第7章 静电场

7-12已知无限长带电直线的电场强度为 ，我们能否利用
并使无限远处的电势为零（ ），来计算“无限长”带电直线附近点 的电势？
解对于电荷分布在有限空间的情况，我们通常取无限远处为参考点，但对于“无限长”带电直导线产生的电场，不能取无限远处为零电势参考点，应该在场内选择一适当的参考点。例如可以取与直导线相距为 处的电势为零。
7-13在电场中，电场强度为零的点，电势是否一定为零？电势为零的点，电场强度是否一定为零？试举例说明。
解电场强度为零的点，电势不一定为零。例如，电荷为 、半径为 的均匀带电球壳内电场强度为零，但壳内各处的电势并不为零，而应与球壳表面的电势相等，大小为 .
电势为零的点，电场强度不一定为零。例如，电偶极子中垂线上电势为零，但电场强度并不为零。
7-9电荷 从电场中的点 移到点 ，若使点 的电势比点 的电势低，而点 的电势能又比点 的电势能要大，这可能吗？说明之。
解可能。电势能是电荷处于电场中所具有的能量，它不仅与两点间电势差有关，还与电荷有关。若电荷 为负，将它从电场中的点 移到点 ，电场力做负功，电势能增加，电荷 在点 的电势能比点 的电势能要大。
解该点电场强度不会改变。因为电场强度反映的是电场本身的性质，它是电场本身的属性，与试验电荷的存在与否无关。
7-3我们分别介绍了静电场的库仑力的叠加原理和电场强度的叠加原理。这两个叠加原理是彼此独立没有联系的吗？
解这两个叠加原理并非彼此独立，而是相互联系的。这两个叠加原理都是矢量叠加原理，电场强度的叠加原理是由库仑力的叠加原理推导而来的。
7-8下列几个带电体能否用高斯定理来计算电场强度？为什么？作为近似计算，应如何考虑呢？（1）电偶极子；（2）长为 的均匀带电直线；（3）半径为 的均匀带电圆盘。
解以上几个带电体都不能用高斯定理来计算电场强度，因为它们在空间的电场分布没有对称性，所以通常用电场强度的叠加原理直接求解。在近似计算中，对于带电直线，当考虑的场点到直线的距离远小于带电直线的长度时，可以利用高斯定理求解；对于均匀带电圆盘，当场点到圆盘的距离远小于圆盘线度时，也可以利用高斯定理求解。
解不能。由 知，穿过曲面的电场强度通量不仅与电场强度的大小有关，而且还与所取的曲面有关。若组成曲面 的各个面积元 的单位法线矢量 与该处的电场强度 之间的夹角均为 ，则 ，但曲面上各点的电场强度 并不为零。
7-6若穿过一闭合曲面的电场强度通量不为零，是否在此闭和曲面上的电场强度一定是处处不为零？
解不一定。如右图为两个等量电荷，穿过闭合曲面 的电场强度通量为 ，但是在曲面上点 处，即两电荷的中心处，电场强度为零。
7-10当我们认为地球的电势为零时，是否意味着地球没有净电荷呢？
解不是，电势为零与是否有静电荷并无直接关系。
7-11在雷雨季节，两带正、负电荷的云团间的电势差可达 ，在它们之间产生闪电通过 的电荷。说明在此过程中闪电所消耗的电能相当于 发电机在多长时间里发出的电能。
解。
7-7一点电荷放在球形高斯面的球心处。试讨论下列情形下电场强度通量的变化情况：（1）若此球形高斯面被一与它相切的正方形表面所代替；（2）点电荷离开球心，但仍在球内；（3）有另一个电荷放在球面外；（4）有另一个电荷放在球面内。
解由高斯定理，通过任一闭合曲面的电场强度通量，等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 . 对于情况(1)、(2)、(3)，面内的电荷代数和没有变，电场强度通量不变。在第（4）种情况中，电场强度通量随面内电荷数改变而改变。
（1）
由上式可得电子运动的动能为
（2）
又电子旋转的角速度
（3）
由（2）（3）式可得电子的旋转频率为
7-3在氯化铯晶体中，一价氯离子 与其最邻近的八个一价铯离子 构成如图所示的立方晶格结构。（1）求氯离子所受的库仑力；（2）假设图中箭头所指处缺少一个铯离子（称作晶格缺陷），求此时氯离子所受的库仑力。
偏离球心的任一点 处的电场强度可以由高斯定律求得，根据球面电荷分布的对称性，我们选取过点 、与带电球同心的球面为高斯面。利用高斯定理有 ，所以在点 处的电场强度也为零。
由上分析可知，在均匀带电的球面内任一点（球心或者偏离球心）处放一点电荷，此电荷受到的合力都为零，都能处于平衡状态。
7-2在电场中某一点的电场强度定义为 ，若该点没有试验电荷，那么该点的电场强度又如何？为什么？
7-14电场中，有两点的电势差为零，如在两点间选一路径，在这路径上，电场强度也处处为零吗？试说明。
解不一定，由 可知，两点间电势差还与路径选择有关。例如匀强电场中，对于垂直电场强度方向的平面上的任意两点电势差为零，但连接这两点的任一路径的电场强度均不为零。
习题
7-11964年，盖尔曼等人提出基本离子是由更基本的跨克构成，中子就是由一个带 的上夸克和两个带 的下夸克构成，将夸克作为经典粒子处理（夸克线度约为 ），中子内的两个下夸克之间相距 ，求它们之间的斥力。
第七章静电场
问题
7-1设电荷均匀分布在一空心均匀带电的球面上，若把另一点电荷放在球心上，这个电荷能处于平衡状态吗？如果把它放在偏离球心的位置上，又将如何呢？
解我们先考虑电荷均匀分布的带电球面在球内的电场强度 的分布情况，由
来判断某处点电荷是否能处于平衡状态。
对于球心 处，由于球面电荷分布均匀，球面上各点的电荷在球心处的电场强度在各个方向上都是均衡的，又由于电场强度为矢量，所以其合矢量为零，
7-4电场线能相交吗？为什么？
解不能相交。由电场线性质可知，电场中任一点的电场强度的方向与此处电场线切线方向。若两条电场线相交，则相对于不同的电场线，相交处的电场强度有不同的方向，而电场中一点的电场强度只能有一个确定的方向，所以电场线不能相交。
7-5如果穿过曲面的电场强度通量 ，那么，能否说此曲面上每一点的电场强度 也必为零呢？
解由题意可知，夸克可视为经典粒子，由库仑定律
7-2质量为 ，电荷为 的电子以圆轨道绕氢核旋转，其初动能为 ，证明电子的旋转频率满足
其中 是真空电容率，电子的运动可视为遵守经典力学定律。
证明由于电子、氢核的大小（ ）远小于圆轨道半径（ ），所以可以将电子和氢核视为点电荷，电子绕氢核作圆周运动的向心力由电子、氢核间的库仑力提供，即