高三一轮复习二次函数复习(很全面的)

专题四《函数》讲义5.2二次函数与幂函数知识梳理.二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．(2)二次函数的图象和性质2(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．题型一.二次函数考点1.二次函数根的分布、恒成立问题1．函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣2，0]D．[﹣3，0]【解答】解：∵函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，①当a＝0时，f（x）＝﹣3x+1，∵﹣3＜0，∴f（x）在R上单调递减，符合题意；②当a＞0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，∵二次函数在对称轴右侧单调递增，∴不可能在区间[﹣1，+∞）上递减，故不符合题意；③当a＜0时，函数f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1为二次函数，对称轴为x=−K32，∵二次函数在对称轴右侧单调递减，且f（x）＝ax2+（a﹣3）x+1在区间[﹣1，+∞）上是递减的，∴−K32≤−1，解得﹣3≤a＜0，∴实数a的取值范围是﹣3≤a＜0．综合①②③，可得实数a的取值范围是[﹣3，0]．故选：D．2．设f（x）＝x2﹣2x+a．若函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，则实数a的取值范围为（﹣3，1]．【解答】解：f（x）的对称轴为x＝1．∵函数f（x）在区间（﹣1，3）内有零点，∴△≥0o−1)＞0，即4−4≥03+＞0，解得﹣3＜a≤1．故答案为（﹣3，1]．3．方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，则m的取值范围为（）A．m＞1B．m＞3+22C．m＞3+22或0＜m＜3−2D．3﹣22＜m＜1【解答】解：构造函数f（x）＝mx2﹣（m﹣1）x+1，图象恒过点（0，1）∵方程mx2﹣（m﹣1）x+1＝0在区间（0，1）内有两个不同的根，∴＞0 0＜K12＜1 o1)＞0△＞0∴＞0＞1(−1)2−4＞0∴＞3+22故选：B．4．已知命题p：∃x∈R，x2+（a﹣1）x+1＜0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围为（）A．[1，3]B．[﹣1，3]C．（﹣1，3）D．[0，2]【解答】解：依题意x2+（a﹣1）x+1≥0对任意实数x都成立，所以△＝（a﹣1）2﹣4≤0，解得﹣1≤a≤3．故选：B．5．已知函数f（x）＝ax2﹣2x+2，若对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣4，+∞）B．（﹣4，+∞）C．[12，+∞）D．（12，+∞）【解答】解：由题意得，对一切x∈[12，2]，f（x）＞0都成立，即a＞2K22=2−22=−2（1−12）2+12，而﹣2（1−12）2+12≤12，则实数a的取值范围为：（12，+∞）．故选：D．6．已知不等式kx2﹣4kx﹣3＜0对任意k∈[﹣1，1]时均成立，则x的取值范围为(2−7，1)∪(3，2+7)．【解答】解：令f （k ）＝kx 2﹣4kx ﹣3＝（x 2﹣4x ）k ﹣3，看作关于k 的一次函数，∵不等式kx 2﹣4kx ﹣3＜0对任意k ∈[﹣1，1]时均成立，∴o −1)＜0o1)＜0，即−2+4−3＜02−4−3＜0，解得2−7＜＜1或3＜＜2+7．∴x 的取值范围为(2−7，1)∪(3，2+7)．故答案为：(2−7，1)∪(3，2+7)．考点2.二次函数的值域与最值1．函数y ＝x 2﹣2x +3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值为2，m 的取值范围是（）A ．（﹣∞，2]B ．[0，2]C ．[1，2]D ．[1，+∞）【解答】解：作出函数f （x ）的图象，如图所示，当x ＝1时，y 最小，最小值是2，当x ＝2时，y ＝3，函数f （x ）＝x 2﹣2x +3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则实数m 的取值范围是[1，2]．故选：C ．2．求函数y ＝﹣x （x ﹣a ）在x ∈[﹣1，1]上的最大值．【解答】解：函数y ＝﹣（x −2）2+24图象开口向下，对称轴方程为x =2，（1）当2＜−1，即a＜﹣2时，由图可知，当x＝﹣1时，y max＝﹣a﹣1；（2）当﹣1≤2≤1，即﹣2≤a≤2时，由图可知，当x=2时，y max=24；（3）当2＞1，即a＞2时，由图可知，当x＝1时，y max＝a﹣1；故y max=+1)，＜−2−2≤≤2 1，＞2．3．已知函数f（x）=B2−(−2)+−1的值域是[0，+∞），则实数m的取值范围【解答】解：当m＝0时，（x）=B2−(−2)+−1=2−1，值域是[0，+∞），满足条件；当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，即（m﹣2）2﹣4m（m﹣1）≥0，∴−≤m综上，0≤m≤∴实数m的取值范围是：[0，故答案为：[0，4．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）题型二.幂函数考点1.幂函数的图像与性质1．已知幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，则该函数的单调递减区间为（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，0）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【解答】解：根据幂函数y＝xα的图象过点(12，4)，得(12)=4，解得α＝﹣2，所以函数y＝x﹣2，x≠0；所以函数y的单调递减区间为（0，+∞）．故选：D．2．幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x2−4r1的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为m ＝3【解答】解：∵幂函数y＝（m2﹣m﹣5）x2−4r1的图象分布在第一、二象限，∴m2﹣m﹣5＝1，且m2﹣4m+1为偶数，求得m＝3，故答案为：3．3．幂函数op=(−1)2−2K3（a，m∈N）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则a+m＝3．【解答】解：∵幂函数op=(−1)2−2K3（a，m∈N），在（0，+∞）上是减函数，∴a﹣1＝1，且m2﹣2m﹣3＜0，∴a＝2，﹣1＜m＜3，又∵m∈N，∴m＝0，1，2，又∵幂函数f（x）为偶函数，∴m＝1，∴a+m＝3，故答案为：3．4．已知函数f（x）=−2+r2，且f（2）＞f（3），则实数k的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：因为f（x）=−2+r2，且f（2）＞f（3），所以其在（0，+∞）上是减函数，所以根据幂函数的性质，有﹣k2+k+2＜0，即k2﹣k﹣2＞0，所以k＜﹣1或k＞2．故答案为（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．考点2.利用幂函数比较大小1．已知a＝（53）13，b＝（23）34，c＝（53）14，则a，b，c的大小关系是（）A．b＜c＜a B．a＜b＜c C．b＜a＜c D．c＜b＜a 【解答】解：对于y=l53x是增函数，故c＝（53）14＜a＝（53）13，而b＝（23）34＜1=(53)0＜c＝（53）14，故b＜c＜a，故选：A．2．设=(34)12，=(43)14，=(23)34，则a，b，c的大小顺序是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜c＜b D．b＜c＜a 【解答】解：a=(34)12=(916)14＜1，b=(43)14＞1，c=(23)34=(827)14＜1；且0＜827＜916＜1，函数y=14在（0，+∞）上是单调增函数，所以(827)14＜(916)14，所以c＜a；综上知，c＜a＜b．故选：A．3．已知幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2−4r2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增．设a＝log54，b＝log153，c＝0.5﹣0.2，则f（a），f（b），f（c）的大小关系是（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）【解答】解：∵幂函数f（x）＝（m﹣1）2x2−4r2（m∈R），在（0，+∞）上单调递增，∴(−1)2=12−4+2=0，解得m＝0，∴f（x）＝x2，故选：A．。

高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。

二次函数一、教学目标：掌握二次函数的概念、图象及性质；能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件； 能求二次函数的区间最值．二、教学重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系． 三、教学过程设计： （一）知识复习：1.二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

注意：⑴与一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数）⑵等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑶a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 2.二次函数的解析式的三种形式：一般式，顶点式，两根式． (1). 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；(2). 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；(3). 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 3.二次函数的图象及性质4.二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系．(1)二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：函数的图象 图象特点函数性质①当a >０时向上无限伸展； 当a <０时向下无限伸展． ①自变量x 的取值范围是全体实数． ②a >０时开口向上； a <０时开口向下；顶点为(－a b 2,a b ac 442-)． ②a >O 时，当x =－ab2时， y 有最小值为ab ac 442-；a <O 时，当x =－a b2时， y 有最大值为ab ac 442-．③对称轴为x =－ab 2， a >０时， 对称轴左侧图象从左到右下降， 对称轴右侧图象从左到右上升； a <０时， 对称轴左侧图象从左到右上升， 对称轴右侧图象从左到右下降． ③a >O 时，当x <－ab2时， y 随x 的增大而减小； 当x>－a b2时，y 随x 增大而增大；a <O 时，当x <－ab2时， y 随x 的增大而增大； 当x>－ab2时，y 随x 增大而减小．① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b ac AB x x a-=-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． （二）主要方法：1.讨论二次函数()02≠++=a c bx ax y 在指定区间[]q p ,上的最值问题：①注意对称轴abx 2-=与区间[]q p ,的相对位置；②函数()02≠++=a c bx ax y 在区间[]q p ,上的单调性.2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置． （三）典例讲练：专题一：二次函数的解析式问题1．根据下列条件，求出二次函数的解析式.(1)抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点(0，1)，(1，3)，(－1，1)三点；(2)抛物线顶点P (－1，－8)，且过点A (0，－6)；(3)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过(3，0)，(2，－3)两点，并且以x ＝1为对称轴； (4)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过一次函数y ＝－23x ＋3的图象与x 轴、y 轴的交点；且过(1，1)，求这个二次函数解析式，并把它化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式.问题2．设二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x -=--，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴截得的线段长为 22，求()f x 的解析式.练习1：已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图。

函数一轮复习学案八（二次函数）一、知识梳理1.二次函数的解析式2．二次函数的图象与性质3．二次函数图像的对称轴通常有以下三种求法：(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b2a. (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y＝f(x)对定义域内所有x都有f(a＋x)＝f(a－x)，则对称轴为x＝a(a为常数)．4．二次函数最值的类型及解法(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系实行分类讨论；(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．二、典型例题考点一求二次函数解析式例1设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为求f(x)的解析式.例2已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．考点二二次函数在某个闭区间上的最值例3 已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．例4函数f(x)＝－x2＋4x－1在区间[t，t＋1] (t∈R)上的最大值为g(t)．(1)求g(t)的解析式；(2)求g(t)的最大值．考点三二次函数图象与性质的应用例5已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6].(1)当a=-2时,求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.例6 已知函数f(x)＝x|x－2|.(1)写出f(x)的单调区间；(2)解不等式f(x)＜3；(3)设0＜a≤2，求f(x)在[0，a]上的最大值．考点四：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的综合问题例7设函数f(x)=ax2-2x+2,对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0,求实数a的取值范围.例8若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．二次函数反馈练习一命题人：徐相炳 做题人：程云一、填空题.1、若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝______．2、设函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．3、已知二次函数f(x)=ax 2+bx+1的值域为［0，+∞）且f(-1)=0,则a =________，b =________.4、若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a 、b ∈R)是偶函数，且它的值域为(-∞,4]，则该函数的解析式f(x)=__________.5、若二次函数)(x f y =满足)3()3(x f x f -=+，则方程0)(=x f 的两根和为_________.6、若函数y=x 2-3x-4的定义域为[0,m],值域为[-254,-4],则m 的取值范围为_________.7、已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．8、已知函数()f x 是二次函数，不等式()0f x >的解集是(0,4)，且()f x 在区间[1,5]-上的最大值是12，则()f x 的解析式为 ．9、函数)2()1()(22-+-+=a x a x x f 的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围为 .10、已知f （x ）=m （x-2m ）（x ＋m ＋3），g （x ）=2x-2。

2.4二次函数一、单项选择题1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )A ．[－4，0]B ．(－∞，0]C ．(－∞，－5]D ．(－∞，4]2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝－x 2－x －1B ．f(x)＝－x 2＋x －1C ．f(x)＝x 2－x －1D ．f(x)＝x 2－x ＋13．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 34．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1B ．2C ．m －1D ．m5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3二、填空题与解答题8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．317．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.2.4二次函数 参考答案1．答案 C2．答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边．∵函数在[1，＋∞)上是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.5．答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．6．答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.7．答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52. 8．答案 9或25解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或25.9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．10．答案 [0，1]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3.12．答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.14．答案 [0，4]解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是[0，4]．15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.即k 的取值范围是(－∞，1)．16．答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．17．答案 (1)a ＝－1＋22(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0<a<14.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，∴Δ＝(b －1)2－4a>0.设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a>－1.。

高三数学一轮复习二次函数常用结论及考点归纳二次函数一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则函数的解析式f(x)＝____________.解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，∴f(x)的对称轴为x＝2.又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．又∵f(x)的图象经过点(4,3)，∴3a＝3，a＝1.∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.答案：x2－4x＋3[解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路(1)类型：①对称轴、区间都是给定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题．2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．。

心尺引州丑巴孔市中潭学校练习与稳固1．假设函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，那么a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2解析：选C.∵y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 是偶函数∴1－a ＝0，∴a ＝1，应选C.2．假设f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，那么实数a 的取值范围是( )A ．a >2或a <－2B ．－2<a <2C ．a ≠±2D ．1<a <3解析：选A.f (x )有负值，那么必须满足f (x )的图象与x 轴有两个不同的交点，其充要条件是：Δ＝(－a )2－4>0，a 2>4即a >2或a <－2.3．假设f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，那么f (m ＋1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．与m 有关解析：选B.法一：∵f (x )＝x 2－x ＋a 的对称轴为x ＝12， 而－m ，m ＋1关于12对称， ∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，应选B. 法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0，∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0.应选B.4．函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图象是( )解析：选D.∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，得a ＞0，c ＜0(用反证法可得)，∴f (0)＝c ＜0，∴只能是D. 5．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，那么f (1)，f (52)，f (72)的大小关系是( )A ．f (52)＜f (1)＜f (72)B ．f (1)＜f (72)＜f (52)C ．f (72)＜f (1)＜f (52)D ．f (72)＜f (52)＜f (1)解析：选A.由f (x ＋2)是偶函数可知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)，又该函数图象开口向上，当x ＞2时单调递增，故f (52)＜f (3)＝f (1)＜f (72)，故答案为A. 6．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a ＜12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，假设将这颗树围在花圃内，那么函数u ＝f (a )的图象大致是( )解析：选C.据题意设BC ＝x ，那么DC ＝16－x ，要使树围在花圃内，需⎩⎨⎧x ≥a16－x ≥4⇒a ≤x ≤12，此时花圃的面积f (x )＝x (16－x )＝－(x －8)2＋64(a ≤x ≤12)，当8＜a <12时，有f (a )＝－a 2＋16a ，当0＜a ≤8时有f (a )＝f (8)＝64，综上所述可得：f (a )＝⎩⎨⎧－a 2＋16a ，8＜a <1264，0＜a ≤8，作出图形易知C 选项正确．7．函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，那么b ＝________. 解析：∵f (x )＝(x －1)2＋1，∴f (x )在[1，b ]上是增函数，f (x )max ＝f (b )，∴f (b )＝b ，∴b 2－2b ＋2＝b ，∴b 2－3b ＋2＝0，∴b ＝2或1(舍)．答案：28．方程x 2－mx ＋1＝0的两根为α、β，且α＞0,1＜β＜2，那么实数m 的取值范围是________．解析：∵⎩⎨⎧α＋β＝m ，α·β＝1，∴m ＝β＋1β，∵β∈(1,2)且函数m ＝β＋1β在(1,2)上是增函数，∴1＋1＜m ＜2＋12，即m ∈(2，52)． 答案：(2，52) 9．定义在区间[0,3]上的函数f (x )＝kx 2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值范围为________．解析：∵f (x )＝k (x －1)2－k ，(1)当k >0时，二次函数图象开口向上，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (3)＝k ·32－2k ×3＝3k ＝3⇒k ＝1；(2)当k <0时，二次函数图象开口向下，当x ＝1时，f (x )有最大值，f (1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3. (3)当k ＝0时，显然不成立．故k 的取值集合为{1，－3}． 答案：{1，－3}10．求以下二次函数的解析式：(1)图象顶点坐标为(2，－1)，与y 轴交点坐标为(0,11)； (2)二次函数f (x )满足f (0)＝1，且f (x ＋1)－f (x )＝2x . 解：(1)法一：(一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝2，4ac －b24a ＝－1，11＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－12，c ＝11，所以y ＝3x 2－12x ＋11.法二：(顶点式)设y ＝a (x －2)2－1. 将(0,11)代入可得：11＝4a －1，于是a ＝3， 所以y ＝3(x －2)2－1＝3x 2－12x ＋11.(2)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，可知c ＝1.而f (x ＋1)－f (x )＝[a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ]－(ax 2＋bx ＋c )＝2ax ＋a ＋b ，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，可得2a ＝2，a ＋b ＝0. 因而a ＝1，b ＝－1， 所以f (x )＝x 2－x ＋1.11．函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1)假设函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)假设函数值为非负数，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32. (2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32，∴a ＋3>0，∵f (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2＝－⎝⎛⎭⎫a ＋322＋174⎝⎛⎭⎫a ∈⎣⎡⎦⎤－1，32， ∴二次函数f (a )在⎣⎡⎦⎤－1，32上单调递减． ∴f ⎝⎛⎭⎫32≤f (a )≤f (－1)，即－194≤f (a )≤4，∴f (a )的值域为⎣⎡⎦⎤－194，4.12．函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a 、c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.(1)求a 、c 的值；(2)假设对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (1)＝a ＋2＋c ＝5， ∴c ＝3－a .①又∵6＜f (2)＜11，即6＜4a ＋c ＋4＜11，② 将①式代入②式，得－13＜a ＜43， 又∵a 、c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2.(2)由(1)知f (x )＝x 2＋2x ＋2.法一：设g (x )＝f (x )－2mx ＝x 2＋2(1－m )x ＋2.①当－2(1－m )2≤1，即m ≤2时， g (x )max ＝g (32)＝294－3m ，故只需294－3m ≤1， 解得m ≥2512，又∵m ≤2，故无解．②当－2(1－m )2＞1，即m ＞2时， g (x )max ＝g (12)＝134－m ，故只需134－m ≤1，解得m ≥94.又∵m ＞2，∴m ≥94. 综上可知，m 的取值范围是m ≥94. 法二：∵x ∈[12，32]， ∴不等式f (x )－2mx ≤1恒成立⇔2(1－m )≤－(x ＋1x )在[12，32]上恒成立．易知[－(x ＋1x )]min ＝－52， 故只需2(1－m )≤－52即可． 解得m ≥94.。

盘点2019年高三数学一轮复习二次函数知识点二次函数的基本表示形式为y=ax+bx+c(a0)，以下是二次函数知识点，请考生及时查看。

I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a0)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A(x?，0)和B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?，x?=(-bb^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质1.抛物线是轴对称图形。

对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。

特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)2.抛物线有一个顶点P，坐标为P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上;当=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a0时，抛物线向上开口;当a0时，抛物线向下开口。

|a|越大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时(即ab0)，对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab0)，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于(0，c)6.抛物线与x轴交点个数=b^2-4ac0时，抛物线与x轴有2个交点。

高三一轮复习《二次函数》二次函数是高考的重点内容，主要考杳二次函数的图像和性质（最值及单调性）应用，特别是二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的联系及应用。

同时对数形结合、函数与方程等数学思想方法的考查也蕴含其中。

一、知识点1、二次函数解析式的三种形式（1 ）一般式： _______________ O （2）顶点式： _________________ O（3）两点式： __________________ :,2、二次函数的图像和性质①对称轴： ______________ O◎顶点坐标：____________ 0③单调性及值域：。

>0时开口 , /（兀）在_________ 上是减函数，在_________ 上是增函数，ye ____________ ；avO时开口 ___ , /（Q在______ 上是增函数，在 ______ 上是减函数，e _____________ o3、二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系二次函数f（x） = ax2+ /0）的零点是相应一元二次方程ax? +bx + c = 0的____ ,也是一元二次不等式ax2 4-/?x + c >0 （或or，+/?兀+ c v 0 ）解集的_____ 。

4、二次函数在闭区间的最值：二次函数在闭区间上的必有最人值和最小值，它只能在区间的 _______ 或二次函数的 ______ 处収得。

5、一元二次方程根的讨论（即二次函数零点的分布）题型一、求二次函数的解析式例1、二次函数f(x)满足f(x+l)—f(x)=2x,且f(O)=l,则f(x)的解析式为( )A. f(x)=—X2—x— 1B. f(x)=—x2+x— 1C. f(x)=x2—x—1D. f(x)=x2—x+l2、已知二次函数/(X)满足：①f(3-x) = f(x),(2) f⑴=0,③对任意实数x, 于(兀)》丄一丄恒成立，求于(力的解析式4a 2题型二、二次函数的图像和性质例2、(1)函数f(x) = x2+mx+l的图像关于总线x = l对称的充要条件是_____________(2)、若函数f(x) = mx2 +x + 5在［-2,+8)上是增函数，则血的取值范围是_______(3)、设abc > 0 ,二次函数f(x) = ax2+bx + c(a^0)的图像可能是( )(4)、已知(为常数，函数y=x2-2x-t在区间［0,3］上的最大值为2,贝畀= ___________ 。

课时14 二次函数（1）一、课标要求：1.通过对实际问题的分析，并体会二次函数的意义；2.会用描点法画出二次函数的图像，通过图像上了解二次函数的性质。

3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k h x a y +-=2)(，并能由此得到二次函数的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。

4.会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。

二、复习重点：根据具体情况选取适当的方法表示变量之间的二次函数关系三、复习难点：将二次函数图像与几何图形相结合的情况的分析四、复习过程：知识梳理二次函数的概念（1）一般地，形如c bx ax y ++=2（a,b,c 为常数，且a ≠o)的函数称为二次函数，其中x 为自变量，y 是x 的函数。

（2）二次函数c bx ax y ++=2的几种特殊形式：①2ax y =（0,0==c b ）②)0,0(2=≠+=c b bx ax y③)0,0(2≠=+=c b c ax y二次函数的图像和性质（1）二次函数图像的有关概念二次函数的图像是一条抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

抛物线的开口方向由a 确定，a 越大，开口越小。

（2）二次函数c bx ax y ++=2的图像和性质 ① 对称轴是ab x 2-=，顶点坐标是)44,2(2a b ac a b --。

②当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限延伸；当ab x 2-<时，y 随x 的增大而减小；当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；抛物线有最低点，当ab x 2-=时，y 有最小值等于ab ac 442-。

③当a<0时，抛物线开口向下，并向下无限延伸；当ab x 2-<时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2->时，y 随x 的增大而减小；抛物线有最高点，当a b x 2-=时，y 有最大值等于ab ac 442-。