线重合，方程组无解时，两直线平行．2.【答案】B【解析】解：点(−2,3)到直线l ：3x +4y +3=0的距离d =√9+16=95． 故选：B ．利用点到直线的距离公式直接求解．本题考查点到直线的距离的求法，考查点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3.【答案】C【解析】 【分析】由题意设圆的标准方程为x 2+(y −b)2=1，把点(1,3)代入求得b 的值即可． 本题考查了圆的标准方程应用问题，是基础题． 【解答】解：由题意，设圆的标准方程为x 2+(y −b)2=1， 由圆过点(1,3)，可得1+(3−b)2=1， 解得b =3，∴所求圆的方程为x2+(y−3)2=1．故选：C．4.【答案】C【解析】解：存在异面直线l、m，使得l//α，l//β，m//α，m//β过空间一点O，作l′//l，m′//m两异面直线平移到空间一点时，两直线相交，l′与m′确定一平面γ∵l//α，l//β，m//α，m//β∴l′//α，l′//β，m′//α，m′//β∴α//γ，β//γ∴α//β反之也成立∴“存在异面直线l、m，使得l//α，l//β，m//α，m//β”是“α//β”的充要条件故选：C．将两异面直线平移到空间一点O，使l′//l，m′//m，l′与m′确定一平面γ，根据面面平行的判定定理可知α//γ，β//γ，从而α//β，反之成立，最后根据“若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件”进行判定即可．本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于中档题．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分条件，必要条件的判断，向量的数量积，向量共线的定义，属于中档题．分别讨论充分性和必要性，即可得到答案．【解答】解：(1)a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos<a⃗,b⃗ >，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |时，cos<a⃗,b⃗ >=1，∴<a⃗,b⃗ >=0，∴a⃗//b⃗ ，∴“a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |”是“a⃗//b⃗ ”的充分条件；(2)a⃗//b⃗ 时，a⃗,b⃗ 的夹角为0或π，∴a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |，或−|a⃗||b⃗ |，即a⃗//b⃗ 得不到a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |，∴“a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |”不是“a⃗//b⃗ ”的必要条件，∴综上可得，“a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |”是“a⃗//b⃗ ”的充分不必要条件．故选：A．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查空间几何体的三视图，考查计算能力，属于中档题．根据题意，利用侧面展开图，转化求解即可．【解答】解：由题意可知，该几何体是圆柱，底面周长16，高为2，直观图以及侧面展开图如图：圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度：√22+42=2√5．故选B．7.【答案】C【解析】解：A选项中过P0的方程为直线的点斜式方程，当直线与y轴平行即斜率不存在时例如x=5，就不能写成此形式，此选项错；B选项中过A点的直线方程为直线的斜截式方程，当直线与y轴平行时即斜率不存在时例如x=8，就不能写成此形式，此选项错；C选项中经过任意两个不同点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线P1P2，都可以用方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)来表示，所以此选项正确；D 选项中当直线与坐标轴平行时例如y =2，与x 轴没有交点且不过原点，但是不能直线的截距式，此选项错． 故选CA 、B 、D 选项中都是有条件限制才能写出直线方程的，条件是斜率存在或与坐标轴的截距存在，C 选项中的方程不受限制只需两点坐标即可，得到正确答案．此题考查学生掌握直线的点斜式、斜截式及截距式方程所满足的条件，会利用两点坐标过两点直线的两点式方程，是一道中档题．8.【答案】C【解析】解：分两种情况①当两个平面互相平行时，在一个平面内任意取一条直线都和另一个平面平行， 所以在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，符合题意；②当两个平面相交时，设它们的交线为l ，则在一个平面内可以作直线m 平行于l ， 根据直线与平面平行的判定定理，得到m 平行于另一个平面，并且这样的直线m 有无数条．综上所述，这两个平面的位置关系是：平行或相交． 故选C分两种情况加以讨论：当两个平面平行时，根据面面平行的定义，可得在一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，符合题意；当两个平面相交时，根据直线与平面平行的判定定理，得到在一个平面内平行于交线的直线必定平行于另一个平面，也符合题意．由此得到正确选项．本题以在一个平面内有无数直线与另一个平面平行为例，来判断两个平面的位置关系．着重考查了平面与平面的位置关系、直线与平面平行的定义与判定等知识点，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：解方程组{y =−2x +3k +14x −4y =−3k −2，得，x =k +6，y =k +2∵直线y =−2x +3k +14与直线x −4y =−3k −2的交点位于第四象限， ∴k +6>0且k +2<0，∴−6<k <−2． 故选：A ．解方程组{y =−2x +3k +14x −4y =−3k −2，得，x =k +6，y =k +2，由此能求出实数k 的取值范围．本题考查两条直线的交点坐标的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．10.【答案】A【解析】解：由方程x 2+y 2−4x +2y +5k =0可得(x −2)2+(y +1)2=5−5k ，此方程表示圆，则5−5k >0，解得k <1． 故实数k 的取值范围是(−∞,1)． 故选：A ．由方程x 2+y 2−4x +2y +5k =0配方可得(x −2)2+(y +1)2=5−5k ，此方程表示圆，则5−5k >0，解得即可．思路掌握配方法、圆的标准方程是解题的关键．11.【答案】C【解析】 【分析】本题考查找命题一个充分不必要条件，还涉及恒成立问题，属基础题．本题先要找出命题为真命题的充要条件{a|a ≥4}，从集合的角度充分不必要条件应为{a|a ≥4}的真子集，由选择项不难得出答案． 【解答】解：命题“∀x ∈[1,2]，x 2−a ≤0”为真命题，可化为∀x ∈[1,2]，a ≥x 2，恒成立， 即只需a ≥(x 2)max =4，即“∀x ∈[1,2]，x 2−a ≤0”为真命题的充要条件为a ≥4， 而要找的一个充分不必要条件即为集合{a|a ≥4}的真子集，由选择项可知C 符合题意． 故选：C ．12.【答案】C【解析】【分析】本题考查满足条件的直线条数的求法，考查异面直线的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．【解答】解：过O作a′//a，b′//b，设直线a′、b′确定的平面为α，∵异面直线a、b成60°角，∴直线a′、b′所成锐角为60°①当直线l在平面α内时，若直线l平分直线a′、b′所成的钝角，则直线l与a、b都成60°角；②当直线l与平面α斜交时，若它在平面α内的射影恰好落在直线a′、b′所成的锐角平分线上时，直线l与a、b所成角相等．此时l与a′、b′所成角的范围为[30°,90°]，适当调整l的位置，可使直线l与a、b也都成60°角，这样的直线l有两条．综上所述，过点P与a′、b′都成60°角的直线，可以作3条．∵a′//a，b′//b，∴过点O与a′、b′都成60°角的直线，与a、b也都成60°的角．故选C．13.【答案】必要不充分条件【解析】解：条件：“数列{a n}(n∈N∗)满足a n+1=a n⋅q(其中q为常数)”，结论：“数列{a n}(n∈N∗)是等比数列”，充分性：当数列为常数列a n=0时，满足a n+1=a n⋅q(其中q为常数)，但不是等比数列，充分性不满足，必要性：数列{a n}(n∈N∗)是等比数列，根据等比数列定义，必有a n+1=a n⋅q，必要性成立，所以“数列{a n}(n∈N∗)满足a n+1=a n⋅q(其中q为常数)”是“数列{a n}(n∈N∗)是等比数列”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．判断充要条件，先确定条件和结论，然后分成充分性和必要性判断．本题考查充要条件的判断，等比数列的性质，关键是分清条件和结论，属于基础题．14.【答案】(0,1)【解析】【分析】本题考查距离之和取最小值的情况，注意运用对称思想，考查运算能力，属于基础题．作出A关于y轴的对称点A′(−2,3)，连接A′B，与y轴交于P，即为所求．求出直线A′B的方程，可令x=0，可得P的坐标．【解答】解：作出A关于y轴的对称点A′(−2,3)，连接A′B，与y轴交于P，即为所求．此时|PA|+|PB|取最小值|A′B|，=−1，由A′B的斜率为3−0−2−1可得方程：y=−(x−1)，令x=0，可得y=1，即为P(0,1)，故答案为：(0,1)．15.【答案】2√2+1【解析】解：直线kx−y−k+2=0化为k(x−1)−y+2=0，过定点A(1,2)，直线x+ky−2k−3=0化为x+k(y−2)−3=0，过定点B(3,2)；且满足k⋅1−1⋅k=0，∴两条直线互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，如图所示；结合图形知，OP长度的最大值为|OC|+1=2√2+1．故答案为：2√2+1．根据题意知直线kx−y−k+2=0与直线x+ky−2k−3=0过分别定点A、B，且互相垂直，其交点P在以AB为直径的圆上，结合图形求得OP长度的最大值．本题考查了直线与圆的方程应用问题，也考查了转化法与数形结合思想，是基础题．16.【答案】[1,3]【解析】【分析】本题考查了实数值的取值范围以及圆与圆的位置关系的运用，是中档题．根据圆心C到原点O的距离，可得圆C上的点到点O的距离最大、最小值，再由∠APB=90°，AB=m的取值范围．可得PO=12【解答】解：圆C：(x−1)2+(y−√3)2=1的圆心C(1,√3)，半径为1，∵圆心C到O(0,0)的距离为2，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为3，最小值为1，AB=m，再由∠APB=90°，则点P在以AB为直径的圆上，可得PO=12又点P在圆C上，故有1≤m≤3，∴实数m的取值范围是[1,3]．故答案为[1,3]．17.【答案】解：(1)联立两条直线的方程可得：{x +8y +7=02x +y −1=0解得x =1，y =−1所以l 1与l 2交点坐标是(1,−1)．(2)设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0因为直线l 过l 1与l 2交点(1,−1)所以c =0所以直线l 的方程为x +y =0．【解析】(1)联立两条直线的方程可得：{x +8y +7=02x +y −1=0，解得x =1，y =−1． (2)设与直线x +y +1=0平行的直线l 方程为x +y +c =0因为直线l 过l 1与l 2交点(1,−1)，所以c =0．解决此类问题的方法是联立两条直线的方程进行计算，要细心仔细，两条直线平行时注意未知直线的设法x 与y 的系数相同，只是常数不同而已．18.【答案】解：(Ⅰ)如图，设AC ∩BD =M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，又A(−1,2)，C(4,1).∴M(32,32)， 又B(0,−1)，所以顶点D 的坐标为(3,4)．(Ⅱ)依题意可得k BC =−1−10−4=12， 故直线BC 的方程为y =12x −1，即x −2y −2=0，又|BC|=√(4−0)2+(−1−1)2=2√5，点A 到直线BC 的距离d =|−1−2×2−2|√12+(−2)2=7√55． 所以四边形ABCD 的面积S =|BC|⋅d =2√5×7√55=14．【解析】本题考查了平行四边形的性质、点到直线的距离公式、中点坐标公式、四边形的面积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)如图，设AC ∩BD =M ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以对角线互相平分，利用中点坐标公式可得M ，进而得到D 的坐标．(Ⅱ)依题意可得k BC ，可得点斜式可得直线BC 的方程，利用两点之间的距离公式可得：|BC|.利用点到直线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离d ，即可得出．19.【答案】解：(1)圆的方程为：(x −1)2+y 2=1，设斜率为3且与圆相切的直线方程为y =3x +b ，则圆心C(1,0)到该直线的距离为d =√32+(−1)2=1，解得b =−3±√10，∴y =3x −3+√10或y =3x −3−√10；(2)当斜率k 不存在时，直线x =2是圆的切线；当斜率k 存在时，设过定点(2,−3)且与圆相切的直线方程为y +3=k(x −2)， 即kx −y −2k −3=0，则圆心C 到该直线的距离为d =√k 2+1=1， 解得k =−43，∴切线方程为y +3=−43(x −2)，即4x +3y +1=0；综上，所求圆的切线为x =2或4x +3y +1=0．【解析】本题考查了直线与圆相切的情况与应用问题，是基础题．(1)设斜率为3且与圆相切的直线方程，利用圆心到直线的距离d =r 求得切线方程；(2)设过定点且与圆相切的直线方程，利用圆心到直线的距离d =r 求得切线方程，注意斜率不存在时的情况．20.【答案】解：(1)设圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，即{1+4−D +2E +F =01+16+D +4E +F =09+4+3D +2E +F =0，解得D =−2，E =−4，F =1，∴△ABC 外接圆E 的方程为x 2+y 2−2x −4y +1=0，即(x −1)2+(y −2)2=4．(2)当直线l 的斜率k 不存在时，直线l 的方程为x =0，联立{x =0x 2+y 2−2x −4y +1=0，得{x =0y =2−√3，或{x =0y =2+√3， 弦长为2√3，满足题意．当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为y −4=kx ，即kx −y +4=0，由于圆心(1,2)到该直线的距离为√22−(2√32)2=1， 故有|k−2+4|√k 2+1=1，得k =−34，∴直线l 的方程为−34x −y +4=0，即3x +4y −16=0．综上可得，直线l 的方程x =0，或3x +4y −16=0．【解析】本题主要考查用待定系数法求圆的方程，直线与圆的位置关系的应用，属于中档题．(1)利用待定系数法求△ABC 外接圆E 的方程．(2)分类讨论，利用韦达定理，结合弦长公式，求直线l 的方程．21.【答案】(Ⅰ)证明：因为底面ABCD 是菱形，∠ABC =60°，所以AB =AD =AC =a ，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2知PA ⊥AB ．同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD ．因为PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC⃗⃗⃗⃗⃗ ． 所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共面． 又PB ⊄平面EAC ，所以PB//平面EAC ．(Ⅱ)解：作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD ．知EG ⊥平面ABCD ．作GH ⊥AC 于H ，连接EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角．又E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，EG =12a,AG =12a,GH =AGsin60°=√34a ．所以tanθ=EG GH =2√33．【解析】(Ⅰ)根据底面ABCD 是菱形判断出∠ABC =60°，且四边长相等，在△PAB 中，由PA 2+AB 2=2a 2=PB 2可推断出PA ⊥AB.同样可推断出，PA ⊥AD ，进而根据直线与面垂直的定义判断出PA ⊥平面ABCD.进而根据PB⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ .判断出PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面．，进而根据直线与面平行的判定法则，推断出PB//平面EAC ．(Ⅱ)作EG//PA 交AD 于G ，由PA ⊥平面ABCD.GH ⊥AC 于H ，连接EH ，进而可推断出EG ⊥平面ABCD.EH ⊥AC ，进而可知∠EHG 即为二面角θ的平面角．进而根据E 是PD 的中点，从而G 是AD 的中点，分别求得EG 和GH ，进而根据tanθ=EGGH 求得答案．本题主要考查了直线与平面垂直的判定和二面角的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22.【答案】解：(1)将圆的方程化为标准方程得：(x +12)2+(y −3)2=914−m ， ∴圆心C(−12,3)，半径r 2=914−m >0，即m <374， ∵圆心C 到直线l 的距离d 2=54，直线l 与圆C 没有公共点∴914−m <54，即m >8， 则m 的范围为(8,374)；(2)将直线l 与圆方程联立消去y 得到：5x 2+10x +4m −27=0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，∴x 1+x 2=−2，x 1x 2=4m−275， y 1y 2=3−x 12⋅3−x 22=9−3(x 1+x 2)+x 1x 24=15+4m−2754，∵x 1x 2+y 1y 2=0，∴4m−275+15+4m−2754=0，解得：m=3．【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，圆的标准方程，以及点到直线的距离公式，属于较难题．(1)找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；(2)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．。

山西省应县第一中学校2019-2020学年高二上学期第四次月考数 学 试 题（理） 2019.12时间：120分钟 满分：150分一．选择题.(5分*12=60分)1. 倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A ．3x －y ＋1＝0 B ．3x －y －3＝0 C ．3x ＋y －3＝0D ．3x ＋y ＋3＝02．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴都相切，则该圆的标准方程是( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －1)2＝13. 椭圆C 的一个焦点为F 1(0，1)，并且经过点P(32，1)的椭圆的标准方程为( )A ．x 24＋y23＝1B ．x 22＋y23＝1C ．x 23＋y22＝1D ．y 24＋x23＝14．已知椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在y 轴上，离心率为32，过点F 2的直线交椭圆C 于M ，N 两点，且△MNF 1的周长为8，则椭圆C 的焦距为( )A ．4B ．2C ．2 3D ．2 25．若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线的斜率为( )A ．±2B ．± 2C ．±12D ．±226．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为直线y ＝2b 上的一点，△F 1MF 2是等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )A ．714B ．77C ．277D ．37147．如图，椭圆x 2a 2＋y22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．58．过椭圆x 25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.43B.53C.54D.1039．已知焦点在y 轴上的双曲线C 的中心是原点O ，离心率等于52，以双曲线C 的一个焦点为圆心，1为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程为( )A ．y 216－x24＝1B ．y 2－x24＝1C ．y 24－x 2＝1D ．x 24－y 2＝110．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，则抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．355 B ．2 C ．115D ．311．已知点P(x ，y)是直线kx ＋y ＋4＝0(k>0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．2 2D ．212．已知椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2c ，若椭圆上存在点M 使得sin ∠MF 1F 2a ＝sin ∠MF 2F 1c，则该椭圆离心率的取值范围为( )A ．(0，2－1) B.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D ．(2－1,1)二．填空题.13．已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB 中点C 的横坐标是 . 14．过双曲线x 2－y23＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B两点，则|AB|＝________.15．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．16．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，则当 |AF|＋4|BF|取得最小值时，直线AB 的倾斜角的正弦值为________．三．解答题。

山西省应县2017-2018学年高二数学上学期第四次月考试题 理时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的). 1、在下列命题中：①若向量,a b →→共线，则,a b →→所在的直线平行；②若向量,a b →→所在的直线是异面直线，则,a b →→一定不共面； ③若三个向量,a b c →→→，两两共面，则,a b c →→→，三个向量一定也共面；④已知三个向量,a b c →→→，，则空间任意一个向量p →总可以唯一表示为p x a y b z c →→→→=++. 其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝相切，其中真命题的序号是( ) A ． ①②③ B ． ①② C ． ①③ D ． ②③ 3、已知，，若，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．5 B ．4 C ．3 D ．65、命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥1 B ．a >1 C ．a ≥4 D ．a >4 6、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段AB 上一点，且,则点C 的坐标是（ ）A. B.C.D.7．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a ＞b ＞0)表示的曲线大致是( )8、若，，且，则的值是（ ）A. 0B. 1C. -2D. 29、在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z) ，(x ，y ，z∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ）A. 2x+y+z=1B. x+y+z=0C. x-y+z=-4D. x+y-z=0 10、如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =， N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A.121232a b c -+ B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-11、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1A C 的长为（ ）12．我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若∠F 1PF 2＝60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率e ＝( )A.33B.12C.13D.32二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13、如图所示，在长方体1111OABC O A B C -中，||2OA =，||3AB =，1||3AA =，M 是1CB 与1BO 的交点，则M 点的坐标是 ．14、已知是直线L 被椭圆所截得的线段的中点，则L 的方程是_________．15、已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________.16．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程。

应县一中高二年级期中考试数学试题（理）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题1．若复数z＝2i＋21＋i，则=z( )A.22B. 2C. 3 D．22．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A．①④B．②④C．①③D．②③3．通过随机询问2019名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到2 6.023K=，根据这一数据查阅表，则有把握认为“爱好该项运动与性别有关”的可信程度是（）A．90% B．95% C．97.5% D．99.5%4. 具有线性相关关系的变量x、y的一组数据如下表所示.若y与x的回归直线A． 4.5 D．45. 已知随机变量8=+ηξ,若)6.0,10(~B ξ,则)(),(ηηD E 分别是 ( ) A. 2和2.4 B. 6和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6 6．已知三个正态分布密度函数)3,2,1,(,21)(222)(=∈=--i R x e x i i x ii σμσπϕ的图象如图所示，则（ ）A.321321,σσσμμμ>==<B.321321,σσσμμμ=<<=C.321321,σσσμμμ<==>D.321321,σσσμμμ<==<7. 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,反设正确的是（ ）A ．假设三内角都大于60度B ．假设三内角都不大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度 8. 下面四个判断中，正确的是( )A ．式子1＋k ＋k 2＋…＋k n (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1B ．式子1＋k ＋k 2＋…＋1-n k (n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋kC ．式子1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)中，当n ＝1时，式子的值为1＋12＋13D ．设f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1(n ∈N *)，则f (k ＋1)＝f (k )＋13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4 9．设集合(){}12345{,,,,|1,0,1,1,2,3,4,5}i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件1234513x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（ ）A ．60B ．90C ．120D ．130 10．随机变量X 的分布列为()()1cP X k k k ==+， 1,2,3,4k =, c 为常数，则25()32P X <<的值为（ ） A ．23 B ．34 C ．45 D ．5611.已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1), (1,2), (2,1),(1,3), (2,2),(3,1),(1,4), (2,3), (3,2), (4,1), , 则第60个“整数对”是( )A. (10,1)B. (7,5)C. (5,7)D. (2,10)12．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()E ξ=( ) A ．24181B ．26681 C ．27481D ．670243二、填空题：13．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6，则其中恰有一人击中目标的概率是________．14. 定义运算bc ad d c b a -=，则符合条件i ziz 241-1+=的复数z 为_______________15.已知ξ服从正态分布R a N ∈),,1(2σ，则”“5.0)(=>a P ξ是“关于x 的二项式32)1(xax +的展开式的常数项为3”__________________________条件（从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“既不充分也不必要条件”“充要条件”中选择作答）16．在平面直角坐标系中，当P (x ，y )不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′(y x 2＋y 2，－xx 2＋y 2)；当P 是原点时，定义P 的“伴随点”为它自身．现有下列命题：①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上；③若两点关于x 轴对称，则它们的“伴随点”关于y 轴对称； ④若三点在同一条直线上，则它们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是________(写出所有真命题的序号). 三、解答题：17．(本小题满分10分)某班有6名班干部，其中男生4人，女生2人，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为X ，求X 的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率．18．(本小题满分12分)已知在1nx ⎛+ ⎝的展开式中二项式系数和为256． （1）求展开式中常数项；（2）求展开式中二项式系数最大的项.19.(本小题满分12分)某电脑公司有5名产品推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表：（1）求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若第6名推销员的工作年限是11年，试估计他的年推销金额. 【参考数据200,11251251==∑∑==i i i i i x y x ，参考公式：线性回归方程a xb y ˆˆˆ+=中 20.(本小题满分12分)在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.(1)在答题卡上填写下面的2×2列联表， 能否有超过95%的把握认为“获奖与学生3名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.附表及公式：，其中.品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。

山西省应县第一中学2018—2019学年度上学期第四次月考高二数学文试题时间：120分钟 满分：150分一．选择题（共12题，每题5分）1．若圆,与圆222:680C x y x y m +--+=外切,则( )A. B. C. D. -112．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( ) A. B. C. D. 3．椭圆的右焦点到直线的距离是( )A. B. C. D. 4．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C. D.5．设是椭圆上上一点,到两焦点的距离之差为,则是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形6．圆心在抛物线上,且与轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( )A. 221204x y x y +---= B. 22210x y x y ++-+= C. 22210x y x y +--+= D. 221204x y x y +--+=7．已知直线,平面;命题若, ,则;命题若,,m mn αβαβ⋂=,则 ,下列是真命题的是( )A. B. C. D.8．若方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为（ ）A. B. C. D. （0，1）9．过点（0，1）与双曲线仅有一个公共点的直线共有（ ） A. 0条 B. 2条 C. 4条D. 6条10．已知非向量()(),2,,2a x x b x ==-,则或是向量与夹角为锐角的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．已知点P 是以、为焦点的椭圆上的一点，若，，则此椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 12．若α，β∈R ，则“α＝β”是“tan α＝tan β” 的 ( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 二．填空题（共4题，每题5分）13. 在平面直角坐标系中，若抛物线上的点P 到该抛物线的焦点F 的距离为6，则点P 的横坐标x 的值为___________． 14. 椭圆（a>b>0）的两个焦点为、，点P 在椭圆上，则当∠取最大值时，椭圆的离心率为___________． 15. 双曲线的虚轴是实轴长的2倍，则m 的值为___________．16. 直线与圆()()22234x y -+-=相交于、两点,若,则的取值范围是___________． 三．解答题（共6题，第17题为10分，其余各题每题为12分）17．求中心在原点,对称轴为坐标轴,一个焦点是,一条渐近线是的双曲线的方程及离心率.18．已知,设命题函数为增函数;命题:当时,恒成立. 如果为真命题,为假命题,求的范围.19．抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线的一个焦点,并于双曲线的实轴垂直,已知抛物线与双曲线的交点为,求抛物线的方程和双曲线的方程。

应县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）A ．B ．1C ．D ．2． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）A ．y=2x ﹣x 2﹣1B ．y=C ．y=（x 2﹣2x ）e xD ．y=3． 已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 4•a 8=2a 52，a 2=1，则a 1=（ ）A ．B ．2C ．D ．4． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．5． 在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.6． 已知在数轴上0和3之间任取一实数，则使“2log 1x <”的概率为（ ）A ．14 B ．18 C ．23 D ．1127． 椭圆22:143x y C +=的左右顶点分别为12,A A ，点P 是C 上异于12,A A 的任意一点，且直线1PA 斜率的取值范围是[]1,2，那么直线2PA 斜率的取值范围是（ ）A ．31,42⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．33,48⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【命题意图】本题考查椭圆的标准方程和简单几何性质、直线的斜率等基础知识，意在考查函数与方程思想和基本运算能力．8． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.9． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 10．直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）11．487被7除的余数为a （0≤a ＜7），则展开式中x ﹣3的系数为（ ）A ．4320B ．﹣4320C ．20D ．﹣2012．若数列{a n }的通项公式a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），{a n }的最大项为第p 项，最小项为第q 项，则q ﹣p 等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题13．已知a ，b 是互异的负数，A 是a ，b 的等差中项，G 是a ，b 的等比中项，则A 与G 的大小关系为 ．14．已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．15．在直角坐标系xOy 中，已知点A （0，1）和点B （﹣3，4），若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2，则= ．16．已知等差数列{a n }中，a 3=，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．17．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根，则S 6= ．18．【南通中学2018届高三10月月考】已知函数()32f x x x =-，若曲线()f x 在点()()1,1f 处的切线经过圆()22:2C x y a +-=的圆心，则实数a 的值为__________．三、解答题19．如图，在Rt △ABC 中，∠EBC=30°，∠BEC=90°，CE=1，现在分别以BE ，CE 为边向Rt △BEC 外作正△EBA 和正△CED ．（Ⅰ）求线段AD 的长；（Ⅱ）比较∠ADC 和∠ABC 的大小．20．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+1）x+alnx ，a ∈R （1）当a=1，求f （x ）的单调区间；（4分）（2）a ＞1时，求f （x ）在区间[1，e]上的最小值；（5分） （3）g （x ）=（1﹣a ）x ，若使得f （x 0）≥g （x 0）成立，求a 的范围.21．已知三次函数f （x ）的导函数f ′（x ）=3x 2﹣3ax ，f （0）=b ，a 、b 为实数．（1）若曲线y=f （x ）在点（a+1，f （a+1））处切线的斜率为12，求a 的值；（2）若f （x ）在区间[﹣1，1]上的最小值、最大值分别为﹣2、1，且1＜a ＜2，求函数f （x ）的解析式．22．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.23．某校从高一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），[90，100）后得到如图的频率分布直方图． （Ⅰ）求图中实数a 的值；（Ⅱ）根据频率分布直方图，试估计该校高一年级学生其中考试数学成绩的平均数；（Ⅲ）若从样本中数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取2名学生，试用列举法求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．24．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．应县高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．2．【答案】C【解析】解：A中，∵y=2x﹣x2﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2x的值趋向于0，y=x2+1的值趋向+∞，∴函数y=2x﹣x2﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=的图象是以x轴为中心的波浪线，∴B中的函数不满足条件；C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0；且y=e x＞0恒成立，∴y=（x2﹣2x）e x的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；∴C中的函数满足条件；D中，y=的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．3．【答案】D【解析】解：设等比数列{a n}的公比为q，则q＞0，∵a4•a8=2a52，∴a62=2a52，∴q2=2，∴q=，∵a2=1，∴a1==．故选：D第Ⅱ卷（共90分）5．【答案】B【解析】试题分析：由2log 1x <得02x <<,由几何概型可得所求概率为202303-=-.故本题答案选C. 考点：几何概型． 7． 【答案】B8． 【答案】C.【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 9． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =26102创?1123+2452622创创?6103515=，故选C ．4646101011326E VD CBA10．【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时，()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 11．【答案】B解析：解：487=（49﹣1）7=﹣+…+﹣1，∵487被7除的余数为a （0≤a ＜7）， ∴a=6，∴展开式的通项为T r+1=，令6﹣3r=﹣3，可得r=3，∴展开式中x ﹣3的系数为=﹣4320，故选：B ．. 12．【答案】A【解析】解：设=t ∈（0，1]，a n =5（）2n ﹣2﹣4（）n ﹣1（n ∈N *），∴a n =5t 2﹣4t=﹣，∴a n ∈，当且仅当n=1时，t=1，此时a n 取得最大值；同理n=2时，a n 取得最小值．∴q ﹣p=2﹣1=1， 故选：A ． 【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题13．【答案】 A ＜G ．【解析】解：由题意可得A=，G=±，由基本不等式可得A ≥G ，当且仅当a=b 取等号，由题意a ，b 是互异的负数，故A ＜G ．故答案是：A ＜G ．【点评】本题考查等差中项和等比中项，涉及基本不等式的应用，属基础题．14．【答案】()53,44--【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,0,0f f m ><<，解得51534244m m >-⇒-<<- 考点：函数零点【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.15．【答案】 （﹣，） ．【解析】解：∵，，设OC 与AB 交于D （x ，y ）点则：AD ：BD=1：5即D 分有向线段AB 所成的比为则解得：∴又∵||=2∴=（﹣，）故答案为：（﹣，）【点评】如果已知，有向线段A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．及点C 分线段AB 所成的比，求分点C 的坐标，可将A ，B 两点的坐标代入定比分点坐标公式：坐标公式进行求解．16．【答案】 ．【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=，∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =．故答案是：．17．【答案】63【解析】解：解方程x 2﹣5x+4=0，得x 1=1，x 2=4．因为数列{a n }是递增数列，且a 1，a 3是方程x 2﹣5x+4=0的两个根， 所以a 1=1，a 3=4．设等比数列{a n }的公比为q ，则，所以q=2．则．故答案为63．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n 项和，是基础的计算题．18．【答案】2-【解析】结合函数的解析式可得：()311211f =-⨯=-，对函数求导可得：()2'32f x x =-，故切线的斜率为()2'13121k f ==⨯-=，则切线方程为：()111y x +=⨯-，即2y x =-，圆C ：()222x y a +-=的圆心为()0,a ，则：022a =-=-.三、解答题19．【答案】【解析】解：（Ⅰ）在Rt △BEC 中，CE=1，∠EBC=30°，∴BE=，在△ADE中，AE=BE=，DE=CE=1，∠AED=150°，由余弦定理可得AD==；（Ⅱ）∵∠ADC=∠ADE+60°，∠ABC=∠EBC+60°，∴问题转化为比较∠ADE与∠EBC的大小．在△ADE中，由正弦定理可得，∴sin∠ADE=＜=sin30°，∴∠ADE＜30°∴∠ADC＜∠ABC．【点评】本题考查余弦定理的运用，考查正弦定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦、余弦定理是关键．20．【答案】解：（1）当a=1，f（x）=x2﹣3x+lnx，定义域（0，+∞），∴…（2分），解得x=1或x=，x∈，（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）是增函数，x∈（，1），函数是减函数．…（4分）（2）∴，∴，当1＜a＜e时，∴f（x）min=f（a）=a（lna﹣a﹣1）当a≥e时，f（x）在[1，a）减函数，（a，+∞）函数是增函数，∴综上…（9分）（3）由题意不等式f（x）≥g（x）在区间上有解即x2﹣2x+a（lnx﹣x）≥0在上有解，∵当时，lnx≤0＜x，当x∈（1，e]时，lnx≤1＜x，∴lnx﹣x＜0，∴在区间上有解．令…（10分）∵，∴x+2＞2≥2lnx∴时，h′（x）＜0，h（x）是减函数，x∈（1，e]，h（x）是增函数，∴，∴时，，∴∴a的取值范围为…（14分）21．【答案】【解析】解：（1）由导数的几何意义f′（a+1）=12∴3（a+1）2﹣3a（a+1）=12∴3a=9∴a=3（2）∵f′（x）=3x2﹣3ax，f（0）=b∴由f′（x）=3x（x﹣a）=0得x1=0，x2=a∵x∈[﹣1，1]，1＜a＜2∴当x∈[﹣1，0）时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，f（x）递减．∴f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值为f（0）∵f（0）=b，∴b=1∵，∴f（﹣1）＜f（1）∴f（﹣1）是函数f（x）的最小值，∴∴∴f （x ）=x 3﹣2x 2+1【点评】曲线在切点处的导数值为曲线的切线斜率；求函数的最值，一定要注意导数为0的根与定义域的关系．22．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218kk x x +=+，22212188k k x x +-=. 12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

应 县 一 中 高 二 年 级 月 考 四数 学 试 题（理）2017.12时间：120分钟 满分：150分一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项，只有一项是符合题目要求的). 1、在下列命题中：①若向量,a b →→共线，则,a b →→所在的直线平行；②若向量,a b →→所在的直线是异面直线，则,a b →→一定不共面； ③若三个向量,a b c →→→，两两共面，则,a b c →→→，三个向量一定也共面； ④已知三个向量,a b c →→→，，则空间任意一个向量p →总可以唯一表示为p x a y b z c →→→→=++.其中正确命题的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 32.已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝相切，其中真命题的序号是( ) A ． ①②③ B ． ①② C ． ①③ D ． ②③3、已知，，若，则（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，4、如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．5、命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．a ≥1B ．a >1C ．a ≥4D ．a >4 6、已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C 为线段AB 上一点，且,则点C 的坐标是（ ）A. B. C. D.7．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a ＞b ＞0)表示的曲线大致是( )8、若，，且，则的值是（ ）A. 0B. 1C. -2D. 29、在空间直角坐标系中，A(1，1，-2)，B(1，2，-3)，C(-1，3，0)，D(x ，y ，z) ，(x ，y ，z∈R)，若四点A ，B ，C ，D 共面，则（ ）A. 2x+y+z=1B. x+y+z=0C. x-y+z=-4D. x+y-z=0 10、如图所示，空间四边形OABC 中， ,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2OM MA =， N 为BC 中点，则MN 等于（ ）A. 121232a b c -+B. 211322a b c -++C. 112223a b c +-D. 221332a b c +-11、如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为2的正方形，若1160A AB A AD ∠=∠=︒，且13A A =，则1A C 的长为（ ）12．我们把焦点相同，离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对相关曲线，已知F 1，F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，若∠F 1PF 2＝60°，则这一对相关曲线中椭圆的离心率e ＝( )A.33B.12C.13D.32二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13、如图所示，在长方体1111OABC O A B C -中，||2OA =，||3AB =，1||3AA =，M 是1CB 与1BO 的交点，则M 点的坐标是 ．14、已知是直线L 被椭圆所截得的线段的中点，则L 的方程是_________．15、已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1, 1)在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为________.16．若点O 和点F 分别为椭圆13422=+y x 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________．三、解答题（共6小题，共70分，要求在答题卡上写出详细的解答过程。