2.4 幂函数与二次函数-2020-2021学年新高考数学一轮复习讲义

第07讲-幂函数与二次函数一、考情分析1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1x，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．二、知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是减函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是增函数 在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上是增函数； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒]1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎨⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎨⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.三、 经典例题考点一 幂函数的图象和性质【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数()y f x =的图象过点(8,)m 和(9,3)，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．12C ．3D ．22【答案】D 【解析】设()a f x x ，依题意可得93α=，所以12α=.所以12()f x x =.故所求实数12(8)822m f ===.【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数43y x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】43y x ==∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 考点二 二次函数的解析式【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【解析】 法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12，所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－（－a ）24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数()()220f x ax ax b a =-+>在区间[]1,3-上的最大值为5，最小值为1.（1）求a 、b 的值及()f x 的解析式； （2）设()()f x g x x=，若不等式()330x xg t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解，求实数t 的取值范围. 【解析】()22f x ax ax b =-+对称轴方程为1x =, 因为()f x 在区间[]1,3-上的最大值为5，0a >, 故1x =时,()f x 取得最小值为1,即顶点为(1,1)，1x =-或3x =，()f x 取得最大值5. ()11(1)35f a b f a b ⎧=-+=⎨-=+=⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩, 21,2,()22a b f x x x ∴===-+.（2）()()222,(3)323x x x f x g x x g x x ==+-=+-, ()23332303x x x x x g t t -⋅=+--⋅≥, 即2221(3)3x x t ≤+-在[]0,2x ∈上有解, 令[]11,0,2,[,1]39x m x m =∈∈ 22111()2212(),[,1]229h m m m m m =-+=-+∈max ()1t h m ≤=时，不等式()330x x g t -⋅≥在[]0,2x ∈上有解. ∴实数t 的取值范围1t ≤.规律方法 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：考点三 二次函数的图象及应用【例3-1】（2020·全国高一专题练习）函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b(ab≠0)的图象只可能是( ) A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】令()()()2,0f x ax bx g x ax b ab ==≠＋＋，()f x 的对称轴为2ba-。

新高考数学一轮复习考点知识归类讲义第10讲幂函数与二次函数1．幂函数(1)定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x 12，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)； ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx＋c (a <0) 图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数顶点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a对称性图象关于直线x ＝－b2a 成轴对称图形➢考点1 ******[名师点睛]1．对于幂函数图像的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．2．在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．3．在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图像越远离x轴(简记为“指大图高”)．[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若幂函数()m n(m，n∈N*，m，n互质)的图像如图f x x所示，则（）A．m，n是奇数，且m<1n>1B．m是偶数，n是奇数，且mn<1C．m是偶数，n是奇数，且mnD．m是奇数，n是偶数，且m>1n【答案】C【解析】由图知幂函数f (x )为偶函数，且1mn<，排除B ，D ； 当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ； 故选：C.2．（2022·全国·高三专题练习）幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m 的值为（ ） A ．﹣6B ．1C ．6D ．1或﹣6 【答案】B 【解析】∵幂函数223()(55)()m m f x m m x m Z -=+-∈是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，∴2255130m m m m ⎧+-=⎨-<⎩，且23m m -为偶数 1m ∴=或6m =-当1m =时，232m m -=-满足条件；当6m =-时，2354m m -=，舍去 因此：m ＝1 故选：B3．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数()(1)n f x m x =-的图象过点(,8)m ．设()0.32a f =，()20.3b f =，()2log 0.3c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．a b c <<D ．c b a << 【答案】D 【解析】因幂函数()()1nf x m x =-的图象过点(),8m ，则11m -=，且8n m =，于是得2m =，3n =，函数3()f x x =，函数()f x 是R 上的增函数，而20.32log 0.300.312<<<<，则有20.32(log 0.3)(0.3)(2)f f f <<，所以c b a <<. 故选：D [举一反三]1．（2022·北京·二模）下列函数中，与函数3y x =的奇偶性相同，且在()0,+∞上有相同单调性的是（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．ln y x =C ．sin y x =D ．y x x = 【答案】D 【解析】由3y x =为奇函数且在()0,+∞上递增，A 、B ：12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭、ln y x =非奇非偶函数，排除；C ：sin y x =为奇函数，但在()0,+∞上不单调，排除；D ：22,0(),0x x y f x x x ⎧-≤⎪==⎨>⎪⎩，显然()()f x f x -=-且定义域关于原点对称，在()0,+∞上递增，满足. 故选：D2．（2022·全国·高三专题练习）已知幂函数y ＝f (x )经过点(3，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 【答案】D 【解析】设幂函数的解析式为y x α=，将点(的坐标代入解析式得3α=12α=， ∴12y x =，函数的定义域为[)0,+∞,是非奇非偶函数，且在()0,+∞上是增函数， 故选：D.3．（2022·全国·高三专题练习）函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是（ ）A ．(0,2)B ．[0,1)C ．[1,2)D ．(1,2] 【答案】C 【解析】函数2()-=a f x x 单调递减可得20a -<及2a <；函数4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 单调递减可得014a <<，解得04a <<，若函数2()-=a f x x与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减，可得02a <<，由题可得所求区间真包含于()0,2， 结合选项，函数2()-=a f x x 与4()-⎛⎫= ⎪⎝⎭xg x a 均单调递减的一个充分不必要条件是C.故选：C.4．（多选）（2022·广东潮州·二模）已知幂函数()f x 的图象经过点4,2，则下列命题正确的有（ ）．A ．函数()f x 的定义域为RB ．函数()f x 为非奇非偶函数C ．过点10,2P ⎛⎫⎪⎝⎭且与()f x 图象相切的直线方程为1122y x =+D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】BC 【解析】设()f x x α=，将点4,2代入()f x x α=，得24α=，则12α=，即12()f x x =，对于A ：()f x 的定义域为[)0,+∞，即选项A 错误； 对于B ：因为()f x 的定义域为[)0,+∞， 所以()f x 不具有奇偶性，即选项B 正确； 对于C ：因为12()f x x =，所以()f x '=设切点坐标为(0x ，则切线斜率为()0k f x =='切线方程为0)y x x -，又因为切线过点1(0,)2P ，所以01)2x -，解得01x =， 即切线方程为11(x 1)2y -=-，即1122y x =+， 即选项C 正确； 对于D ：当120x x <<时，()()212221212[]222f x f x x x x x f +++⎛⎫-=-⎪⎝⎭⎝⎭212024x x +=-==-<，即()()1212()22f x f x x xf ++<成立，即选项D 错误．故选：BC ．5．（2022·海南·文昌中学高三阶段练习）已知幂函数()()a f x x a R =∈过点A （4，2），则f （14）=___________. 【答案】12 【解析】点A （4，2）代入幂函数()af x x =解得12a =，()12f x x =，1142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为：12．6．（2022·北京通州·一模）幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，()ng x x =在()0,∞+上单调递减，能够使()()y f x g x =-是奇函数的一组整数m ，n 的值依次是__________． 【答案】1，1-（答案不唯一） 【解析】因为幂函数()mf x x =在()0,∞+上单调递增，所以0m >，因为幂函数()ng x x =在()0,∞+上单调递减，所以0n <，又因为()()y f x g x =-是奇函数，所以幂函数()f x 和幂函数()g x 都是奇函数，所以m 可以是1，n 可以是1-.故答案为：1，1-（答案不唯一）. 7．（2022·重庆·二模）关于x 的不等式()999999999999121x x x --⋅≤+，解集为___________.【答案】[)1,-+∞ 【解析】由题设，99999999(1)(2)1x x x --≤+，而9999y x =在R 上递增，当12x x ->即1x <-时，99999999(1)(2)01x x x -->>+，原不等式不成立； 当12x x -≤即1x ≥-时，99999999(1)(2)01x x x --≤≤+，原不等式恒成立. 综上，解集为[)1,-+∞. 故答案为：[)1,-+∞8．（2022·全国·高三专题练习）如图是幂函数iy x α=（αi ＞0，i ＝1，2，3，4，5）在第一象限内的图象，其中α1＝3，α2＝2，α3＝1，412α=，513α=，已知它们具有性质： ①都经过点（0，0）和（1，1）； ②在第一象限都是增函数．请你根据图象写出它们在（1，+∞）上的另外一个共同性质：___________．【答案】α越大函数增长越快解：从幂函数的图象与性质可知：①α越大函数增长越快；②图象从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤α＞1，图象下凸；⑥图象无上界；⑦当指数互为倒数时，图象关于直线y ＝x 对称；⑧当α＞1时，图象在直线y ＝x 的上方；当0＜α＜1时，图象在直线y ＝x 的下方． 从上面任取一个即可得出答案． 故答案为：α越大函数增长越快．9．（2022·广东深圳·高三期末）已知函数()f x 的图像关于原点对称，且在定义域内单调递增，则满足上述条件的幂函数可以为()f x =______．【答案】3x （答案不唯一） 【解析】设幂函数()f x x α=，由题意，得()f x x α=为奇函数，且在定义域内单调递增，所以21n α=+（N n ∈）或mnα=（,m n 是奇数，且互质）， 所以满足上述条件的幂函数可以为()3f x x =.故答案为：3x （答案不唯一）.10．（2022·北京·高三专题练习）已知幂函数()()2151m h x m m x +=-+为奇函数．（1）求实数m 的值；（2）求函数()()102g x h x x ⎫⎡⎫=∈⎪⎪⎢⎣⎭⎭，的值域．【解】（1）∵函数()()2151m h x m m x +=-+为幂函数，2511m m ∴-+=，解得0m =或5，当0m =时，()h x x =，()h x 为奇函数， 当5m =时，()6h x x =，()h x 为偶函数，函数()h x 为奇函数，0m ∴=；（2）由（1）可知，()h x x =，则()g x x =102x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，，t =，则21122x t =-+，(]01t ∈，， 则()22111(1)1222f t t t t =-++=--+，(]01t ∈，， 函数()f t 为开口向下，对称轴为1t =的抛物线，∴当0=t 时，函数()102f =， 当1t =，函数()f t 取得最大值为1，∴()f t 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，，故函数()g x 的值域为112⎛⎤ ⎥⎝⎦，． ➢考点2 二次函数的解析式[名师点睛]求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数f (x )满足f （2）＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，二次函数的解析式是_______ 【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【解析】法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由题意得2421,1,48,4a b c a b c ac b a⎧⎪++=-⎪⎪-+=-⎨⎪-⎪=⎪⎩解得4,4,7.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二 (利用“顶点式”解题)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0). 因为f （2）＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为2(1)122x +-==，所以m ＝12. 又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以y ＝f (x )＝21()82a x -+.因为f （2）＝－1，所以21(2)812a -+=-，解得a ＝－4， 所以f (x )＝214()82x --+＝－4x 2＋4x ＋7. 法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即24(21)()84a a a a----=. 解得a ＝－4或a ＝0(舍).故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 故答案为：f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，()00f =，()()22132f x f x x x +-=++，求()f x 的解析式． 【解】解：因为()f x 为二次函数，所以设()2f x ax bx c =++，因为()00f =，所以0c ，所以()2f x ax bx =+，所以()()()()()22212121442f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，因为()()22132f x f x x x +-=++，所以()()223432ax a b x a b x x ++++=++，所以31a =，43a b +=，2a b +=，所以13a =，53b =，所以()21533f x x x =+． [举一反三]1．（2022·全国·高三专题练习）若函数12x y a -=+过定点P ，以P 为顶点且过原点的二次函数()f x 的解析式为（ ） A ．()236f x x x =-+B ．()224f x x x =-+ C ．()236f x x x =-D ．()224f x x x =- 【答案】A 【解析】对于函数12x y a -=+，当1x =时，023y a =+=， 所以函数12x y a -=+过定点P ()1,3，设以P ()1,3为顶点且过原点的二次函数()()213f x a x =-+，因为()f x 过原点()0,0，所以()20013a =-+，解得：3a =-，所以()f x 的解析式为：()()2231336f x x x x =--+=-+，故选：A.2．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 为二次函数，且()()21f x x f x '=+-，则()f x =（ ）A ．221x x -+B ．221x x ++C ．2221x x -+D ．2221x x +- 【答案】B 【解析】设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+，由()()21f x x f x '=+-可得()2221ax bx c x ax b ++=++-，所以，121a b a c b =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得121a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()221f x x x =++.故选：B.3．（2022·全国·高三专题练习）已知()f x 是二次函数且满足(0)1,(1)()2f f x f x x =+-=，则函数()f x 的解析式为________. 【答案】2()1f x x x =-+【解析】解：由题意，设2()(0)f x ax bx c a =++≠， 因为(0)1f =，即1c =，所以2()1f x ax bx =++，所以()22(1)()(1)(1)1122f x f x a x b x ax bx ax a b x ⎡⎤+-=++++-++=++=⎣⎦，从而有220a a b =⎧⎨+=⎩，解得1,1a b ==-，所以2()1f x x x =-+， 故答案为：2()1f x x x =-+.➢考点3 二次函数的图象与性质是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． [典例]1．（2022·全国·高三专题练习）函数()()20f x ax bx c a =++≠和函数()()g x c f x '=⋅（其中()f x '为()f x 的导函数）的图象在同一坐标系中的情况可以为（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．①②③ 【答案】B【解析】易知()2f x ax b '=+，则()2g x acx bc =+． 由①②中函数()g x 的图象得00ac bc >⎧⎨<⎩， 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时①②均不符合要求；若0c >，则00a b >⎧⎨<⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时②符合要求，①不符合要求；由③④中函数()g x 的图象得0ac bc <⎧⎨>⎩，若0c >，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =>，02ba ->，又0a <，所以()f x 的图象开口向下，此时③符合要求，④不符合要求； 若0c <，则00a b <⎧⎨>⎩，此时()00f c =<，02ba ->，又0a >，所以()f x 的图象开口向上，此时③④均不符合要求． 综上，②③符合题意， 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为（ ） A ．0a ≤B ．12a ≤-C ．1a ≤-D ．2a ≤- 【答案】D【解析】解：因为()221f x x ax =+-的对称轴为x a =-，开口向上，所以1a -≥，解得1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的充要条件为1a ≤-，所以二次函数()221f x x ax =+-在区间(),1-∞上单调递减的一个充分不必要条件为2a ≤-；故选：D3．（2022·全国·高三专题练习）函数21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】21y x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴2()f x x ax a =--在12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦单调递减，则122a -≤，即1a ≥-，同时 需满足1(2)()02f f -->，即1(4)(21)04a a +-<， 解得142a -<<， 综上可知11,2a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭4．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）已知函数2()f x x =，()21g x a x =-，a 为常数.若对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[0，1]【解析】对于任意x 1，x 2∈[0，2]，且x 1＜x 2，都有1212()()()()f x f x g x g x --＜，即1122()()()()f x g x f x g x --＜，令2()()()21F x f x g x x a x =-=--，即12()()F x F x ＜只需在[0，2]上单调递增即可，当1x =时，()1F x =，函数图象恒过()1,1；当1x ＞时，2()22F x x ax a =-+； 当1x ＜时，2()22F x x ax a =+-； 要使()F x 在区间[0，2]上单调递增，则当2x ≤1＜时，2()22F x x ax a =-+的对称轴1x a =≤，即1a ≤；当1x ≤0＜时，2()22F x x ax a =+-的对称轴0x a =-≤，即0a ≥； 且12121212a a a a +⨯-≤-⨯+, 综上01a ≤≤ 故答案为：[0，1]. [举一反三]1．（2022·全国·高三阶段练习）已知函数()2f x ax bx c =++，其中0a >，()00f <，0a b c ++=，则（ ）A ．()0,1x ∀∈，都有()0f x >B ．()0,1x ∀∈，都有()0f x <C ．()00,1x ∃∈，使得()00f x =D ．()00,1x ∃∈，使得()00f x > 【答案】B 【解析】由0a >，()00f <，0a b c ++=可知0a >，0c <，抛物线开口向上．因为()00f c =<，()10f a b c =++=，即1是方程20ax bx c ++=的一个根，所以()0,1x ∀∈，都有()0f x <，B 正确，A 、C 、D 错误. 故选：B ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2y ax bx c =++，如果a b c >>且0a b c ++=，则它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，函数2y ax bx c =++，因为0a b c ++=，令1x =，可得0y a b c =++=，即函数图象过点(1,0)， 又由a b c >>，可得0,0a c ><，所以抛物线的开口向上，可排除D 项， 令0x =，可得0y c =<，可排除B 、C 项； 故选：A.3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()28f x x kx =--在[-2，1]上具有单调性，则实数k 的取值范围是（）A ．k ≤-8B ．k ≥4C ．k ≤-8或k ≥4D ．-8≤k ≤4 【答案】C【解析】函数2()28f x x kx =--对称轴为4kx =， 要使()f x 在区间[-2，1]上具有单调性，则24k≤-或14k ≥，∴8k ≤-或4k ≥ 综上所述k 的范围是：k ≤-8或k ≥4. 故选：C.4．（2022·山东济南·二模）若二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<，满足(1)(3)f f =，则下列不等式成立的是（ ）A ．(1)(4)(2)f f f <<B ．(4)(1)(2)f f f <<C ．(4)(2)(1)f f f <<D ．(2)(4)(1)f f f << 【答案】B【解析】因为(1)(3)f f =，所以二次函数2()f x ax bx c =++的对称轴为2x =， 又因为0a <，所以(4)(3)(2)f f f <<，又(1)(3)f f =，所以(4)(1)(2)f f f <<. 故选：B.5．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)，若x 1<x 2，则（ ） A ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)<f (x 2) B ．当x 1+x 2=-2时，f (x 1)=f (x 2) C ．当x 1+x 2>-2时，f (x 1)>f (x 2) D ．f (x 1)与f (x 2)的大小与a 有关 【答案】AB【解析】二次函数f (x )=ax 2+2ax +4(a >0)的图象开口向上，对称轴为x =-1， 当x 1+x 2=-2时，x 1，x 2关于x =-1对称，则有f (x 1)=f (x 2)，B 正确；当x 1+x 2>-2时，而x 1<x 2，则x 2必大于-1，于是得x 2-(-1)>-1-x 1，有| x 2-(-1)|>|-1-x 1|, 因此，点x 2到对称轴的距离大于点x 1到对称轴的距离，即f (x 1)<f (x 2)，A 正确，C 错误； 显然当a >0时，f (x 1)与f (x 2)的大小只与x 1，x 2离-1的远近有关，与a 无关，D 错误. 故选：AB6．（多选）（2022·全国·高三专题练习）若函数244y x x =--的定义域为[)0,a ，值域为[]8,4--，则正整数a 的值可能是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】BC【解析】函数244y x x =--的图象如图所示：因为函数在[)0,a 上的值域为[]8,4--，结合图象可得24a <≤，结合a 是正整数，所以BC 正确.故选： BC.7．（2022·全国·高三专题练习）如果函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则实数a 的取值范围是______.【答案】[2,0]-【解析】当0a =时，()61f x x =-，在(,1)-∞上为增函数，符合题意，当0a ≠时，要使函数2()(6)1f x ax a x =++-在区间(,1)-∞上为增函数，则需满足0a <且对称轴为612a x a+=-≥，解得：2a ≥-，即20a -≤<， 综上所述：实数的取值范围是：[2,0]-.故答案为：[2,0]-8．（2022·天津·高三专题练习）已知函数2()2f x x x =-在定义域[]1,n -上的值域为[]1,3-，则实数n 的取值范围为____.【答案】[]1,3【解析】函数f （x ）＝x 2﹣2x 的对称轴方程为x ＝1，在[﹣1，1]上为减函数，且值域为[﹣1，3]，当x ≥1时，函数为增函数，且(3)3f =∴要使函数f （x ）＝x 2﹣2x 在定义域[﹣1，n ]上的值域为[﹣1，3]，实数n 的取值范围是[1，3]．故答案为：[1，3]9．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，求实数m 的取值范围. 【解】(1)由题意得：()02f c ==，()()()()22111221f x f x a x b x c ax bx c ax a b x +-=++++---=++=- 所以22a =，1a b +=-，解得：1a =，2b =-，所以函数()f x 的解析式为()222f x x x =-+.(2)()()()222g x f x mx x m x =-=-++，对称轴为22m x +=，要想函数()()g x f x mx =-在区间[]12-，上是单调函数，则要满足212m +≤-或222m +≥，解得：4m ≤-或2m ≥，故实数m 的取值范围是(][),42,-∞-+∞.10．（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()24f x kx x k =-+．（Ⅰ）若函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，求实数k 的取值范围；（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围．【解】（Ⅰ）当0k =时，()2f x x =-，在区间[2,4]上单调递减，符合题意；当0k >时，对称轴为1x k ，因为()f x 在区间[2,4]上单调递减，所以14k ≥，得14k ≤，所以104k <≤；当0k <时，函数()f x 在区间[2,4]上单调递减，符合题意，综上，k 的取值范围为1(,]4-∞.（Ⅱ）[2,4]x ∀∈，()0f x ≥恒成立，即[2,4]x ∀∈，22244x k x x x≥=++恒成立，令4()f x x x =+，可知函数()f x 在[2,4]上单调递增，所以()4f x ≥，所以max 2142x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭，所以12k ≥，故k 的取值范围为1[,)2+∞11．（2022·全国·高三专题练习）设函数2()1f x ax bx =++（,a b ∈R ），满足(1)0f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥.(1)求()f x 的解析式；(2)当11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，若()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围. 【解】(1)∵(1)0f -=，∴1b a =+.即2()(1)1f x ax a x =+++， 因为任意实数x ，()0f x ≥恒成立，则 0a >且2224(1)4(1)0b a a a a ∆=-=+-=-≤，∴1a =，2b =， 所以2(1)2f x x x =++.(2)因为2()()(2)1g x f x kx x k x =-=+-+，设2()(2)1h x x k x =+-+，要使()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，只需要 21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩或21221()02k h -⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩， 解得932k ≤≤或112k -≤≤，所以实数k 的取值范围913,,122⎡⎤⎡⎤⋃-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

个性化教学辅导教案学科：数学任课教师：授课时间：2020 年8月日(星期)姓名年级性别教学课题 2.4二次函数与幂函数教学目标重点难点课前检查课堂教学过程2.4二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x12，y＝x－1.(2)图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac－b24a，＋∞⎝⎛⎦⎤－∞，4ac－b24a 单调性在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递减；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a上单调递增；在⎣⎡⎭⎫－b2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－b2a对称[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x12是幂函数．()(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．()(3)当n<0时，幂函数y＝x n是定义域上的减函数．()(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是4ac－b24a.()(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．()(6)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×(6)√[教材衍化]1.(必修1P77图象改编)如图是①y＝x a；②y＝x b；③y＝x c在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为________．解析：根据幂函数的性质可知a<0，b>1，0<c<1，故a<c<b.答案：a<c<b2．(必修1P39B组T1改编)函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域为________．解析：由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0，3]，得g(x) 在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝－1，而g(0)＝0，g(3)＝3.所以g(x)的值域为[－1，3]．答案：[－1，3][易错纠偏](1)二次函数图象特征把握不准；(2)二次函数的单调性规律掌握不到位； (3)幂函数的图象掌握不到位．1．如图，若a <0，b >0，则函数y ＝ax 2＋bx 的大致图象是________(填序号)．解析：由函数的解析式可知，图象过点(0，0)，故④不正确．又a <0，b >0，所以二次函数图象的对称为x ＝－b2a>0，故③正确．答案：③2．若函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数，则m 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝mx 2＋x ＋2在[3，＋∞)上是减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧m <0－12m ≤3，即m ≤－16.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－16 3．当x ∈(0，1)时，函数y ＝x m 的图象在直线y ＝x 的上方，则m 的取值范围是________． 答案：(－∞，1)幂函数的图象及性质(1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 (1)设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0<x<1时，其图象在直线y＝x的上方，对照选项，故选C.(2)易知函数y＝x12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a＋1≥0，3－2a≥0，a＋1<3－2a，解得－1≤a<23.【答案】(1)C(2)⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y＝xα(α∈R)的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断．(3)若幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.1．已知幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，并且f(x)在第一象限是单调递减函数，则m＝________．解析：因为幂函数f(x)＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数，所以m2－2m－3为偶数，所以m2－2m为奇数，又m2－2m<0，故m＝1.答案：12．当0<x<1时，f(x)＝x1.1，g(x)＝x0.9，h(x)＝x－2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f(x)，g(x)，h(x)在(0，1)上的图象，由此可知h(x)>g(x)>f(x)．答案：h(x)>g(x)>f(x)求二次函数的解析式已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】法一：(利用一般式)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得⎩⎨⎧4a＋2b＋c＝－1，a－b＋c＝－1，4ac－b24a＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－4，b＝4，c＝7.所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.法二：(利用顶点式)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为f(2)＝f(－1)，所以抛物线的对称轴为x＝2＋（－1）2＝12.所以m＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n＝8，所以f(x)＝a⎝⎛⎭⎫x－122＋8.因为f(2)＝－1，所以a⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a＝－4，所以f(x)＝－4⎝⎛⎭⎫x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.法三：(利用零点式)由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即4a（－2a－1）－a24a＝8.解得a＝－4或a＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________．解析：由f (x )是偶函数知f (x )的图象关于y 轴对称，所以－a ＝－⎝⎛⎭⎫－2ab ，即b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，又f (x )的值域为(－∞，4]，所以2a 2＝4，故f (x )＝－2x 2＋4.答案：－2x 2＋42．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：因为f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为 f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， 又f (x )的图象过点(4，3)， 所以3a ＝3，a ＝1， 所以所求f (x )的解析式为 f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.二次函数的图象与性质(高频考点)高考对二次函数图象与性质进行考查，多与其他知识结合，且常以选择题形式出现，属中高档题．主要命题角度有：(1)二次函数图象的识别问题； (2)二次函数的单调性问题；(3)二次函数的最值问题． 角度一 二次函数图象的识别问题已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D. 【答案】 D角度二 二次函数的单调性问题函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0](变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a<0，a－3－2a＝－1，解得a＝－3.角度三二次函数的最值问题已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，x∈[－1，2]．(1)若a＝1，求f(x)的最大值与最小值；(2)f(x)的最小值记为g(a)，求g(a)的解析式以及g(a)的最大值．【解】(1)当a＝1时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，x∈[－1，2]，则当x＝1时，f(x)的最小值为0，x＝－1时，f(x)的最大值为4.(2)f(x)＝(x－a)2＋1－a2，x∈[－1，2]，当a<－1时，f(x)的最小值为f(－1)＝2＋2a，当－1≤a≤2时，f(x)的最小值为f(a)＝1－a2，当a>2时，f(x)的最小值为f(2)＝5－4a，则g(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a，a<－1，1－a2，－1≤a≤2，5－4a，a>2，可知，g(a)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，g(a)的最大值为g(0)＝1.(1)确定二次函数图象应关注的三个要点一是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数图象的具体位置；三是看函数图象上的一些特殊点，如函数图象与y轴的交点、与x轴的交点，函数图象的最高点或最低点等．从这三个方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也可以从图象中得到如上信息．(2)二次函数最值的求法二次函数的区间最值问题一般有三种情况：①对称轴和区间都是给定的；②对称轴动，区间固定；③对称轴定，区间变动．解决这类问题的思路是抓住“三点一轴”进行数形结合，三点指的是区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴．具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求解．对于②、③，通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论．1．若函数f (x )＝x 2＋ ax ＋b 在区间[0, 1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关解析：选 B.f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22－a 24＋b ，①当0≤－a 2≤1时，f (x )min ＝m ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝－a24＋b ，f (x )max ＝M ＝max{f (0)，f (1)}＝max{b ，1＋a ＋b }，所以M －m ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 24，1＋a ＋a 24与a 有关，与b 无关；②当－a2<0时，f (x )在[0，1]上单调递增，所以M －m ＝f (1)－f (0)＝1＋a 与a 有关，与b 无关；③当－a2>1时，f (x )在[0，1]上单调递减，所以M －m ＝f (0)－f (1)＝－1－a 与a 有关，与b 无关．综上所述，M －m 与a 有关，但与b 无关，故选B.2．若函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14(a ＞0)对任意实数t ，在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a ＞0，所以二次函数f (x )＝ax 2＋20x ＋14的图象开口向上．在闭区间[t －1，t ＋1]上总存在两实数x 1，x 2， 使得|f (x 1)－f (x 2)|≥8成立， 只需t ＝－10a时f (t ＋1)－f (t )≥8，即a (t ＋1)2＋20(t ＋1)＋14－(at 2＋20t ＋14)≥8， 即2at ＋a ＋20≥8，将t ＝－10a代入得a ≥8. 所以a 的最小值为8. 故答案为8. 答案：8三个“二次”间的转化(2020·金华市东阳二中高三调研)已知二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )． (1)当a ＝－6时，函数f (x )的定义域和值域都是⎣⎡⎦⎤1，b2，求b 的值； (2)当a ＝－1时在区间[－1，1]上，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋2b －1的图象上方，试确定实数b 的范围． 【解】 (1)当a ＝－6时，函数f (x )＝x 2－6x ＋b ，函数对称轴为x ＝3，故函数f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增．①当2<b ≤6时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1，b 2上单调递减；故有⎩⎨⎧f （1）＝b2f ⎝⎛⎭⎫b 2＝1，无解；②当6<b ≤10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)≥f ⎝⎛⎭⎫b2，故⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝b 2f （3）＝1，解得b ＝10； ③当b >10时，f (x )在区间[1，3]上单调递减，在区间⎝⎛⎦⎤3，b 2上单调递增，且f (1)<f (b 2)，故⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫b 2＝b 2f （3）＝1，无解．所以b 的值为10.(2)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－x ＋b ，由题意可知x 2－x ＋b >2x ＋2b －1对x ∈[－1，1]恒成立， 化简得b <x 2－3x ＋1，令g (x )＝x 2－3x ＋1，x ∈[－1，1]，图象开口向上，对称轴为x ＝32，在区间[－1，1]上单调递减，则g (x )min ＝－1，故b <－1.(1)二次函数、二次方程与二次不等式统称三个“二次”，它们常结合在一起，而二次函数又是三个“二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，解决此类问题首先采用转化思想，把方程、不等式问题转化为函数问题．借助于函数思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点．(2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[提醒] 当二次项系数a 是否为0不明确时，要分类讨论．1．(2020·宁波市余姚中学期中检测)设a <0，(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立，则b －a 的最大值为( )A.13 B.12 C.33D.22解析：选A.因为(3x 2＋a )(2x ＋b )≥0在(a ，b )上恒成立， 所以3x 2＋a ≥0，2x ＋b ≥0或3x 2＋a ≤0，2x ＋b ≤0，①若2x ＋b ≥0在(a ，b )上恒成立，则2a ＋b ≥0，即b ≥－2a >0，此时当x ＝0时，3x 2＋a ＝a ≥0不成立， ②若2x ＋b ≤0在(a ，b )上恒成立，则2b ＋b ≤0，即b ≤0，若3x 2＋a ≤0在(a ，b )上恒成立，则3a 2＋a ≤0，即－13≤a ≤0，故b －a 的最大值为13.2．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 答案：(－∞，－1)[基础题组练]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32.2．若幂函数f (x )＝x mn(m ，n ∈N *，m ，n 互质)的图象如图所示，则( )A ．m ，n 是奇数，且mn <1B ．m 是偶数，n 是奇数，且mn >1C ．m 是偶数，n 是奇数，且mn <1D ．m 是奇数，n 是偶数，且mn>1解析：选C.由图知幂函数f (x )为偶函数，且mn <1，排除B ，D ；当m ，n 是奇数时，幂函数f (x )非偶函数，排除A ；选C.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则以下结论中正确的是( ) A ．f (0)<f (－2)<f (5) B ．f (－2)<f (5)<f (0) C ．f (－2)<f (0)<f (5)D ．f (0)<f (5)<f (－2)解析：选A.若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的x ∈R 都有f (x －1)＝f (3－x )，则f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴为x ＝1且函数f (x )的图象的开口方向向上，则函数f (x )在(1，＋∞)上为增函数，所以f (2)<f (4)<f (5)，又f (0)＝f (2)，f (－2)＝f (4)，所以f (0)<f (－2)<f (5)．4．(2020·瑞安四校联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－2，－1]时，f (x )的最小值为( )A ．－116B ．－18C ．－14D ．0解析：选A.当x ∈[－2，－1]时，x ＋2∈[0，1]，则f (x ＋2)＝(x ＋2)2－(x ＋2)＝x 2＋3x ＋2，又f (x ＋2)＝f [(x(1)求f (x )的解析式；(2)若m ＜3，求函数f (x )在区间[m ，3]上的值域．解：(1)因为函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象过点(－1，3)，且关于直线x ＝1对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）＝1－b ＋c ＝3－b 2＝1，解得b ＝－2，c ＝0，所以f (x )＝x 2－2x .(2)当1≤m ＜3时，f (x )min ＝f (m )＝m 2－2m ， f (x )max ＝f (3)＝9－6＝3， 所以f (x )的值域为[m 2－2m ，3]；当－1≤m ＜1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (－1)＝1＋2＝3， 所以f (x )的值域为[－1，3]．当m ＜－1时，f (x )min ＝f (1)＝1－2＝－1， f (x )max ＝f (m )＝m 2－2m ，所以f (x )的值域为[－1，m 2－2m ]．[综合题组练]1．(2020·台州质检)如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的结论是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③解析：选B.因为二次函数的图象与x 轴交于两点，所以b 2－4ac >0，即b 2>4ac ，①正确；对称轴为x ＝－1，即－b2a ＝－1，2a －b ＝0，②错误；结合图象，当x ＝－1时，y >0，即a －b ＋c >0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b ＝2a ，又函数图象开口向下，所以a <0，所以5a <2a ，即5a <b ，④正确．故选B.2．(2020·温州市十校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2)．若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤－16，16 B.⎣⎡⎦⎤－66，66C.⎣⎡⎦⎤－13，13 D.⎣⎡⎦⎤－33，33解析：选B.因为当x≥0时，f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)，所以当0≤x≤a2时，f(x)＝12(a2－x＋2a2－x －3a2)＝－x；当a2＜x＜2a2时，f(x)＝12(x－a2＋2a2－x－3a2)＝－a2；当x≥2a2时，f(x)＝12(x－a2＋x－2a2－3a2)＝x－3a2.综上，函数f(x)＝12(|x－a2|＋|x－2a2|－3a2)在x≥0时的解析式等价于f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x，0≤x≤a2，－a2，a2＜x＜2a2，x－3a2，x≥2a2.因此，根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f(x)在R上的大致图象如下，观察图象可知，要使∀x∈R，f(x－1)≤f(x)，则需满足2a2－(－4a2)≤1，解得－66≤a≤66.3．已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值为M(a，b∈R，c＞0为常数)且存在实数a，b，使得M取最小值2，则a＋b＋c＝________．解析：函数y＝x2＋ax＋b是二次函数，所以函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，c]内的最大值M在端点处或x＝－a2处取得．若在x＝0处取得，则b＝±2，若在x＝－a2处取得，则|b－a24|＝2，若在x＝c处取得，则|c2＋ac＋b|＝2.若b＝2，则|b－a24|≤2，|c2＋ac＋b|≤2，解得a＝0，c＝0，符合要求，若b＝－2，则顶点处的函数值的绝对值大于2，不成立．可得a＋b＋c＝2.故答案为2.答案：2。

§ 2.4二次函数和幂函数1.幂函数(1)定义:形如①y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中底数x是自变量,α为常数.常见的五类幂函数为y=x,y=x2,y=x3,y=x 12,y=x-1.(2)性质a.幂函数在(0,+∞)上都有定义;b.当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;c.当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数的定义形如f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.(2)二次函数的三种表示形式a.一般式:②f(x)=ax2+bx+c(a≠0);b.顶点式:③f(x)=a(x-h)2+k(a≠0);c.两根式:④f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).(3)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域[4ac-b2,+∞)(-∞,4ac-b2]单调性在[-b2a,+∞)上单调递增,在-∞,-b2a 上单调递减在-∞,- b2a上单调递增,在-b2a,+∞上单调递减奇偶性当b=0时为偶函数,当b≠0时为非奇非偶函数解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)顶点坐标(-b,4ac-b2)对称性图象关于直线x=-b2a对称(4)若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x1)=f(x2),则图象关于直线⑤x=x1+x22对称;若二次函数y=f(x)=ax2+bx+c(a≠0)满足f(x+m)=f(-x+n),则图象关于直线⑥x=m+n2对称.1.(教材习题改编)下图是①y=x a;②y=x b;③y=x c在第一象限的图象,则a,b,c的大小关系为( )A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b1.答案 D2.函数f(x)=(m2-m-1)x m是幂函数,且在x∈(0,+∞)上为增函数,则实数m的值是( )A.-1B.2C.3D.-1或22.答案 B3.(2018浙江温州高三月考)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0, f(p)<0,则必有( )A. f(p+1)>0B. f(p+1)<0C. f(p+1)=0D. f(p+1)的符号不能确定 3.答案 A4.(教材习题改编)已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22),则此函数的解析式为 ;在区间上递减.4.答案 y=x -12;(0,+∞)5.已知函数f(x)=x 2-2ax-3在区间[1,2]上具有单调性,则实数a 的取值范围是 . 5.答案 (-∞,1]∪[2,+∞)考点一 二次函数的解析式典例1 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1, f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试求出此二次函数的解析式.解析 解法一:(利用“一般式”解题)设f(x)=ax 2+bx+c(a≠0). 由题意得{4a +2b +c =-1,a -b +c =-1,4ac -b 24a =8,解得{a =-4,b =4,c =7. ∴所求二次函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.解法二:(利用“顶点式”解题)设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x=2-12=12,∴m=12.又函数有最大值8,∴n=8,∴f(x)=a (x -12)2+8, ∵f(2)=-1,∴a (2-12)2+8=-1, 解得a=-4,∴f(x)=-4(x -12)2+8=-4x 2+4x+7. 解法三:(利用“两根式”解题)由已知可得f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax 2-ax-2a-1.又函数有最大值8, ∴4a (-2a -1)-(-a )24a=8.解得a=-4或a=0(舍).∴所求函数的解析式为f(x)=-4x 2+4x+7.1-1 已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),且截x 轴所得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求二次函数 f(x)的解析式.解析 ∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R 恒成立, ∴f(x)的图象的对称轴为直线x=2. 又∵f(x)的图象截x 轴所得的线段长为2, ∴f(x)=0的两根为x=1和x=3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0), ∵f(x)的图象过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴二次函数f(x)的解析式为f(x)=(x-1)·(x -3), 即f(x)=x 2-4x+3.考点二 二次函数的图象与性质命题方向一 二次函数图象识别问题典例2 (2019镇海中学模拟)一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系中的图象大致是( )答案 C解析若a>0,则一次函数y=ax+b为增函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,故可排除A;若a<0,则一次函数y=ax+b为减函数,二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,故可排除D;<0,而二次函数图象的对称轴在y轴的右侧,对于选项B,由一次函数的图象可知a>0,b>0,则-b2a故应排除B,故选C.方法指导识别二次函数图象应学会“三看”2-1 函数y=1-|x-x2|的图象大致是( )答案 C 当x=-1时,y=1-|-1-1|=-1,所以排除A,D,当x=2时,y=1-|2-4|=-1,所以排除B,故选C.命题方向二二次函数的单调性问题典例3 已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)求使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数的实数a的取值范围;(2)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.解析(1)函数f(x)=x2+2ax+3的图象的对称轴为直线x=-2a=-a,2要使f(x)在[-4,6]上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6.故a的取值范围是(-∞,-6]∪[4,+∞).(2)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3={x2+2x+3=(x+1)2+2,x≤0, x2-2x+3=(x-1)2+2,x>0,其图象如图所示.∵x∈[-4,6],∴f(|x|)在区间[-4,-1)和[0,1)上为减函数,在区间[-1,0)和[1,6]上为增函数.◆探究1 若函数f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围.解析∵f(x)=x2+2ax+3在[-4,+∞)上为增函数,∴-a≤-4,即a≥4.◆探究2 若函数f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),求a为何值.解析∵f(x)=x2+2ax+3的单调增区间为[-4,+∞),∴-a=-4,即a=4.方法技巧研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.(2)若已知f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增),则A⊆(-∞,-b2a](A⊆[-b2a,+∞)).2-2 (2019浙江模拟)已知函数f(x)=x2-2tx+1在(-∞,1]上递减,且对任意的x1,x2∈[0,t+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤2,则实数t的取值范围是( )A.[-√2,√2]B.[1,√2]C. [2,3]D.[1,2]答案 B 对任意的x 1,x 2∈[0,t+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤2转化为f(x)max -f(x)min ≤2. 由f(x)在(-∞,1]上是减函数,得--2t 2≥1,即t≥1,从而有t-0≥t+1-t,故f(x)在[0,1+t]上的最大值为1,最小值为1-t 2,故有1-(1-t 2)≤2,解得-√2≤t≤√2,又t≥1,所以1≤t≤√2.故选B.命题方向三 二次函数的最值问题典例4 (2019浙江名校新高考研究联盟高三第一次联考)设函数f(x)=|x 2+a|+|x+b|(a,b∈R),当x∈[-2,2]时,记f(x)的最大值为M(a,b),则M(a,b)的最小值为 .答案258解析 去绝对值得f(x)=±(x 2+a)±(x+b),根据二次函数的性质可得,f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-2), f(2),f (-12)或f (12),所以M(a,b)≥f(-2)=|4+a|+ |-2+b|,M(a,b)≥f(2)=|4+a|+|2+b|, M(a,b)≥f (12)=|14+a|+|12+b|, M(a,b)≥f (-12)=|14+a|+|-12+b|, 上面四个式子相加可得4M(a,b)≥2(|4+a |+|14+a|)+|2-b|+|2+b|+|12+b|+|12-b| ≥2×|4-14|+(|2+2|+|12+12|)=252, 即M(a,b)≥258,所以M(a,b)的最小值为258. 方法点拨二次函数最值问题的类型及求解策略(1)类型:①对称轴、区间都是固定的;②对称轴动、区间固定;③对称轴定、区间变动.(2)求解策略:抓住“三点一轴”数形结合,三点指区间的两个端点和顶点,一轴指对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可解决.变式练(2019台州中学月考)若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则a的取值集合为( )A.{-3,-1}B.{-1,3}C.{-3,3}D.{-1,-3,3}答案 C f(x)=x2-2x+1=(x-1)2,故函数图象的对称轴是x=1.因为f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,所以当1≤a时,ymin=f(a)=(a-1)2=4,解得a=-1(舍去)或a=3,当a+2≤1,即a≤-1时,ymin=f(a+2)=(a+1)2=4,解得a=1(舍去)或a=-3,当a<1<a+2,即-1<a<1时,ymin=f(1)=0≠4,不符合题意.故a的取值集合为{-3,3}.深化练已知a是实数,函数f(x)=2ax2+2x-3在x∈[-1,1]上恒小于零,求实数a的取值范围.解析由题可知2ax2+2x-3<0在[-1,1]上恒成立.当a=0时,符合题意;当a≠0时,x=0时,有-3<0恒成立;x≠0时,a<32(1x-13)2-16,因为1x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当1x =1,即x=1时,不等式右边取最小值12.所以a<12,且a≠0.综上,实数a的取值范围是(-∞,12).命题方向四一元二次不等式恒成立问题典例5 已知a∈R,函数f(x)={x 2+2x +a -2,x ≤0,-x 2+2x -2a ,x >0.若对任意x∈[-3,+∞), f(x)≤|x|恒成立,则a 的取值范围是 .答案 [18,2]解析 ①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x 2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x 2-3x+2,令y=-x 2-3x+2=-(x +32)2+174,所以当x=0或x=-3时,y 取得最小值,为2,所以a≤2.②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x 2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-12x 2+12x,令y=-12x 2+12x=-12(x -12)2+18,所以当x=12时,y 取得最大值,为18,所以a≥18.由①②可得18≤a≤2. 规律总结由不等式恒成立求参数的取值范围的思路1.一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.2.两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种方法,关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max ;(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min .2-3 已知函数f(x)={x 2+2x +a -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x -a ,0<x ≤3.当a=0时, f(x)的最小值等于 ;若对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立,则实数a 的取值范围是 .答案 -3;[14,1] 解析 当a=0时,f(x)={x 2+2x -1,-3≤x ≤0,-x 2+2x ,0<x ≤3.-3≤x≤0时, f(x)=(x+1)2-2, 得当x=-1时, f(x)有最小值-2, 0<x≤3时, f(x)=-(x-1)2+1, 得当x=3时, f(x)有最小值-3, 所以,当a=0时, f(x)的最小值等于-3.由对任意x∈[-3,3], f(x)≤|x|恒成立, 知 ①-3≤x≤0时,x 2+2x+a-1≤-x 恒成立, 即a≤-x 2-3x+1恒成立, 令g(x)=-x 2-3x+1=-(x +32)2+134,则-3≤x≤0时,g(x)的最小值为g(0)=g(-3)=1, 所以a≤1.②0<x≤3时,-x 2+2x-a≤x 恒成立, 即a≥-x 2+x 恒成立, 令h(x)=-x 2+x=-(x -12)2+14,则当0<x≤3时,h(x)的最大值为h (12)=14, 所以a≥14.综上,实数a 的取值范围是[14,1].考点三 二次函数的综合问题典例6 (2019鄞州中学高三月考)已知函数f(x)=x 2+ax+3. (1)当a=-4时,求函数f(x)的零点;(2)若函数f(x)对任意x∈R 都有f(1+x)=f(1-x)恒成立,求函数f(x)的解析式; (3)若函数f(x)在区间[-1,1]上的最小值为-3,求实数a 的值. 解析 (1)当a=-4时, f(x)=x 2-4x+3=(x-1)(x-3), 由f(x)=0可得x=1或x=3, 所以函数f(x)的零点为1和3.(2)由于f(1+x)=f(1-x)对任意x∈R 恒成立,所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1,即-a2=1,解得a=-2,故函数f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x+3.(3)函数f(x)=x 2+ax+3图象的对称轴为直线x=-a2, 当-a2≥1,即a≤-2时, f(x)在[-1,1]上单调递减, 所以f(x)min =f(1)=a+4=-3,解得a=-7,符合题意;当-1<-a2<1,即-2<a<2时, f(x)在[-1,-a2]上单调递减,在(-a2,1]上单调递增, 所以f(x)min =f (-a2)=4×3-a 24=-3,解得a=±2√6,与-2<a<2矛盾,舍去;当-a2≤-1,即a≥2时, f(x)在[-1,1]上单调递增, 所以f(x)min =f(-1)=4-a=-3,解得a=7,符合题意. 综上所述,a=-7或a=7. 规律总结二次函数的综合问题中,最典型的就是二次函数与不等式的综合问题,其中又以三个“二次”问题最为典型,也就是二次函数、二次方程和二次不等式的综合问题.它们常结合在一起,而二次函数又是其核心,所以,利用二次函数的图象(数形结合)是探求这类问题的基本策略.如一元二次方程根的分布问题常借助二次函数图象,从开口方向、对称轴、判别式、端点函数值四方面入手处理.3-1 (2018浙江杭州第二中学热身)已知函数f(x)=x 2-2mx+m+2,g(x)=mx-m,若存在x 0∈R,使得f(x 0)<0且g(x 0)<0同时成立,则实数m 的取值范围是 .答案 (3,+∞)解析 当m>0,x<1时,g(x)<0, 所以f(x)<0在(-∞,1)有解, 则{f (1)<0,m ≥1或{0<m <1,Δ>0, 即m>3或{0<m <1,m 2-m -2>0(无解),故m>3.当m<0,x>1时,g(x)<0,所以f(x)<0在(1,+∞)有解, 所以{f (1)<0,m <0,此不等式组无解.综上,m 的取值范围是(3,+∞).考点四 幂函数的图象与性质典例7 已知幂函数f(x)=x -m 2-2m+3(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数,则f(2)的值为 .答案 16解析 根据幂函数的性质可得-m 2-2m+3>0,即m 2+2m-3<0,解得-3<m<1,又m∈Z,故m 的可能取值为-2,-1,0.当m=-2时,-m 2-2m+3=3,不符合题意;当m=-1时,-m 2-2m+3=4,符合题意;当m=0时,-m 2-2m+3=3,不符合题意.所以f(x)=x 4,所以f(2)=24=16. 方法指导研究幂函数时,要从熟记五个基本幂函数的图象开始,理清幂函数y=x α(α∈R)的相关性质,再辅之以数形结合的方法,这类问题就会迎刃而解.如果不是基本的幂函数,那么通常先将负指数幂化为正指数幂,再将分数指数幂化为根式(幂指数是负整数时化为分式),然后根据得到的根式(分式)研究幂函数的性质.幂函数的定义域就是使这些根式或分式有意义的自变量的集合,直接利用定义判断其奇偶性和单调性.4-1 若函数f(x)是幂函数,则f(1)= ,若满足f(4)=8f(2),则f (13)= . 答案 1;127解析 设f(x)=x α(α∈R), 则f(1)=1.由f(4)=8f(2)得4α=8×2α, 则2α=α+3,∴α=3,则f(x)=x 3,则f (13)=127.A 组 基础题组1.幂函数f(x)的图象过点(2,√22),则f(8)=( )A.14 B.√24 C.12D.√21.答案 B2.函数f(x)=2x 2-mx+3在(-∞,-1]上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,则f(2)=( ) A.10 B.14 C.19 D.20 2.答案 C3.函数y=√2的值域为( ) A.[0,4] B.(-∞,4]C.[0,+∞)D.[0,2]3.答案 D4.已知a∈{-1,2,12,3,13},若f(x)=x a 为奇函数,且在(0,+∞)上单调递增,则实数a 的值是( ) A.-1或3B.13或3C.-1,13或3 D.13,12或3 4.答案 B5.已知函数f(x)=x 2+(a+1)x+ab,若不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤4},则a+2b 的值为( ) A.-2 B.3C.-3D.25.答案 A 依题意,知-1,4为方程x 2+(a+1)x+ab=0的两个根,所以{-1+4=-(a +1),-1×4=ab ,解得{a =-4,b =1,所以a+2b 的值为-2,故选A. 6.(2019绍兴一中月考)命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题,则实数a 的取值范围是( ) A.a<0或a≥3 B.a≤0或a≥3 C.a<0或a>3D.0<a<36.答案 A 若ax 2-2ax+3>0恒成立,则a=0或{a >0,Δ=4a 2-12a <0,可得0≤a<3,故当命题“ax 2-2ax+3>0恒成立”是假命题时,a<0或a≥3.7.二次函数f(x)=x 2+2ax+b 在[-1,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 . 7.答案 [1,+∞)解析 二次函数f(x)=x 2+2ax+b 的图象的对称轴为直线x=-a,∵f(x)在[-1,+∞)上单调递增,∴-a≤-1,即a≥1.8.幂函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 的图象关于y 轴对称,则实数m= . 8.答案 2解析 ∵函数f(x)=(m 2-3m+3)x m 是幂函数,∴m 2-3m+3=1, 解得m=1或m=2.当m=1时,函数f(x)=x 的图象不关于y 轴对称,舍去; 当m=2时,函数f(x)=x 2的图象关于y 轴对称, ∴实数m=2.9.(2019浙江台州高三上期末)已知f(x)={x +3,x <0,x 2+x -1,x ≥0,则f(2)= ;不等式f(x)>f(1)的解集为 . 9.答案 5;(-2,0)∪(1,+∞) 解析 f(2)=22+2-1=5.f(x)>f(1)等价于{x <0,x +3>1或{x ≥0,x 2+x -1>1,解得-2<x<0或x>1,故不等式的解集为(-2,0)∪(1,+∞).10.对于定义在R 上的函数f(x),若实数x 0满足f(x 0)=x 0,则称x 0是函数f(x)的一个不动点.若函数f(x)=x 2+ax+1没有不动点,则实数a 的取值范围是 . 10.答案 (-1,3)解析 问题等价于方程x 2+ax+1=x 无解,即x 2+(a-1)x+1=0无解,∴Δ=(a -1)2-4<0⇒-1<a<3. 11.设二次函数f(x)=ax 2+2bx+c(c>b>a),其图象过点(1,0),且与直线y=-a 有交点. (1)求证:0≤ba <1;(2)若直线y=-a 与函数y=|f(x)|的图象从左到右依次交于A,B,C,D 四点,且线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形,求b a 的取值范围.11.解析 (1)证明:由题意知,a+2b+c=0,又c>b>a, 所以a<0,c>0.由c=-a-2b>b>a,得-13<b a <1.因为函数y=f(x)的图象与直线y=-a 有交点, 所以方程ax 2+2bx+c+a=0有实根, 故Δ=4b 2-4a(c+a)=4b 2+8ab≥0, 所以4(b a )2+8·ba ≥0, 解得ba ≤-2或ba ≥0, 综上可得,0≤ba <1.(2)易知A,D 关于对称轴对称,B,C 关于对称轴对称, 所以|AB|=|CD|, 设|AB|=|CD|=m,|BC|=n,因为线段AB,BC,CD 能构成钝角三角形, 所以{m +m >n ,m 2+m 2<n 2,解得n<2m<√2n,故 2n<2m+n<(√2+1)n,所以2|BC|<|AD|<(√2+1)|BC|.设x 1,x 2是方程ax 2+2bx+c+a=0的两个根, 所以|x 1-x 2|=|BC|=√4(b a )2+8·ba . 设x 3,x 4是方程ax 2+2bx+c-a=0的两个根,所以|x 3-x 4|=|AD|=√4(b a )2+8·ba +8. 所以2√4(b a )2+8·ba<√4(b a )2+8·ba +8<(√2+1)√4(b a )2+8·ba ,解得-1+√24<ba <-1+√153. B 组 提升题组1.设函数f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R)的两个零点分别为x 1,x 2,若|x 1|+|x 2|≤2,则( ) A.|a|≥1B.|b|≤1C.|a+2b|≥2D.|a+2b|≤21.答案 B 由根与系数的关系知b=x 1x 2,所以|b|=|x 1||x 2|≤(|x 1|+|x 2|2)2≤1(当且仅当|x 1|=|x 2|时,等号成立),故选B.2.设抛物线y=ax 2+bx+c(a>0)与x 轴有两个交点A,B,顶点为C,设Δ=b 2-4ac,∠ACB=θ,则cos θ= ( ) A.Δ-4Δ+4 B.√Δ-√Δ+2 C.Δ+4Δ-4 D.√Δ+2√Δ-22.答案 A 如图所示.∵|AB|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√(-b a )2-4·c a =√Δa , ∴|AD|=√Δ2a ,而|CD|=|4ac -b 24a |=Δ4a ,∴|AC|2=|AD|2+|CD|2=Δ4a 2+Δ216a 2=Δ2+4Δ16a 2, ∴cos θ=|AC |2+|BC |2-|AB |22|AC |·|BC |=1-|AB |22|AC |2=1-Δa 22·Δ2+4Δ16a 2=Δ-4Δ+4,故选A.3.下图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为直线x=-1,给出下面四个结论:①b 2>4ac;②2a -b=1;③a -b+c=0;④5a<b.其中正确的结论是( )A.②④B.①④C.②③D.①③3.答案 B 因为二次函数的图象与x 轴交于两点,所以b 2-4ac>0,即b 2>4ac,①正确;因为图象的对称轴为直线x=-1,即-b2a =-1,所以2a-b=0,②错误;由题图可知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误;由对称轴为直线x=-1知b=2a,又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确,故选B.4.若f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R),x∈[-1,1],且|f(x)|的最大值为12,则4a+3b= . 4.答案 -32 解析 由题意可知,{ |f (-1)|≤12,|f (0)|≤12,|f (1)|≤12,即{ |1-a +b |≤12,|b |≤12,|1+a +b |≤12,而|1-a+b|+|1+a+b|≥2|1+b|, 所以2|1+b|≤1,解得-32≤b≤-12,又|b|≤12等价于-12≤b≤12, 所以b=-12, 所以{|12-a|≤12,|12+a|≤12, 解得a=0. 故4a+3b=-32.5.(2019镇海中学月考)已知函数f(x)=x 2-2ax+5(a>1). (1)若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a 的值;(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4,求实数a 的取值范围;(3)若f(x)在[1,3]上有零点,求实数a 的取值范围. 5.解析 (1)易知f(x)在[1,a]上单调递减, 所以{f (1)=a ,f (a )=1,所以a=2.(2)若f(x)在区间(-∞,2]上是减函数,则a≥2,所以当x∈[1,a+1]时, f(x)min =f(a)=5-a 2,f(x)max =f(1)=6-2a, 因为对任意的x 1,x 2∈[1,a+1],总有|f(x 1)-f(x 2)|≤4, 即f(x)max -f(x)min ≤4,即6-2a-5+a 2≤4, 所以a 2-2a-3≤0,得-1≤a≤3. 所以2≤a≤3.(3)f(x)=x 2-2ax+5(a>1)在[1,3]上有零点, 即x 2-2ax+5=0在[1,3]上有解, 所以2a=x+5x 在[1,3]上有解,令h(x)=x+5x ,易知h(x)=x+5x 在[1,√5]上是减函数,在[√5,3]上是增函数, 因为h(1)=6,h(√5)=2√5,h(3)=143,所以2√5≤h(x)≤6,所以2√5≤2a≤6,所以√5≤a≤3.(2019浙江,16,4分)已知a∈R,函数f(x)=ax 3-x.若存在t∈R,使得|f(t+2)-f(t)|≤23,则实数a 的最大值是 . 答案 43解析 |f(t+2)-f(t)|≤23⇔|a(t+2)3-(t+2)-(at 3-t)|≤23⇔|6at 2+12at+8a-2|≤23⇔|3at 2+6at+4a-1|≤13⇔-13≤3at 2+6at+4a-1≤13⇔23≤a(3t 2+6t+4)≤43, ∵3t 2+6t+4=3(t+1)2+1≥1,∴若存在t∈R,使不等式成立,则需a>0, 故a(3t 2+6t+4)∈[a,+∞),∴只需[a,+∞)∩[23,43]≠⌀即可,∴0<a ≤43, 故a 的最大值为43.。

2020 高三理科数学一轮复习讲义2.4 《幂函数与二次函数》最新考纲1232 11.认识幂函数的观点；联合函数y＝ x， y＝x ， y＝ x ， y＝ x ， y＝x的图象，认识它们的变化状况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝ xα的函数称为幂函数，此中x 是自变量，α为常数 .(2)常有的 5 种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在 (0，＋∞ )上都有定义；②当α>0 时，幂函数的图象都过点(1， 1)和 (0， 0)，且在 (0，＋∞ )上单一递加；③当α<0 时，幂函数的图象都过点(1， 1)，且在 (0，＋∞ )上单一递减 .2.二次函数(1)二次函数分析式的三种形式：一般式： f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0).极点式： f(x)＝ a(x－ m) 2＋ n(a≠ 0)，极点坐标为 (m， n).零点式： f(x)＝ a(x－ x1)( x－ x2)(a≠ 0)， x1， x2为 f(x)的零点 .(2)二次函数的图象和性质函数y＝ ax2＋ bx＋ c(a>0)y＝ ax2＋ bx＋ c(a<0)图象 (抛物线 )定义域R4ac － b 2－∞， 4ac －b2值域，＋∞4a4a 对称轴x ＝－b2a极点坐标b 4ac － b2－ 2a ， 4a奇偶性当 b ＝0 时是偶函数，当 b ≠ 0 时是非奇非偶函数在 －∞，－ b上是减函数；在 －∞，－ b上是增函数；2a 2a 单一性在 － b，＋∞ 上是增函数在 － b，＋∞ 上是减函数2a2a[ 微点提示 ]1.二次函数的单一性、最值与抛物线的张口方向和对称轴及给定区间的范围有关.a>0 ， a<0，时，恒有 f(x)<0. 2.若 f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ c(a ≠ 0)，则当时恒有 f(x)>0，当<0 <0基础自测1.判断以下结论正误(在括号内打“√”或“×” )1(1) 函数 y ＝ 2x 3是幂函数 .()(2) 当 n>0 时，幂函数 y ＝ x n在(0 ，＋∞ )上是增函数 .( )(3) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c(x ∈ R )不行能是偶函数 .()2(4) 二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c(x ∈ [a ， b]) 的最值必定是4ac －b .( )4a1分析 (1)因为幂函数的分析式为f(x) ＝x α，故 y ＝ 2x 3不是幂函数， (1)错 .(3) 因为当 b ＝ 0 时， y ＝ ax 2＋ bx ＋c ＝ ax 2＋ c 为偶函数，故 (3)错.b b24ac － b(4) 对称轴 x ＝－ 2a ，当－ 2a 小于 a 或大于 b 时，最值不是 4a ，故 (4)错 .答案 (1)× (2) √(3)× (4) ×第2页（共 16页）2.(必修 1P79T1 改编 )已知幂函数 f(x)＝ k ·x α的图象过点 1， 2，则 k ＋ α＝ ()2 21 3 A. 2C.2α分析 α121 2 1 因为 f(x)＝k ·x是幂函数，所以k ＝ 1.又 f(x)的图象过点 2，2 ，所以 2 ＝ 2 ，所以 α＝2，所以 k13＋α＝1＋ 2＝ 2. 答案C3.(必修 1P44A9 改编 )若函数 f(x)＝4x 2 －kx － 8 在 [ － 1， 2]上是单一函数，则实数 k 的取值范围是 ________.kk分析 因为函数 f(x)的图象张口向上，对称轴是 x ＝8 ，所以要使 f(x)在 [－ 1， 2] 上是单一函数，则有 8≤ － 1 或 k≥ 2，即 k ≤ － 8 或 k ≥ 16.8 答案 (－∞，－ 8]∪ [16，＋∞ )4214.(2016 全·国 Ⅲ 卷 )已知 a ＝ 23， b ＝33， c ＝ 253，则 ()A. b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b42222分析因为 a ＝ 23＝ 43， b ＝ 33， c ＝ 53又 y ＝x 3在 (0，＋ ∞ )上是增函数，所以 c>a>b.答案 A5.(2019 衡·水中学月考 )若存在非零的实数 a ，使得 f(x)＝ f(a － x)对定义域上随意的 x 恒建立，则函数 f(x)可能是()A. f(x)＝ x 2－ 2x ＋ 1B.f(x)＝ x 2－ 1C.f(x)＝ 2xD.f(x)＝ 2x ＋1分析 由存在非零的实数 a ，使得 f(x)＝ f(a － x)对定义域上随意的 x 恒建立，可得函数图象的对称轴为x ＝a2≠ 0.只有选项 A 中， f(x)＝x 2－ 2x ＋1 对于 x ＝ 1 对称 .答案 A6.(2018 成·都诊疗 )幂函数 f(x) ＝ 2m 2－ 6m ＋ 8在 (0，＋∞ )上为增函数，则 m 的值为 ________.(m － 4m ＋ 4) ·x m 2－ 4m ＋ 4＝ 1， 解得 m ＝ 1.分析 由题意知m 2－6m ＋8>0 ，答案 1考点一幂函数的图象和性质【例 1】 (1) 幂函数 y＝ f( x)的图象过点 (4，2)，则幂函数y＝ f( x)的大概图象是 ()22 11 3 1 3 1 3(2) 若 a＝2 ， b＝5 ，c＝ 2 ，则 a， b， c 的大小关系是 ()A. a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c分析 (1)设幂函数的分析式为αy＝ x ，因为幂函数 y＝ f(x)的图象过点 (4， 2)，α 1所以 2＝ 4 ，解得α＝2.所以 y＝ x，其定义域为 [0，＋∞ )，且是增函数，当0<x<1 时，其图象在直线y＝ x 的上方，比较选项， C 正确 .2 1 2121x1211所以 a＝3 3，因为 y＝是减函数，所以 a＝3 3(2) 因为 y＝ x3在第一象限内是增函数，<c＝2 >b＝ 5 2 2 2 ，所以 b<a<c.答案(1)C(2)D规律方法 1.对于幂函数图象的掌握只需抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个地区，即x＝ 1，y＝ 1，y＝x 所分地区 .依据α，0<α<1，α＝ 1，α>1 的取值确立地点后，其他象限部分由奇偶性决定.<02.在比较幂值的大小时，一定联合幂值的特色，选择适合的函数，借助其单一性进行比较.【训练 1】 (1)(2018 ·洛阳二模 )已知点1在幂函数 f(x)＝ (a－ 1)x b的图象上，则函数f(x)是 () a，2A. 奇函数B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数(2)(2018 上·海卷 )已知α∈ － 2，－ 1，－12，12， 1， 2，3 .若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在 (0，＋∞ )上递减，则α＝ ______.分析(1)由题意得a－ 1＝ 1，且1＝ a b，所以 a＝ 2 且 b＝－ 1.故 f(x)＝ x－1是奇函数，但在定义域 (－∞，0)∪ (0，2＋∞ )不是单一函数.(2)由题意知α可取－ 1， 1， 3.又 y＝ xα在 (0，＋∞ )上是减函数，∴α<0，取α＝－ 1.答案(1)A (2)－ 1考点二二次函数的分析式【例 2】 (一题多解 )已知二次函数f(x) 知足 f(2) ＝－ 1， f(－ 1)＝－ 1，且 f(x)的最大值是8，试确立该二次函数的分析式 .解法一(利用“一般式”解题)设 f(x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠0).4a＋ 2b＋ c＝－ 1，a＝－ 4，a－ b＋c＝－ 1，由题意得解得 b＝ 4，4ac－ b2＝8，c＝ 7.4a∴所求二次函数的分析式为f(x)＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.法二(利用“极点式”解题)设 f(x)＝ a(x－ m)2＋n( a≠ 0).因为 f(2) ＝ f(－ 1)，所以抛物线的对称轴为x＝ 2＋（－ 1）＝1，所以m＝ 1 .2 2 2又依据题意，函数有最大值8，所以 n＝ 8，21所以 y＝ f(x)＝a x－2 ＋ 8.21因为 f(2) ＝－ 1，所以 a 2－2 ＋ 8＝－ 1，解得 a＝－ 4，1 2＋ 8＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.所以 f( x)＝－ 4 x－2法三(利用“零点式”解题)由已知 f(x) ＋1＝ 0 的两根为x1＝ 2， x2＝－ 1，第5页（共 16页）即 f(x)＝ ax2－ ax－2a－ 1.2又函数有最大值8，即 4a(－ 2a－ 1)－(－a) ＝8.解得 a＝－ 4 或 a＝ 0(舍).故所求函数的分析式为f( x)＝－ 4x2＋ 4x＋ 7.规律方法求二次函数的分析式，一般用待定系数法，其重点是依据已知条件恰入选择二次函数分析式的形式，一般选择规律以下：【训练2】已知二次函数 f(x)的图象经过点 (4，3)，它在 x 轴上截得的线段长为2，而且对随意x∈R，都有f(2－ x)＝ f(2＋ x)，则 f(x)＝________.分析因为 f(2－ x)＝ f(2＋ x)对 x∈R恒建立，所以 y＝ f(x)的图象对于 x＝ 2 对称 .又 y＝ f(x)的图象在 x 轴上截得的线段长为2，所以 f( x)＝ 0 的两根为 2－2＝ 1 或 2＋2＝ 3.2 2所以二次函数 f(x)与 x 轴的两交点坐标为(1，0)和(3， 0).所以设 f(x) ＝a( x－1)( x－3).又点 (4， 3)在 y＝ f(x)的图象上，所以 3a＝ 3，则 a＝ 1.故 f(x)＝ (x－ 1)(x－ 3)＝ x2－ 4x＋ 3.答案x2－ 4x＋ 3考点三二次函数的图象及应用【例 3】 (1) 对数函数 y＝ log a x(a>0 且 a≠ 1)与二次函数y＝ (a－ 1)x2－ x 在同一坐标系内的图象可能是()(2) 设函数 f(x)＝ x2＋ x＋ a( a>0) ，已知 f(m)<0 ，则 ()A. f(m＋ 1)≥ 0B.f(m＋ 1)≤ 0C.f(m＋ 1)>0D.f(m＋ 1)<0分析(1)若 0<a<1 ，则 y＝ log a x 在 (0，＋∞ )上单一递减，y＝(a－1)x2－x 张口向下，其图象的对称轴在y 轴左边，清除C，D.若 a>1 ，则 y＝ log a x 在 (0，＋∞ )上是增函数，y＝(a－1)x2－x 图象张口向上，且对称轴在y 轴右边，所以 B 项不正确，只有选项 A 知足 .1(2) 因为 f(x)的对称轴为x＝－2， f(0)＝ a>0，所以 f(x)的大概图象以下图.由 f(m)<0 ，得－ 1<m<0 ，所以 m＋1>0 ，所以 f(m＋ 1)> f(0)>0.答案(1)A(2)C规律方法 1.研究二次函数图象应从“ 三点一线一张口” 进行剖析，“三点” 中有一个点是极点，另两个点是抛物线上对于对称轴对称的两个点，常取与x 轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“ 一张口” 是指抛物线的张口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特色，剖析不等关系建立的条件.【训练 3】一次函数y＝ ax＋ b 与二次函数y＝ ax2＋ bx＋c 在同一坐标系中的图象大概是()分析 A 中，由一次函数y＝ ax＋b 的图象可得a>0，此时二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象应当张口向上， A 错误；B 中，由一次函数y＝ ax＋b 的图象可得a>0， b>0，此时二次函数y＝ ax2＋ bx＋ c 的图象应当张口向上，对称轴 x＝－b 2＋bx＋ c 2a<0，B 错误； C 中，由一次函数 y＝ ax＋ b 的图象可得a<0， b<0，此时二次函数y＝ axb的图象应当张口向下，对称轴x＝－2a<0， C 正确；D 中，由一次函数y＝ ax＋ b 的图象可得 a<0 ， b<0 ，此时二次函数y＝ ax2＋bx＋ c 的图象应当张口向下， D 错误 .答案 C考点四二次函数的性质多维研究角度 1二次函数的单一性与最值【例 4－ 1】已知函数f(x)＝ x2＋ 2ax＋3， x∈ [－ 4，6].(1)当 a＝－ 2 时，求 f(x)的最值；(2)务实数 a 的取值范围，使 y＝ f(x)在区间 [ － 4， 6]上是单一函数 .解 (1)当 a＝－ 2 时， f(x)＝x2－ 4x＋ 3＝ (x－ 2)2－ 1，因为 x∈ [－ 4，6] ，∴f(x)在 [ － 4， 2]上单一递减，在 [2， 6]上单一递加，∴f(x)的最小值是f(2) ＝－ 1，又 f(－ 4)＝ 35， f(6) ＝15，故 f(x)的最大值是 35.(2) 因为函数f(x)的图象张口向上，对称轴是x＝－ a，所以要使f(x)在 [－4， 6]上是单一函数，应有－a≤－ 4 或－ a≥ 6，即 a≤－ 6 或 a≥4，故 a 的取值范围是(－∞，－ 6]∪ [4，＋∞ ).角度 2二次函数的恒建立问题【例 4－ 2】 (2019 ·浙江“超级全能生”模拟 )已知在 (－∞， 1] 上递减的函数f(x)＝ x2－ 2tx＋1，且对随意的x1， x2∈ [0， t＋ 1]，总有 |f(x1)－ f(x2)|≤ 2，则实数 t 的取值范围是()A.[ － 2， 2]B.[1 ， 2]C.[2， 3]D.[1 ， 2]分析 因为 f(x)＝ x 2－ 2tx ＋ 1 的图象的对称轴为 x ＝ t ，又 y ＝ f(x)在 (－ ∞， 1]上是减函数，所以， t ≥ 1.则在区间 [0， t ＋ 1]上， f(x)max ＝ f(0)＝ 1，f(x)min ＝f(t) ＝t 2－ 2t 2＋ 1＝－ t 2＋ 1，要使对随意的 x 1， x 2∈ [0， t ＋ 1]，都有 |f(x 1)－ f( x 2)|≤ 2，只需 1－ (－ t 2＋ 1)≤ 2，解得－ 2≤ t ≤ 2.又 t ≥1， ∴ 1≤t ≤ 2.答案B规律方法1.二次函数最值问题的解法：抓住 “ 三点一轴 ” 数形联合， 三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，联合配方法，依据函数的单一性及分类议论的思想求解.2.由不等式恒建立求参数取值范围的思路及重点(1) 一般有两个解题思路：一是分别参数；二是不分别参数.(2) 两种思路都是将问题归纳为求函数的最值，至于用哪一种方法，重点是看参数能否已分别 .这两个思路的依据是： a ≥ f(x)恒建立 ? a ≥ f(x)max ， a ≤ f(x)恒建立 ? a ≤ f( x)min .【训练 4】 已知二次函数f(x)＝ ax 2＋ bx ＋ 1(a ， b ∈ R 且 a ≠ 0)， x ∈ R .(1) 若函数 f(x)的最小值为 f(－ 1)＝ 0，求 f(x)的分析式，并写出单一区间；(2) 在 (1)的条件下， f(x)> x ＋k 在区间 [－ 3，－ 1]上恒建立，试求 k 的取值范围 .a>0，解 (1) 由题意知－ b＝－ 1， a ＝1，解得2ab ＝2.f （－ 1）＝ a － b ＋ 1＝ 0，所以 f( x)＝ x 2＋ 2x ＋ 1，由 f(x)＝ (x ＋ 1)2 知，函数 f(x) 的单一递加区间为 [－ 1，＋∞ )，单一递减区间为 (－∞，－ 1].(2) 由题意知， x 2＋ 2x ＋1>x ＋ k 在区间 [－ 3，－ 1] 上恒建立，即 k<x 2＋ x ＋ 1 在区间[ － 3，－ 1]上恒建立，令 g(x) ＝ x2＋x＋ 1， x∈ [－3，－ 1]，由 g(x) ＝ x＋1 2g( x)min＝ g(－ 1)＝ 1，所以 k<1，2＋3知 g(x) 在区间 [－ 3，－ 1]上是减函数，则4故 k 的取值范围是 (－∞， 1).[ 思想升华 ]αα的取值不一样而比较复杂，一般可从三方面考察：1.幂函数 y＝ x 的性质和图象，因为(1) α的正负：α>0 时图象经过 (0， 0)点和 (1 ，1)点，在第一象限的部分“上涨”；α<0 时图象可是 (0， 0)点，经过 (1， 1)点，在第一象限的部分“降落”；(2) 曲线在第一象限的凹凸性：α>1 时曲线下凹， 0<α<1 时曲线上凸，α<0 时曲线下凹；(3)函数的奇偶性：一般先将函数式化为正指数幂或根式形式，再依据函数定义域和奇偶性定义判断其奇偶性.2.求二次函数的分析式就是确立函数式f( x)＝ ax2＋ bx＋ c(a≠ 0)中 a， b， c 的值 .应依据题设条件采用适合的表达形式，用待定系数法确立相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式亲密有关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单一性与对称轴密切相连，二次函数的最值问题要依据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.[ 易错防备 ]1.幂函数的图象必定会出此刻第一象限内，必定不会出此刻第四象限，至于能否出此刻第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只好同时出此刻两个象限内；假如幂函数图象与坐标轴订交，则交点必定是原点 .2.对于函数y＝ ax2＋ bx＋ c，要以为它是二次函数，就一定知足a≠ 0，当题目条件中未说明a≠ 0 时，就要讨论 a＝ 0 和 a≠ 0 两种状况 .基础稳固题组(建议用时： 40 分钟 )一、选择题1.(2019 济·宁联考 )以下命题正确的选项是()A.y＝ x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0) ，(1， 1)C.若幂函数y＝ xα是奇函数，则y＝ xα是增函数D.幂函数的图象不行能出此刻第四象限分析α中，当α<0 时，A 中，点(0，1)不在直线上， A 错；B 中，y＝ x ，当α<0 时，图象可是原点， B 错； Cy＝xα在( －∞， 0)， (0，＋∞ )上为减函数， C 错 .幂函数图象必定过第一象限，必定可是第四象限， D 正确. 答案 D2.若函数 f(x)＝ x2＋ ax＋ b 的图象与 x 轴的交点为 (1， 0)和 (3， 0)，则函数 f(x)()A. 在 (－∞， 2]上递减，在 [2，＋∞ )上递加B.在 (－∞， 3)上递加C.在 [1， 3]上递加D.单一性不可以确立分析由已知可得该函数图象的对称轴为x＝ 2，又二次项系数为1>0 ，所以 f(x)在 (－∞，2]上是递减的，在[2，＋∞ )上是递加的 .答案 A3.(2019 安·阳模拟 )已知函数 f(x) ＝－ x2＋ 4x＋ a，x∈ [0， 1]，若 f(x)有最小值－ 2，则 f(x)的最大值为 ()C.－ 1分析f( x)＝－ x2＋ 4x＋ a＝－ (x－2) 2＋a＋ 4，∴函数 f(x) ＝－ x2＋ 4x＋ a 在 [0 ，1]上单一递加，∴当 x＝ 0 时， f(x)获得最小值，当x＝ 1 时， f(x)获得最大值，∴f(0)＝ a＝－ 2， f(1) ＝3＋ a＝ 3－2＝ 1.答案A4.(2018 岳·阳一中质检)已知函数 y ＝ ax 2＋ bx － 1 在 (－∞，0]是单一函数， 则 y ＝ 2ax ＋ b 的图象不行能是()分析① 当 a ＝ 0， b ≠ 0 时， y ＝2ax ＋ b 的图象可能是 A ；②当 a>0 时，－ b ≥0? b ≤ 0， y ＝ 2ax ＋b 的图象可能是 C ；2a ③当 a<0 时，－ b≥0? b ≥ 0， y ＝ 2ax ＋b 的图象可能是 D.2a答案B5.(2019 巢·湖月考 )已知 p ：|m ＋ 1|<1，q ：幂函数 y ＝ (m 2－ m － 1)x m 在 (0，＋∞ )上单一递减， 则 p 是 q 的 ( )A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C.充要条件D.既不充足也不用要条件分析p ：由 |m ＋ 1|<1 得－ 2<m<0，∵幂函数 y ＝(m 2－ m － 1)x m 在 (0，＋ ∞ )上单一递减，∴m 2－ m － 1＝ 1，且 m<0，解得 m ＝－ 1. ∴p 是 q 的必需不充足条件 .答案 B 二、填空题16.已知函数 f(x)为幂函数，且 f(4) ＝2，则当 f(a)＝ 4f(a ＋ 3)时，实数 a 等于 ________.分析 设 f(x)＝ x αα11，则 4 ＝ 2，所以 α＝－ 2.1 111所以 f( x)＝ x －2，进而 a － 2＝ 4(a ＋ 3)－2，解得 a ＝5.1 答案5第 12 页（共 16 页）7.(2019 泉·州质检 )若二次函数 f(x)＝ ax 2－ x ＋ b(a ≠0)的最小值为 0，则 a ＋ 4b 的取值范围是 ________.分析 依题意，知 a>0 ，且 ＝ 1－4ab ＝ 0，∴ 4ab ＝ 1，且 b>0.故 a ＋ 4b ≥2 4ab ＝ 2，当且仅当 a ＝ 4b ，即 a ＝ 1， b ＝14时等号建立 .所以 a ＋ 4b 的取值范围是 [2，＋ ∞).答案[2，＋∞ )8.已知二次函数 f(x)知足 f(2＋x) ＝ f(2－ x)，且 f(x)在 [0，2]上是增函数， 若 f(a)≥f(0)，则实数 a 的取值范围是________.分析 由题意可知函数 f( x)的图象张口向下，对称轴为 x ＝2( 如图 )，若 f(a)≥ f(0) ，从图象察看可知 0≤a ≤ 4.答案[0，4]三、解答题9.已知奇函数 y ＝ f(x) 定义域是 R ，当 x ≥ 0 时， f(x)＝ x(1－ x).(1) 求出函数 y ＝ f(x)的分析式；(2) 写出函数 y ＝ f(x)的单一递加区间 .(不用证明，只需直接写出递加区间即可)解 (1)当 x<0 时，－ x>0 ，所以 f( － x)＝－ x(1＋ x).又因为 y ＝ f(x)是奇函数，所以 f( x)＝－ f(－ x)＝ x(1＋ x).x （ 1－ x ）， x ≥ 0， 综上 f( x)＝x （ 1＋ x ）， x<0.1 1 (2) 函数 y ＝ f(x)的单一递加区间是 － 2，2 .10.已知幂函数 f( x)＝ (m － 1)2xm 2－ 4m ＋ 2 在(0，＋∞ )上单一递加，函数 g(x)＝ 2x － k.(1) 求 m 的值；(2) 当 x ∈ [1，2)时，记 f(x)，g(x)的值域分别为会合 A ，B ，设 p ：x ∈ A ，q ：x ∈B ，若 p 是 q 建立的必需条件，务实数 k 的取值范围 .解 (1) 依题意得： (m － 1)2＝ 1? m ＝0 或 m ＝ 2，当 m ＝ 2 时， f(x) ＝ x －2 在(0，＋∞ )上单一递减，与题设矛盾，舍去，∴m ＝ 0.(2) 由 (1)得， f(x)＝x 2，当 x ∈ [1， 2)时， f(x)∈ [1， 4)，即 A ＝ [1， 4)，当 x ∈ [1， 2)时， g(x)∈ [2－k ， 4－ k)，即 B ＝ [2－ k ，4－ k)，因 p 是 q 建立的必需条件，则B? A ，2－ k ≥1， k ≤ 1， 则 即 得 0≤k ≤ 1.4－ k ≤ 4， k ≥0，故实数 k 的取值范围是 [0， 1].能力提高题组(建议用时： 20 分钟 )α，1]上它们的图象是一组漂亮的曲线 (如图 )， 11.(2019 武·汉模拟 )幂函数 y ＝ x ，当 α取不一样的正数时， 在区间 [0 设点 A(1，0)， B(0 ， 1)，连结 AB ，线段 AB 恰巧被此中的两个幂函数 y ＝ x a ，y ＝ x b 的图象三平分，即有 BM＝MN ＝ NA ，那么 a － 1＝()b1C.2分析 BM ＝ MN ＝ NA ，点 A(1， 0)， B(0， 1)，1 2 2 1所以 M 3， 3，N 3，3，将两点坐标分别代入 y ＝ x a， y ＝ x b，得 a ＝ log12， b ＝ log21， ∴ a －1＝ log 12－1＝0.3333 b33log 2133答案 A12.(2017 浙·江卷 )若函数 f(x)＝ x 2＋ ax ＋ b 在区间 [0， 1]上的最大值是 M ，最小值是 m ，则 M －m()A. 与 a 有关，且与 b 有关B.与 a 有关，但与 b 没关C.与 a 没关，且与 b 没关D.与 a 没关，但与 b 有关分析设 x1， x2分别是函数 f(x)在 [0， 1]上的最小值点与最大值点，则m＝ x12＋ax1＋b， M＝ x22＋ ax2＋ b. ∴M －m＝ x22－ x12＋ a(x2－ x1)，明显此值与 a 有关，与 b 没关 .答案 B13.已知函数 f(x)＝ mx2＋ (2－ m)x＋ n(m>0) ，当－ 1≤ x≤ 1 时， |f(x)|≤ 1 恒建立，则 f 2 ＝________.3分析当 x∈[ －1， 1]时， |f(x)|≤ 1 恒建立 .|f （0） |≤ 1? |n|≤1? － 1≤n≤ 1；∴|f （ 1） |≤ 1? |2＋n|≤ 1? － 3≤n≤ － 1，所以 n＝－ 1，∴ f(0) ＝－ 1， f(1)＝ 1.由 f(x)的图象可知：要知足题意，则图象的对称轴为直线x＝ 0，∴2－ m＝ 0， m＝ 2，∴f(x)＝ 2x2－ 1，∴ f 23＝－19.答案－1914.已知二次函数f(x) 知足 f( x＋1) － f(x)＝ 2x，且 f(0) ＝ 1.(1)求 f(x)的分析式；(2) 当 x∈ [－1， 1]时，函数y＝ f(x)的图象恒在函数y＝ 2x＋m 的图象的上方，务实数m 的取值范围 . 解 (1)设 f(x)＝ ax2＋ bx＋1(a≠ 0)，则 f(x＋ 1)－ f(x)＝ 2x，得 2ax＋ a＋ b＝2x.所以， 2a＝2 且 a＋ b＝ 0，解得 a＝ 1， b＝－ 1，又 f(0)＝ 1，所以 c＝ 1.所以 f( x)的分析式为f(x)＝x2－ x＋ 1.(2)因为当 x∈ [－ 1， 1]时， y＝ f(x)的图象恒在 y＝2x＋ m 的图象上方，所以在 [－ 1， 1]上， x2－ x＋ 1>2x＋m 恒建立；即 x2－3x＋ 1>m 在区间 [－ 1， 1]上恒建立 .所以令 g(x)＝ x2－ 3x＋ 1＝ x－322－54，因为 g(x)在 [－ 1， 1]上的最小值为g(1) ＝－ 1，所以 m<－ 1.故实数 m 的取值范围为(－∞，－ 1).。

第4讲幂函数与二次函数[最新考纲]1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝的图象，了解它们的变化情况．3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质．4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]增增(－∞，0)减，(0，减，[0，＋∞)增＋∞)减定点 (0,0)，(1,1)(1,1)(1)二次函数的定义形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标；③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)图象a >0a <0定义域 RR值域 y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a 顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性 b ＝0⇔y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a 递减 区间 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞ 最值当x ＝－b2a 时，y 有最小值y min当x ＝－b2a 时，y 有最大＝4ac －b 24a值y max ＝4ac －b 24a辨 析 感 悟1．对幂函数的认识(1)函数f (x )＝x 2与函数f (x )＝2x 2都是幂函数．(×) (2)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0)．(×) (3)幂函数的图象不经过第四象限．(√) 2．对二次函数的理解(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．(×)(5)(教材习题改编)函数f (x )＝12x 2＋4x ＋6，x ∈[0,2]的最大值为16，最小值为－2.(×)(6)(2011·陕西卷改编)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ≤4.(×)学生用书第19页[感悟·提升三个防范 一是幂函数的图象最多出现在两个象限内，一定会经过第一象限，一定不经过第四象限，若与坐标轴相交，则交点一定是原点，但并不是都经过(0,0)点，如(2)、(3)．二是二次函数的最值一定要注意区间的限制，不要盲目配方求得结论，如(5)中的最小值就忽略了函数的定义域．三是一元二次方程有实根的充要条件为Δ≥0，但还要注意n ∈N *，如(6)．考点一 幂函数的图象与性质的应用【例1】 (1)(2014·济南模拟)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 4f (2)的值为()．A.14B．－14C．2 D．－2(2)函数y＝13x的图象是()．解析(1) 设f(x)＝xα，由图象过点⎝⎛⎭⎪⎫12，22，得⎝⎛⎭⎪⎫12α＝22＝1212⎛⎫⎪⎝⎭⇒α＝12，log4f(2)＝4log122＝14.(2)显然f(－x)＝－f(x)，说明函数是奇函数，同时由当0＜x＜1时，x31＞x；当x ＞1时，x31＜x，知只有B选项符合．答案(1)A(2)B规律方法(1)幂函数解析式一定要设为y＝xα(α为常数)的形式；(2)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【训练1】比较下列各组数的大小：⑴121.1，120.9，1；⑵2322⎛⎫- ⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-.解⑴把1看作121，幂函数y＝12x在(0，＋∞)上是增函数．∵0＜0.9＜1＜1.1，∴120.9＜121＜121.1.即120.9＜1＜121.1.⑵因为2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2322⎛⎫⎪⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫- ⎪⎝⎭＝23710⎛⎫⎪⎝⎭，()431.1-＝()2321.1＝231.21，幂函数y＝23x在(0，＋∞)上是增函数，且710＜22＜1.21.∴23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭＜2322⎛⎫- ⎪⎝⎭＜(－1.1)43.考点二二次函数的图象与性质【例2】(2013·浙江七校模拟)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b2＞4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a＜b.其中正确的是()．A．②④B．①④C．②③D．①③解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－b2a＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，③错误；由对称轴为x ＝－1知，b ＝2a .又函数图象开口向下，所以a ＜0，所以5a ＜2a ，即5a ＜b ，④正确． 答案 B规律方法 解决二次函数的图象问题有以下两种方法： (1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点；(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【训练2】 (2014·广东六校教研协作体联考)已知函数f (x )＝x 2－2x ，g (x )＝ax ＋2(a ＞0)，对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，则实数a 的取值范围是________．解析 当x 0∈[－1,2]时，由f (x )＝x 2－2x 得f (x 0)∈[－1,3]，又对任意的x 1∈[－1,2]都存在x 0∈[－1,2]，使得g (x 1)＝f (x 0)，∴当x 1∈[－1,2]时，g (x 1)∈[－1,3]．当a ＞0时，⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋2≥－1，2a ＋2≤3，解得a ≤12.综上所述，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12.答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12考点三 二次函数的综合运用【例3】 若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 审题路线 f (0)＝1求c →f (x ＋1)－f (x )＝2x 比较系数求a ，b →构造函数g (x )＝f (x )－2x －m →求g (x )min →由g (x )min ＞0可求m 的范围． 解 (1)由f (0)＝1，得c ＝1.∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1，由－m －1>0得，m <－1. 因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1).学生用书第20页规律方法 一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．【训练3】 (2014·江西九校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (c ＞0且为常数)的导函数的图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式(用含c 的式子表示)； (2)令g (x )＝f (x )x ，求y ＝g (x )在[1,2]上的最大值． 解 (1)∵f ′(x )＝2ax ＋b ，由图可知，f ′(x )＝2x ＋1， ∴⎩⎨⎧ 2a ＝2，b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1，故所求函数的解析式为f (x )＝x 2＋x ＋c . (2)g (x )＝f (x )x ＝x 2＋x ＋c x ＝x ＋c x ＋1， 则g ′(x )＝1－c x 2＝x 2－c x 2＝(x ＋c )(x －c )x 2.①若c ＜1，即0＜c ＜1时，g ′(x )＞0， ∴g (x )在[1,2]上是增函数，故g (x )max ＝g (2)＝c2＋3.②若1≤ c ≤2，即1≤c ≤4，当1≤x ＜c 时，g ′(x )＜0，当c ＜x ≤2时，g ′(x )＞0，∵g (1)＝c ＋2，g (2)＝c2＋3，∴当1≤c ≤2时，g (1)≤g (2)，g (x )max ＝g (2)＝c2＋3； 当2＜c ≤4时，g (1)＞g (2)，g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. ③若c ＞2，即c ＞4时，g ′(x )＜0，∴g (x )在[1,2]上是减函数，故g (x )max ＝g (1)＝c ＋2. 综上所述，当0＜c ≤2时，g (x )max ＝c2＋3；当c ＞2时， g (x )max ＝c ＋2.1．对于幂函数的图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 分区域．根据α＜0,0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． 2．二次函数的综合应用多涉及单调性与最值或二次方程根的分布问题，解决的主要思路是等价转化，多用到数形结合思想与分类讨论思想．3．对于与二次函数有关的不等式恒成立或存在问题注意等价转化思想的运用．答题模板2——二次函数在闭区间上的最值问题【典例】 (12分)(经典题)求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．[规范解答] 函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24的图象的对称轴为x ＝a 2，应分a 2＜－1，－1≤a 2≤1，a2＞1，即a ＜－2，－2≤a ≤2和a ＞2三种情形讨论． (2分) (1)当a ＜－2时，由图(1)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝－1－a ； (5分)(2)当－2≤a ≤2时，由图(2)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a24；(8分)(3)当a ＞2时，由图(3)可知f (x )在[－1,1]上的最大值为f (1)＝a －1. (11分)综上可知，f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a 24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.(12分)[反思感悟] (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)部分学生易出现两点错误：①找不到分类的标准，无从入手；②书写格式不规范，漏掉结论f (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a －1，a ＜－2，a24，－2≤a ≤2，a －1，a ＞2.答题模板 第一步：配方，求对称轴．第二步：分类，将对称轴是否在给定区间上分类讨论． 第三步：求最值． 第四步：下结论． 【自主体验】已知函数f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有一个最大值－5，求a 的值．解 f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，对称轴为x ＝a 2，顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－4a .①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )在区间[0,1]上递增． ∴y max ＝f (1)＝－4－a 2.令－4－a 2＝－5， ∴a ＝±1＜2(舍去)．②当0＜a2＜1，即0＜a ＜2时，y max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－4a ，令－4a ＝－5，∴a ＝54∈(0,2)． ③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在区间[0,1]上递减， 此时f (x )max ＝f (0)＝－4a －a 2.令－4a －a 2＝－5，即a 2＋4a －5＝0，∴a ＝－5或a ＝1(舍去)．综上所述，a ＝54或a ＝－5.对应学生用书P233基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．幂函数的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )．A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，＋∞)解析 设幂函数y ＝x α，则2α＝14，解得α＝－2，所以y ＝x －2，故函数y ＝x －2的单调递增区间是(－∞，0)． 答案 C2．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么( )．A ．f (－2)＜f (0)＜f (2)B ．f (0)＜f (－2)＜f (2)C ．f (2)＜f (0)＜f (－2)D ．f (0)＜f (2)＜f (－2)解析 函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x 都有f (1＋x )＝f (－x )．可知函数f (x )图象的对称轴为x ＝12，又函数图象开口向上，自变量离对称轴越远函数值越大． 答案 D3．(2014·北京八十中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )． A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B ．(－1,2) C ．(－2,1) D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x 为增函数，由于f (x )是奇函数，故f (x )在R 上为增函数．由f (2－a 2)＞f (a )得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.故实数a 的取值范围是(－2,1)． 答案 C4．若a ＜0，则0.5a,5a,5－a 的大小关系是( )． A ．5－a ＜5a ＜0.5a B ．5a ＜0.5a ＜5－a C ．0.5a ＜5－a ＜5a D ．5a ＜5－a ＜0.5a解析 5－a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a ，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a ＜0.5a ＜5－a . 答案 B5．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )．解析 由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0. ∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0， 知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a ＜0，B 错误． 答案 D 二、填空题6．(2014·上海中学一检)方程x 2－2ax ＋4＝0的一根大于1，一根小于1，则实数a 的取值范围是________．解析 设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则f (1)＜0，解得a ＞52. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞7．(2013·南昌检测)已知函数y ＝－x 2＋4ax 在区间[1,3]上单调递减，则实数a 的取值范围是________．解析 根据题意，得对称轴x ＝2a ≤1，所以a ≤12. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 将方程有两个不同的实根转化为两个函数图象有两个不同的交点．作出函数f (x )的图象，如图，由图象可知，当0<k <1时，函数f (x )与y ＝k 的图象有两个不同的交点，所以所求实数k 的取值范围是(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )＞－2x 的解集为{x |1＜x ＜3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式． 解 设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3) (a ＜0)， 则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝[－(4a ＋2)]2－36a 2＝0，即(5a ＋1)(a －1)＝0， 解得a ＝－15或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.10．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ； 当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎨⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、选择题1．(2014·江门、佛山模拟)已知幂函数f (x )＝x α，当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，则α的取值范围是( )．A ．(0,1)B ．(－∞，1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，0)解析 当x ＞1时，恒有f (x )＜x ，即当x ＞1时，函数f (x )＝x α的图象在y ＝x 的图象的下方，作出幂函数f (x )＝x α在第一象限的图象，由图象可知α＜1时满足题意，故选B. 答案 B2．设函数f (x )＝－2x 2＋4x 在区间[m ，n ]上的值域是[－6,2]，则m ＋n 的取值所组成的集合为( )． A ．[0,3] B ．[0,4] C ．[－1,3] D ．[1,4]解析 由题意得，函数f (x )＝－2x 2＋4x 图象的对称轴为x ＝1，故当x ＝1时，函数取得最大值2.因为函数的值域是[－6,2]，令－2x 2＋4x ＝－6，可得x ＝－1或x ＝3， 所以－1≤m ≤1,1≤n ≤3， 所以0≤m ＋n ≤4. 答案 B 二、填空题3．已知函数f (x )＝12x ，给出下列四个命题： ①若x ＞1，则f (x )＞1；②若0＜x 1＜x 2，则f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1； ③若0＜x 1＜x 2，则x 2f (x 1)＜x 1f (x 2)； ④若0＜x 1＜x 2，则f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 其中，所有正确命题的序号是________． 解析 对于①：∵y ＝12x 在(0，＋∞)上为增函数，∴当x ＞1时，f (x )＞f (1)＝1，①正确；对于②：取x 1＝14，x 2＝4，此时f (x 1)＝12，f (x 2)＝2，但f (x 2)－f (x 1)＜x 2－x 1，②错误；对于③：构造函数g (x )＝f (x )x ＝xx ，则g ′(x )＝x2x －x x 2＝－x2x 2＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上为减函数，当x 2＞x 1＞0时，有f (x 2)x 2＜f (x 1)x 1，即x 1f (x 2)＜x 2f (x 1)，③错误；对于④：画出f (x )＝12x 在(0，＋∞)的图象，可知f (x 1)＋f (x 2)2＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，④正确． 答案 ①④ 三、解答题4．(2014·辽宁五校联考)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． 解 (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x (x ＞0)，x 2＋2x (x ≤0).(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a (a ≤0)，－a 2－2a ＋1(0＜a ≤1)，2－4a (a ＞1).学生用书第21页必记内容: 高中数学三角函数公式汇总一、任意角的三角函数在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x=αcos 正切：xy=αtan 余切：y x =αcot正割：xr=αsec 余割：yr =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。