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四柱坐标系与球坐标系简介1．柱坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组(ρ，θ，z )(z ∈R)表示，这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z )之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ，θ，z )，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z ∈R.(2)空间任意一点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z.2．球坐标系(1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点，连接OP ，记|OP |＝r ，OP 与Oz 轴正向所夹的角为φ，设P 在Oxy 平面上的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P 的位置就可以用有序数组(r ，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r ，φ，θ)之间建立了一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r ，φ，θ)叫做点P 的球坐标，记作P (r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.(2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ.[例1] (1)设点A 的直角坐标为(1，3，5)，求它的柱坐标． (2)已知点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用变换公式求解．[解] (1)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得ρ2＝x 2＋y 2，z ＝z ，即ρ2＝12＋(3)2＝4，∴ρ＝2. tan θ＝yx ＝3，又x ＞0，y ＞0.∴θ＝π3，∴点A 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，5. (2)由变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得x ＝4cos π3＝2，y ＝4sin π3＝23，z ＝8.∴点P 的直角坐标为(2,23，8)．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可设点的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z求ρ，也可利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx 求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的值；同理，可由柱坐标转化为直角坐标.1．已知点M 的直角坐标为(0,1,2)，求它的柱坐标． 解：ρ＝x 2＋y 2＝02＋12＝1.∵x ＝0，y ＞0，∴θ＝π2，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2，2. 2．将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，1；(2)⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2；(3)()1，π，0. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫2，π6，1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，z ＝1，∴(3，1,1)为所求．(2)∵(ρ，θ，z )＝⎝⎛⎭⎫6，5π3，－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝6cos 5π3＝3，y ＝ρsin θ＝6sin 5π3＝－33，z ＝－2，∴(3，－33，－2)为所求．(3)∵(ρ，θ，z )＝(1，π，0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝cos π＝－1，y ＝ρsin θ＝sin π＝0，z ＝0，∴(－1,0,0)为所求.[例2] (1)已知点P 的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4， π4，求它的直角坐标； (2)已知点M 的直角坐标为(－2，－2，－22)，求它的球坐标． [思路点拨] 直接套用坐标变换公式求解． [解] (1)由坐标变换公式得， x ＝r sin φcos θ＝4sin3π4cos π4＝2， y ＝r sin φsin θ＝4sin 3π4sin π4＝2，z ＝r cos φ＝4cos 3π4＝－22，故其直角坐标为(2,2，－22)． (2)由坐标变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－2)2＋(－2)2＋(－22)2＝4. 由r cos φ＝z ＝－22，得cos φ＝－22r ＝－22，φ＝3π4. 又tan θ＝y x ＝1，则θ＝5π4(M 在第三象限)，从而知M 点的球坐标为⎝⎛⎭⎫4，3π4，5π4.由直角坐标化为球坐标时，可设点的球坐标为(r ，φ，θ)，利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，φ，θ即可；也可以利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝y x ，cos φ＝zr来求．要特别注意由直角坐标求球坐标时，要先弄清楚φ和θ所在的位置．3．将下列各点的球坐标分别化为直角坐标． (1)⎝⎛⎭⎫2，π6，π3；(2)⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3. 解：设点的直角坐标为(x ，y ，z )． (1)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫2，π6，π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝2sin π6cos π3＝12，y ＝r sin φsin θ＝2sin π6sin π3＝32，z ＝r cos φ＝2cos π6＝3，∴⎝⎛⎭⎫12，32，3为所求．(2)∵(r ，φ，θ)＝⎝⎛⎭⎫6，π3，2π3， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝6sin π3cos 2π3＝－332，y ＝r sin φsin θ＝6sin π3sin 2π3＝92，z ＝r cos φ＝6cos π3＝3，∴⎝⎛⎭⎫－332，92，3为所求．4．求下列各点的球坐标．(1)M (1，3，2)；(2)N (－1,1，－2)． 解：(1)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(3)2＋22＝2 2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝222＝22，∴φ＝π4，又tan θ＝y x ＝31＝3，x ＞0，y ＞0，∴θ＝π3，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，π4，π3. (2)由变换公式得，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝(－1)2＋12＋(－2)2＝2. 由z ＝r cos φ，得cos φ＝z r ＝－22，∴φ＝3π4.又tan θ＝y x ＝1－1＝－1，x ＜0，y ＞0，∴θ＝3π4，∴它的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，3π4，3π4.一、选择题1．在球坐标系中，方程r ＝2表示空间的( ) A ．球 B ．球面 C ．圆D ．直线解析：选B r ＝2，表示空间的点到原点的距离为2，即表示球心在原点，半径为2的球面．2．设点M 的直角坐标为(－1，－3，3)，则它的柱坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，π3，3 B.⎝⎛⎭⎫2，2π3，3 C.⎝⎛⎭⎫2，4π3，3 D.⎝⎛⎭⎫2，5π3，3 解析：选C ρ＝(－1)2＋(－3)2＝2，∵tan θ＝y x ＝3，x <0，y <0，∴θ＝4π3，又z＝3，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，4π3，3. 3．若点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫8，π3，5π6，则它的直角坐标为( ) A ．(－6,23，4) B ．(6,23，4) C ．(－6，－23，4)D ．(－6,23，－4)解析：选A 由x ＝8sin π3cos 5π6＝－6，y ＝8sin π3sin 5π6＝23，z ＝8cos π3＝4，得点M 的直角坐标为(－6,23，4)．4．若点M 的直角坐标为(3，1，－2)，则它的球坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6 B.⎝⎛⎭⎫22，π4，π6C.⎝⎛⎭⎫22，π4，π3D.⎝⎛⎭⎫22，3π4，π3 解析：选A 设M 的球坐标为(r ，φ，θ)，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π，则r ＝(3)2＋12＋(－2)2＝22， 由22cos φ＝－2得φ＝3π4， 又tan θ＝13＝33，x >0，y ＞0，得θ＝π6，∴点M 的球坐标为⎝⎛⎭⎫22，3π4，π6.故选A. 二、填空题5．点P 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫4，π6，3，则点P 到原点的距离为________． 解析：x ＝ρcos θ＝4cos π6＝23，y ＝ρsin θ＝4sin π6＝2.即点P 的直角坐标为(23，2,3)，其到原点的距离为(23－0)2＋(2－0)2＋(3－0)2＝25＝5.答案：56．点M (－3，－3,3)的柱坐标为________． 解析：ρ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋(－3)2＝32，∵tan θ＝－3－3＝1，x <0，y <0，∴θ＝5π4，∴点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫32，5π4，3. 答案：⎝⎛⎭⎫32，5π4，3 7．已知点M 的直角坐标为(1,2,3)，球坐标为(r ，φ，θ)，则tan φ＝________，tan θ＝________.解析：如图所示，tan φ＝x 2＋y 2z ＝53，tan θ＝y x ＝2.答案：532 三、解答题8．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，求点M 的柱坐标与球坐标． 解：由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2， ∵tan θ＝y x ＝1，x >0，y >0，∴θ＝π4.r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2. 由r cos φ＝z ＝2(0≤φ≤π)，得cos φ＝2r ＝22，φ＝π4. 所以点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，2，球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π4. 9．已知点M 的柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，3，点N 的球坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，π2，求线段MN 的长度． 解：设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，由变换公式得，x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1，z ＝3，∴点M 的直角坐标为(1,1,3)，设点N 的直角坐标为(a ，b ，c )， 则a ＝ρsin φ·cos θ＝2×22×0＝0，b ＝ρsin φ·sin θ＝2×22×1＝2，c ＝ρcos φ＝2×22＝2，∴点N 的直角坐标为(0，2，2)．∴|MN |＝12＋(1－2)2＋(3－2)2＝15－8 2.10.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，如图所示建立空间直角坐标系A -xyz ，以Ax 为极轴．求点C 1的直角坐标，柱坐标以及球坐标．解：点C 1的直角坐标为(1,1,1)，设点C 1的柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，其中ρ≥0，r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π，由坐标变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝z r ，得⎩⎨⎧ρ＝2，tan θ＝1，且⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，cos φ＝33.结合图形，得θ＝π4，由cos φ＝33得tan φ＝ 2.所以点C 1的直角坐标为(1,1,1)，柱坐标为⎝⎛⎭⎫2，π4，1，球坐标为⎝⎛⎭⎫3，φ，π4，其中tan φ＝2，0≤φ≤π.。
选修4-4 极坐标系课时作业一、选择题1．在极坐标系中，点M (－2，π6)的位置，可按如下规则确定( ) A ．作射线OP ，使∠xOP ＝π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 B ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6OP 上取点M ，使|OM |＝2 C ．作射线OP ，使∠xOP ＝7π6，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2 D ．作射线OP ，使∠xOP ＝－π6，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2 解析：当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置按下列规定确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的反向延长线上取|OM |＝|ρ|，则点M 就是坐标(ρ，θ)的点．答案：B2．在极坐标平面内，点M (π3，200π)，N (－π3，201π)，G (－π3，－200π)，H (2π＋π3，200π)中互相重合的两个点是( )A ．M 和NB ．M 和GC ．M 和HD ．N 和H解析：由极坐标定义可知，M 、N 表示同一个点．答案：A3．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，则点M 1(ρ1，θ1)与点M 2(ρ2，θ2)的位置关系是( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可知点(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)满足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，是关于极轴所在直线对称．答案：A4．已知极坐标平面内的点P (2，－5π3)，则P 关于极点的对称点的极坐标与直角坐标分别为( )A ．(2，π3)，(1，3)B ．(2，－π3)，(1，－3)C ．(2，2π3)，(－1，3)D ．(2，－2π3)，(－1，－3) 解析：点P (2，－5π3)关于极点的对称点为(2，－5π3＋π)， 即(2，－2π3)，且x ＝2cos (－2π3)＝－2cos π3＝－1， y ＝2sin (－2π3＝－2sin π3＝－ 3. 答案：D二、填空题5．限定ρ>0,0≤θ<2π时，若点M 的极坐标与直角坐标相同，则点M 的直角坐标为________．解析：点M 的极坐标为(ρ，θ)，设其直角坐标为(x ，y )，依题意得ρ＝x ，θ＝y ，即x 2＋y 2＝x 2.∴y ＝θ＝0，ρ>0，∴M (ρ，0)．答案：(ρ，0)6．已知极坐标系中，极点为O,0≤θ<2π，M (3，π3)，在直线OM 上与点M 的距离为4的点的极坐标为________．解析：如图所示，|OM |＝3，∠xOM ＝π3，在直线OM 上取点P 、Q ，使|OP |＝7，|OQ |＝1，∠xOP ＝π3，∠xOQ ＝4π3，显然有|PM |＝|OP |－|OM |＝7－3＝4，|QM |＝|OM |＋|OQ |＝3＋1＝4.答案：(7，π3)或(1，4π3) 7．直线l 过点A (3，π3)，B (3，π6)，则直线l 与极轴夹角等于________． 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6， 所以∠OAB ＝π－π62＝5π12. 所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4. 答案：π48．已知点M 的极坐标为(5，θ)，且tan θ＝－43，π2<θ<π，则点M 的直角坐标为________． 解析：∵tan θ＝－43，π2<θ<π， ∴cos θ＝－35sin θ＝45∴x ＝5cos θ＝－3，y ＝5sin θ＝4.∴点M 的直角坐标为(－3,4)．答案：(－3,4)三、解答题9．设点A (1，π3)，直线L 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求出点A 关于极轴，直线L ，极点的对称点的极坐标(限定ρ＞0，－π＜θ≤π)解：如图所示：关于极轴的对称点为B (1，－π3) 关于直线L 的对称点为C (1，2π3)． 关于极点O 的对称点为D (1，－2π3)． 10．已知点P 的直角坐标按伸缩变换îíìx ′＝2x y ′＝3y变换为点P ′(6，－3)，限定ρ>0,0≤θ≤2π时，求点P 的极坐标．解：设点P 的直角坐标为(x ，y )， 由题意得îíì 6＝2x －3＝3y ，解得îíì x ＝3，y ＝－ 3. ∴点P 的直角坐标为(3，－3)．ρ＝32＋(－3)2＝23，tan θ＝－33， ∵0≤θ<2π，点P 在第四象限，∴θ＝11π6. ∴点P 的极坐标为(23，11π6)． 11．(创新预测题)在极轴上求与点A (42，π4)的距离为5的点M 的坐标． 解：设M (r,0)，因为A (42，π4)，所以(42)2＋r2－82r·cos π4 5.即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7. 所以M点的坐标为(1,0)或(7,0)．。
二极坐标系[对应学生用书P5]1．极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．(3)极坐标与直角坐标的区别与联系2．极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．(2)互化公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).[对应学生用书P5][例1] 已知点 (1)点P 是点Q 关于极点O 的对称点； (2)点P 是点Q 关于直线θ＝π2的对称点．[思路点拨] 确定一点的极坐标关键是确定它的极径和极角两个量，为此应明确它们的含义．[解] (1)由于P ，Q 关于极点对称，得极径|OP |＝|OQ |，极角相差(2k ＋1)π(k ∈Z)．所以点P 的极坐标为(ρ，(2k ＋1)π＋θ)或(－ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)．(2)由P ，Q 关于直线θ＝π2对称，得它们的极径|OP |＝|OQ |，点P 的极角θ′满足θ′＝π－θ＋2k π(k ∈Z)， 所以点P 的坐标为(ρ，(2k ＋1)π－θ)或(－ρ，2k π－θ)(k ∈Z)．设点M 的极坐标是(ρ，θ)，则M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．1．与极坐标⎝⎛⎭⎫－2，π6不表示同一个点的极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，7π6 B.⎝⎛⎭⎫2，－7π6C.⎝⎛⎭⎫－2，－11π6 D.⎝⎛⎭⎫－2，13π6解析：选B 根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2k π＋θ)(k ∈Z)，(－ρ，2k π＋π＋θ)(k ∈Z)在极坐标系中表示同一个点，可知只有⎝⎛⎭⎫2，－7π6与⎝⎛⎭⎫－2，π6表示的不是同一个点的极坐标．另外，也可画出点⎝⎛⎭⎫－2，π6在极坐标系中的位置，如图所示，对照各选项进行检验． 2．在极坐标系中，点A 的极坐标是⎝⎛⎭⎫3，π6，求点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标(规定ρ>0，θ∈[0,2π))．解：作出图形，可知A ⎝⎛⎭⎫3，π6关于直线θ＝π2的对称点是⎝⎛⎭⎫3，5π6.[例2] (1)把点A 的极坐标⎝⎭⎫2，7π6化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(1，－3)化成极坐标(ρ>0，θ∈[0,2π))． [思路点拨] 依据极坐标与直角坐标互化的公式解题． [解] (1)设A (x ，y )，则x ＝2cos 7π6＝－3，y ＝2sin 7π6＝－1，故点A 的直角坐标为(－3，－1)． (2)ρ＝12＋(－3)2＝2，tan θ＝－31＝－ 3. 又因为点P 在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝5π3.因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎫2，5π3.(1)极坐标和直角坐标互化的前提条件有三，即极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，有相同的长度单位，三者缺一不可．(2)熟记互化公式，必要时可画图来分析．3．分别把下列点的极坐标化为直角坐标．(1)⎝⎛⎭⎫2，π6；(2)⎝⎛⎭⎫3，π2；(3)⎝⎛⎭⎫4，2π3；(4)(π，π)；(5)(6,2)． 解：(1)∵x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sin π6＝1，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π6化为直角坐标为(3，1)． (2)∵x ＝ρcos θ＝3cos π2＝0，y ＝ρsin θ＝3sin π2＝3，∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫3，π2化为直角坐标为(0,3)． (3)∵x ＝ρcos θ＝4cos 2π3＝－2， y ＝ρsin θ＝4sin2π3＝23， ∴点的极坐标⎝⎛⎭⎫4，2π3化为直角坐标为(－2,23)． (4)∵x ＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y ＝ρsin θ＝πsin π＝0， ∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0)． (5)∵x ＝ρcos θ＝6cos 2，y ＝ρsin θ＝6sin 2， ∴点的极坐标(6,2)化为直角坐标为(6cos 2,6sin 2)． 4．若以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)已知点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫4，5π3，求它的直角坐标； (2)已知点B 和点C 的直角坐标为(2，－2)和(0，－15)，求它们的极坐标(ρ＞0，θ∈[0,2π))． 解：(1)∵x ＝ρcos θ＝4cos 5π3＝2.y ＝ρsin θ＝4sin 5π3＝－2 3.∴点A 的直角坐标为(2，－23)． (2)∵ρ＝x 2＋y 2＝22＋(－2)2＝22， tan θ＝－22＝－1，且点B 位于第四象限内，∴θ＝7π4，∴点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4. 又∵x ＝0，y ＜0，∴ρ＝15，θ＝3π2. ∴点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎫15，3π2.一、选择题1．已知点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，11π6 B.⎝⎛⎭⎫－2，7π6 C.⎝⎛⎭⎫2，－π6 D.⎝⎛⎭⎫－2，－11π6 解析：选B 在极坐标系中，描点⎝⎛⎭⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，再在其反向延长线上找到离极点2个单位长度的点，即为点⎝⎛⎭⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝⎛⎭⎫－2，－π6关于直线θ＝π2对称的点为⎝⎛⎭⎫2，π6，但选项中没有此点，⎝⎛⎭⎫2，π6还可以写成⎝⎛⎭⎫－2，7π6，故选B. 2．点M 的直角坐标为(－3，－1)，化为极坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫2，5π6 B.⎝⎛⎭⎫2，7π6 C.⎝⎛⎭⎫2，11π6 D.⎝⎛⎭⎫2，π6 解析：选B ∵点M 的直角坐标为(－3，－1)，∴ρ＝(－3)2＋(－1)2＝2，又点M 位于第三象限，且tan θ＝－1－3＝33，∴可取θ＝7π6，故选B.3．极坐标系中的点A ⎝⎛⎭⎫2，π3到圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心的距离为( ) A ．2 B ．1 C ．3D. 3解析：选D 点A 的极坐标⎝⎛⎭⎫2，π3化为直角坐标为(1，3)，圆x 2＋y 2－2x ＝0的圆心为(1,0)，由两点间的距离公式得所求距离为 3.4．在复平面内，设点P 对应的复数为1＋i ，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫2，π4B.⎝⎛⎭⎫－2，3π4 C.⎝⎛⎭⎫1，34π D.⎝⎛⎭⎫－1，π4 解析：选A 设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)， ∵点P 的直角坐标为(1,1)， ∴ρ＝|OP |＝2，θ＝π4，故选A.二、填空题5．极点的极坐标为________．解析：因为极点对应的极径为0，极角为任意角，所以极点的极坐标为(0，θ)(θ∈R)． 答案：(0，θ)(θ∈R)6．在极坐标系中，已知A ⎝⎛⎭⎫1，3π4，B ⎝⎛⎭⎫2，π4两点，则|AB |＝________. 解析： |AB |＝ 12＋22－2×1×2cos ⎝⎛⎭⎫3π4－π4＝ 5.答案： 57．直线l 过点A ⎝⎛⎭⎫3，π3，B ⎝⎛⎭⎫3，π6，则直线l 与极轴夹角的大小为________．解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小．因为|AO |＝|BO |＝3，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以∠OAB ＝π－π62＝5π12，所以∠ACO ＝π－π3－5π12＝π4.答案：π4三、解答题8．在极轴上求与点A ⎝⎛⎭⎫42，π4的距离为5的点M 的坐标．解：设M (r,0)，因为A ⎝⎛⎭⎫42，π4， 所以(42)2＋r 2－82r ·cos π4＝5，即r 2－8r ＋7＝0. 解得r ＝1或r ＝7.所以M 点的坐标为(1,0)或(7,0)．9．(1)已知点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫3，－π4，B ⎝⎛⎭⎫2，4π3， C⎝⎛⎭⎫32，3π2，D ⎝⎛⎭⎫6，7π4，求它们的直角坐标．(2)已知点的直角坐标分别为A (6，2)，B ⎝⎛⎭⎫0，－63， C ()－6，－2，求它们的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)． 解：(1)根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得A⎝⎛⎭⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝⎛⎭⎫0，－32，D (32，－32)．(2)根据ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx，得A ⎝⎛⎭⎫22，π6，B ⎝⎛⎭⎫63，3π2，C ⎝⎛⎭⎫22，7π6. 10．在极坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A ⎝⎛⎭⎫2，π3，B (2，π)，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3. (1)判断△ABC 的形状； (2)求△ABC 的面积．解：(1)如图，由A ⎝⎛⎭⎫2，π3， B ()2，π，C ⎝⎛⎭⎫2，5π3，得|OA |＝|OB |＝|OC |＝2，∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝2π3. 所以△AOB ≌△BOC ≌△AOC ， 所以|AB |＝|BC |＝|CA |， 故△ABC 为等边三角形． (2)由上述可知，|AC|＝2|OA|sin π3＝2×2×32＝2 3.所以S△ABC＝12×23×23×32＝3 3.。
