4．1.2极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：在平面上取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．其中，点O称为极点，射线Ox称为极轴．(2)极坐标：设M是平面上任一点，ρ表示OM的长度，θ表示以射线Ox为始边，射线OM为终边所成的角．那么，每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置．其中，ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角，有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．(3)在极坐标系中，如果极径ρ允许取负值，极角θ也可以取任意角，那么M(ρ，θ)的极坐标也可以表示为(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)．2．极坐标与直角坐标互化[对应学生用书P5][例1] 写出图中各点的极坐标，其中θ∈[0,2π)．[思路点拨] 分析每一点对应的ρ与θ，写出极坐标．[精解详析] 由点A 在极坐标系中的位置知，它的极径为4，极角为0，所以它的极坐标为A (4,0)，同理，得B ⎝⎛⎭⎫2， π4，C ⎝⎛⎭⎫3，π2，D ⎝⎛⎭⎫1，5π6，E (4，π)，F ⎝⎛⎭⎫6，4π3，G ⎝⎛⎭⎫5，5π3，而极点O 的坐标为(0，θ)，θ∈[0,2π)．1．写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能把顺序颠倒了． 2．点的极坐标是不惟一的，但若限制ρ≥0，θ∈[0,2π)，则除极点外，点的极坐标是惟一确定的．1．试画出满足下列条件的点，并说明它们有何特殊的位置关系： A ⎝⎛⎭⎫5，3π4；B ⎝⎛⎭⎫－5，3π4；C ⎝⎛⎭⎫5，－3π4；D ⎝⎛⎭⎫－5，－3π4. 解：所求各点如图所示．由图可以看出，点B 与点A ，点C 与点D 都关于极点对称；点C 与点A ，点B 与点D 都关于极轴对称；点D 与点A ，点B 与点C 都关于直线θ＝π2(ρ∈R )对称．2．在极坐标系中，如果A ⎝⎛⎭⎫2，π4，B ⎝⎛⎭⎫2，5π4为等边三角形ABC 的两个顶点，求顶点C 的极坐标．解：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)，如图． 则ρ＝23，θ＝π4＋π2＝3π4，或θ＝5π4＋π2＝7π4.∴C 点的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎫23，3π4.[例2] 在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎭⎫3，π6，求 (1)点A 关于极轴的对称点的极坐标； (2)点A 关于极点的对称点的极坐标；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标．(规定ρ>0，θ∈[0,2π))[思路点拨] 结合极坐标系及对称知识，确定对称点的极坐标． [精解详析] (1)设点A 关于极轴的对称点为A 1(ρ1，θ1)，则ρ1＝OA 1＝OA ＝3，θ1＝2π－π6＝11π6.∴点A 关于极轴的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，11π6. (2)设点A 关于极点的对称点为A 2(ρ2，θ2)，则ρ2＝OA 2＝OA ＝3， θ2＝π＋π6＝7π6.∴点A 关于极点的对称点的极坐标为(3，7π6)．(3)设点A 关于直线θ＝π2的对称点为A 3(ρ3，θ3)，则ρ3＝OA 3＝OA ＝3， θ3＝π－π6＝5π6.∴点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，5π61．解决极坐标下的对称问题要注意以下三点：(1)利用数形结合思想；(2)在对称的过程中极径的长度始终没有变化，主要在于极角的变化；(3)极径ρ≥0，极角θ是以x 轴正方向为始边，按照逆时针方向旋转得到的．2．记住以下结论：点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)，或(ρ，2π－θ)；关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)；关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．3．在极坐标系中，求点A (2，－π3)关于极轴所在的直线的对称的点的极坐标．解：结合极坐标系知A 关于极轴所在的直线对称点为⎝⎛⎭⎫2，2k π＋π3或⎝⎛⎭⎫－2，(2k ＋1)π＋π3(k ∈Z )．4．求点A ⎝⎛⎭⎫5，3π4关于下列直线对称的点的一个坐标： (1)θ＝π2；(2)θ＝π6.解：(1)点A 关于θ＝π2的对称点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，π4. (2)点A 关于θ＝π6对称的点的一个坐标为⎝⎛⎭⎫5，－5π12.[例3] (1)把下列各点的极坐标化为直角坐标：A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，－2π3，C ⎝⎛⎭⎫32，－π，D ⎝⎛⎭⎫4，－π2； (2)把下列各点的直角坐标化为极坐标：A ()3，－3，B ⎝⎛⎭⎫0，53，C (－2,23)，其中极径ρ≥0，极角θ∈[0,2π)．[思路点拨] 直接利用直角坐标和极坐标的互化公式进行转化即可． [精解详析] (1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得各点的直角坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫－32，0，D (0，－4)． (2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x得各点的极坐标分别为：A ⎝⎛⎭⎫23，11π6，B ⎝⎛⎭⎫53，π2，C ⎝⎛⎭⎫4，2π3.将极坐标化为直角坐标，只需利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，已知点的直角坐标求极坐标时，关键是确定θ的值，此时要注意点在坐标系中的位置及θ的范围．5．把下列极坐标化为直角坐标： (1)A ⎝⎛⎭⎫3，2π3；(2)B ⎝⎛⎭⎫4，－3π4； (3)C ⎝⎛⎭⎫－6，17π3；(4)D ⎝⎛⎭⎫5，π2. 解：(1)x ＝3cos 2π3＝－32，y ＝3sin 2π3＝332，故点A 的直角坐标为A ⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)x ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－3π4＝－22，故点B 的直角坐标为B (－22，－22)．(3)x ＝－6cos 17π3＝－3，y ＝－6sin 17π3＝33，故点C 的直角坐标为C (－3,33)．(4)x ＝5cos π2＝0，y ＝5sin π2＝5，故点D 的直角坐标为D (0,5)．6．写出下列直角坐标系中的点的一个极坐标：(1)P (3，3)；(2)Q (0，－5)；(3)R (26，－22)；(4)O (0,0)． 解：(1)ρ＝32＋(3)2＝23，tan θ＝33，且点P 在第一象限，故点P 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6.(2)ρ＝5，θ＝3π2，故点Q 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫5，3π2. (3)ρ＝(26)2＋(－22)2＝42，tan θ＝－33，且点R 在第四象限，故点R 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫42，11π6. (4)ρ＝0，θ可为任意值，故点O 的极坐标为O (0，θ)．1．写出下图中点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 的一个极坐标．解：A ⎝⎛⎭⎫6，53π，B ⎝⎛⎭⎫8，π6，C ⎝⎛⎭⎫5，π2，D ⎝⎛⎭⎫5，7π6，E ⎝⎛⎭⎫8，4π3，F (8,0)，G ⎝⎛⎭⎫4，11π6. 2．已知点A ，B ，C ，D 的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫122，5π4，B ⎝⎛⎭⎫42，3π4，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫52，π2. 求证：直线AB ⊥CD .证明：各点的直角坐标为A (－12，－12)，B (－4,4)，C (5,0)，D ⎝⎛⎭⎫0，52. 由于k AB ＝4＋12－4＋12＝2，k CD ＝52－00－5＝－12，k AB ·k CD ＝－1，故AB ⊥CD .3．求在极坐标系中点M ⎝⎛⎭⎫14，－π6关于θ＝π4的对称点N 的一个极坐标． 解：如图设N (ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)． 则ρ＝OM ，θ－π4＝π4＋π6，即ρ＝14，θ＝2π3.∴N 的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫14，2π3.4．已知A ，B 的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫23，5π6，⎝⎛⎭⎫2，π3，求线段AB 的中点的一个极坐标． 解：A ，B 两点的直角坐标分别为(－3，3)，(1，3)． 线段AB 的中点的直角坐标为(－1，3)．[对应学生用书P7]则ρ＝2，tan θ＝－3，0≤θ<π.所以线段AB 的中点的一个极坐标为⎝⎛⎭⎫2，2π3. 5．在极坐标系中，根据下列条件，求△ABC 的面积． (1)A ⎝⎛⎭⎫6，π6，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6； (2)A ⎝⎛⎭⎫6，13π12，B ⎝⎛⎭⎫4，π3，C ⎝⎛⎭⎫2，11π6. 解：(1)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OAC －S △OBC ＝12×6×4sin π6＋12×6×2sin π3－12×4×2sin π2＝2＋3 3.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OCA ＝12×6×4sin 3π4＋12×4×2sin π2＋12×6×2sin 3π4＝4＋9 2.6．已知两点的极坐标A ⎝⎛⎭⎫3，π2，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，求线段AB 的长度及直线AB 的倾斜角． 解：根据极坐标的定义可得AO ＝BO ＝3，∠AOB ＝π3，即△AOB 为等边三角形，所以AB ＝AO ＝BO ＝3，∠ACO ＝π6(O 为极点，C 为直线AB 与极轴的交点)，则直线AB 的倾斜角为5π6.7．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的直角坐标． 解：设M (r,0)，则M 的直角坐标为(r,0)． 因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4，则A 的直角坐标为(4,4)， 所以(4－r )2＋16＝5，即r 2－8r ＋7＝0.解得r ＝1或r ＝7. 所以点M 的坐标为(1,0)或(7,0)．8．在极坐标系中，若等边△ABC 的两个顶点的坐标是A ⎝⎛⎭⎫4，π4，B ⎝⎛⎭⎫4，5π4，求顶点C 的坐标．解：如图，由A ，B 两点坐标得A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．因为AB ＝8，△ABC 为正三角形，所以OC ＝43，∠AOC ＝π2，C对应的极角θ＝π4＋π2＝3π4或θ＝2π－π4＝7π4，所以点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫43，3π4或⎝⎛⎭⎫43，7π4.。
课题：2、极坐标与直角坐标的互化教学目的：知识目标：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式能力目标：会实现极坐标和直角坐标之间的互化德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.三．举例应用：例1．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离 例2.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1) 已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2) 已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2))4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例3.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.变式训练在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、巩固与练习：课后练习五、小 结：本节课学习了以下内容：1．极坐标与直角坐标互换的前提条件；2．互换的公式；3．互换的基本方法。
