当前位置：文档之家 › 《电动力学》第7讲§2.1静电场的标势

《电动力学》第7讲§2.1静电场的标势

  • 格式：ppt
  • 大小：573.00 KB
  • 文档页数：59

下载文档原格式

  / 59

合集下载

第二章 静电场

第二章 静电场

一、静电场的标势
dz
ln( z z 2 R 2 )
40 z 2 R 2 40
由高斯定理得
E
2 0r
er
一、静电场的标势
(P ) (P0)
P0 E dl
P
R0 dr ln R0 ln R
R 20 r 20 R 20 R0
若取P0点为参考点，即规定 (P0 ) 0 ，则 (P ) ln R 20 R0
二、静电场的微分方程和边值关系
对于静电场来说，求电势分布时，可以解 满φ足 的微分方程，但是要把 唯φ一确定下来，还必须知
道初始条件和边界条件。
二、静电场的微分方程和边值关系 在均匀各向同性的线性电介质中，
D E, E
D ρ
(E ) ()
2 /
称为泊松(Poisson)方程.
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
1 2
(D )dV
V (D)dV SD dS
W
1 2
dV
（1.14）
三、静电场的总能量
W
1 2
dV
（1.14）
值得说明的是： ① （1.14）式表明，能量只与存在电荷分布的空间
有关，但并不是只有电荷分布的区域才有能量。
三、静电场的总能量
W
1 2
V
dV
取导体为介质1，介质为介质2。
φ1 ＝常量（即导体为等势体）
2
2
n
二、静电场的微分方程和边值关系
常量
（1.11a）
n
（1.12a）
导体为介质1，介质为介质2，n 的方向由导体指向 介质。
三、静电场的总能量
W
1 2

静电场

静电场

1Q (1
2
)a
2
，
2

D2r

2Q 2 (1 2 )a2
问：为什么内球面上面电荷分布不对称，而场强却能保持球对称？
补充题：平行板电容器充满电容率为的均匀介质，介质中
均匀分布着体密度为的电荷，两板间距为d，电势差为U
，
0
现有三人计算出电容器中的电势分布为： d
1

S
n
S
，以及每个导体的电势i
（第一类问题的唯一性定理）或给定每个
Si
导体上的总电荷Qi
（第二类问
Si
题
的
唯
一
性定
理
）
，
则V
中的电场
有
唯一的解。
证明：(第一类)采取反证法，假定解不唯一，有二不同
的解，然后证明二 解相等。
设1，2都是解，则有： 21 2 2



在电磁学和电磁场理论书籍中，常常把
1
2
Q 边值关系叫边界条件，但二者一般情况
1
2 S
下是不同的。边值关系反映的是在所研 究区域内场方程在分界面上的体现；边
界条件反映的是区域边界外的电荷对区
域内的影响。
静电场的能量
在均匀各向同性线性介质中，静电场的能量为
W

1 2

E D dV
静电场的特点
① J 0

② E, B, , P 等均与时间无关


③不考虑永久磁体（M 0） ④ B H 0



（ H 0, B 0 ，H B 0 为唯一解）

2.1静电场的标势及其微分方程.

2.1静电场的标势及其微分方程.

ˆ ( E E ) 0 n 2 1 ˆ ( D D ) n 2 1
由此，可导出电势所满足的边值关系：
结束
第二章∶静电场
任意两种介质分界面情况
在界面两边附近任取 h 2 两点P1和P2 ，它们与界面 h1 距离分别为h1和h2 ，则 P1 1
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
2、静电势的微分方程
(differential equation of electrostatic potential)
如果电荷周围有导体，那么物理机制为：
给定电荷分布 求空间一点 电场分布 感 应电荷分布 而场引起导体上 而感应电荷分布反过来引起
为简化问题，可把电荷和电场相互作用规律用 微分方程描写，而把周围导体或介质作为边界条件 处理。这样把求解静电场问题转化为解一定边界条 件下的微分方程问题。因是标量，求解的微分方 程比直接求解电场强度要简单。
第二章∶静电场
第二章
静电场
Electrostatic field
结束
第二章∶静电场
本章研究的主要问题是：在给定的自由电荷分 布以及周围空间介质和导体分布的情况下，如 何求解电场。静电问题一般通过静电势求解。 静电场的特点
① H B 0 Jf 0 ② E, D, P, , 等均与时间无关。

015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程

015-2第2章 静电场-1-静电场的标势及其微分方程

₪静电场1.静电场的标势2.静电势的微分方程和边值关系3.静电场能量静电场2.1静电场的标势及其微分方程第2章₪静电场1.静电场的标势(２) 电标势的定义根据静电场无旋性，电场中任一闭合回路L 的环量等于零，C1、C 2是点a 到点b 的两条不同路径 1212d 0d d 0d d 功与路径无关L C C C C b a E l E l E l E l E l b a E dlC 1C 2a bL₪静电场1.静电场的标势(4) 电势参考点在有限的电荷分布于有限区域的情况下，可以选择无穷远处作为零电势参考点，则每一点的电势实际是该点与无穷远点的电势差，因而是有确定的物理意义的。

=PPP P E dl E dl1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取1.有限电荷分布于有限自由空间的情况，选取无穷远处作为零电势参考点；2.对于接地的带电体，选取地球或者接地处、或者接地的导体，作为零电势的参考点、或者参考面、或者参考体；QQ₪静电场₪静电场1.静电场的标势(5) 零电势参考点的选取3.对于电路而言，选取地线为零电势参考线；4.对于无限电荷分布于无限空间，根据题目条件选取参考点。

0地线火线零线拉线开关三孔插座₪静电场1.静电场的标势(6)电势与电场的关系PP E dl E 电势与电场可以由上面两个式子共同决定，相互制约的。

可以看出，只要确定电场分布或者电势的其中一个物理量，另外一个物理量就可以确定。

而且电场强度的方向是电势梯度方向（电势改变最快的方向）。

1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明1.引入电势的优点：如果知道电势，只需要通过计算梯度，即可求出电场强度矢量。

这说明电势和电场强度矢量所包含的信息量是一样的，但是电场强度矢量有三个分量，而电势只是一个标量，因此通过引入电势这个量，可以将矢量问题约化为标量问题。

₪静电场₪静电场1.静电场的标势(７)关于电势的五点说明3.参考点的选择是任意的，选择不同的参考点电势会增加一个常数K ，K 是电场强度矢量在两个参考点之间的线积分。

静电场的标势及其微分方程

静电场的标势及其微分方程

布的空间，更不能认为存储于电荷；
只是对于静电场，能量才可表为
W
1 2
dV
这表明电场能量与电荷分布有关 。
对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量 不能完全通过电荷分布来表示。
8
(P)(O)PE dlE 0r
O
设坐标原点O 的电势为零
(P)E 0r
均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。
导线单位长度带有电荷为t, 在P 点
i si
S
第一种情形：给定外表面上电势
SSS0 上式左端积分为零。
第二种情形：给定外表面处法向微商
0 nS nS nS
上式左端积分也为零。
14
i 2 d V 0 c o n s t. i V i
电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。
第一类：给定导体表面上的
i
n
或 i
第二类：给定导体上的电荷 Q i
1
E0Rcos
n
bn Rn1
Pncos
2 n cnRnPncos
23
➢ 在介质球表面处，电势满足
1
2
0
1 n
2 n
E0R0P1n
0E0P10
Rb0nn1Pn n cnR0nPn
n
(n1)bn R0n2
Pn
n
nncR0n1Pn
勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n 值，
40
Mli mln11
1R/ M2 1R0 /M2
R2 R02
（利用了洛比 达法则）
R2 R
40
lnR02
20
ln R0
设P0点为电势零点
(P) ln R

静电场的标势及其微分方程

静电场的标势及其微分方程

介质的电磁性质方程：Dv
v E
2
§2.1 静电场的标势及其微分方程
1、静电场的标势
静电场的Maxwell方程为：
v
D
v E 0
自由电荷分布
是电位移
v D
的源
静电场是无旋场
➢静电场的无旋性表明电场沿任意闭合回路L的环量等于零
vv
Ñ L E dl 0
蜒 v v v v
E dl E dl 0
v D
vv
对于各向同性线性均匀介质有： D E
v E
v
E
2
Poisson方程，静电势满足的基本 微分方程
7
讨论： (1) Poisson方程的求解，必须给定边界条件。
2
(2) 若介质为不同类型的均匀介质组成，则对于每种介质，建立 Poisson方程，而在介质分界面上建立合适的边值关系以及边界条件。
➢ 导体内部不带净电荷，净电荷只能分布于导体表面上
由高斯定理
S E dS
q
0
可知，q=0
➢ 导体表面上电场必沿法线方向，导体表面为等势面，整
个导体为等势体
由
v E
可知，
为常量，因而是等势体；如果导体表面上的电场
不沿法线方向，则必有切向分量，因而电荷将沿切线方向移动
11
3）导体表面的边值关系
2 S12 常数
静电场
静电场的基本特点：
电荷静止
v J
vv
0
场量不随时间变化 物理量 =0
t
静电场的基本问题：
给定自由电荷的分布，以及周围空间介质或 导体的分布，运用电磁场理论求解带电体系 的电场。
1
解决静电问题的基本方程：

2.1静电场的标势及其微分方程.

结束导体内外表面0fnteee????????电荷分布在表面上电场处处垂直于导体表面电荷分布在表面上电场处处垂直于导体表面00fje?????0edp????????????0000210211epfppfdeppeedepnppnee???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????第二章
2 1 2 1
p1 1
P'1 1
1 2 2 1
1 E1 l , 1
l
2 E 2 l 2
E1 l E2 l
即得
E1t E 2 t
结束
第二章∶静电场
A
f
因而相距为
dl 两点的电势差为
d E dl
结束
第二章∶静电场
又
d dx dy dz dl x y z
所以
E
既：电场强度是电势的负梯度。 讨论 空间某点电势无物理意义，只有两点的电势差才有 物理意义。电势差的意义为电场力将单位正电荷从P1 移到P2点所作功负值。
若在无源区域内（ =0 ），上式化为
0
2
此方程称为拉普拉斯方程（Laplace's equation)
结束
第二章∶静电场
3、用静电势表示的边值关系
在求解电势 的微分方程时，如果求解区域内 存在多种介质，则需要知道两介质交界面两侧的电 势之间的关系—即电势的边值关系。 在介质的分界面上，电场满足的边值关系为
电荷分布在表面上，电场 处处垂直于导体表面

静电场的标势及其微分方程


于标势梯度的模长，即$F = |mathbf{nabla} varphi|$。
03
电场分布
通过求解拉普拉斯方程可以得到静电场的分布情况，进而得到电场中各
点的电场强度和电势。
03
静电场的微分方程
微分方程的推导
通过高斯定理和库仑定律推导 得到静电场的微分方程。
高斯定理表明，在静电场中， 穿过任意闭合曲面的电场线 数等于该闭合曲面所包围的
边界条件的物理意义
01
边界条件的物理意义在于限制静电场中电荷分布的可能性和标 势函数的取值范围。
02
Dirichlet边界条件限制了标势函数在边界上的取值，而
Neumann边界条件限制了电荷分布的允许范围。
这些限制条件对于确定静电场的分布和性质具有重要意义。
03
05
静电场的标势的应用
在电场力分析中的应用
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
在推导过程中，利用了静电场的无源性和有界性，以及标势 函数的定义和性质。
边界条件的形式
边界条件的形式包括Dirichlet边界条 件和Neumann边界条件，分别表示 标势函数在边界上的值和法向导数的 值。
Dirichlet边界条件要求标势函数在边 界上取特定值，而Neumann边界条 件要求标势函数的法向导数在边界上 取特定值。
线性性
电场强度与产生电场的电荷量成正比，与距 离的平方成反比，满足线性关系。
环路定理
电场强度沿任意闭合路径的线积分等于零， 说明静电场是无旋场。
02
静电场的标势
标势的定义
标势
在静电场中，如果一个标量函数$varphi(mathbf{r})$满足拉普拉斯方程 $nabla^2varphi = 0$，并且满足一定的边界条件，则称其为静电场的标势。

1第二章-静电场

（3）球壳带总电荷Q，因而

1 R2d
2 R2d Q
RR3 R
RR2 R
0
由这些边界条件得 a 0，b Q Q1 ，
c Q1 ，d Q1
40 40
4 0 R1
4 0
其中
Q1


R11

R31 R21

R31
Q
利用这些值，得电势的解
若问题具有球对称性
a b
R
2. 柱坐标一般用于二维问题
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
而 d dl dx dy dz
x y z
所以 E
由以上讨论可知，若空间中所有电荷分布都
给定，则电场强度和电势均可求出。但实际情况
往往并不是所有电荷都能预先给定，因此，必须
求电荷与电场相互作用的微分方程。
二、静电势的微分方程和边值关系
1. 泊松（Poisson)方程
) cos
m

n,m
(cnm R n

dnm R n 1
)Pnm (cos ) sin
m
anm, bnm, cnm, dnm为积分常数，在具体问题中由边 界条件确定。
若问题具有轴对称性，取此轴为极轴，通解为

n
(an Rn

bn R n 1
)Pn
(cos

)
其中 P0 cos 1， P1cos cos，

2.1静电场的标势及其微分方程


总结静电场的能量表达式 1. 一般方程： 能量密度
1 w ED 2
1 总能量 W E DdV 2 2. 若已知 , 总能量为 1 W dV 2 V

1 不是能量密度 2
由 E 和 D 得 E D D (D) D (D)
因此 即
1 1 W d (D)d 2 2
1 1 W d D ds 2 2 s
例题
0
0 P 0 ( P) E dl E0 dl E0 dl E0 R
0 P P 0
( P) 0 E0 R( 0 E0 Z 0 E0 R cos )
2. 电偶极子产生的电势
Q P
P
Q
0
所以 即
P Q
1 S 2
S
此式可以代替
（2）另一边值关系
由于
结合 E
n ( D2 D1 )
D E
2 2 n
因此，在两种不同介质的 分界面上，电势满足的
S
1 1 n

S
关系为
2 S 1 S 2 1 1 2 n S n
Q P
Q
Pபைடு நூலகம்
E dl
① 电场力作正功，电势下降 ( Q P ) 电场力作负功，电势上升 ( Q P )
② 两点电势差与作功的路径无关 ( E dl 0) L
3. 电势零点的选择 （1）电荷分布在有限区域， 通常选无穷远为电势 参考点 0 (Q )
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

gE / 0
引入： E
则有：
2 0
25
山东大学物理学院 宗福建
静电势的微分方程
E 2
0
ρ为自由电荷密度。 上式是静电势满足的基本微分方程，称为泊松
（Poisson）方程。 给定边界条件就可以确定电势 的解。
山东大学物理学院 宗福建
(P2) (P1)
P1 E dl P2 E dl
P2
P1
18
山东大学物理学院 宗福建
静电场的标势
由定义，只有两点的电势差才有物理意义，一点上的 电势的绝对数值是没有物理意义的。
因此，电场强度E 等于电势 的负梯度
E
19
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
C1
C2
16
山东大学物理学院 宗福建
静电场的标势
因此，电荷由P1点移至P2点时电场对它所作的 功与具体路径无关,只和两端点有关。
把单位正电荷由P1点移至P2点，电场E对它所 作的功为
W P2 E dl P1 17
静电场的标势
这功的定义为P1点和P2点的电势差。 若电场对电荷作了正功，则电势 下降。由此，
无旋性的积分形式是电场沿任意闭合回路的
环量等于零，
Ñ E dl 0
15
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
设C1和C2为由P1点到P2点的任意两条不同路径。 C1与−C2合成闭合回路，因此
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl 0
C1
C2
E dl E dl
P P2n P1n f P 0 (E2n E1n )
B2n B1n
山东大学物理学院 宗福建
6
切向分量的跃变
f H2t H1t M M 2t M1t f M (B2t B1t ) / 0
E1t E2t
山东大学物理学院 宗福建
7
矢量形式
n (E2 E1) 0 n (H2 H1) α
Qr
E 4
0 r3
其中r为源点到场点的距离。把此式沿径向由
场点到无穷源Biblioteka 积分，把积分变数写为r'，
得
(r)
r
4
Q 0r2
dr
1
4
Q 0r
21
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
由电场的叠加性，多个电荷激发的电势 等
于每个电荷激发的电势的代数和。设有一组
点电荷Qi ，与场点P的距离为ri ，则这组点
但是实际情况往往不是所有电荷分布都能够预先给定 的。
例如，在某一给定电荷附近放着一个导体，则导体表
面上就会产生感应电荷分布，这个电荷分布正是要从
电场与电荷相互作用的规律求出来，而不是预先给定
的。
24
静电势的微分方程
山东大学物理学院 宗福建
真空中Maxwell方程组中，静电场的方程为：
E 0
9
山东大学物理学院 宗福建
LORENTZ 力公式
对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q，速度为υ， 则J等于单位体积内qυ之和。把电磁作用力公式应用 到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力
uv uv v uv F qE qv B
这公式称为洛仑兹力公式。
10
场和电荷系统的能量守恒定律的一般形式
12
山东大学物理学院 宗福建
本讲主要内容
静电场的标势 静电势的微分方程 静电势的边值关系 静电场能量
13
静电场的标势
在静电情况下，电场与磁场无关，麦氏方程组的电场 部分为
E 0
山东大学物理学院 宗福建
gE
0
14
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
静电场的无旋性是它的一个重要特性，由于 无旋性，我们可以引入一个标势来描述静电 场，和力学中用势函数描述保守力场的方法 一样。
uv
uv v
B v
Ñ Egdl
l
uv v
Ñ Bgd l 0
l
I
s
t
gd S uv
00
s
E gd t
v S
ÒsÒsEuvBugvdgdSvSvQ00
Q dV
Vv v
I JgdS S
3
介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：
E B t
H
J
D t
gD
gB 0
电荷激发的电势为
(P)
Qi
i 4 0ri
22
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
若电荷连续分布，电荷密
度为ρ ，设r为由源点x' 到场点x的距离，则场点x
处的电势为
(x)
1
4
0
(x)dV
r
23
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
由上式，假如空间所有电荷分布都给定，电势 就确
定 ，因而电场 E 就完全确定。
《电动力学》第9讲
第二章 静电场(1)
§ 2.1 静电场的标势及其微分方程
教师姓名： 宗福建 单位： 山东大学物理学院
2016年10月9日
MAXWELL方程组
山东大学物理学院 宗福建
uv
uv E
B
t uv
uv B
0
v J
0 0
E t
uv
gE
uv 0
gB 0
2
MAXWELL方程组
山东大学物理学院 宗福建
ng(D2 D1)
ng(B2 B1) 0
山东大学物理学院 宗福建
8
山东大学物理学院 宗福建
LORENTZ 力密度公式
若电荷连续分布，其密度为ρ，则电荷系统单位体积 所承受的力密度 f 为
v uv v uv
f EJB
洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作 用力，因此上式称为洛仑兹力密度公式。
能量守恒的积分形式是
Ñ S
dσ
f
vdV
d dt
wdV
,
山东大学物理学院 宗福建
相应的微分形式为
S f v w . t
11
电磁场能量密度和能流密度表示式
山东大学物理学院 宗福建
Ñ S
dσ
f
vdV
d dt
wdV
,
S w f v. t
S 1 E B,
0
w
1 2
(0E2
1
0
B2 )
只有势的差值才有物理意义。
在实际计算中，为了方便，常常选取某个参考点，规 定其上的电势为零，这样整个空间的电势就单值地确 定了。参考点的选取是任意的，在电荷分布于有限区 域的情况下，常常选无穷点作为参考点。令
(∞)=0， 则
(P) P E dl
20
静电场的标势
山东大学物理学院 宗福建
已知点电荷Q激发的电场强度为
D E B H J E
山东大学物理学院 宗福建
4
积分形式：
Ñ Egdl
l
d dt
S
BgdS
Ñ Hgdl
l
I
d dt
S
DgdS
Ò DgdS Q I＝ JgdS
S
S
Ò
S
BgdS
0 Q＝
V
dV
D E B H J E
山东大学物理学院 宗福建
5
法向分量的跃变
f D2n D1n