高考数学专题复习二次函数

高考数学复习初等函数知识点：二次函数二次函数的差不多表示形式为y=ax2+bx+c(a≠0)。

，下面是高考数学复习初等函数知识点：二次函数，期望对考生有关心。

1、二次函数的定义一样地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.如y=3x2,y=3x2-2,y=2x2+x-1等差不多上二次函数.注意：(1)二次函数是关于自变量的二次式,二次项系数a必须是非零实数,即a≠0,而b,c是任意实数,二次函数的表达式是一个整式;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),自变量x的取值范畴是全体实数;(3)当b=c=0时,二次函数y=ax2是最简单的二次函数;(4)一个函数是否是二次函数,要化简整理后,对比定义才能下结论,例如y=x2-x(x-1)化简后变为y=x,故它不是二次函数.2、二次函数y=ax2的图象和性质(1)函数y=ax2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条曲线叫抛物线.实际上所有二次函数的图象差不多上抛物线.单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。

让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。

如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。

二次函数y=ax2的图象是一条抛物线,它关于y轴对称,它的顶点坐标是(0,0).①当a>0时,抛物线y=ax2的开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线自左向右上升,顶点是抛物线上位置最低的点,也确实是说,当a>0时,函数y=ax2具有如此的性质：当x0时,函数y随x的增大而增大;当x=0时,函数y=ax2取最小值,最小值y=0;高考数学复习初等函数知识点：二次函数就为大伙儿分享到那个地点，更多杰出内容请关注高考数学知识点栏目。

１．二次函数一．填空题：1． 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2-px +q 与g (x ) = 2x + 1x 2 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在[12,2]上的最大值是 4 ．2．设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2+bx +c x ≤02 x >0，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x的解的个数为 3(-2,-1,2) ．3．函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b>0 ．4． 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得()0f c >，则实数p 的取值范围是 ．5．已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、，并且1201x x <<<，则ba的取值范围是 ．6．若函数f (x ) = x 2+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = ． 7．若不等式x 4+2x 2+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 8．已知函数f (x ) =|x 2-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ．9．已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式 ．10． 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= ． 11． 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 ．12．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，， 不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是 ．13．设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是 ． 14．函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为 ．二、解答题：15．已知函数()2213222f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．16．设a 为实数，函数f (x ) = x 2+|x -a |+1，x ∈R ． （1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值．17．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点(-1，0)，是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式21()2x x f x +≤≤对一切实数x 都成立． 18．已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围．19．设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数． (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间．20．已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，()f x '是f (x )的导数；设11a =，1()()n n n n f a a a f a +=-'（n =1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记ln n n n a b a βα-=-（n =1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n ．1．二次函数答案新海高级中学 杨绪成 舒燕 一、填空题：1. 在区间[12, 2]上，函数f (x ) = x 2-px +q 与g (x ) = 2x + 1x2 在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在[12,2]上的最大值是 4 ．2.设函数f (x )= ⎩⎨⎧x 2+bx +c x ≤02 x >0，若f (-4) = f (0)，f (-2)= -2，则关于x 的方程f (x ) =x的解的个数为 3 .3.函数2([0,))y x bx c x =++∈+∞是单调函数的充要条件的是 b ≥0 .4. 对于二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[]1,1-内至少存在一个数c 使得()0f c >，则实数p 的取值范围是 (-3,1.5) .5.已知方程2(1)10x a x a b +++++=的两根为12x x 、，并且1201x x <<<，则ba的取值范 围是(,2]-∞-.6．若函数f (x ) = x 2+(a +2)x +3，x ∈[a , b ]的图象关于直线x = 1对称，则b = 6 . 7．若不等式x 4+2x 2+a 2-a -2≥0对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(,1][2,)-∞-+∞.8．已知函数f (x ) =|x 2-2ax +b | (x ∈R )，给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0) = f (2)时，f (x )的图象必关于直线x = 1对称；③若a 2-b ≤0，则f (x )在区间[a , +∞)上是增函数；④f (x )有最大值|a 2-b|；其中正确命题的序号是 ③ .9.已知二次函数2()f x ax bx c =++，满足条件(2)(2)f x f x +=-，其图象的顶点为A ，又图象与x 轴交于点B 、C ，其中B 点的坐标为(1,0)-，ABC ∆的面积S =54，试确定这个二次函数的解析式222(2)182(2)18y x y x =--=---或.10. 已知a b 、为常数，若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++，则5a b -= 2 . 11. 已知函数2()21,f x x x =++若存在实数t ，当[]1,x m ∈时，()f x t x +≤恒成立，则实数m 的最大值为 4 .12.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()f x x =，若对任意的[]2x t t ∈+，，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是[2,)+∞.13.设2 (||1)() (||1)x x f x x x ⎧≥=⎨<⎩,()g x 是二次函数，若(())f g x 的值域是[)0+，∞，则()g x 的值域是[0,)+∞；14.函数2254()22x x f x x x -+=-+的最小值为221+.二、解答题：15．已知函数2213()222f x x mx m m =++--，当(0,)x ∈+∞时，恒有()0f x >，求m 的取值范围．思路点拨:此题为动轴定区间问题,需对对称轴进行讨论. 解:213()()22f x x m m =+--当0m -≤即0m ≥时,2133(0)00;222f m m m ≥⇒--≥∴≥ 当0m ->即0m <时,130322m m -->∴<-. 综上得:3m <-或32m ≥. 点评:分类讨论要做到不漏掉任何情况,尤其是端点处的数值不可忽视.最后结果要取并集. 变式训练: 已知2()cos 3sin cos 1()R f x a x a x x a =-+∈,当[0,]2x π∈ 时,)(x f 的最小值为2-,求a 的值.解: ()sin(2)162a f x a x π=-++，512[,],sin(2)[1,]66662x x ππππ-∈--∈-.当0a >时，min ()12,62af x a a =-++=-∴=． 当0a <时，min ()12,322a af x a =++=-∴=-． 16．设a 为实数，函数f (x ) = x 2+|x -a |+1，x ∈R ，（1）讨论函数f (x )的奇偶性； （2）求函数f (x )的最小值．思路点拨:去绝对值,将问题转化成研究分段函数的性质. 解:(1)当0=a 时, 2()1f x x x =++,函数)(x f 为偶函数;当0≠a 时,22()1,()21,()()f a a f a a a f x f a =+-=++≠-， 此时函数)(x f 为非奇非偶函数;(2)1)(2+-+=a x x x f =222213()()1()24131()()()24x a x a x x a x a x x a x a x a x a ⎧++-≥⎪⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎨-++≤⎪⎪⎩-++≤⎪⎩当12a ≥时,222min min 3(1)1,(1)4x x a a x x a a +-+=+-++=+,此时,min 3()4f x a =+;当1122a -<<时,2min ()1;f x a =+当12a ≤-时, min 3().4f x a =-点评:把握每段函数,同时综观函数整体特点,是解决本题的关键.17. 已知2()(0)f x ax bx c a =++≠的图象过点（-1，0），是否存在常数a ，b ，c ，使得不等式21()2x x f x +≤≤对一切实数x 都成立. 思路点拨:本题为不等式恒成立时探寻参数的取值问题. 解:当1=x 时，1()1(1)1,1f x f a b c ≤≤∴=++=, 又(1)00f a b c -=⇒-+=可得12b ac =+=；由x x f ≥)(对一切实数X 都成立， 则2201(1)0010216a a ax b x c ax x c ac >⎧>⎧⎪+-+≥⇒-+≥⇒⇒⎨⎨∆≤≥⎩⎪⎩于是,0>c 又161)2(2=+≤c a ac ，161=∴ac ,此时41==c a . 综上可得,存在21,41===b c a ,使得不等式()212x x f x +≤≤对一切实数X 都成立.点评: 挖掘不等式21()2x x f x +≤≤中隐含的特殊值,得到1)(1≤≤x f 以及111616ac ≤≤是解题关键.变式训练：设函数21()ax f x bx c+=+是奇函数（c b a ,,都是整数）且(1)2,(2)3f f =<.（1）求c b a ,,的值；（2）当)(,0x f x <的单调性如何？用单调性定义证明你的结论. 略解(1)0,1===c b a .(2) 当0,()x f x <在(,1]-∞-上单调递增,在[1,0)-上单调递减.18. 已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]1,1-上有零点，求a的取值范围.解析1：函数()y f x =在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解. a =0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f (x )=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a-≥⎧⎪≥⎪⎪∆=++≥⎨⎪⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤或372a --≤或5a ≥⇔372a --≤或a ≥1. 所以实数a 的取值范围是372a --≤或a ≥1. 点评：通过数形结合来解决一元二次方程根的分布问题. 解析2：a =0时，不符合题意，所以a ≠0,又∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解212132x a x-⇔=-在[-1，1]上有解，问题转化为求函数22132x y x -=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，则23x t =-，t ∈[1,5],21(3)217(6)22t y t t t--=⋅=+-，设2277().'()t g t t g t t t-=+=，[1,7)t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)单调递减，(7,5]t ∈时，'()g t >0,此函数g (t)单调递增，∴y 的取值范围是[73,1]-，∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解1a ∈[73,1]-1a ⇔≥或372a +≤-. 点评: 将原题中的方程化成212132x a x -=-的形式, 问题转化为求函数22132x y x-=-[-1，1]上的值域的问题,是解析2的思路走向.变式训练:设全集为R ，集合{|sin(2),}642A y y x x πππ==-≤≤，集合{|R B a =∈关于x 的方程012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上}. 求(RA )∩(RB )．解：由2422x x ππππ≤≤≤≤得,512,sin(2)136626x x ππππ≤-≤∴≤-≤，即 1{|1}2A y y =≤≤,∴ R A 1{|1}2y y y =<>或．又关于x 的方程 012=++ax x 的根一个在（0，1）上，另一个在（1，2）上， 设函数1)(2++=ax x x f ，则满足(0)0,20(1)0,520(2)0,f a f a f >⎧+<⎧⎪<⎨⎨+>⎩⎪>⎩即，∴522a -<<-． ∴5{|2}2RB a a a =≤-≥-或∴(R A )∩(RB )15{|21}22x x x x =-≤<>≤-或或． 19.设函数f (x )=,22aax x c ++其中a 为实数. (Ⅰ)若f (x )的定义域为R ,求a 的取值范围； (Ⅱ)当f (x )的定义域为R 时，求f (x )的单减区间.解：（1）由题意知，02≠++a ax x 恒成立，004a ∴∆<⇒<<；（2）22(2)()()x x x a e f x x ax a +-'=++，令0)(≤'x f 得0)2(≤-+a x x ；由()0f x '=得0x =或a x -=2又04a <<，02a ∴<<时，由()0f x '<得02x a <<-；当2a =时，()0f x '≥；当24a <<时，由()0f x '<得20a x -<<，即当02a <<时，()f x 的单调减区间为(02)a -，； 当24a <<时，()f x 的单调减区间为(20)a -，． 变式训练：已知函数1()(),[1,1]3x f x x =∈-，函数2()()2()3g x f x af x =-+的最小值为()h a . （Ⅰ）求()h a ；（Ⅱ）是否存在实数m ，n 同时满足下列条件：①m >n >3；②当)(a h 的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？ 若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由． 解：（Ⅰ）∵11[1,1],()[,3].33x x ∈-∴∈设2223)(32)(]3,31[,)31(a a t at t t t t x-+-=+-=∈=φ，则 当13a <时min 1282()()393a y h a φ===-，； 当133a ≤≤时，2min ()()3y h a a a φ===-； 当.612)3()(3min a a h y a -===>φ时，∴22821()9331()3(3)3126(3)a a h a a a a a ⎧-<⎪⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩（Ⅱ）∵m >n >3， ∴()126(3,)h a a =-+∞在上是减函数. ∵)(a h 的定义域为[n ，m ]；值域为[n 2，m 2]，∴22126126, .m n n m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 可得),)(()(6n m n m n m +-=- ∵m >n >3， ∴m +n =6，但这与“m >n >3”矛盾. ∴满足题意的m ，n 不存在．20.已知函数2()1f x x x =+-，,αβ是方程f (x )=0的两个根()αβ>，'()f x 是f (x)的导数；设11a =，1()'()n n n n f a a a f a +=-（n =1,2,……） （1）求,αβ的值；（2）（理做）证明：对任意的正整数n ，都有n a >α； （3）记αβ--=n n n a a b ln（n=1,2,……），求数列{b n }的前n 项和S n .思路点拨:本题考察数列的综合知识,将递推数列与函数、导数有机地结合，加大了题目的综合力度. 解：（1）由求根公式，及αβ>得方程两根为1515,22αβ-+--==. (2)要证,n a α>需证0n a α->.()21f x x '=+.121121)()(221++=+-+-='-=∴+n n n n n n n n n n a a a a a a a f a f a a222221212(1)()212121n n n n n n n n n a a a a a a a a a αααααααα+-+--+-+---===+++.下面用数学归纳法证明:①当1=n 时,35102n a αα--=-=>,命题成立； ②假设(1)n k k =≥时命题成立,即0k a α->,0k a α>>．则当1n k =+时,21()021k k k a a a αα+--=>+,命题成立.根据数学归纳法可知,对任意的正整数都有n a α>成立.(3)由已知和(2),1151ln 4ln 12b βα-+==-,21121()ln ln 2()n n n n n n a a b b a a ββαα+++--===-- 所以251(24)ln2n n S ++=-. 点评:本题考察了求根公式及数学归纳法等数学方法的同时，也考察了转化与化归的数学思想, 即将已知数列转化成等比数列，本题对变形和运算要求较高. 补充:函数)0,(>+=a a xax y 且是常数有如下性质：①函数是奇函数；②函数在],0(a 上 是减函数，在),[+∞a 上是增函数.（1）如果函数xx y b2+=（x >0）的值域是),6[+∞，求b 的值；（2）判断函数22cy x x =+（常数c >0）在定义域内的奇偶性和单调性，并加以证明； （3）对函数22xcx y x a x y +=+=和（常数c >0）分别作出推广，使它们是你推广的函数的特例.判断推广后的函数的单调性（只需写出结论，不要证明）.解:（1）因为2220,2226,log 9b bb x y x x b x x>=+≥⋅===所以即（2）设),0()0,(,)(22+∞⋃-∞∈+=x xcx x f 因为 2222()()(),()c c f x x x f x x x -=-+=+=- 故函数22)(x cx x f +=为偶函数. 设222212212121222221120,()()()(1).c c c x x f x f x x x x x x x x x <<-=+--=-- ),()(,12214x f x f x x c ><≤时当函数22)(xc x x f +=在),[4+∞-c 上是增函数；当0),()(,12421x f x f c x x <≤<<)(x f 则为减函数，设,421c x x -≤<则22421)(,xc x x f c x x +=≥->-因是偶函数，所以,0)()()()(2121>---=-x f x f x f x f所以函数],()(422c xcx x f --∞+=在上是减函数， 同理可证，函数)0,[)(422c xc x x f -+=在上是增函数.（3）可以推广为研究函数),0(是正整数常数n a x a x y n n>+=的单调性.当n 是奇数时，函数],(),[22n n n na a xa x y --∞+∞+=和在上是增函数，在)0,[],0(22n n a a -和上是减函数； 当n 是偶数时，函数)0,[),[22n n n na a xax y -+∞+=和在上是增函数， 在),[],0(22n n a a --∞和上是减函数．。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式1．（浙江高考真题）已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f （4）>f （1），则（ ） A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0 D ．a <0，2a ＋b ＝0【答案】A 【解析】由已知得f (x )的图象的对称轴为x ＝2且f (x )先减后增，可得选项. 【详解】由f (0)＝f （4），得f (x )＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－2ba＝2，∴4a ＋b ＝0， 又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x )先减后增，于是a >0， 故选：A.2．（2021·全国高三专题练习（文））已知函数42()f x x x =-，则错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于y 轴对称B ．方程()0f x =的解的个数为2C ．()f x 在(1,)+∞上单调递增D ．()f x 的最小值为14-【答案】B 【解析】结合函数的奇偶性求出函数的对称轴，判断A ，令()0f x =，求出方程的解的个数，判断B ，令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，从而判断C ，D 即可．【详解】42()f x x x =-定义域为R ，显然关于原点对称，又()()4242()f x x x x x -=---=-()f x =，所以()y f x =是偶函数，关于y 轴对称，故选项A 正确. 令()0f x =即2(1)(1)0x x x +-=，解得：0x =，1，1-，函数()f x 有3个零点，故B 错误；练基础令2t x =，2211()()24g t t t t =-=--，1x >时， 函数2t x =，2()g t t t =-都为递增函数，故()f x 在(1,)+∞递增，故C 正确；由12t =时，()g t 取得最小值14-，故()f x 的最小值是14-，故D 正确．故选：B ．3．（2021·北京高三其他模拟）设x ∈R ，则“2560x x -+<”是“|2|1x -<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】分别解出两个不等式的解集，比较集合的关系，从而得到两命题的逻辑关系. 【详解】2560x x -+<23x ⇒<<；|2|1x -<13x ⇒<<；易知集合()2,3是()1,3的真子集，故是充分不必要条件. 故选：A.4．（2021·全国高三月考）已知函数2()f x x bx c =-++，则“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】根据二次函数的图象与性质，求得(())02bf f >，反之若()0f t =有两个正根12t t <，当12max ()t t f x <<，得到方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由2()f x x bx c =-++表示开口向下的抛物线，对称轴的方程为2b x =，要使得方程()0f x =有两个不同实数，只需()02bf >，要使得方程(())0f f x =恰有两个不同实数解，设两解分别为12,x x ，且12x x <， 则满足1max 2()x f x x <<，因为12(,)x x x ∈时，()0f x >，所以(())02b f f >，所以必要性成立； 反之，设()02b t f =>，即()0f t >，当()0f t =有两个正根，且满足12t t <，若12max ()t t f x <<， 此时方程(())0f f x =恰有四个不同实数解，所以充分性不成立.所以“02b f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程()0f x =有两个不同实数解且方程(())0f f x =恰有两个不同实数解”的必要不充分条件. 故选：C.5．（2021·全国高三专题练习）若当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象始终在函数y =log a x 的图象的下方，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1<a ≤2. 【解析】在同一个坐标系中画出两个函数的图象，结合图形，列出不等式组，求得结果. 【详解】如图，在同一平面直角坐标系中画出函数y =(x -1)2和y =log a x 的图象.由于当x ∈(1，2)时，函数y =(x -1)2的图象恒在函数y =log a x 的图象的下方，则1log 21aa >⎧⎨⎩，解得1<a ≤2.故答案为：1<a ≤2.6.（2020·山东省微山县第一中学高一月考）若不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.【答案】(,1)-∞- 【解析】∵不等式220ax x a ++<对任意x ∈R 恒成立， ∴函数22y ax x a =++的图象始终在x 轴下方，∴2440a a <⎧⎨∆=-<⎩，解得1a <-， 故答案为：(,1)-∞-．7.（2021·全国高三专题练习）已知当()0,x ∈+∞时，不等式9x －m ·3x ＋m ＋1>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．【答案】(,2-∞+ 【解析】先换元3x ＝t ，()1,t ∈+∞，使f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，再利用二次函数图象特征列限定条件，计算求得结果即可. 【详解】令3x ＝t ，当()0,x ∈+∞时，()1,t ∈+∞，则f （t ）＝t 2－mt ＋m ＋1>0在()1,t ∈+∞上恒成立，即函数在()1,t ∈+∞的图象在x 轴的上方，而判别式()()224144m m m m ∆=--+=--，故2440m m ∆=--<或()0121110m f m m ∆≥⎧⎪⎪≤⎨⎪=-++≥⎪⎩，解得2m <+故答案为：(,2-∞+.8．（2021·浙江高一期末）已知函数2()1(0)f x ax x a =-+≠，若任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，则实数a 的取值范围是___________．【答案】[)1,+∞ 【解析】本题首先可令12x x >，将()()12121f x f x x x ->-转化为()()1122f x x f x x ->-，然后令()()g x f x x =-，通过函数单调性的定义得出函数()g x 在[1,)+∞上是增函数，最后分为0a =、0a ≠两种情况进行讨论，结合二次函数性质即可得出结果. 【详解】因为任意1x 、2[1,)x ∈+∞且12x x ≠，都有()()12121f x f x x x ->-，所以令12x x >，()()12121f x f x x x ->-即()()1212f x f x x x ->-，()()1122f x x f x x ->-，令()()221g x f x x ax x =-=-+，则函数()g x 在[1,)+∞上是增函数， 若0a =，则()21g x x =-+，显然不成立；若0a ≠，则0212a a>⎧⎪-⎨-≤⎪⎩，解得1a ≥，综合所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞， 故答案为：[)1,+∞.9.（2021·四川成都市·高三三模（理））已知函数21,0()2,0x x f x x x x --≤⎧=⎨-+>⎩，若()()12f x f x =，且12x x ≠，则12x x -的最大值为________． 【答案】134【解析】由()()12f x f x =得，212221x x x =--，把12x x -转化为212212231x x x x x x -=-=-++，利用二次函数求最值. 【详解】()y f x =的图像如图示：不妨令12x x <，由图像可知，10x ≤，20x >由()()22121221221221f x f x x x x x x x =⇒--=-+⇒=--，由212212231x x x x x x -=-=-++ 当232x =时，12max134x x -=． 故答案为：134. 10．（2021·浙江高一期末）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1(,]4-∞；（Ⅱ）1[,)2+∞ 【解析】（Ⅰ）由题意讨论0k =，0k >与0k <三种情况，求出函数的对称轴，结合区间，列不等式求解；（Ⅱ）利用参变分离法得24k x x≥+在[2,4]上恒成立，令4()f x x x =+，根据单调性，求解出最值，即可得k 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x=+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞1．（2020·山东省高三二模）已知函数()()21f x x m x m =+--，若()()0f f x 恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．3,3⎡--+⎣B ．1,3⎡--+⎣C ．[]3,1- D ．3⎡⎤-+⎣⎦【答案】A 【解析】()()()()211f x x m x m x m x =+--=-+，（1）1m >-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≥或()1f x ≤-恒成立，即()()21f x x m x m m =+--≥或()()211f x x m x m =+--≤-（不合题意，舍去）恒成立；即01m ∆≤⎧⎨>-⎩，解得(1,3m ∈--+， （2）1m =-恒成立，符合题意； （3）1m <-，()()0ff x ≥恒成立等价于()f x m ≤（不合题意，舍去）或()1f x ≥-恒成立，等价于1m ∆≤⎧⎨<-⎩，解得[)3,1m ∈--. 综上所述，3,3m ⎡∈--+⎣，故选：A.2．（2021·浙江高三二模）已知()22f x x x =-，对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程练提升()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，则m 的取值范围是（ ）A ．[]0,3B ．[]0,4C ．{}3D ．{}4【答案】D 【解析】对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上有解，不妨取取()11f x =-，()23f x =，方程有解m 只能取4，则排除其他答案.【详解】2()(1)1f x x =--，[0,3]x ∈，则min ()1f x =-，max ()3f x =.要对任意的1x ，[]20,3x ∈．方程()()()()12f x f x f x f x m -+-=在[]0,3上都有解, 取()11f x =-，()23f x =，此时，任意[0,3]x ∈，都有()()()()124m f x f x f x f x =-+-=， 其他m 的取值，方程均无解，则m 的取值范围是{}4. 故选：D.3.（2020·浙江省高三二模）已知函数()321,020a x x f x x ax x ⎧-≤⎪=⎨-+->⎪⎩的图象经过三个象限，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2a <或3a >. 【解析】当0x ≤时，3()||11f x a x =-≤-，此时函数图象经过第三象限，当02x <<时，2()(1)2f x x a x =-++，此时函数图象恒经过第一象限，当2[(1)]40a =--->且10a +>，即3a >时，函数图像经过第一、四象限，当2x ≥时，2()(1)2f x x a x =---，此时函数图象恒经过第一象限，当(2)0f <，即2a >时，函数图像经过第一、四象限， 综上所述：2a <或3a >.4．（2020·陕西省西安中学高三其他（理））记{},max ,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________.【答案】12a < 【解析】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()g x 的对称轴为122a x =<， 所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()g x 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <5．（2021·浙江高三专题练习）已知函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，若[1,1]x ∈-时，()1f x ≤，则12a b +的最大值是___________. 【答案】12- 【解析】根据函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈，分1a >，1a <-和11a -≤≤三种情况讨论，分别求得其最大值，即可求解. 【详解】由题意，函数()21,()2f x x x a b a b R =+-+∈， 当1a >时，()211,[1,1]22f x x x a b x =-++∈-，因为() 1f x ≤，可得(1)11()14f f -≤⎧⎪⎨≥-⎪⎩，所以1122115216a b a b ⎧+≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩，所以15111622a b -≤+≤-； 当1a <-时，()211,[1,1]22f x x x a b x =+-+∈-，因为()1f x ≤，可得()max 11(1)1122f x f a b ==+-+≤， 所以1122b a ≤-，所以113222a b a +=-≤-；当11a -≤≤时，()21,[1,1]2f x x x a b x =+-+∈-，由()1f x ≤知，()max (1)1112f f x a b =+--+=， 因为11a -≤≤，所以10a --≤，所以()max (1)1112f f x a b =+--+=，所以1122a b +≤-，综上可得，12a b +的最大值是12-.故答案为：12-6.（2021·浙江高三期末）已知函数()()21sin sin ,22bf x x x a a b R =+-+∈，若对于任意x ∈R ，均有()1f x ≤，则+a b 的最大值是___________.【答案】1- 【解析】首先讨论1a ≥、1a ≤-时()f x 的最值情况，由不等式恒成立求+a b 的范围，再讨论11a -<<并结合()f x 的单调情况求+a b 的范围，最后取它们的并集即可知+a b 的最大值. 【详解】当sin a x ≥时，211()(sin )4216a b f x x +=-+-， 当sin a x <时，211()(sin )4216b a f x x -=++-，令sin [1,1]t x =∈-，则()()2211,4216{11(),()4216a b t a t g t b a t a t +⎛⎫-+-≥ ⎪⎝⎭=-++-<∴当1a ≥时，14t =有min 1()216a b g t +=-；1t =-有max 3()22a b g t +=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622a b a b ++-≤-<+≤，故1518a b -≤+≤-； 当1a ≤-时，14t =-有min 1()216b a g t -=-；1t =有max 3()22b a g t -=+； 由x ∈R 有()1f x ≤，有131121622b a b a ---≤-<+≤，故1518b a -≤-≤-，即3a b +≤-； 当11a -<<时，()2211(),(1)4216{11,(1)4216a b t t a g t b a t a t +-+--<<=-⎛⎫++-≤< ⎪⎝⎭， ∴1(1,)4a ∈--：()g t 在(1,)a -上递减，1[,)4a -上递减，1[,1]4-上递增； 11[,]44a ∈-：()g t 在(1,)a -上递减，[,1)a 上递增；1(,1)4a ∈：()g t 在1(1,]4-上递减，1[,)4a 上递增，[,1)a 上递增；∴综上，()g t 在(1,1)-上先减后增，则(1)1(1)1g g ≤⎧⎨-≤⎩，可得1a b +≤-∴1a b +≤-恒成立，即+a b 的最大值是-1. 故答案为：1-.7．（2020·武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）高一期中）已知函数2()3(,)f x ax bx a b R =++∈，且()0f x ≤的解集为[1,3]．（1）求()f x 的解析式；（2）设()()41xh x f x x =+-，在定义域范围内若对于任意的12x x ，，使得()()12h x h x M -≤恒成立，求M 的最小值．【答案】（1）2()43f x x x =-+；（2）2． 【解析】（1）代入方程的根，求得参数值.（2）使不等式恒成立，根据函数单调性求得函数的最值，从而求得参数的值. 【详解】 解：（1）由题意(1)30(3)9330f a b f a b =++=⎧⎨=++=⎩解得14a b =⎧⎨=-⎩2()43f x x x ∴=-+（2）由题意max ()()min M h x h x -2(),2xh x x R x =∈+ 当0()0x h x ==当10()2x h x x x≠=+， 令2()g x x x=+，当0,()22x g x>，当x =当0,()x g x <≤-x =()(,)g x ∴∈-∞-⋃+∞(),00,(0)44h x x ⎡⎫⎛∈-⋃≠⎪ ⎢⎪⎣⎭⎝⎦综上，()44h x ⎡∈-⎢⎣⎦2442M⎛∴--= ⎝⎭min 2M ∴=8．（2021·浙江高一期末）设函数()()2,f x x ax b a b R =-+∈． （1）若()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，求a 的取值范围； （2）若()f x 在区间[]1,2上有零点，求2244a b b +-的最小值． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）45. 【解析】（1）对实数a 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]0,1上的单调性，求得()max f x ，再由()max f x b =可求得实数a 的取值范围；（2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理化简()22222221222222241414144a x x x x x x b b x +-=+⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭，设()22224124g x x =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，由[]21,2x ∈结合不等式的基本性质求出()2g x 的最小值，即为所求. 【详解】（1）二次函数()2f x x ax b =-+的图象开口向上，对称轴为直线2a x =. ①当02a≤时，即当0a ≤时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递增，则()()max 11f x f a b ==-+； ②当012a <<时，即当02a <<时，函数()f x 在0,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,12a ⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增， ()0f b =，()11f a b =-+，所以，(){}max 1,01max ,1,12a b a f x b a b b a -+<<⎧=-+=⎨≤<⎩；③当12a≥时，即当2a ≥时，函数()f x 在区间[]0,1上单调递减，则()()max 0f x f b ==.综上所述，()max 1,1,1a b a f x b a -+<⎧=⎨≥⎩.所以，当()f x 在区间[]0,1上的最大值为b ，实数a 的取值范围是[)1,+∞； （2）设函数()f x 的两个零点为1x 、2x ，由韦达定理可得1212x x ax x b+=⎧⎨=⎩，所以，()()22222222222212121211221212122444424142a b b x x x x x x x x x x x x x x x x x +-=++-=-++=+-+()222222222212222222241414141x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-+-≥- ⎪+++⎝⎭， 设()242222222222422222444144141124x x g x x x x x x x =-===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭， 由212x ≤≤可得221114x ≤≤，所以，()2222445124g x x =≥⎛⎫+- ⎪⎝⎭.此时，21x =，由212241x x x =+可得115x =. 所以，当115x =，21x =时，2244a b b +-取最小值45. 9．（2020·全国高一单元测试）已知函数f （x ）=9x ﹣a ⋅3x +1+a 2（x ∈[0，1]，a ∈R ），记f （x ）的最大值为g （a ）．（Ⅰ）求g （a ）解析式；（Ⅱ）若对于任意t ∈[﹣2，2]，任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立，求实数m 的范围．【答案】（Ⅰ）g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）m ≤﹣52或m ≥52．【解析】（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，得到f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2，分类讨论即可求出， （Ⅱ）先求出g （a ）min =g （32）=﹣54，再根据题意可得﹣m 2+tm ≤﹣54，利用函数的单调性即可求出．【详解】解：（Ⅰ）令u =3x ∈[1，3]，则f （x ）=h （u ）=u 2﹣3au +a 2． 当32a≤2，即a ≤43时，g （a ）=h （u ）min =h （3）=a 2﹣9a +9； 当322a>，即a ＞43时，g （a ）=h （u ）min =h （1）=a 2﹣3a +1； 故g （a ）=22499,3431,3a a a a a a ⎧-+≤⎪⎪⎨⎪-+>⎪⎩；（Ⅱ）当a≤43时，g （a ）=a 2﹣9a +9，g （a ）min =g （43）=﹣119；当a 43>时，g （a ）=a 2﹣3a +1，g （a ）min =g （32）=﹣54；因此g （a ）min =g （32）=﹣54；对于任意任意a ∈R ，不等式g （a ）≥﹣m 2+tm 恒成立等价于﹣m 2+tm ≤﹣54． 令h （t ）=mt ﹣m 2，由于h （t ）是关于t 的一次函数，故对于任意t ∈[﹣2，2]都有h （t ）≤﹣54等价于5(2)45(2)4h h ⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，即2248504850m m m m ⎧+-≥⎨--≥⎩， 解得m ≤﹣52或m ≥52． 10．（2021·全国高一课时练习）已知函数()22(0)f x ax ax b a =-+>，在区间[]0,3上有最大值16，最小值0.设()()f xg x x=． （1）求()g x 的解析式；（2）若不等式()22log log 0g x k x -⋅≥在[]4,16上恒成立，求实数k 的取值范围；【答案】（1）()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠；（2）(,1]-∞． 【解析】（1）由二次函数的性质知()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数，结合其区间的最值，列方程组求,a b ，即可写出()g x 解析式； （2）由题设得222184()4log log k x x≤-+在[]4,16x ∈上恒成立，即k 只需小于等于右边函数式的最小值即可. 【详解】（1）∵()2(1)f x a x b a =-+-(0a >)，即()f x 在0,1上为减函数，在()1,3上为增函数．又在[]0,3上有最大值16，最小值0，∴(1)0f b a =-=，(3)316f a b =+=，解得4a b ==， ∴()148g x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭(0)x ≠； （2）∵()22log log 0g x k x -≥∴22214log 8log log x k x x ⎛⎫+-≥ ⎪⎝⎭，由[]4,16x ∈，则[]2log 2,4x ∈， ∴222221814()44(1)log log log k x x x ≤-+=-，设21log t x =，11,42t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ∴()24(1)h t t =-在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，当12t =时，()h t 最小值为1，∴1k ≤，即(,1]k ∈-∞.1．（浙江省高考真题）若函数()2f x =x ax b ++在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M m -的值（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关练真题【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与b 无关，选B ．2.（2018·浙江高考真题）已知λ∈R，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________． 【答案】 (1,4) (1,3]∪(4,+∞) 【解析】由题意得{x ≥2x −4<0 或{x <2x 2−4x +3<0 ，所以2≤x <4或1<x <2，即1<x <4，不等式f (x )<0的解集是(1,4),当λ>4时，f(x)=x −4>0，此时f(x)=x 2−4x +3=0,x =1,3，即在(−∞,λ)上有两个零点；当λ≤4时，f(x)=x −4=0,x =4，由f(x)=x 2−4x +3在(−∞,λ)上只能有一个零点得1<λ≤3.综上，λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).3.（北京高考真题）已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.【答案】1[,1]2【解析】试题分析：22222(1)221,[0,1]x y x x x x x +=+-=-+∈，所以当01x =或时，取最大值1；当12x =时，取最小值12.因此22x y +的取值范围为1[,1]2.4.（2018·天津高考真题（理））已知0a >，函数222,0,()22,0.x ax a x f x x ax a x ⎧++≤=⎨-+->⎩若关于x 的方程()f x ax=恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【答案】(48)，【解析】分析：由题意分类讨论0x ≤和0x >两种情况，然后绘制函数图像，数形结合即可求得最终结果. 详解：分类讨论：当0x ≤时，方程()f x ax =即22x ax a ax ++=， 整理可得：()21x a x =-+，很明显1x =-不是方程的实数解，则21x a x =-+，当0x >时，方程()f x ax =即222x ax a ax -+-=， 整理可得：()22x a x =-，很明显2x =不是方程的实数解，则22x a x =-，令()22,01,02x x x g x x x x ⎧-≤⎪⎪+=⎨⎪>⎪-⎩， 其中211211x x x x ⎛⎫-=-++- ⎪++⎝⎭，242422x x x x =-++-- 原问题等价于函数()g x 与函数y a =有两个不同的交点，求a 的取值范围. 结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数()g x 的图象， 同时绘制函数y a =的图象如图所示，考查临界条件， 结合0a >观察可得，实数a 的取值范围是()4,8.5.（2020·江苏省高考真题）已知关于x 的函数(),()y f x y g x ==与()(,)h x kx b k b =+∈R 在区间D 上恒有()()()f x h x g x ≥≥．（1）若()()222 2()f x x x g x x x D =+=-+=∞-∞+，，，，求h (x )的表达式； 【答案】（1）()2h x x =； 【解析】（1）由题设有2222x x kx b x x -+≤+≤+对任意的x ∈R 恒成立. 令0x =，则00b ≤≤，所以0b =.因此22kx x x ≤+即()220x k x +-≥对任意的x ∈R 恒成立，所以()220k ∆=-≤，因此2k =. 故()2h x x =.6．（浙江省高考真题（文））设函数2(),(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当214a b时，求函数()f x 在[1,1]-上的最小值()g a 的表达式； （2）已知函数()f x 在[1,1]-上存在零点，021b a ≤-≤，求b 的取值范围.【答案】（1）222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>；（2）[3,9--【解析】 （1）当214a b时，2()()12a f x x =++，故其对称轴为2a x =-. 当2a ≤-时，2()(1)24a g a f a ==++.当22a -<≤时，()()12a g a f =-=.当2a >时，2()(1)24a g a f a =-=-+.综上，222,2,4(){1,22,2,24a a a g a a a a a ++≤-=-<≤-+>（2）设,s t 为方程()0f x =的解，且11t -≤≤，则{s t ast b+=-=.由于021b a ≤-≤，因此212(11)22t ts t t t --≤≤-≤≤++. 当01t ≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于222032t t --≤≤+和212932t t t --≤≤-+所以293b -≤≤-当10t -≤≤时，222222t t t b t t --≤≤++， 由于22202t t --≤<+和2302t t t --≤<+，所以30b -≤<.综上可知，b 的取值范围是[3,9--.。

高考数学常考压轴题及答案：二次函数1500字二次函数是高考数学中的重要内容之一。

在高考中，常常会涉及到二次函数的基本概念、性质以及与其他知识点的联合运用。

本文将介绍高考数学中常考的二次函数压轴题及其答案，希望能对广大考生备战高考有所帮助。

1. 求二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标。

答案：二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标可以通过求导或者利用平移公式来求解。

求导法可以通过将二次函数转化为一次函数来求解，即 y' = 2ax + b，令y' = 0，解得 x = -b / (2a)，代入原函数可得 y = c - b^2 / (4a)。

利用平移公式可以将二次函数表示为 y = a(x - h)^2 + k 的形式，其中 (h, k) 就是顶点坐标。

2. 已知二次函数 y = ax^2 + bx + c 过点 (1, 2) 和 (2, 3)，求二次函数的解析式。

答案：由已知条件可得：2 = a + b + c (1)3 = 4a + 2b + c (2)由 (1) 式减去2倍的 (2) 式，得 -1 = -6a - 3b，即 6a + 3b = 1 (3)由 (1) 式减去 (2) 式，得 -1 = -3a - b，即 3a + b = 1 (4)解方程组 (3) 和 (4) 可得 a = 1/3，b = 2/3。

将 a 和 b 的值代入 (1) 式，可得 c =5/3。

所以二次函数的解析式为 y = (1/3)x^2 + (2/3)x + 5/3。

3. 设某个二次函数的图像过点 (1, 3) 和 (2, 7)，与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 B 和C，求 B、C 的坐标。

答案：已知二次函数过点 (1, 3) 和 (2, 7)，可以得到两个方程：3 = a + b + c (1)7 = 4a + 2b + c (2)由 (2) 式减去4倍的 (1) 式，得 1 = -2a - b，即 2a + b = -1 (3)解方程组 (1) 和 (3) 可得 a = 1，b = -3。

高考数学知识点之二次函数一、二次函数的定义二次函数是指具有形如y=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a e0。

在二次函数中，x是自变量，y是因变量。

二、二次函数的图象二次函数的图象是抛物线，其开口的方向由a的正负决定。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

三、二次函数的性质1. 零点二次函数的零点是使得函数值等于零的x值。

要求二次函数的零点，可以使用因式分解法、配方法或求根公式等方法。

- 因式分解法将二次函数表示为(x−x1)(x−x2)=0的形式，其中x1和x2是两个零点。

- 配方法对于一般形式的二次函数，可以使用配方法将其化简为(x−p)2+q=0的形式，其中p和q可以通过配方法的步骤求得。

- 求根公式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，可以使用求根公式 $x=\\frac{-b\\pm\\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ 求得零点。

2. 判别式对于一般形式的二次函数ax2+bx+c=0，判别式D=b2−4ac可以用来判断函数的零点情况。

•当D>0时，二次函数有两个不相等的实根；•当D=0时，二次函数有两个相等的实根；•当D<0时，二次函数无实根。

3. 顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，记作(ℎ,k)。

对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标可以通过公式 $h=-\\frac{b}{2a}$ 求得。

将横坐标代入函数，即可求得顶点的纵坐标。

4. 对称轴二次函数的对称轴是抛物线的对称轴，可以通过顶点来确定。

对于一般形式的二次函数y=ax2+bx+c，其中a>0，对称轴的方程为x=ℎ，其中 $h=-\\frac{b}{2a}$ 为顶点的横坐标。

5. 单调性二次函数的单调性表示函数在某个区间内的增减情况。

对于开口向上的二次函数y=ax2+bx+c，当a>0时，在对称轴两侧，抛物线是开口向上的，函数是单调递增的。

高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为)2(ab f -，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为)2(a b f -，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．三、考点解析考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 例、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 考点二 二次函数的图象与性质 考法(一) 二次函数图象的识别例、若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题例、(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题例、(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .跟踪训练1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54课后作业1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4 2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-49,23，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．提高训练1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．。

高考数学知识点：二次函数_知识点总结高考数学知识点：二次函数I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a>0时，抛物线向上开口;当a|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数Δ=b^2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

二次函数与幂函数[课程标准]通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x2，y ＝x 12，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．幂函数(1)定义：函数01y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增．③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数图象的特征(1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x 轴(简记为“指大图低”)．(2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．2．幂函数y ＝x α(α∈R )在第一象限内图象的画法(1)当α<0时，其图象可类似y ＝x －1画出．(2)当0<α<1时，其图象可类似y ＝x12画出．(3)当α>1时，其图象可类似y ＝x 2画出．3．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝2a∈[m，n]，则f(x)max(2)若－b＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．2a∉[m，n]，则f(x)max1．(人教A必修第一册复习参考题3T5改编)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，则f(－3)＝()A．－9B．9C．3D．－3答案B解析因为幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2，4)，所以2α＝4，α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－3)＝(－3)2＝9.故选B.在(0，＋∞)上都是减函数，则y＝ax2＋bx在(0，2．若函数y＝ax与y＝－bx＋∞)上()A．是增函数B．是减函数C．先减再增D．先增再减答案B在(0，＋∞)上都是减函数，∴a<0，b<0，则y 解析∵函数y＝ax与y＝－bx＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－b<0，∴y＝ax2＋bx在(0，＋∞)2a上是减函数．3．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________．答案[－1，3]解析∵g (x )＝(x －1)2－1，∴g (x )min ＝g (1)＝－1，g (x )max ＝g (3)＝3.∴所求值域为[－1，3]．4．已知α2，－1，－12，12，1，2，若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________．答案－1解析∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1.5．(人教B 必修第二册4.4例1改编)比较下列各题中两个值的大小．(1)1.70.9________1.80.9；(2)(|a |＋3)－12________3－12.答案(1)<(2)≤解析(1)因为幂函数y ＝x 0.9在[0，＋∞)上单调递增，且1.7<1.8，所以1.70.9<1.80.9.(2)因为幂函数y ＝x －12在(0，＋∞)上单调递减，且|a |＋3≥3，所以(|a |＋3)－12≤3－12.例1(1)(2024·成都模拟)幂函数f (x )＝(m 2－3m －3)x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，则下列说法正确的是()A ．m ＝4B ．f (x )是减函数C ．f (x )是奇函数D ．f (x )是偶函数答案C解析函数f (x )＝(m 2－3m －3)x m 为幂函数，则m 2－3m －3＝1，解得m ＝4或m ＝－1.当m ＝4时，f (x )＝x 4在区间(0，＋∞)上单调递增，不满足题意，排除A ；当m ＝－1时，f (x )＝x －1在区间(0，＋∞)上单调递减，满足题意．函数f (x )＝x －1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是减函数，排除B ；因为函数定义域关于原点对称，且f (－x )＝1－x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，不是偶函数，故C 正确，D 错误．故选C.(2)若四个幂函数y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c ，y ＝x d 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是()A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案B解析由幂函数的图象可知在(0，1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x轴，由题图知a >b >c >d .故选B.(3)(2023·安阳三模)已知幂函数f (x )＝x α满足2f (2)＝f (16)，若a ＝f (log 42)，b ＝f (ln 2)，c ＝f (5－12)，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >c >bB ．a >b >cC ．b >a >cD ．b >c >a答案C解析幂函数f (x )＝x α中，2f (2)＝f (16)，所以2×2α＝16α，即2α＋1＝24α，所以α＋1＝4α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，所以f (x )是定义域为R 的增函数，又a ＝f (log 42)，b ＝f (ln 2)，c ＝f (5－12)，且log 42＝12，ln 2>lne ＝12，5－12＝15<12，所以ln 2>log 42>5－12，即f (ln 2)>f (log 42)>f (5－12)，所以b >a >c .故选C.幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．(3)当α＞0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增；当α＜0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．1．幂函数y ＝x m2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案C解析从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限单调递减，故m 2－2m－3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0，1，2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．故选C.2．(2023·海口三模)设a b c 则a ，b ，c 的大小关系是()A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a答案A解析a 1，b 1，c 1，且0＜827＜916＜1，函数y ＝x14在(0，＋∞)c ＜a .综上可知，c ＜a＜b .故选A.例2若二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则f (x )的解析式为________．答案f (x )＝－4x 2＋4x ＋7解析解法一(利用一般式)：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得c＝－1，1，8，＝－4，＝4，＝7.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.解法二(利用顶点式)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线的对称轴为直线x＝2＋（－1）2＝12.∴m＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴f(x)＝＋8.∵f(2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－＋8＝－4x2＋4x＋7.解法三(利用两根式)：由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数f(x)有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8，解得a＝－4.∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x ＋7.确定二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：已知函数f(x)＝x2＋bx＋c，且g(x)＝f(x)＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f(x)的解析式．条件①：函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5；条件②：函数f(x)≤0的解集为{1}；条件③：方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x21＋x22＝10.解函数f(x)＝x2＋bx＋c，则g(x)＝f(x)＋2x＝x2＋(b＋2)x＋c，因为g(x)为偶函数，所以g(－x)＝g(x)，即x2－(b＋2)x＋c＝x2＋(b＋2)x＋c，可得b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1.若选条件①，因为函数f(x)在区间[－2，2]上的最大值为5，所以f(－2)＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.若选条件②，由函数f(x)≤0的解集为{1}，可得f(1)＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1，所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x＋1.若选条件③，方程f(x)＝0有两根x1，x2，且x21＋x22＝10.由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c，又(x1＋x2)2＝x21＋x22＋2x1x2，所以4＝10＋2c，解得c＝－3.所以f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.多角度探究突破角度二次函数图象的识别例3(多选)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论中正确的是()A．b＝－2aB．a＋b＋c＜0C．a－b＋c＞0D．abc＜0答案AD＝1，则b＝－2a，解析由图象可知a＜0，f(x)图象的对称轴为直线x＝－b2a则b＞0，又f(0)＝c＞0，∴abc＜0，由于f(－1)＜0，则a－b＋c＜0，由于f(1)＞0，则a＋b＋c＞0.故选AD.识别二次函数图象应学会“三看”一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()答案C解析若a＞0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a＜0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y ＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于B，看直线可知a＞0，b＞0，从而－b＜0，而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧，故应排除B.故选C.2a角度二次函数的单调性例4(1)(2023·济南二模)若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)满足f(1)＝f(3)，则下列不等式成立的是()A．f(1)<f(4)<f(2)B．f(4)<f(1)<f(2)C．f(4)<f(2)<f(1)D．f(2)<f(4)<f(1)答案B解析因为f(1)＝f(3)，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝2，又因为a<0，所以f(4)<f(3)<f(2)，又f(1)＝f(3)，所以f(4)<f(1)<f(2)．故选B.(2)(2023·上海徐汇区模拟)函数f(x)＝x2－6|x|＋8的单调递减区间是________．答案(－∞，－3]和[0，3]解析由题意，f(x)＝x2－6|x|＋82－6x＋8，x≥0，2＋6x＋8，x<0，所以当x≥0时，函数f(x)在[0，3]上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增；当x＜0时，函数f(x)在(－∞，－3]上单调递减，在(－3，0)上单调递增．综上，函数f(x)的单调递减区间是(－∞，－3]和[0，3]．1．决定二次函数单调性的两个关键因素2．利用二次函数单调性比较大小的两个常用方法(1)利用对称轴一侧的单调性比较大小(2)利用图象中对应点的高低关系比较大小当抛物线开口向上时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越高(或越低)，这个点的纵坐标越大(或越小)；当抛物线开口向下时，离对称轴越远(或越近)的点，位置越低(或越高)，这个点的纵坐标越小(或越大)．(多选)(2024·济南一中调研)定义在R上的函数f(x)＝－x3＋m与函数g(x)＝f(x)＋x3＋x2－kx在[－1，1]上具有相同的单调性，则k的取值可以是()A．1 B.32C ．2D ．3答案CD解析易知f (x )＝－x 3＋m 在R 上是减函数．依题设，函数g (x )＝x 2－kx ＋m在[－1，1]上单调递减，所以函数g (x )图象的对称轴为直线x ＝k2≥1，则k ≥2.故k的取值可以是2，3.角度二次函数的最值问题例5(2024·苏州模拟)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |.(1)若f (0)≥1，求a 的取值范围；(2)求f (x )的最小值．解(1)若f (0)≥1，则－a |－a |≥1，显然a <0，则－a (－a )≥1，即a 2≥1，解得a ≤－1，所以a 的取值范围为(－∞，－1]．(2)当x ≥a 时，f (x )＝2x 2＋(x －a )2＝3x 2－2ax ＋a 2，此时f (x )图象开口向上，对称轴为直线x ＝a3，(ⅰ)当a3≤a ，即a ≥0时，f (x )在[a ，＋∞)上单调递增，此时f (x )min ＝f (a )＝2a 2；(ⅱ)当a3>a ，即a <0时，f (x )在a 上单调递减，在a 3，＋此时f (x )min ＝－2a ·a 3＋a 2＝232.当x ≤a 时，f (x )＝2x 2－(x －a )2＝x 2＋2ax －a 2，此时f (x )图象开口向上，对称轴为直线x ＝－a ，①当－a <a ，即a >0时，f (x )在(－∞，－a ]上单调递减，在(－a ，a ]上单调递增，此时f (x )min ＝f (－a )＝－2a 2；②当－a ＝a ，即a ＝0时，f (x )＝x 2，f (x )在(－∞，0]上单调递减，此时f (x )min＝f (0)＝0；由①②得，当a≥0时，f(x)min＝－2a2.③当－a>a，即a<0时，f(x)在(－∞，a]上单调递减，此时f(x)min＝f(a)＝2a2.综上，当a≥0时，因为2a2≥－2a2，所以f(x)min＝－2a2；当a<0时，因为2a2>23a2，所以f(x)min＝23a2.故f(x)min2a2，a≥0，2，a<0.二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为－254，－4，则m的取值范围是()A．[0，4] B.32，4C.32，＋D.32，3答案D解析二次函数图象的对称轴为直线x＝32，且＝－254，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，可得m ∈32，3.角度与二次函数有关的恒成立问题例6已知两函数f(x)＝8x2＋16x－k，g(x)＝2x2＋4x＋4，其中k为实数．(1)对任意x∈[－3，3]，都有f(x)≤g(x)，求k的取值范围；(2)存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，求k的取值范围；(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，求k的取值范围．解(1)设h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k，问题转化为x∈[－3，3]时，h(x)≤0恒成立，故h(x)max≤0.由二次函数的性质可知h(x)max＝h(3)＝86－k，由86－k≤0，得k≥86，即k的取值范围为[86，＋∞)．(2)由题意，存在x∈[－3，3]，使f(x)≤g(x)成立，即h(x)＝f(x)－g(x)＝6x2＋12x－4－k≤0在x∈[－3，3]上有解，故h(x)min≤0.由二次函数的性质可知h(x)min＝h(－1)＝－10－k，由－10－k≤0，得k≥－10，即k的取值范围为[－10，＋∞)．(3)对任意x1，x2∈[－3，3]，都有f(x1)≤g(x2)，所以f(x)max≤g(x)min，x∈[－3，3]．由二次函数的性质可得f(x)max＝f(3)＝120－k，g(x)min＝g(－1)＝2.由120－k≤2，得k≥118，即k的取值范围为[118，＋∞)．由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是构造新函数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.(2023·保定模拟)已知二次函数f(x)的最小值为3，且f(1)＝f(3)＝5.(1)求f(x)的解析式；(2)若y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方，求实数m的取值范围．解(1)根据题意得二次函数f(x)的顶点坐标为(2，3)，设f(x)＝a(x－2)2＋3，然后把点(3，5)代入得a＝2，∴f(x)＝2(x－2)2＋3＝2x2－8x＋11.(2)y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋2m＋1的上方⇔f(x)－(2x＋2m＋1)>0恒成立，令g (x )＝2x 2－8x ＋11－(2x ＋2m ＋1)＝2x 2－10x ＋10－2m ，若g (x )＝2x 2－10x ＋10－2m >0恒成立，则Δ＝(－10)2－4×2×(10－2m )<0，解得m <－54，即实数m 的取值范围为∞课时作业一、单项选择题1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，则函数f (x )在(－∞，0)上()A ．是增函数B ．不是单调函数C ．是减函数D ．不能确定答案A解析因为函数f (x )＝(m －1)x 2－2mx ＋3是偶函数，所以函数图象关于y 轴对称，即mm －1＝0，解得m ＝0.所以f (x )＝－x 2＋3为开口向下的抛物线，所以函数f (x )在(－∞，0)上单调递增．故选A.2．有下列四个幂函数，某同学研究了其中的一个函数，并给出这个函数的三个性质：①是偶函数；②值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③在(－∞，0)上单调递增．如果给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则该同学研究的函数是()A ．y ＝x －1B ．y ＝x －2C ．y ＝x 3D ．y ＝x 13答案B解析对于A ，y ＝x －1是奇函数，值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}，在(－∞，0)上单调递减，三个性质中有两个不正确，不符合题意；对于B ，y ＝x －2是偶函数，值域是{y |y ∈R ，且y >0}，在(－∞，0)上单调递增，三个性质中有两个正确，符合题意；同理可判断C ，D 中的函数不符合题意．故选B.3．若幂函数f (x )的图象过点(2，2)，则函数y ＝f (x )＋1－x 的最大值为()A ．1 B.54C ．2 D.73答案B解析设f (x )＝x α，∵f (x )的图象过点(2，2)，∴f (2)＝2α＝2，则α＝12，∴f (x )＝x ，∴y ＝x ＋1－x ＋54，∴函数的最大值为54.故选B.4．(2024·上海黄浦区模拟)如图所示是函数y ＝x mn(m ，n均为正整数且m ，n 互质)的图象，则()A ．m ，n 是奇数且mn＜1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn ＜1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn ＞1D ．m ，n 是奇数，且mn ＞1答案B解析由幂函数的性质可知，y ＝xm n 与y ＝x 恒过点(1，1)，即在第一象限的交点为(1，1)，当0＜x ＜1时，x mn ＞x ，则mn＜1，又y ＝xmn 的图象关于y 轴对称，∴y ＝xm n 为偶函数，∴(－x )m n ＝n （－x ）m＝x mn ＝n x m ，又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数．故选B.5．(2023·北京海淀一模)设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为()A．1B．－1C.－1－52D.－1＋52答案B解析由题意知b>0，a≠0，所以二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象不关于y轴对称，故排除第一、二个函数图象，当a>0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－b2a<0，故第四个图象也不满足题意，当a<0时，该二次函数图象的对称轴为直线x＝－b2a>0，开口向下，故第三个函数图象满足题意．此时函数图象过坐标原点，故a2－1＝0，解得a＝±1，由于a<0，故a＝－1.故选B.6．(2024·福州模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx－3m，则“m>2”是“f(x)<0对x∈[1，3]恒成立”的()A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案C解析若f(x)<0对x∈[1，3]恒成立，则f（1）＝2－4m<0，f（3）＝18－6m<0，解得m>3，又{m|m>3}是{m|m>2}的真子集，所以“m>2”是“f(x)<0对x∈[1，3]恒成立”的必要不充分条件．7．(2023·合肥包河区校级模拟)若0<x1<x2，则下列函数：①f(x)＝x；②f(x)＝x2；③f(x)＝x3；④f(x)＝x；⑤f(x)＝1x 中，满足条件fx1＋x22≤f（x1）＋f（x2）2(0<x1<x2)的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案D解析若满足条件f x1＋x22≤f（x1）＋f（x2）(0<x1<x2)，则函数图象在y轴右侧为一条直线或下凸曲线，根据2函数图象易得④f(x)＝x不满足，其余都满足．故选D.8．(2023·苏州三模)设函数f(x)＝ax2－2ax(a<0)的定义域为D，对于任意m，n∈D，若所有点P(m，f(n))构成一个正方形区域，则实数a的值为() A．－1B．－2C．－3D．－4答案D解析由已知可得，ax2－2ax≥0.因为a<0，所以x2－2x≤0，解得0≤x≤2，所以D＝[0，2]．因为y＝x2－2x在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，所以y＝x2－2x在x＝1处取得最小值－1，所以y＝a(x2－2x)在x＝1处取得最大值－a，所以函数f(x)＝ax2－2ax在x＝1处取得最大值－a.因为f(0)＝f(2)＝0，所有点P(m，f(n))构成一个正方形区域，所以－a＝2，所以a＝－4.故选D.二、多项选择题9．由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是() A．在x轴上截得的线段的长度是2B．与y轴交于点(0，3)C．顶点是(－2，－2)D．图象过点(3，0)答案ABD解析易知二次函数的解析式为y＝a(x－1)·(x－3)＝a(x2－4x＋3)(a≠0)，图象与x轴的两交点为(1，0)，(3，0)，故在x轴上截得的线段长为2，A，D正确；将x＝0代入二次函数的解析式得y＝3a，故B可能正确；顶点的横坐标为2，故C错误．故选ABD.10．若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域，则称这两函数为“亲密函数”．下列函数中，与函数f(x)＝x4是“亲密函数”的是()A ．y ＝x 23B ．y ＝2|x |－1C ．y ＝x 21＋x 2D ．y ＝x 22答案ABD解析易知函数f (x )＝x 4的定义域为R ，是偶函数，f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，值域为[0，＋∞)，选项中四个函数的定义域都为R 且都为偶函数，单调性也与函数f (x )＝x 4保持一致，但是y ＝x 21＋x 2＝1－11＋x2的值域为[0，1)，y ＝x 23＝3x 2≥0，y ＝2|x |－1≥0，y ＝x 22≥0.故选ABD.11．已知幂函数f (x )m ，则下列结论正确的是()A ．f (－32)＝116B ．f (x )的定义域是RC ．f (x )是偶函数D ．不等式f (x －1)≥f (2)的解集是[－1，1)∪(1，3]答案ACD解析幂函数f (x )m，∴m ＋95＝1，∴m ＝－45，∴f (x )＝x －45，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，B 错误；∵f (－32)＝(－32)－45＝116，A 正确；f (x )＝x －45＝15x4，定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，又f (－x )＝15（－x ）4＝15x4＝f (x )，∴f (x )是偶函数，C 正确；∵f (x )＝x －45，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，又f (x )是偶函数，∴不等式f (x －1)≥f (2)等价于f (|x －1|)≥f (2)，∴－1≠0，－1|≤2，解得－1≤x <1或1<x ≤3，D 正确．故选ACD.三、填空题12．(2023·天津模拟)函数f (x )＝9x 2＋x －1的最小值为________．答案9解析∵f (x )的定义域为[1，＋∞)，且y ＝9x 2与y ＝x －1在[1，＋∞)上均为增函数，∴f (x )在[1，＋∞)上单调递增，故f (x )min ＝f (1)＝9.13．(2024·淮安盱眙中学月考)已知幂函数f (x )f (a －1)<f (8－2a )，则实数a 的取值范围是________．答案(3，4)解析由幂函数f (x )＝110x＝x －110，可得函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且是减函数．因为f (a －1)<f (8－2a)－1>8－2a ，－1>0，－2a >0，解得3<a <4，即实数a 的取值范围为(3，4)．14．(2024·潍坊质检)已知函数f (x )＋x ，－2≤x ≤c ，c <x ≤3.若c ＝0，则f (x )的值域是________；若f (x )的值域是－14，2，则实数c 的取值范围是________．答案－14，＋12，1解析当c ＝0时，即x ∈[－2，0]时，f (x )∈－14，2，当x ∈(0，3]时，f (x )∈13，＋所以f (x )的值域为－14，＋作出y ＝x 2＋x 和y ＝1x的图象如图所示，当f (x )＝－14时，x ＝－12；当x 2＋x ＝2时，x ＝1或x ＝－2；当1x ＝2时，x ＝12，由图象可知当f (x )的值域为－14，2时，需满足12≤c ≤1.四、解答题15．已知函数f (x )＝x 2－a |x －1|－1(a ∈R )．(1)若f (x )≥0在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围；(2)求f (x )在[－2，2]上的最大值M (a )．解(1)由题意可得x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立，①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令m (x )＝x 2－1|x －1|＝＋1，x >1，x －1，x <1，②当x ＞1时，m (x )＞2，a ≤2；③当x ＜1时，m (x )＞－2，a ≤－2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2]．(2)f (x )2－ax ＋a －1，1≤x ≤2，2＋ax －a －1，－2≤x <1，得f (1)＝0，f (2)＝3－a ，f (－2)＝3－3a ，①当a ≥3时，∵f (－2)＜f (2)≤f (1)＝0，∴M (a )＝0；②当0≤a ＜3时，∵f (－2)≤f (2)，f (1)<f (2)＝3－a ，∴M (a )＝3－a ；③当a ＜0时，∵f (1)＜f (2)＜f (－2)＝3－3a ，∴M (a )＝3－3a .∴M (a )，a ≥3，－a ，0≤a <3，－3a ，a <0.16．现有三个条件：①对任意的x ∈R 都有f (x ＋1)－f (x )＝2x －2；②不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}；③函数y＝f(x)的图象过点(3，2)．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，且满足________．(1)求函数f(x)的解析式；(2)设g(x)＝f(x)－mx，若函数g(x)在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值．解(1)条件①：因为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，所以f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x－2，即2(a－1)x＋a＋b＋2＝0对任意的x恒成立，－1＝0，＋b＋2＝0，＝1，＝－3.条件②：因为不等式f(x)<0的解集为{x|1<x<2}，＋2＝－ba，×2＝ca，＝－3a，＝2a，且a>0.条件③：函数y＝f(x)的图象过点(3，2)，所以9a＋3b＋c＝2.若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f(x)＝x2－3x＋2.(2)由(1)知g(x)＝x2－(m＋3)x＋2，其图象的对称轴为直线x＝m＋32，(ⅰ)当m＋32≤1，即m≤－1时，g(x)min＝g(1)＝3－(m＋3)＝－m＝3，解得m ＝－3，(ⅱ)当m＋32≥2，即m≥1时，g(x)min＝g(2)＝6－(2m＋6)＝－2m＝3，解得m＝－32(舍去)，(ⅲ)当1<m＋32<2，即－1<m<1时，g(x)min＝＝－（m＋3）24＋2＝3，无解．综上所述，实数m的值为－3.21。

高考数学中的重难点——二次函数知识梳理： 1．二次函数的解析式的三种形式： (1)一般式：f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)。

(2)顶点式（配方式）：f(x)=a(x-h)2+k 其中(h,k)是抛物线的顶点坐标。

(3)两点式（因式分解）：f(x)=a(x-x 1)(x-x 2),其中x 1,x 2是抛物线与x 轴两交点的坐标。

2．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象是一条抛物线，对称轴a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b --（1）a>0时，抛物线开口向上，函数在]2,(a b --∞上单调递减，在),2[+∞-ab上单调递增，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2min-=；（2）a<0时，抛物线开口向下，函数在]2,(a b --∞上单调递增，在),2[+∞-ab上单调递减，a b x 2-=时，ab ac x f 44)(2max-=。

3．二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)当042>-=∆ac b 时图象与x 轴有两个交点M 1(x 1,0),M 2(x 2,0)ax x x x x x M M ∆=-+=-=2122121214)(。

4． 根分布问题: 一般地对于含有字母的一元二次方程ax 2+bx+c=0 的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax 2+bx+c (a>0) ，(1)x 1<α,x 2<α ,则⎪⎩⎪⎨⎧><-≥∆0)()2/(0ααaf a b ; (2)x 1>α,x 2>α,则⎪⎩⎪⎨⎧>>-≥∆0)()2/(0ααaf a b(3)α<x 1<β,α<x 2<β,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆βαβα)2/(0)(0)(0a b f f (4)x 1<α,x 2>β (α<β),则⎪⎩⎪⎨⎧<<≥∆0)(0)(0βαf f(5）若f(x)=0在区间(α,β)内只有一个实根，则有0))(<(βαf f5 最值问题：二次函数f(x)=ax 2+bx+c 在区间[α,β]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴-b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴-b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a 的符号对抛物线开口的影响6 二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：①0∆<⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴无交点⇔ax 2+bx+c=0无实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;②0∆=⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴相切⇔ax 2+bx+c=0有两个相等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为∅或者是R;③0∆>⇔f(x)=ax 2+bx+c 的图像与x 轴有两个不同的交点⇔ax 2+bx+c=0有两个不等的实根⇔ax 2+bx+c>0(<0)的解集为(,)αβ()αβ<或者是(,)(,)αβ-∞+∞疑点一：求二次函数的解析式例1．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数。

高考数学一次函数与二次函数单选题专题复习题1．函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图所示,则函数()2x g x a b =+-的图像是（）A. B.C. D.2．某超市商品的日利润y （单位：元）与该商品的当日售价x （单位：元）之间的关系为21221025x y x =-+-，那么该商品的日利润最大时，当日售价为（）A.120元 B.150元 C.180元D.210元3．若0ab >，2240a ab b c -+-=，当cab取最小值时，2a b c +-的最大值为（）A.76B.1312C.1918D.25244．若全集U =R ，集合{}21A y y x ==+，{}12B x x =-≤≤，则()A B =U ð（）A.(),1-∞-B.()1,+∞C.()(),12,-∞-+∞ D.()(),12,-∞+∞ 5．如果函数()f x 的导函数为()f x '，且满足2()(0)f x f x x '=⋅-，那么()f x 的最大值一定为（）A.14-B.0C.14D.16．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴为12x =-.有下列4个结论：①<0abc ；②b a c <+；③34b c <-；④当12x >-时，y 随x 的增大而增大.其中，正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个7．二次函数()()22f x ax x c x =++∈R 的值域为[)1,+∞，则14a c+的最小值为（）A.-3B.3C.-4D.48．如果不等式20ax x c -+>的解集为{21}x x -<<∣，那么函数2y ax x c =++的图象大致为（）A. B.C. D.9．已知函数()222,0,2,0,x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，如果满足()()22f a f a ->，那么实数a 的取值范围是（）A.()(),12,-∞-+∞B.()1,2-C.()2,1- D.()(),21,-∞-+∞10．设函数()()()2ln f x a x x b =-+，若()0f x ≤，则22a b +的最小值为（）A.15B.5C.12D.211．如图所示，关于二次函数2y ax bx c =++的图象有四个不同说法：①0ac <；②方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =；③0a b c ++>；④当1x >时，y 随x 的增大而增大。

高考数学总复习 二次函数1、二次函数解析式的三种设法：①一般式y=ax2+bx+c(a ≠0) ②顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0) ③两根式y=a(x-x1)(x-x2) )0(≠a . 23、三个“二次”之间的关系：二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数方程的思想方法将它们进行相互转化，才是准确迅速答题的关键. 二次方程ax2+bx+c=0的两根即为不等式ax2+bx+c>0)0(<解集的端点值，也是二次函数y=ax2+bx+c 图象与x 轴的交点的横坐标。

4、利用二次函数的知识解决实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)实根分布问题：（1）、二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的区间根问题．一般情况下，需要从四个方面考虑：开口方向；②判别式的符号；③区间端点函数值的正负；④对称轴x=-b/2a 与区间端点的关系。

(2)对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的分布问题，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c(设a＞0)注：在讨论方程根的分布情况时，要写出其充要条件，注意观察对应的函数图象是避免将充要条件写成必要条件的有效办法.5、二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得.（★）二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a ＞0)在区间[m ，n]上的最值问题，分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymin=f(h)=k ，ymax=max{f(m),f(n)} 若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n) 若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m).（☆☆）对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k (a<0)在区间[m ，n]上的最值问题，也分3类讨论： ①若h ∈[m ，n]，则ymax=f(h)=k ，ymin=max{f(m),f(n)} ; ②若h ],(m -∞∈则f(x)在[m,n]单调递减，ymin=f(n), ymax=f(m) ; ③若),[+∞∈n h 则f(x)在[m,n]单调递增，ymin=f(m), ymax=f(n).。

高考数学复习考点知识与结论专题讲解第9讲二次函数通关一、二次函数的解析式(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0).(2)顶点式：f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),其中（m,n)为抛物线顶点坐标，x=m为对称轴方程(3)双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2是抛物线与x轴交点的横坐标。

通关二、二次函数的图像和性质R对称轴距离大的自变量对应的函数值较大；若二次函数的图像开口向下，则到对称轴距离大的自变量对应的函数值较小。

【结论第讲】结论一、y=ax2+bx+c(a≠0)的性质与a,b,c的关系【例1】设abc >0，二次函数f (x )=ax 2+bx +c 的图像可能是（）【答案】D【解析】A 选项，由图像开口向下知a <0，由对称轴位置知2ba-<0，所以b <0。

若abc >0，则c >0，而由题图知f (0)=c <0，所以A 选项不符；B 选项，由题意知a <0，2ba->0，所以 0b >.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =>,所以B 选项不符;C 选项,由题图知0a >,02ba-<,所以0b >.若0abc >,则0c >,而由题图知(0)0f c =<,所以C 选项不符;D 选项,由题图知0,02ba a>->,所以0b <.若0abc >,则0c <,而由题图知(0)0f c =<,所以D 选项正确.故选D.【变式】右图是二次函数2y ax bx c =++图像的一部分,图像过点(3,0)A -,对称轴为1x =-.给出下面四个结论:①24b ac >;②2a b -＝－1;③0a b c -+=;④5a b <.其中正确的是( ). A.②④B.①④C.②③D.①③【答案】B【解析】因为图像与x 轴交于两点,所以240b ac ->,即24b ac >,①正确.对称轴为1x =-,即1,202ba b a-=--=,②错误.结合图像,当1x =-时,0y >,即0,a b c -+>③错误.由对称轴为1x =-知,2b a =.又函数图像开口向下,所以0a <,所以52a a <,即5a b <,④正确.故选B.结论二、二次函数的对称性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是一条抛物线,对称轴方程为2bx a=-,顶点坐标是24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭①如果二次函数()y f x =满足()()12f x f x =,那么函数()y f x =的图像关于x 122x x +=对称.②二次函数()y f x =使()()f a x f a x +=-成立的充要条件是函数()y f x =的图像关于直线(x a a =为常数)对称.【例2】若2()(2)3,[,]f x x b x x b c =-+++∈的图像关于1x =对称,则c =_______. 【答案】2 【解析】由题意可知212b +=,解得0b =,所以012c+=,解得2c =. 【变式】已知二次函数2()f x ax bx c =++,如果()()(12f x f x =其中)12x x ≠,则122x x f +⎛⎫=⎪⎝⎭_____.【答案】244ac b a-【解析】因为()()12f x f x =,所以()y f x =的图像关于122x x x +=对称,122x x f +⎛⎫ ⎪⎝⎭244ac b a-=. 结论三、二次函数的单调性二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠ (1)当0a >时,如图(a)所示,抛物线开口向上,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递减,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增,当2bx a=-时,2min 4()4ac b f x a -=;(2)当0a <时,如图(b)所示,抛物线开口向下,函数在,2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦上递增,在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减,当2bx a=-时,2max 4()4ac b f x a -=.【例3】已知函数2()f x x kx =-+在[2,4]上是单调函数,则实数k 的取值范围为_______.【答案】4k …或8k …【解析】函数2()f x x kx =-+的图像是开口向下的抛物线,经过坐标原点,对称轴是x 2k=.因为已知函数在[2,4]上是单调函数,所以区间[2,4]应在直线2k x =的左侧或右侧,即有22k …或42k …,解得4k …或8k …. 【变式】若函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,则实数a 的取值范围是(). A.(0,3) B.(1,3) C.[1,3] D.[0,4]【答案】C【解析】因为函数2()2f x x ax =-+在区间[0,1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数,所以对称轴x a =应在1x =的右侧,3x =的左侧或与1,3x x ==重合,所以[1,3]a ∈.故选C.结论四、给定区间上的值域对二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠,当0a >时,()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令02p qx +=: (1)若2bp a-…,则(),()m f p M f q ==; (2)若02b p x a <-<,则,()2b m f M f q a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭;(3)若02b x q a -<…,则,()2b m f M f p a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭; (4)若2b q a-…,则(),()m f q M f p ==. 【例4】如果函数2()(1)1f x x =-+定义在区间[,1]t t +上,求()f x 的最小值.【答案】2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟 【解析】函数2()(1)1f x x =-+,其对称轴方程为1x =,顶点坐标为(1,1),图像开口向上.如图()a 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +左侧时,有1t <,此时,当x t =时,函数取得最小值2min ()()(1)1f x f t t ==-+.如图()b 所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +上时,有11t t +剟,即01t 剟.当1x =时,函数取得最小值min ()(1)1f x f ==.如图(c)所示,若顶点横坐标在区间[,1]t t +右侧时,有11t +<,即0t <.当1x t =+时,函数取得最小值,2min ()(1) 1.f x f t t =+=+综上,2min2(1)1,1()1,011,0t t f x t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩剟【变式】已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)求()f x 的解析式;(2)若()f x 在区间[2,1a a +]上不单调,求a 的取值范围; (3)若[,2]x t t ∈+,试求()y f x =的最小值.【解析】(1)因为()f x 是二次函数,且(0)(2)f f =,所以()f x 图像的对称轴为1x =.又()f x 的最小值为1,设2()(1)1(0)f x k x k =-+>,又(0)3f =,所以2k =.所以()f x =222(1)1243x x x -+=-+.(2)要使()f x 在区间[2,1]a a +上不单调,则211a a <<+,所以102a <<. (3)由(1)知,()y f x =的对称轴为1x =,若1t …,则()y f x =在[,2]t t +上是增函数,min y 2243t t =-+;若21t +…,即1t -…,则()y f x =在[,2]t t +上是减函数,min (2)y f t =+=2243t t ++;若12t t <<+,即11t -<<,则min (1)1y f ==.综上,当1t …时,2min 24y t t =-3+;当11t -<<时,min 1y =;当1t -…时,2min 243y t t =++.结论五、二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的关系设2()(0)f x ax bx c a =++> ①0∆<⇔函数()y f x =的图像与x 轴无交点⇔方程()0f x =无实根⇔不等式()0f x >的解集为⇔R 不等式()0f x …的解集为∅.②0∆=⇔函数()y f x =的图像与x 轴相切⇔方程()0f x =有两个相等的实根⇔不等式()0f x >的解集为|2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭.③0∆>⇔函数()y f x =的图像与x 轴有两个不同的交点⇔方程()0f x =有两个不等的实根:,(αβ设)αβ<⇔不等式()0f x >的解集为(,)(,)αβ-∞⋃+∞⇔不等式()0f x <的解集为(,)αβ.【例5】设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>,方程()0f x x -=的两个根12,x x 满足0121x x a<<<(1)当()10,x x ∈时,证明1()x f x x <<;(2)函数()f x 的图像关于直线0x x =对称,证明:102x x <.【解析】证明(1)由题意可知()()12()f x x a x x x x -=--.因为1210x x x a<<<<,所以()()120a x x x x -->,所以当()10,x x ∈时,()f x x >.又1()(f x x a x -=-)()()()1211211,0x x x x x x x ax ax x x -+-=--+-<且22110ax ax ax -+>->,所以1()f x x <.综上可知,所给问题获证.(2)由题意可知2()(1)f x x ax b x c -=+-+,它的对称轴方程为12b x a-=-,由方程()f x 0x -=的两个根12,x x 满足1210x x a <<<,可得121102b x x a a -<<<<-得1212b x x a --=-12b a---,所以121111222b b b x x a a a a ----=-<----,即1b x a -<,而02bx a =-,故102x x <. 【变式】设关于x 的不等式2(21)(2)(1)0x a x a a -+++->和()223x a a x a -++<0()a ∈R 的解集分别是A 和B .(1)若A B ⋂=∅,求实数a 的取值范围;(2)是否存在实数a ,使得A B ⋃=R ?如果存在,求出a 的值,如果不存在,请说明理由. 【解析】(1)(){}2(,1)(2,),|()0A a a B x x a x a=-∞-⋃++∞=--<①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋂=∅,得212a aa a -⎧⎨+⎩……,解得12a -剟. 所以10a -<…或12a <….②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋂=∅显然成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋂=∅,得212a aa a ⎧-⎨+⎩……,解得a ∈R .所以01a <<.综上,实数a 的取值范围是[1,2]-. (2)假设存在实数a ,使得A B ⋃=R ,则:①当0a <或1a >时,()22,,a a B a a >=,由A B ⋃=R ,得212a a a a <-⎧⎨+<⎩,所以a 不存在.②当0a =或1a =时,,B A B =∅⋃=R 显然不成立.③当01a <<时,()2,B a a =,由A B ⋃=R ,得212a a a a a ⎧<-⇒∈∅⎨>+⎩. 综上,不存在实数a 使得A B ⋃=R 成立.结论六、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>根的分布令2()(0)f x ax bx c a =++>图像＞充要0∆⎧…0∆⎧…()0f k <0∆…图像＞注:(1)一元二次方程根的分布问题需考虑:①∆;②对称轴;③区间端点函数值的符号.(2)若()0f k <,则不用考虑∆、对称轴的范围;方程有两根时要注意区分0∆>,还是0∆…. 【例6】二次方程()22120x a x a +++-=,有一个根比1大,另一个根比1-小,则a 的取值范围是().A.31a -<<B.20a -<<C.10a -<<D.02a << 【答案】C 【解析】令()22()12f x x a x a =+++-,则由题意可知(1)0f <且(1)0f -<,即220,20a a a a ⎧+<⎨-+>⎩,解得10a -<<.故选C .【变式】求实数m 的范围,使关于x 的方程22(1)260x m x m +-++=.(1)有两个实根,且一个比2大,一个比2小.(2)有两个实根,αβ,且满足014αβ<<<<.(3)至少有一个正根.【答案】75(1)1(2)(3)154m m m <--<<--… 【解析】2()2(1)26y f x x m x m ==+-++.(1)依题意有(2)0f <,即44(1)260m m +-++<,得1m <-.(2)依题意有(0)260(1)450(4)10140f m f m f m =+>⎧⎪=+<⎨⎪=+>⎩,解得7554m -<<-. (3)方程至少有一个正根,则有三种可能:①有两个正根,此时可得0)0(0)(10202)f m ∆>⎧⎪⎪>⎨--⎪>⎪⎩…,即1531m m m m -≥⎧⎪>-⎨⎪<⎩或…,所以31m -<-….②有一个正根,一个负根,此时可得(0)0f <,得3m <-. ③有一个正根,另一根为0,此时可得6202(1)0m m +=⎧⎨-<⎩,所以3m =-.综上,1m -….。