2.4 幂函数与二次函数-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

§2.4幂函数与二次函数

1．幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较

2.二次函数的图象和性质

概念方法微思考

1．二次函数的解析式有哪些常用形式？

提示(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；

(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．

2．已知f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，写出f (x)≥0恒成立的条件．提示a>0且Δ≤0.

3．函数y＝2x2是幂函数吗？

提示不是．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c (a ≠0)，x ∈[m ，n ]的最值一定是4ac －b 2

4a

.( × )

(2)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( √ ) (3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )

(4)二次函数y ＝x 2＋mx ＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m ≥－2.( √ )

题组二 教材改编

2．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2

2，则k ＋α等于( )

A.12 B ．1 C.3

2 D ．2 答案 C

解析 由幂函数的定义，知⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝1，22＝k ·⎝⎛

⎭⎫12α. ∴k ＝1，α＝12.∴k ＋α＝3

2

.

3．已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( ) A ．[3，＋∞) B ．(－∞，3] C ．(－∞，－3) D ．(－∞，－3]

答案 D

解析 函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，

∴－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.

4．函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0,3]上的最大值为________．最小值为________． 答案 6 2

解析 f (x )＝(x －1)2＋2,0≤x ≤3，

∴x ＝1时，f (x )min ＝2，x ＝3时，f (x )max ＝6. 题组三 易错自纠

5．幂函数f (x )＝21023

a a x －＋(a ∈Z )为偶函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，则a 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 答案 C

解析 因为a 2－10a ＋23＝(a －5)2－2，

f (x )＝25)2

(a x －－(a ∈Z )为偶函数，

且在区间(0，＋∞)上是减函数， 所以(a －5)2－2<0，从而a ＝4,5,6，

又(a －5)2－2为偶数，所以只能是a ＝5，故选C.

6．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)，若f (m )<0，则f (m －1)________0.(填“>”“<”或“＝”) 答案 >

解析 f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝1

2，且f (1)>0，f (0)>0，而f (m )<0，∴m ∈(0,1)，∴m －1<0，

∴f (m －1)>0.

7.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，确定下列各式的正负：b ________0，ac ________0，a －b ＋c ________0.

答案 > < <

解析 ∵a <0，－b

2a >0，c >0，∴b >0，ac <0.

设y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则a －b ＋c ＝f (－1)<0.

幂函数的图象和性质

1．(2019·武汉模拟)若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，1

4，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0)

答案 D

解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －

2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.

2.幂函数223

m m y x

－－＝(m ∈Z )的图象如图所示，则实数m 的值为( )

A ．3

B ．0

C ．1

D ．2

答案 C

解析 ∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m 2－2m －3<0，解得－1

∵m ∈Z ，∴m ＝0,1,2.而当m ＝0或2时，f (x )＝x

－3

为奇函数，当m ＝1时，f (x )＝x

－4

为偶函数．∴m ＝1.

3．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)23n n

x －(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值

为( )

A ．－3

B ．1

C ．2

D ．1或2 答案 B

解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.

4．若11--3

3

(+1)<(3-2)a a ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫

23，32

解析 不等式11--3

3

(+1)<(3-2)a a 等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a

23

.

思维升华 (1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x 轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x 轴．

(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．

求二次函数的解析式

例1 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析