3-3二维随机向量

第三章 二维随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧→⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧→分布分布分布三大统计分布函数分布正态分布均匀分布常见二维分布独立性条件分布边缘分布连续型分布密度离散型分布律联合分布F t X X X Z Y X Z Y X n 221),,min(max,),(χξΛ2、重要公式和结论例3．1 二维随机向量（X ，Y ）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X ，Y ）取得它们的概率相同，则（X ，Y ）的联合分布},1||,1|:|),{(≤-≤+=y x y x y x D求X 的边缘密度f X (x)例3．3：设随机变量X 以概率1取值0，而Y 是任意的随机变量，证明X 与Y 相互独立。

例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy, f X (x)=4x 3, f Y (y)=4y-4y 3，不独立。

例3．5：f(x,y)=⎩⎨⎧≤≤≤≤其他,010,20,2y x Axy例3．6：设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，且X ～U （0，1），Y ～e （1），求Z=X+Y 的分布密度函数f z (z)。

例3．7：设随机变量X 与Y 独立，其中X 的概率分布为,6.04.021~⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡X 而Y 的概率密度为e(1)，求随机变量U=1+Y X的概率密度g(u)。

大学概率论第三章----随机向量第三章 随机向量第一节 二维随机向量及其分布1、二维随机向量及其分布函数定义1：设E 是一个随机试验，它的样本空间是{}e Ω=.设X(e)与Y(e)是定义在同一样本空间Ω上的两个随机变量,则称(X(e),Y(e))为Ω上的二维随机向量或二维随机变量。

简记为(X,Y).定义2：设(X,Y)是二维随机向量,对于任意实数x,y ，称二元函数 F(x,y)=P{X ≦x ，Y ≦y}为二维随机向量(X,Y)的分布函数或联合分布函数。

(X,Y)的分布函数满足如下基本性质： (1)F(x,y)是变量x,y 的不减函数. (2)0≦F(x,y)≦1,(,)0y F y -∞=对于任意的 ,(,)0x F x -∞=对于任意的(,)0(,)1F F -∞-∞=+∞+∞=，(3)(,), (,)(0,)(,)(,0)F x y x y F x y F x y F x y F x y =+=+关于是右连续的，即， 1122121222211211(4)(,)(,),, (,)(,)(,)(,)0x y x y x x y y F x y F x y F x y F x y <<--+≥对于任意和，有2、二维离散型随机变量定义3：若二维随机向量(X,Y)的所有可能取值是有限对或无限可列多对,则称(X,Y) 为二维离散型随机向量。

设(X,Y)的一切可能值为(,) , ,1,2,i j X Y i j =L ，且(X,Y)取各对可能值的概率为,(,), ,1,2,i j i j P X Y P i j ==L(1) 非负性:,0, ,1,2,i j P i j ≥=L ；,(2)1ij i jp =∑规范性：, (,){,}i i ijx x y yX Y F x y P X x Y Y p ≤≤=≤≤=∑∑离散型随机变量的联合分布函数为定义4：{,}(,1,2,...)(,)ij P X x Y Y p i j X Y X Y ≤≤==称为二维离散型随机变量的概率分布或分布律，或随机变量和的联合分布律。

*第三节 二维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z =, 现希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Y X Z +=;(ii) },max{Y X Z =和},min{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n 个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.内容分布图示★ 引言★ 离散型随机向量的函数的分布★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3内容要点：一、 离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量, ),(y x g 是一个二元函数, 则),(Y X g 作为),(Y X 的函数是一个随机变量, 如果),(Y X 的概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为,},{}),({}{),(∑=======kj i z y x g jik k y Y x X P z Y X g P z Z P ,,2,1 =k二、 连续型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为),(y x f , 令),(y x g 为一个二元函数, 则),(Y X g 是),(Y X 的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求),(Y X g Z =的分布.a) 求分布函数),(z F Z.),(}),{(}),({}{)(⎰⎰=∈=≤=≤=ZD Z Z dxdy y x f D Y X P z Y X g P z Z P z F其中, }.),(|),{(z y x g y x D Z ≤=b) 求其概率密度函数)(z f Z , 对几乎所有的z , 有).()(z F z f ZZ '= 定理1 设),(21X X 是具有密度函数),(21x x f 的连续型随机向量.(1) 设),(),,(21222111x x g y x x g y ==是2R 到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换:);,(),,(21222111y y h x y y h x ==(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数)2,1,2,1(==∂∂j i y hi i 存在且连续;(4) 假设逆变换的雅可比行列式0),(2212211121≠∂∂∂∂∂∂∂∂=y h y h y h yh y y J , 即),(21y y J 对于在变换的值域中的),(21y y 是不为0的. 则21,Y Y 具有联合密度)).,(),,((||),(21221121y y h y y h f J y y w =定理2 设Y X ,相互独立，且),,(~211σμN X ).,(~222σμN Y 则Y X Z +=仍然服从正态分布，且).,(~222121σσμμ++N Z更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3 若),,,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ且它们相互独立，则对任意不全为零的常数n a a a ,,,21 ，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i i n i i i ni i i a a N X a 1211,~σμ.三、 ),max(Y X M =及),min(Y X N =的分布设随机变量Y X ,相互独立,其分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y , 由于),max(Y X M =不大于z 等价于X 和Y 都不大于z , 故有);()(}{}{},{}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z M P z F Y X M =≤≤=≤≤=≤=类似地, 可得),min(Y X N =的分布函数)].(1)][(1[1}{}{1},{1}{1}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z N P z N P z F Y X N ---=>>-=>>-=>-=≤=例题选讲：离散型随机变量的函数的分布例1 (讲义例1) 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表解 由),(Y X 的概率分布可得与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把Z 值相同项对应的概率值合并可得: Y X Z +=)1(的概率分布为XY Z =)2(.例2 设X 和Y 相互独立, ,),(~),,(~21p n b Y p n b X 求Y X Z +=的分布. 解这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若),,(~1p n b X 则X 是在1n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率都为.p同样, Y 是在2n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 故Y X Z +=是在1n 2n +次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 于是Z 是以),(21p n n +为参数的二项随机变量, 即).,(~21p n n b Z +例 3 (讲义例2) 若X 和Y 相互独立, 它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布, 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.解 !}{11i e i X P iλλ-==;,1,0 =i !}{22j e j Y P j λλ-== ,1,0=j由离散型卷积公式得 ∑=-====ri i r Y i X P r Z P 0},{}{)!(!2121i r ei ei r iri -⋅=--=-∑λλλλir i ri i r i r r e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ,)(!21)(21r r e λλλλ+=+- ,1,0=r即Z 服从参数为21λλ+的泊松分布.连续型随机变量的函数的分布例 4 (讲义例3) 设随机变量X 与Y 相互独立, 且同服从]1,0[上的均匀分布, 试求||Y X Z -=的分布函数与密度函数.解先求Z 的分布函数}|{|)(z Y X P x F Z ≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤-≤-≤=1,110},{0,0z z z Y X z P z ,1,110,)1(10,02⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=z z z z 于是||Y X Z -=的概率密度为 ⎩⎨⎧<<-='=.,010),1(2)()(其它x z z F z f Z Z例5 设),(21X X 的密度函数为).,(21x x f 令212211,X X Y X X Y -=+=试用f 表示1Y 和2Y 的联合密度函数.和的分布：设X 和Y 的联合密度为),(y x f , 求Y X Z +=的密度.卷积公式: 当X 和Y 独立时, 设),(Y X 关于Y X ,的边缘密度分别为),(),(y f x f Y X 则上述两式化为⎰⎰∞∞-∞∞--=-=dxx z f x f z f dyy f y z f z f Y X Z Y X Z )()()()()()(以上两个公式称为卷积公式.解令,211x x y +=,212x x y -= 则逆变换为,2211y y x +=,2212y y x -= ,02/12/12/12/12/1),(21≠-=-=y y J故由定理1知, 1Y 和2Y 的联合密度函数为.2,221),(212121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y y f y y w例6 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量. 它们都服从)1,0(N 分布, 其概率密度为.,21)(,,21)(2/2/22∞<<∞-=∞<<∞-=--y ey f x e x f y Y x X ππ.的概率密度求Y X Z +=解 由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎰∞+∞----⋅=dxe e x z x 2)(22221π⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z x z 222421πdt e ez x t tz ⎰∞+∞----=224212/π,21214422z z e e --==πππ 即).2,0(~N Z例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,)(其它时当x xe x f x如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.解 分别用X 和Y 表示第一、二周的需求量 则,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它x xe x f x X ,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它y ye y f y Y从而两周需求量,Y X Z += 利用卷积公式计算.当0≤z 时, 若,0>x 则,0<-x z ;0)(=-x z f Y 若,0≤x 则,0)(=x f X 从而;0)(=z f Z 当0>z 时, 若,0≤x 则;0)(=x f X 若,0≤-x z 即,x z ≤ 则,0)(=-x z f Y 故⎰⎰---+∞∞--=-zx z x Y X dx e x z xe dx x z f x f 0)()()()(,63z e z -= 从而⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,00,6)(3其它z e z z f z Z例8 设X 与Y 相互独立, 均服从标准正态分布, 求Y X Z +=的概率密度函数. 解 由卷积公式,对,+∞<<-∞z 有 dx eez f x z x Z 2)(2222121)(---∞+∞-⎰=ππ,212)(22⎰∞+∞--+-=dx ex z x π因为,422)(2222z z x x z x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ 所以⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z f z x z Z 222421)(π作变量代换, 令),2/(2z x t -= 则,212121)(424222z t z Z edt ee zf -∞+∞---==⎰ππ它表明).2,0(~N Z注: 进一步可以证明, 设),,(~211σμN X ),,(~222σμN X 且X 和Y 相互独立, 则).,(~222121σσμμ+++=N Y X Z例9 设21,X X 相互独立且分别服从参数为βαβα,;,21的Γ分布(分别记成212211,),,(~),,(~X X X X βαβαΓΓ的概率密度分别为⎪⎩⎪⎨⎧>=--Γ其它,00,1)(/1)(1111x ex x f x X βαααβ⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其它,00,)(1)(/12222y e y y f y X βαααβ试证明21X X +服从参数为βαα,21+的Γ分布.证明 由卷积公式, 知当0≤z 时, 21X X Z +=的概率密度.0)(=z f Z 当0>z 时, 21X X Z +=的概率密度⎰+∞∞--=dx x z f x f z f X X Z )()()(21)(1)(12/101211αβαβαβααΓΓ=--⎰x ze x dx e x z x z βα/)(12)(----⋅ ⎰-+-ΓΓ=zz dx xe 0121/221)()(αααβααβ⎰--+--+-ΓΓ=11121/1212121)1()()(dt t t e z zt x z ααααβααααβ记为 ,/121βααz e Az --+ 其中,)1()()(11011212121⎰--+-ΓΓ=dt t t A ααααααβ 再来计算.A 由概率密度性质, 有⎰+∞=)(1dz z f Z )/()/(/012121ββββααααz d e z A x -+∞-++⎰=),(2121ααβαα+Γ=+A即有.)(12121ααβαα+Γ=+A 于是,,00,)(1)(/1212121⎪⎩⎪⎨⎧>+Γ=--++其它z e z z f z Z βααααααβ 亦即21X X Z +=服从参数为,21αα+β的Γ分布, 即).,(~2121βαα+Γ+X X例10 在一简单电路中, 两电阻1R 和2R 串联连接, 设21,R R 相互独立,它们的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0100,5010)(其它x x x f求总电阻21R R R +=的概率密度.解R 的概率密度为.)()()(⎰+∞∞--=dx x z f x f z f R易知仅当,100100⎩⎨⎧<-<<<x z x 即⎩⎨⎧<<-<<zx z x 10100时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得,,02010,)()(100,)()()(10100⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=⎰⎰-其它z dx x z f x f z dx x z f x f z f z zR 将)(x f 的表达式代入上式得.,02010,15000/)20(100,15000/)60600()(332⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤+-=其它z z z z z z z f R商的分布：设二维随机向量),(Y X 的密度函数为),(y x f , 求YXZ =的密度函数. 例11 设X 与Y 相互独立, 它们都服从参数为λ的指数分布. 求Y XZ =的密度函数.解依题意, 知,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-x x e x f x X λλ,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-y y e y f y Y λλ 因X 与Y 相互独立, 故).()(),(y f x f y x f Y X = 由商的分布, 知,)()(||)(⎰+∞∞-=dy y f yz f y z f Y X Z 当0≤z 时, ;0)(=z f Z 当0>z 时,,)1/(1)(2)1(2z ydy ez f z y Z +==⎰+∞+-λλ故Z 的密度函数为.0,00,)1/(1)(2⎩⎨⎧≤>+=z z z z f Z积的分布： 设),(21X X 具有密度函数),(21x x f , 则21X X Y =的概率密度为.||1,)(⎰∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=dz z z y z f y f Y例12 设二维随机向量),(Y X 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布, 试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的密度函数)(s f .解法1二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 令)(s F 为S 的分布函数, 则}{)(s S P s F ≤=,),(⎰⎰≤=sxy dxdy y x f显然0≤s 时, ;0)(=s F 2≥s 时, ;1)(=s F 而当20<<s 时(如图), 有⎰⎰≤sxy dxdy y x f ),(⎰⎰-=1/2211xs sdy dx ),ln 2ln 1(2s s-+=于是,2,120,2/)ln 2ln 1(0,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+≤=s s s s s s F从而.,020,2/)ln 2(ln )()(⎩⎨⎧<<-='=其它s s s F s f 解法2二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 于是⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=.||1,)(dz z z s z f s f S 因为仅当,20≤<z 10≤≤z s 时, ,0,≠⎪⎭⎫⎝⎛z s z f 所以 dz z dz z s z f s f s S ⎰⎰∞+∞-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=2121,)(),ln 2(ln 21s -=20<<s其它情形, .0)(=s f S例13 (讲义例6) 设随机变量21,X X 相互独立, 并且有相同的几何分布:2,1,,2,1,}{1====-i k pq k X P k i ，p q -=1求),max(21X X Y =的分布.解一 }},{max{}{21n X X P n Y P ===},{},{1221n X n X P n X n X P <=+≤== ∑∑-=--=--+=1111111n k k n nk k n pqpqpqpqqqqp qqqp n n nn --+--=---111111212).2(11----=n n n q q pq解二 }1{}{}{-≤-≤==n Y P n Y P n Y P }1},{max{}},{max{2121-≤-≤=n X X P n X X P}1,1{},{2121-≤-≤-≤≤=n X n X P n X n X P 2111211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∑∑-=-=-n k k n k k pq pq212221111⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-q q p q q p n n 212)1()1(----=n n q q ).2(11----=n n n q q pq例14 设系统L 由两个相互独立的子系统21,L L 联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统1L 损坏时，系统2L 开始工作），如图3—3—6所示. 设21,L L 的寿命分别为Y X ,,已知它们的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x X αα ⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(y y e y f y Y ββ其中0,0>>βα且.βα≠ 试分别就以上三种联接方式写出L 寿命Z 的概率密度.解 (1)串联的情况由于当21,L L 中有一个损坏时, 系统L 就停止工作, 所以这时L 的寿命为},min{Y X Z =由题设知Y X ,的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(x x e x F x X α⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(y y e y F x Y β 于是},min{Y X Z =的分布函数为)](1)][(1[1)(min y F x F z F Y X ---=⎩⎨⎧≤>-=+-,0,00,1)(z z e z βα},min{Y X Z =的概率密度为.0,00)()()(min ⎩⎨⎧≤>+=+-z z e z f z βαβα(2) 并联的情况由于当且仅当21,L L 都损坏时, 系统L 才停止工作, 所以这时L 的寿命.},max{Y X Z =于是},max{Y X Z =的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =,0,00),1)(1(⎩⎨⎧≤>--=--z z e e z z βα于是},max{Y X Z =的概率密度为.0,00,)()()(max ⎩⎨⎧≤>+-+=+---z z e e e z f z z z βαβαβαβα(3) 备用的情况由于这时系统1L 损坏时系统2L 才开始工作, 故整个系统L 的寿命Z 是21,L L 两者寿命之和, 即,Y X Z += 故当0>z 时, Y X Z +=的概率密度为⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎰---=zy y z dy e e 0)(βαβα⎰---=z y z dy e e 0)(αβααβ.][z z e e βααβαβ----=而当0≤z 时, ,0)(=z f Z 于是Y X Z +=的概率密度为.0,00],[)(⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--z z e e z f z z Z βααβαβ课堂练习1. 已知),(Y X 的分布律为求: （1）Z = （2）;XY Z = （3）();2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=Y X Z π （4）},max{Y X Z =的分布律.2. 若X 和Y 独立, 具有共同的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f求Y X Z +=的概率密度.。