高考数学一轮复习 第2章 第4讲 二次函数与幂函数课时作业 文 新人教B版

§2.4 二次函数与幂函数A 组 专项基础训练 (时间：45分钟)1．如果函数f (x )＝x 2－ax －3在区间(－∞，4』上单调递减，则实数a 满足的条件是( ) A ．a ≥8 B ．a ≤8 C ．a ≥4 D ．a ≥－4答案 A解析 函数图象的对称轴为x ＝a 2，由题意得a2≥4，解得a ≥8.2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象可能是( )答案 C解析若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－b2a<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，因此选C.3．幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<mC．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1答案 D解析 可作直线x ＝2，观察直线x ＝2和各图象交点的纵坐标可知2－1<2n <20<2m <21， ∴－1<n <0<m <1.4．已知f (x )＝12x ，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( ) A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1b )B ．f (1a )<f (1b )<f (b )<f (a )C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1a )D ．f (1a )<f (a )<f (1b )<f (b )答案 C解析 因为函数f (x )＝12x 在(0，＋∞)上是增函数， 又0<a <b <1b <1a，故选C.5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间『0,2』上的最大值为1，则实数a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2答案 B解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得． ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥4－3a ，－a ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 6．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间『2，＋∞)上为增函数”的________条件． 答案 充分不必要 解析 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间『2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间『2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．7．对于任意实数x ，函数f (x )＝(5－a )x 2－6x ＋a ＋5恒为正值，则a 的取值范围是________． 答案 (－4,4)解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5－a >0，36－4(5－a )(a ＋5)<0，解得－4<a <4.8．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．答案 二、四解析 当α＝－1、1、3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝x α的图象经过第一象限．9．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈『－2，a 』，求函数的最小值g (a )． 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间『－2，a 』内，应进行讨论． 当－2<a <1时，函数在『－2，a 』上单调递减． 则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在『－2,1』上单调递减，在『1，a 』上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ， －2<a <1，－1， a ≥1.10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的单调区间． 解 ∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)， 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0， ∴f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② ∵方程②有两个相等的根， ∴Δ＝『－(2＋4a )』2－4a ·9a ＝0， 解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1.将a ＝－15代入①式得f (x )＝－15x 2－65x －35＝－15(x ＋3)2＋65，∴函数f (x )的单调增区间是(－∞，－3』， 单调减区间是『－3，＋∞)．B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间『0,1』上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0』B ．『2，＋∞)C ．(－∞，0』∪『2，＋∞)D ．『0,2』 答案 D解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间『0,1』上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)<0，x ∈『0,1』，所以a >0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，集合A ＝{m |f (m )<0}，则( ) A ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)>0 B ．∀m ∈A ，都有f (m ＋3)<0 C ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)＝0 D ．∃m 0∈A ，使得f (m 0＋3)<0 答案 A解析 由a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0可知a >0，c <0， 且f (1)＝0，f (0)＝c <0，即1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根， 当x >1时，f (x )>0. 由a >b ，得1>ba，设方程ax 2＋bx ＋c ＝0的另一个根为x 1， 则x 1＋1＝－ba>－1，即x 1>－2，由f (m )<0可得－2<m <1， 所以1<m ＋3<4，由抛物线的图象可知，f (m ＋3)>0，选A.13．已知函数f (x )＝223n n x －＋＋(n ＝2k ，k ∈N )在(0，＋∞)上单调递增，则n ＝________.答案 0或2解析 由题意知：－n 2＋2n ＋3>0，解得－1<n <3.因为n 为非负偶数，所以n ＝0或2.14．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ， a ≤b ，b 2－ab ， a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是________． 答案 (0，14)解析 由题意得f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)， x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)， x >0.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－x ， x ≤0，－x 2＋x ， x >0.如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0<m <14.15．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1』上恒成立，试求b 的取值范围． 解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋『－(－2＋1)2』＝8.(2)f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1』上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1』上恒成立．又x ∈(0,1』时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0.故b 的取值范围是『－2,0』．。

第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x 是自变量,α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x,y ＝x 2,y ＝x 3,y ＝x 12,y ＝x －1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0,＋∞)上都有定义；②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,＋∞)上单调递增； ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a<0)图象定义域 (－∞,＋∞)(－∞,＋∞)值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点．( ) (3)当n<0时,幂函数y ＝x n是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈[a,b]的最值一定是4ac －b24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c,x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象,则a,b,c 的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0,b>1,0<c<1,故a<c<b. 答案：a<c<b2．(必修1P39B 组T1改编)函数g(x)＝x 2－2x(x∈[0,3])的值域为________．解析：由g(x)＝x 2－2x ＝(x －1)2－1,x ∈[0,3],得g(x) 在[0,1]上是减函数,在[1,3]上是增函数． 所以g(x)min ＝g(1)＝－1,而g(0)＝0,g(3)＝3. 所以g(x)的值域为[－1,3]． 答案：[－1,3] [易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准； (2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图,若a<0,b>0,则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知,图象过点(0,0),故④不正确．又a<0,b>0,所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0,故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数,则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3,＋∞)上是减函数, 所以⎩⎪⎨⎪⎧m<0－12m ≤3,即m≤－16.答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－16 3．当x∈(0,1)时,函数y ＝x m的图象在直线y ＝x 的上方,则m 的取值范围是________． 答案：(－∞,1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y ＝f(x)的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a)12,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α, 因为幂函数y ＝f(x)的图象过点(4,2), 所以2＝4α,解得α＝12.所以y ＝x,其定义域为[0,＋∞),且是增函数,当0<x<1时,其图象在直线y ＝x 的上方,对照选项,故选C.(2)易知函数y ＝x 12的定义域为[0,＋∞),在定义域内为增函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a<23.【答案】 (1)C (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R),其中只有一个参数α,因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)判断幂函数y ＝x α(α∈R)的奇偶性时,当α是分数时,一般将其先化为根式,再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0,＋∞)上单调递增,则α>0,若在(0,＋∞)上单调递减,则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,并且f(x)在第一象限是单调递减函数,则m ＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm 2－2m －3(m∈Z)的图象关于y 轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m 2－2m －3为偶数,所以m 2－2m 为奇数,又m 2－2m<0,故m ＝1. 答案：12．当0<x<1时,f(x)＝x 1.1,g(x)＝x 0.9,h(x)＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x),g(x),h(x)在(0,1)上的图象,由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1,f(－1)＝－1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式)设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)． 因为f(2)＝f(－1), 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12. 所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8,所以n ＝8,所以f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f(2)＝－1,所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1,解得a ＝－4,所以f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x 1＝2,x 2＝－1, 故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1), 即f(x)＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8,即4a （－2a －1）－a24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去),所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式,一般用待定系数法,但所给条件不同选取的求解方法也不同,选择规律如下：1．若函数f(x)＝(x ＋a)(bx ＋2a)(常数a,b ∈R)是偶函数,且它的值域为(－∞,4],则该函数的解析式f(x)＝________．解析：由f(x)是偶函数知f(x)的图象关于y 轴对称,所以－a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a b ,即b ＝－2,所以f(x)＝－2x2＋2a 2,又f(x)的值域为(－∞,4],所以2a 2＝4,故f(x)＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x 轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R ,都有f(2－x)＝f(2＋x),求f(x)的解析式．解：因为f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R 恒成立, 所以f(x)的对称轴为x ＝2.又因为f(x)的图象被x 轴截得的线段长为2, 所以f(x)＝0的两根为1和3. 设f(x)的解析式为f(x)＝a(x －1)(x －3)(a≠0), 又f(x)的图象过点(4,3), 所以3a ＝3,a ＝1, 所以所求f(x)的解析式为 f(x)＝(x －1)(x －3), 即f(x)＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查,多与其他知识结合,且常以选择题形式出现,属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题； (3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc>0,则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项,因为a<0,－b2a<0,所以b<0. 又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故A 错． B 项,因为a<0,－b2a>0,所以b>0.又因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c>0,故B 错． C 项,因为a>0,－b2a <0,所以b>0.又因为abc>0,所以c>0,而f(0)＝c<0,故C 错．D 项,因为a>0,－b2a >0,所以b<0,因为abc>0,所以c<0,而f(0)＝c<0,故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1,＋∞)上是递减的,则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时,f(x)＝－3x ＋1在[－1,＋∞)上递减,满足条件． 当a≠0时,f(x)的对称轴为x ＝3－a2a,由f(x)在[－1,＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a<03－a 2a ≤－1，解得－3≤a<0.综上,a 的取值范围为[－3,0]． 【答案】 [－3,0](变条件)若函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1,＋∞),则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1,＋∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a －3－2a ＝－1,解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋1,x ∈[－1,2]． (1)若a ＝1,求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a),求g(a)的解析式以及g(a)的最大值． 【解】 (1)当a ＝1时,f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,x ∈[－1,2], 则当x ＝1时,f(x)的最小值为0,x ＝－1时,f(x)的最大值为4. (2)f(x)＝(x －a)2＋1－a 2,x ∈[－1,2], 当a<－1时,f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a, 当－1≤a≤2时,f(x)的最小值为f(a)＝1－a 2, 当a>2时,f(x)的最小值为f(2)＝5－4a, 则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ，a<－1，1－a 2，－1≤a≤2，5－4a ，a>2，可知,g(a)在(－∞,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减,g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向； 二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与y 轴的交点、与x 轴的交点,函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手,能准确地判断出二次函数的图象．反之,也可以从图象中得到如上信息． (2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动,区间固定；③对称轴定,区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③,通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f(x)＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M,最小值是m,则M －m( ) A ．与a 有关,且与b 有关 B ．与a 有关,但与b 无关 C ．与a 无关,且与b 无关 D ．与a 无关,但与b 有关解析：选 B.f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22－a 24＋b,①当0≤－a 2≤1时,f(x)min ＝m ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝－a 24＋b,f(x)max ＝M ＝max{f(0),f(1)}＝max{b,1＋a ＋b},所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关,与b 无关；②当－a2<0时,f(x)在[0,1]上单调递增,所以M －m ＝f(1)－f(0)＝1＋a 与a 有关,与b 无关；③当－a2>1时,f(x)在[0,1]上单调递减,所以M －m ＝f(0)－f(1)＝－1－a 与a 有关,与b 无关．综上所述,M －m 与a 有关,但与b 无关,故选B.2．若函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t,在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2,使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立,则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0,所以二次函数f(x)＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1,t ＋1]上总存在两实数x 1,x 2, 使得|f(x 1)－f(x 2)|≥8成立, 只需t ＝－10a时f(t ＋1)－f(t)≥8,即a(t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8, 即2at ＋a ＋20≥8,将t ＝－10a代入得a≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a,b ∈R)．(1)当a ＝－6时,函数f(x)的定义域和值域都是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2,求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1,1]上,y ＝f(x)的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方,试确定实数b 的范围．【解】 (1)当a ＝－6时,函数f(x)＝x 2－6x ＋b,函数对称轴为x ＝3,故函数f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间(3,＋∞)上单调递增．①当2<b≤6时,f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝1,无解；②当6<b≤10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2,故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1,解得b ＝10； ③当b>10时,f(x)在区间[1,3]上单调递减,在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤3，b 2上单调递增,且f(1)<f(b 2),故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＝b 2f （3）＝1,无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时,f(x)＝x 2－x ＋b,由题意可知x 2－x ＋b>2x ＋2b －1对x∈[－1,1]恒成立, 化简得b<x 2－3x ＋1,令g(x)＝x 2－3x ＋1,x ∈[－1,1],图象开口向上,对称轴为x ＝32,在区间[－1,1]上单调递减,则g(x)min＝－1,故b<－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”,它们常结合在一起,而二次函数又是三个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体．因此,解决此类问题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a ≥f(x)max ,a ≤f(x)恒成立⇔a ≤f(x)min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时,要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a<0,(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立,则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a)(2x ＋b)≥0在(a,b)上恒成立, 所以3x 2＋a≥0,2x ＋b≥0或3x 2＋a≤0,2x ＋b≤0,①若2x ＋b≥0在(a,b)上恒成立,则2a ＋b≥0,即b≥－2a>0,此时当x ＝0时,3x 2＋a ＝a≥0不成立, ②若2x ＋b≤0在(a,b)上恒成立,则2b ＋b≤0,即b≤0,若3x 2＋a≤0在(a,b)上恒成立,则3a 2＋a≤0,即－13≤a ≤0,故b －a 的最大值为13.2．已知函数f(x)＝x 2－x ＋1,在区间[－1,1]上不等式f(x)>2x ＋m 恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：f(x)>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m,即x 2－3x ＋1－m>0, 令g(x)＝x 2－3x ＋1－m,要使g(x)＝x 2－3x ＋1－m>0在[－1,1]上恒成立,只需使函数g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． 因为g(x)＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减, 所以g(x)min ＝g(1)＝－m －1. 由－m －1>0,得m<－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞,－1)． 答案：(－∞,－1)[基础题组练]1．已知幂函数f(x)＝k·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：选C.因为函数f(x)＝k·x α是幂函数,所以k ＝1,又函数f(x)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22,解得α＝12,则k ＋α＝32. 2．若幂函数f(x)＝x mn(m,n ∈N *,m,n 互质)的图象如图所示,则( )A ．m,n 是奇数,且mn <1B ．m 是偶数,n 是奇数,且mn >1C ．m 是偶数,n 是奇数,且mn <1D ．m 是奇数,n 是偶数,且mn>1解析：选C.由图知幂函数f(x)为偶函数,且mn <1,排除B,D ；当m,n 是奇数时,幂函数f(x)非偶函数,排除A ；选C.3．若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则以下结论中正确的是( ) A ．f(0)<f(－2)<f(5) B ．f(－2)<f(5)<f(0) C ．f(－2)<f(0)<f(5)D ．f(0)<f(5)<f(－2)解析：选A.若函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意的x∈R 都有f(x －1)＝f(3－x),则f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f(x)的图象的开口方向向上,则函数f(x)在(1,＋∞)上为增函数,所以f(2)<f(4)<f(5),又f(0)＝f(2),f(－2)＝f(4),所以f(0)<f(－2)<f(5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f(x)满足f(x ＋1)＝2f(x),且当x∈[0,1]时,f(x)＝x 2－x,则当x∈[－2,－1]时,f(x)的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x∈[－2,－1]时,x ＋2∈[0,1],则f(x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2,又f(x ＋2)＝f[(x ＋1)＋1]＝2f(x ＋1)＝4f(x),所以当x∈[－2,－1]时,f(x)＝14(x 2＋3x ＋2)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－116,所以当x ＝－32时,f(x)取得最小值,且最小值为－116,故选A.5．若函数f(x)＝x 2－2x ＋1在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,则a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3}D ．{－1,－3,3}解析：选C.因为函数f(x)＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2,对称轴为x ＝1,因为在区间[a,a ＋2]上的最小值为4,所以当1≤a 时,y min ＝f(a)＝(a －1)2＝4,a ＝－1(舍去)或a ＝3,当a ＋2≤1时,即a≤－1,y min ＝f(a ＋2)＝(a ＋1)2＝4,a ＝1(舍去)或a ＝－3,当a<1<a ＋2,即－1<a<1时,y min ＝f(1)＝0≠4,故a 的取值集合为{－3,3}．6．(2020·温州高三月考)已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0),g(x)＝f(f(x)),若g(x)的值域为[2,＋∞),f(x)的值域为[k,＋∞),则实数k 的最大值为( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：选C.设t ＝f(x),由题意可得g(x)＝f(t)＝at 2＋bt ＋c,t ≥k,函数y ＝at 2＋bt ＋c,t ≥k 的图象为y ＝f(x)的图象的部分,即有g(x)的值域为f(x)的值域的子集, 即[2,＋∞)⊆[k,＋∞), 可得k≤2,即有k 的最大值为2. 故选C.7．已知幂函数f(x)＝x －12,若f(a ＋1)<f(10－2a),则实数a 的取值范围是________．解析：因为f(x)＝x －12＝1x (x>0),易知x∈(0,＋∞)时为减函数,又f(a ＋1)<f(10－2a),所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a>0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a>－1，a<5，a>3，所以3<a<5. 答案：(3,5)8．已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2a ＋4的定义域为R,值域为[1,＋∞),则a 的值为________． 解析：由于函数f(x)的值域为[1,＋∞),所以f(x)min ＝1.又f(x)＝(x －a)2－a 2＋2a ＋4,当x∈R 时,f(x)min ＝f(a)＝－a 2＋2a ＋4＝1,即a 2－2a －3＝0,解得a ＝3或a ＝－1.答案：－1或39．(2020·杭州四中第一次月考)已知函数f(x)＝x 2＋ax ＋1,若存在x 0使|f(x 0)|≤14,|f(x 0＋1)|≤14同时成立,则实数a 的取值范围为________．解析：由f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋4－a 24,考察g(x)＝x 2＋h,当h ＝0时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋1≤14同时成立；当h ＝－12时,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤14,|g(－12＋1)|≤14同时成立．所以－12≤h ≤0,即－12≤4－a 24≤0,解得－6≤a ≤－2或2≤a≤ 6.答案：[－6,－2]∪[2,6]10．设函数f(x)＝x 2－1,对任意x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立,则实数m 的取值范围是________．解析：依据题意,得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x－1)2－1＋4(m 2－1)在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立,即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．当x ＝32时,函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53,所以1m 2－4m 2≤－53,即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0,解得m≤－32或m≥32. 答案：⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 11．已知幂函数f(x)＝(m 2－5m ＋7)x m －1为偶函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)＝f(x)－ax －3在[1,3]上不是单调函数,求实数a 的取值范围． 解：(1)由题意m 2－5m ＋7＝1,解得m ＝2或m ＝3, 若m ＝2,与f(x)是偶函数矛盾,舍去, 所以m ＝3,所以f(x)＝x 2.(2)g(x)＝f(x)－ax －3＝x 2－ax －3,g(x)的对称轴是x ＝a 2,若g(x)在[1,3]上不是单调函数, 则1<a2<3,解得2<a<6.12．(2020·台州市教学质量调研)已知函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称．(1)求f(x)的解析式；(2)若m ＜3,求函数f(x)在区间[m,3]上的值域．解：(1)因为函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1,3),且关于直线x ＝1对称, 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1,解得b ＝－2,c ＝0,所以f(x)＝x 2－2x.(2)当1≤m＜3时,f(x)min ＝f(m)＝m 2－2m, f(x)max ＝f(3)＝9－6＝3, 所以f(x)的值域为[m 2－2m,3]；当－1≤m＜1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(－1)＝1＋2＝3,所以f(x)的值域为[－1,3]．当m ＜－1时,f(x)min ＝f(1)＝1－2＝－1, f(x)max ＝f(m)＝m 2－2m,所以f(x)的值域为[－1,m 2－2m]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分,图象过点A(－3,0),对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a－b ＝1；③a－b ＋c ＝0；④5a<b.其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2－4ac>0,即b 2>4ac,①正确；对称轴为x ＝－1,即－b2a ＝－1,2a －b ＝0,②错误；结合图象,当x ＝－1时,y>0,即a －b ＋c>0,③错误；由对称轴为x ＝－1知,b ＝2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x－2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 解析：选B.因为当x≥0时,f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2),所以当0≤x≤a 2时,f(x)＝12(a 2－x ＋2a 2－x －3a 2)＝－x ；当a 2＜x ＜2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋2a 2－x －3a 2)＝－a 2；当x≥2a 2时,f(x)＝12(x －a 2＋x －2a 2－3a 2)＝x －3a 2.综上,函数f(x)＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2，－a 2，a 2＜x ＜2a 2，x －3a 2，x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R,f(x －1)≤f(x),则需满足2a 2－(－4a 2)≤1,解得－66≤a ≤66. 3．已知函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值为M(a,b ∈R,c ＞0为常数)且存在实数a,b,使得M 取最小值2,则a ＋b ＋c ＝________．解析：函数y ＝x 2＋ax ＋b 是二次函数,所以函数f(x)＝|x 2＋ax ＋b|在区间[0,c]内的最大值M 在端点处或x ＝－a 2处取得．若在x ＝0处取得,则b ＝±2, 若在x ＝－a 2处取得,则|b －a24|＝2,若在x ＝c 处取得,则|c 2＋ac ＋b|＝2. 若b ＝2,则|b －a 24|≤2,|c 2＋ac ＋b|≤2,解得a ＝0,c ＝0,符合要求,若b ＝－2,则顶点处的函数值的绝对值大于2,不成立． 可得a ＋b ＋c ＝2.故答案为2. 答案：24．(2020·宁波市余姚中学高三期中)已知f(x)＝34x 2－3x ＋4,若f(x)的定义域和值域都是[a,b],则a＋b ＝________．解析：因为f(x)＝34x 2－3x ＋4＝34(x －2)2＋1,所以x ＝2是函数的对称轴,根据对称轴进行分类讨论：①当b<2时,函数在区间[a,b]上递减,又因为值域也是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝bf （b ）＝a ,即⎩⎪⎨⎪⎧34a 2－3a ＋4＝b 34b 2－3b ＋4＝a,两式相减得34(a ＋b)(a －b)－3(a －b)＝b －a,又因为a≠b ,所以a ＋b ＝83,由34a 2－3a ＋4＝83－a,得3a 2－8a ＋163＝0,所以a ＝43,所以b ＝43,故舍去． ②当a<2≤b 时,得f(2)＝1＝a,又因为f(1)＝74<2,所以f(b)＝b,得34b 2－3b ＋4＝b,所以b ＝43(舍)或b＝4,所以a ＋b ＝5.③当a≥2时,函数在区间[a,b]上递增,又因为值域是[a,b],所以得方程组⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝af （b ）＝b ,即a,b 是方程34x 2－3x ＋4＝x 的两根,即a,b 是方程3x 2－16x ＋16＝0的两根,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝4,但a≥2,故应舍去．综上得a ＋b ＝5.答案：55．已知函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0,b ∈R,c ∈R)． (1)若函数f(x)的最小值是f(－1)＝0,且c ＝1,F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F(2)＋F(－2)的值；(2)若a ＝1,c ＝0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1,a －b ＋c ＝0,且－b2a ＝－1,解得a ＝1,b ＝2,所以f(x)＝(x ＋1)2.所以F(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f(x)＝x 2＋bx,原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立, 即b≤1x －x 且b≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x∈(0,1]时,1x －x 的最小值为0,－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．6．(2020·宁波市余姚中学期中检测)已知函数f(x)＝－x 2＋2bx ＋c,设函数g(x)＝|f(x)|在区间[－1,1]上的最大值为M.(1)若b ＝2,试求出M ；(2)若M≥k 对任意的b 、c 恒成立,试求k 的最大值．解：(1)当b ＝2时,f(x)＝－x 2＋4x ＋c 在区间[－1,1]上是增函数, 则M 是g(－1)和g(1)中较大的一个, 又g(－1)＝|－5＋c|,g(1)＝|3＋c|,则M ＝⎩⎪⎨⎪⎧|－5＋c|，c ≤1|3＋c|，c>1.(2)g(x)＝|f(x)|＝|－(x －b)2＋b 2＋c|,(ⅰ)当|b|>1时,y ＝g(x)在区间[－1,1]上是单调函数, 则M ＝max{g(－1),g(1)},而g(－1)＝|－1－2b ＋c|,g(1)＝|－1＋2b ＋c|,则2M≥g(－1)＋g(1)≥|f(－1)－f(1)|＝4|b|>4,可知M>2.(ⅱ)当|b|≤1时,函数y ＝g(x)的对称轴x ＝b 位于区间[－1,1]之内, 此时M ＝max{g(－1),g(1),g(b)}, 又g(b)＝|b 2＋c|,①当－1≤b≤0时,有f(1)≤f(－1)≤f(b),则M ＝max{g(b),g (1)}≥12(g(b)＋g(1))≥12|f(b)－f(1)|＝12(b －1)2≥12；②当0<b≤1时,有f(－1)≤f(1)≤f(b)．则M ＝max{g(b),g(－1)}≥12(g(b)＋g(－1))≥12|f(b)－f(－1)|＝12(b ＋1)2>12.综上可知,对任意的b 、c 都有M≥12.而当b ＝0,c ＝12时,g(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－x 2＋12在区间[－1,1]上的最大值M ＝12,故M≥k 对任意的b 、c 恒成立的k 的最大值为12.。

第4课时二次函数与幂函数考纲索引1.二次函数的图象与性质.2.幂函数的性质.课标要求1.了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=12x的图象,了解它们的变化情况.3.掌握二次函数的概念、图象特征.4.掌握二次函数的对称性和单调性,会求二次函数在给定区间上的最值.5.掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的密切关系,提高解综合问题的能力.知识梳理1.二次函数的关系式的三种常用表达形式(1)一般式:f(x)= ;(2)顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0),(h,k)是顶点;(3)标根式(或因式分解式):f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2分别是f(x)=0的两实根.2.二次函数的图象及其性质a>0 a<0图象定义域R R值域y∈y∈对称轴x=3.幂函数的定义形如(a∈R)的函数称为幂函数,其中x是,a 为.4.幂函数的性质【基础自测】1.已知点在幂函数f(x)的图象上,则f(x)的关系式是().A. f(x)=x3B. f(x)=x-3C. f(x)=12x D. f(x)=12x2.函数f(x)=x2+mx+1的图象关于直线x=1对称的充要条件是().A. m=-2B. m=2C. m=-1D. m=13.已知函数f(x)=x2-2x+2的定义域和值域均为[1,b],则b等于().A. 3B. 2或3C. 2D. 1或24. (教材改编)当a∈时,幂函数y=x a的图象不可能经过第象限.5. (教材改编)已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最大值3,最小值2,则m的取值范围为.指点迷津1.研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负,及对称轴的位置,两点不应忽视.2.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、三象限要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.3.幂函数y=x a(a∈R),其中a为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数a为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数,如y=x+1,y=x2-2x等都不是幂函数.考点透析考向一求二次函数的关系式例1已知二次函数f(x)有两个零点0和-2,且它有最小值-1.(1)求f(x)关系式;(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称,求g(x)关系式.【审题视点】对于(1),可设二次函数的零点式,再结合最值求出系数a即得;对于(2),可通过图象上点的对应关系求g(x)关系式.【方法总结】求二次函数关系式的方法及思路.求二次函数的关系式,一般用待定系数法,其关键是根据已知条件恰当选择二次函数关系式的形式,一般选择规律如下:变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数.考向二二次函数图象与性质的应用例2已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数;(3)当a=1时,求f(|x|)的单调区间.【审题视点】对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间,注意函数定义域的限制.【方法总结】1.求二次函数最值的类型及解法:(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论;(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解,最值一般在区间的端点或顶点处取得.2.二次函数单调性问题的解法:结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解.变式训练2. (2013·无锡联考)设函数f(x)=mx2-mx-1,若f(x)<0的解集为R,则实数m的取值范围是.考向三幂函数图象性质及应用例3(2014·浙江)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a(x>0),g(x)=log a x的图象可能是().【审题视点】本题主要考查函数的图象与性质.【方法总结】(1)a的正负:a>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;a<0时,图象不过原点,在第一象限的图象下降,反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性:a>1时,曲线下凸;0<a<1时,曲线上凸;a<0时,曲线下凸.(3)幂函数的图象最多只能出现在两象限内;(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.变式训练3.幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”:①,②,③,④,⑤,⑥,⑦,⑧(如图所示),那么幂函数的图象经过的“卦限”是().(第3题)A. ④⑦B. ④⑧C. ③⑧D. ①⑤经典考题典例(2014·北京)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c 是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为().A. 3.50分钟B. 3.75分钟C. 4.00分钟D. 4.25分钟【解题指南】本题考查二次函数的关系式、图象和性质,难度较大.【解析】由函数图象可得(0.7,3),(0.8,4),(0.5,5)满足p=at2+bt+c,代入,得解得所以当t=-==3.75分钟时,可食用率p取得最大值.【答案】 B真题体验1.(2014·江苏)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.2. (2014·全国大纲)函数y=cos2x+2sin x的最大值为.3. (2014·全国新课标Ⅰ)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.参考答案与解析知识梳理1. (1) ax2+bx+c (a≠0)2.减增3.y=x a自变量常数4. R[0, +∞)[0,+∞)奇奇奇增增(0, 0), (1, 1)(1, 1)1. B2. A3. C4.二、四5. [1, 2]【例1】(1) 由于f(x)有两个零点0和-2,所以可设f(x)=ax(x+2)(a≠0),这时f(x)=ax(x+2)=a(x+1)2-a,由于f(x)有最小值-1,所以必有解得a=1.因此f(x)的解析式是f(x)=x(x+2)=x2+2x.(2) 设点P(x, y)是函数g(x)图象上任一点,它关于原点对称的点P'(-x, -y)必在f(x)图象上,所以-y=(-x)2+2(-x),即y=-x2+2x.故g(x)=-x2+2x.【例2】(1) 当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于x∈[-4, 6),所以f(x)在[-4, 2]上单调递减,在[2, 6]上单调递增.所以f(x)的最小值是f(2)=-1.又f(-4)=35, f(6)=15,故f(x)的最大值是35.(2) 由于函数f(x)的图象开口向上,对称轴是x=-a,所以要使f(x)在[-4, 6]上是单调函数,应有-a≤-4或-a≥6,即a≤-6或a≥4.(3) 当a=1时,f(x)=x2+2x+3,所以f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为x∈[-6, 6],且f(x)=所以f(|x|)的单调递增区间是(0, 6),单调递减区间是[-6, 0].【例3】D解析:对于函数f(x)=x a(x>0),当a>0时,其在第一象限的图象都是增函数,由此可以排除选项A;而选项B中,a>1,此时函数g(x)=log a x在定义域内是增函数,错误;选项C, D中,0<a<1,此时函数g(x)=log a x在定义域内是减函数,选项C错误;只有选项D正确.1.设f(x)=a(x-m)2+n, a≠0.因为f(2)=f(-1),所以抛物线对称轴为x.所以m=.又根据题意函数有最大值为n=8,所以y=f(x)=a+8.因为f(2)=-1,所以a+8=-1,解得a=-4.所以f(x)=-4+8=-4x2+4x+7.2. (-4, 0]解析:当m=0时,f(x)=-1<0,适合x∈R.当m≠0时,f(x)=mx2-mx-1的图象开口向下,且与x轴无交点,所以解得0>m>-4.综上,-4<m≤0.3.D解析:当0<x<1时,y=>x;当x>1时,y=<x,知y=的图象经过①⑤“卦限”.故选D.1.解析:因为f(x)=x2+mx-1是开口向上的二次函数,所以函数的最大值只能在区间端点处取到,所以对于任意x∈[m, m+1],都有f(x)<0,只需解得即m∈.2.解析:因为y=cos2x+2sin x=1-2sin x2+2sin x=-2+,所以当sin x=时函数y=cos2x+2sin x取得最大值,最大值为.3.(-∞, 8]解析:当x<1时,由≤2,得x<1;当x≥1时,由≤2,解得1≤x≤8,综上可知x的取值范围为x≤8.。

2.6 幂函数与二次函数核心考点·精准研析考点一幂函数的图象与性质1.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)上为增函数,则m的值为( )A.1或3B.1C.3D.22.若四个幂函数y=x a,y=x b,y=x c,y=x d在同一坐标系中的图象如图所示,则a,b,c,d的大小关系是( )A.d>c>b>aB.a>b>c>dC.d>c>a>bD.a>b>d>c3.(2019·全国卷Ⅱ)若a>b,则( )A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为( )A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a【解析】1.选B.由题意知解得m=1.2.选B.由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近x轴,由题图知a>b>c>d.3.选C.当a=3,b=2时,选项A错.由于a>b,而y=3x是增函数,所以3a>3b,故B错.当a=3,b=-5时,选项D错.因为y=x3是增函数,故a3>b3,故C正确.4.选A.因为0<<<1,指数函数y=在R上单调递减,故<.又由于幂函数y=在R上单调递增,故>,所以<<,即b<c<a.1.幂函数图象的特点掌握幂函数图象只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即x=1,y=1,y=x分的区域.根据α<0,0<α<1,α=1,α>1的取值确定位置后,其余象限部分由奇偶性决定.2.比较幂值大小的方法在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较.【秒杀绝招】题3可以用特殊值法求解,令a=0,b=-1,则可排除选项A,B,D.考点二二次函数的图象与解析式【典例】1.设函数f(x)=x2+x+a(a>0),已知f(m)<0,则( )A.f(m+1)≥0B.f(m+1)≤0C.f(m+1)>0D.f(m+1)<02.已知二次函数f(x)=x2-bx+c满足f(0)=3,对∀x∈R,都有f(1+x)=f(1-x)成立,则f(x)的解析式为________.3.已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则f(x)=________.【解题导思】序号联想解题1由f(x)=x2+x+a,想到该函数的对称轴为x=-2 由f(1+x)=f(1-x),想到该函数的对称轴为x=13 由二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0),想到f(x)=ax(x+2)(a≠0)【解析】1.选C.因为f(x)的对称轴为x=-,f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示,由f(m)<0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m+1)>f(0)>0.2.由f(0)=3,得c=3,又f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以=1,所以b=2,所以f(x)=x2-2x+3.答案:f(x)=x2-2x+33.设函数的解析式为f(x)=ax(x+2)(a≠0),所以f(x)=ax2+2ax,由=-1,得a=1,所以f(x)=x2+2x.答案:x2+2x1.用待定系数法求二次函数的解析式关键是灵活选取二次函数解析式形式,选法如下:2.二次函数解析式的三种形式(1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).(3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).1.对数函数y=log a x(a>0且a≠1)与二次函数y=(a-1)x2-x在同一坐标系内的图象可能是()【解析】选A.若0<a<1,则y=log a x在(0,+∞)上单调递减,y=(a-1)x2-x开口向下,其图象的对称轴在y轴左侧,排除C,D.若a>1,则y=log a x在(0,+∞)上是增函数,y=(a-1)x2-x图象开口向上,且对称轴在y轴右侧,因此B项不正确,只有选项A正确.2.已知二次函数f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数f(x)的最小值为f(-1)=0,则f(x)=________.【解析】设函数f(x)的解析式为f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a(a≠0),又f(x)=ax2+bx+1,所以a=1,故f(x)=x2+2x+1.答案:x2+2x+1考点三二次函数的性质及其应用命题精解读考什么:(1)幂函数的图象与性质,二次函数的图象与性质,求值或解不等式,求参数值等问题.(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养.怎么考:幂函数、二次函数的单调性,函数的周期性以及对称性等知识单独或交汇考查,也可能以分段函数的形式呈现.新趋势:幂函数、二次函数与其他基本初等函数交汇,图象交点个数、方程、不等式交汇考查.学霸好方法一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”.(2)“ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”.二次函数的单调性问题【典例】已知函数f(x)=-2x2+bx,若对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),则f(-2),f(4),f(5)的大小关系为 ( )A.f(5)>f(-2)>f(4)B.f(4)>f(5)>f(-2)C.f(4)>f(-2)>f(5)D.f(-2)>f(4)>f(5)【解析】选B.因为对任意的实数t都有f(4+t)=f(4-t),所以函数f(x)=-2x2+bx的图象关于直线x=4对称,所以f(-2)=f(10),又函数f(x)=-2x2+bx的图象开口向下,所以函数f(x)在[4,+∞)上是减函数,因为4<5<10,所以f(4)>f(5)>f(10),即f(4)>f(5)>f(-2).如何确定二次函数的单调性?提示:关键看二次函数图象的开口方向与对称轴.二次函数中的恒成立问题【典例】1.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2] B.[-2,2]C.(-2,2]D.(-∞,-2)2.若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立,则m的取值范围为________.【解析】1.选C.当a-2=0即a=2时,不等式为-4<0,恒成立.当a-2≠0时,解得-2<a<2,所以a的取值范围是-2<a≤2.2.只需要在x∈(0,1]时,(x2-4x)min≥m即可.因为函数f(x)=x2-4x在(0,1]上为减函数,所以当x=1时,(x2-4x)min=1-4=-3,所以m≤-3.答案:(-∞,-3]1.由不等式恒成立求参数取值范围的思路是什么?提示:一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路目标是什么?提示:目标都是将问题归结为求函数的最值.二次函数的最值问题【典例】若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m ( ) A.与a有关且与b有关 B.与a有关但与b无关C.与a无关且与b无关D.与a无关但与b有关【解析】选B.f(x)=x2+ax+b=+b-,对称轴为x=-,下面分情况讨论:(1)若->1,即a<-2时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f(1)=a+b+1,此时M-m=b-(a+b+1)=-a-1.(2)若<-≤1,即-2≤a<-1时,f(x)max=f(0)=b,f(x)min=f=b-,此时M-m=b-=.(3)若0<-≤,即-1≤a<0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f=b-,此时M-m=a+b+1-=1+a+.(4)若-≤0,即a≥0时,f(x)max=f(1)=a+b+1,f(x)min=f(0)=b,此时M-m=a+b+1-b=1+a.综上,M-m与a有关,而与b无关.函数f(x)=ax2+bx+c在区间[m,n]上的最大值、最小值可能在何处取得?提示:由二次函数的图象和性质可知:其最大值、最小值可能为f(m),f(n),f.1.设函数f(x)=x2-23x+60,g(x)=f(x)+|f(x)|,则g(1)+g(2)+…+g(20)=( )A.56B.112C.0D.38【解析】选B.由二次函数图象的性质得,当3≤x≤20时,f(x)+|f(x)|=0,所以g(1)+g(2)+…+g(20)=g(1)+g(2)=f(1)+|f(1)|+f(2)+|f(2)|=112.2.已知函数y=ax2+bx-1在(-∞,0]上是单调函数,则y=2ax+b的图象不可能是( )【解析】选B.①当a=0,b≠0时,y=2ax+b的图象可能是A;②当a>0时,-≥0⇒b≤0,y=2ax+b的图象可能是C;③当a<0时,-≥0⇒b≥0,y=2ax+b的图象可能是D.3.(2019·南昌模拟)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间[0,2]上的最大值为1,那么实数a=________.【解析】因为函数f(x)=x2-ax-a的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区间的端点取得.因为f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以或解得a=1.答案:11.(2020·合肥模拟)设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x∈[1,3],f(x)<-m+4恒成立,则实数m的取值范围为( )A.(-∞,0]B.C.(-∞,0)∪D.【解析】选D.由题意,f(x)<-m+4对于x∈[1,3]恒成立,即m(x2-x+1)<5对于x∈[1,3]恒成立.因为当x∈[1,3]时,x2-x+1∈[1,7],所以不等式f(x)<-m+4等价于m<.因为当x=3时,取最小值,所以若要不等式m<对于x∈[1,3]恒成立,则必须满足m<,因此,实数m的取值范围为.2.(2020·北京模拟)已知集合{a,b,c}={2,3,4},且下列三个关系:a≠3,b=3,c≠4有且只有一个正确,则函数f(x)=的值域是________.【解析】由{a,b,c}={2,3,4}得,a,b,c的取值有以下情况:当a=2时,b=3,c=4时,不满足题意.当a=2时,b=4,c=3时,不满足题意;当a=3时,b=2,c=4时,不满足题意;当a=3时,b=4,c=2时,满足题意;当a=4时,b=2,c=3时,不满足题意;当a=4时,b=3,c=2时,不满足题意;综上得,a=3,b=4,c=2,则函数f(x)==当x>4时,f(x)=2x>24=16,当x≤4时,f(x)=(x-2)2+3≥3,综上f(x)≥3,即函数的值域为[3,+∞).答案:[3,+∞)。