二维随机变量

第五章 二维随机变量第一节 二维随机变量及其分布一、二维随机变量1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，X 、Y 均为S 上的一维随机变量，称二维向量X ),(Y X =为S 上的二维随机变量.2、X 的分布：}{B P ∈X , 2B ∈B . 其中可证：=∈}{B X F ∈∈∈},))(),((|{S e B e Y e X e .若取},|),{(2121y y y x x x y x B ≤<≤<=，那么},{}{2121y Y y x X x P B P ≤<≤<=∈X},{22y Y x X P ≤≤=},{21y Y x X P ≤≤- },{},{1112y Y x X P y Y x X P ≤≤+≤≤-.3、分布函数(1)定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量,R ∈∀y x ,,规定：},{),(y Y x X P y x F ≤≤=. 称),(y x F 为),(Y X 的分布函数.显然: },{2121y Y y x X x P ≤<≤<),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=.(2)性质① R ∈∀y x ,,1),(0≤≤y x F .② ),(y x F 关于y x ,均为单调不减函数.③ 0),(=-∞y F ,0),(=-∞x F ,0),(=-∞-∞F ,1),(=+∞+∞F . ④ ),(y x F 关于y x ,均为为右连续函数.⑤ R ∈<<∀2121,y y x x ,0),(),(),(),(11122122≥+--y x F y x F y x F y x F .注：①~⑤为分布函数的特征性质.反之亦然.例1掷硬币三次，X 表示出现正面的次数，|)3(|X X Y --=，求),(Y X 的分布函数),(y x F .解:(1) X 的所有可能取值为3,2,1,0,依次记为4321,,,x x x x ,Y 的所有可能取值为3,1,依次记为21,y y .列表如下X样 本 点Y0 (反反反)3 1 (正反反) (反正反) (反反正) 1 2(正正反) (正反正) (反正正)13 (正正正)3(2) 概率情况列表 81},{21===y Y x X P ，83},{12===y Y x X P ， 83},{13===y Y x X P ,81},{24===y Y x X P ，其他0},{===j i y Y x X P .(3)求分布. 记}2,1 ,3,2,1|),{(===j i y x A j i ,YX1 3 0 0 8/1 1 8/3 02 8/3 0 38/1A B BA B +=, 显然φ=∈}),{(A B Y X ，那么}),{(}),{(}),{(A B Y X P BA Y X P B Y X P ∈+∈=∈∑∈===∈=By x j i j i y Y x XP BA Y X P )(,},{}),{((4)求分布函数. ∑≤≤===≤≤=yy x x j i j i y Y x XP y Y x X P y x F ,},{},{),(.⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≥<≤<≤≥≥<≤<≤<≤≥<≤<<<<=.3 ,3 1, ,3 ,32 ,8/7 ;31 ,3 ,8/6 ;3 ,21 ,8/4 ;31 ,21 ,8/3 ;3 ,10 ,8/1;3 ,1 1 0 0,),(y x y x y x y x y x y x y x y x y x F 或或二、边缘分布1、),(Y X 关于X 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F x X P x F y X +∞→=≤=.证明：取}{},{},{x X Y x X n Y x X A n ≤=+∞<≤→≤≤=不减,由①②知),(lim y x F y +∞→存在,故)(}{)lim ()(lim ),(lim ),(lim x F x X P A P A P n x F y x F X n n n n n y =≤====∞→∞→∞→+∞→.2、),(Y X 关于Y 的边缘分布： ),(lim }{)(y x F y Y P y F x Y +∞→=≤=. (略)三、随机变量相互独立、定义：设),(y x F 为),(Y X 的分布函数，X 、Y 的分布函数分别为 )(x F X 、)(y F Y ，若R ∈∀y x ,，恒有=),(y x F )(x F X )(y F Y ， 则称X 与Y 相互独立.2、X 与Y 相互独立⇔R ∈<<∀2121,y y x x ，恒有}{}{},{21212121y Y y P x X x P y Y y x X x P ≤<≤<=≤<≤<.证明：“⇐” R ∈∀y x ,，由于},{},{y Y x X y Y n x X n ≤≤→≤<-≤<-, }{}{x X x X n ≤→≤<-, }{}{y Y y Y n ≤→≤<-均不减,则},{),(y Y x X P y x F ≤≤=},{lim y Y n x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{}{[lim y Y n P x X n P n ≤<-≤<-=∞→}]{lim }{lim y Y n P x X n P n n ≤<-≤<-=∞→∞→)()(}{}{y F x F y Y P x X P Y X =≤≤=.“⇒”R ∈<<∀2121,y y x x ,有 },{2121y y x x P ≤<≤<ηξ ),(),(),(),(11122122y x F y x F y x F y x F +--=)()()()()()()()(11122122y F x F y F x F y F x F y F x F Y X Y X Y X Y X +--= )]()()][()([1212y F y F x F x F Y Y X X --= }{}{2121y y P x x P ≤<≤<=ξξ.3、X 与Y 相互独立⇔R ⊂∀21,B B ，恒有}{}{},{2121B Y P B X P B Y B X P ∈∈=∈∈.第二节 二维离散型随机变量一、二维离散型随机变量 1、定义：设),,(P S F 为一概率空间，),(Y X 为S 上的二维随机变量，若),(Y X 的取值为有限个或可数个(至多可数)，称),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量. 显然：),(Y X 为S 上的二维离散型随机变量⇔X 与Y 均为S 上的一维离散型随机变量.2、概率分布：设),(Y X 所有可能取的值为),(j i y x ，令 },{j i ij y Y x X P p ===,称其为二维随机变量),(Y X 的概率分布(分布率)。

§3.1 二维随机变量一二维随机变量的分布函数1 .二维随机变量定义2 .二维随机变量的分布函数3. 二维随机变量的分布函数的性质4. 边缘分布函数二二维离散型随机变量1. 二维离散型随机变量的定义2. 二维离散型随机变量的概率分布3. 二维离散型随机变量的分布函数4. 二维离散型随机变量的边缘分布律和边缘分布函数5. 常见的二维离散型随机变量的分布三二维连续型随机变量1. 二维连续型随机变量的定义2. 二维连续型随机变量的概率密度性质3. 二维连续型随机变量的边缘概率密度及边缘分布函数(){}()(){}为一随机事件而集合，即其值域能取值为或二维随机向量，其可称为二维随机变量量则由它们构成的联合变上的两个随机变量，是定义在和，样本空间为一个随机试验，其设定义二维随机变量的定义SD e Y e X y x e R S e y e Y x e X y x D R y x Y X S e Y Y e X X e SE ⊂∈=⊂∈∀===∈===)(),(,,)(,)(,),(),()()(}{1.1122一二维随机变量及分布函数),())(),(()()()4(),())(),(()()()3(),())(),(()()(3)2(),())(),(()()()1(212121r c e R e C e R e C t t e T e T e T e T w h e W e H e W e H y x e Y e X e Y e X ====个二维随机变量组成一与收益一种产品的综合成本个二维随机变量构成一与最高温度某地区某日最低温度二维随机变量构成一个与体重岁儿童身高某地区一个二维随机变量构成与纵坐标标一发炮弹的弹着点横坐例如{}{}{}内的概率：点左下方的无穷矩形域为顶点的位于该以所示的可视为随机点落在下图其中的联合分布函数。

与或称为随机变量的分布函数称为二维随机变量二元函数对于任意实数上的二维随机变量是定义在设定义数二维随机变量的分布函),(,,)(,)(,,),()1.1(,,)(,,,),(2.12y x y e Y x e X e P y Y x X P Y X Y X y x y Y x X P x F y x S Y X ≤≤=≤≤+∞<<∞−≤≤=)y ,x (xx 0yy{}{}{}{}{}{})y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F ).(y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y ,x X y Y y ,x X x P .y Y y ,x X x ))e (Y ),e (X (,)y ,x (F 11122122111221222121212121+−−=≤≤+≤≤−≤≤−≤≤=≤<≤<≤<≤<即内的概率形域落入有限矩容易得出随机点定义由)y ,x (22xx x 210y)y ,x (21)y ,x (12)y ,x (1112y y.,~.).(,~)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F .,y y ,x x .)y ,x (F )y ,x (F )y ,x (F y,x ,y x .),(F ,),(F )y ,(F ,y ,),x (F ,x )y ,x (F .)y ,x (F )y ,x (F ,y y )y ,x (F )y ,x (F ,x x .y x )y ,x (F ..变量的分布函数二维随机的二元函数可作为某个满足上述式可知由由的定义即知其中下述不等式成立对任意的即均是右连续的和关于变量及对固定的且对固定的即的不减函数和是变量布函数性质二维随机变量的分°°°°°≥+−−≤≤°+==+∀°=+∞+∞=−∞−∞=−∞=−∞≤≤°≤≤∀≤≤∀°4121431040031000102131112212221212121212111222212211100.()1(,)?:0,1,(0,0)0,(1,0)1,(0,1)1,(1,1)1(,)(,)(,)(,)1110104,(,).x y F x x y X Y x y x y F F F F F x y F x y F x y F x y F x y +≤⎧=⎨+>⎩========−−+=−−+=−<°例二元函数能否为某个二维随机变量的分布函数解取则故不满足故此不能作为分布函数{}{}{}{}).()y ,(F y Y ,x P y Y P )y (F :Y ).(),x (F Y ,x X P x X P )x (F :X ),y ,x (F )Y ,X (.y x 41314+∞=≤+∞<=≤=+∞=+∞<≤=≤=的边缘分布函数关于的边缘分布函数关于则的分布函数已知边缘分布函数.)Y ,X (,...,j ,i )y ,x ()Y ,X (,)Y ,X (..j i 为二维离散随机变量则称限对或可列多对的所有可能取的值是有若二维随机变量定义定义二维离散型随机变量的二维离散型随机变量二21311==.,,11,(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),(,).X Y X Y X Y ⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及故此为二维离散型随机变量{}{}{}.,),(,12,2,1,01,2,1,,,,2,1,),(),(4.1211或联合概率分布的联合分布和或称为随机变量的概率分布或分布律为二维离散型随机变量，，，则称满足的概率若，为所有可能取的值设二维离散型随机变量定义概率分布二维离散型随机变量的Y X Y X j i y Y x X P p pj i p j i y Y x X P p y Y x X j i y x Y X j i ij i j ijij j i ij j i j i """"====°=≥°=======∑∑∞=∞=为分布律通常用表格表示Y x,...y ,...,y ,y j 21∑==1j ij.i pp .x .x x i 21...p ...p p j 11211...p ...p p j 22221....p ...p p ij i i 21..p .p p .i ..21∑==1i ijj .p p ...p ...p p j (21)1{}{}{}).(pyY,xXPyY,xXP)y,x(F,...,j,i,pyY,xXP)Y,X(xx yyijxx yyjiijjii ji j61213∑∑∑∑≤≤≤≤====≤≤=====则其分布函数为具有分布律若分布函数二维离散型随机变量的{}{}2(,)4:(0,0),(0,1),(1,0)(1,1).0,1,0,15. (1)00,,(,),(,),0X YX X Y Y Rx y X x Y yX Y F x y P X x Y y====<<≤≤=≤≤=由于的可能取值仅为个及故按直线将划分成个区域当或时不包括的可能取值故.,,11,00(,)(0,0),(0,1),(1,0)(1,1),X YX Y⎧⎧===⎨⎨⎩⎩例抛掷两枚硬币一次观察出现的正反两情况令甲币出现正面乙币出现正面甲币出现反面乙币出现反面则的可能取值为及{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}111011000115106010001001014106100010001103103000010102=≤≤=≤≤>>===+===≤≤=≤≤<≤≥===+===≤≤=≤≤≥<≤====≤≤=≤≤<≤<≤y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),(),,(),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,(),()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(Y ,X P y Y ,x X P )y ,x (F ),,()Y ,X (y Y ,x X ,y ,x )(故及个可能值点四的包括时当故及个可能值点两的包括时当故及个可能值点两的包括时当故一个可能值点的只包括时当(1)(2)(3)(4)(5)11:y ,x y ,x .y ,x .y ,x .y x )y ,x (F 各部分如图所示或综述为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥<≤≥≥<≤<≤<≤<<=1111016011060101030000{}{}{}{}{}{}∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∞=∧≤≤∞=≤+∞≤∞=∧≤≤∞=≤+∞≤≤≤=====⎟⎠⎞⎜⎝⎛==+∞======⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==+∞===≤≤=====1.11.1)8.1(),()(:)7.1(),()(,),(,...2,1,,,),()4(i iji j iyy y y i ij y y x ij y j iji i ixx x x j ij x x y ij x x x yy ijij j i p y Y P p Y y Y P p p y F y F Y p x X P p X x X P p p x F x F X py Y x X P y x F j i p y Y x X P Y X i i i j i i i j i j 的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于的边缘分布律为故关于的边缘分布函数为关于则其分布函数为知的概率分布为若已数边缘分布及边缘分布函二维离散型随机变量的{}{}{}{}{}{}{}{}111213,1,2,2,3,,,,,,,,.:(,),,1,2,3.11,11110041211,21214361,31X Y X Y X Y X Y p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X ========×=========×======例.一中袋中有四个球上面分别标有从这口袋中任取一球后不放回袋中再从袋中任取一个球依次用表示第一次第二次取得的球上标有的数学试求的边缘分布律解先求的概率分布可能取值为{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}2122231113143122112,12124362112,22224362112,3232436P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X p P X Y P X P Y X ===×=========×=========×=========×={}{}{}{}{}{}{}{}{}:X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p X Y P X P Y ,X P p 即00413333361324132323121314131313333231=×=========×=========×======== Y X1 2 3.i p1 2 30 6112161 61 61 12161 0412141j.P 41 21 411X1 2 3.i p 412141表中横行相加即得X 的边缘分布律Y1 2 3j.p 412141表中纵行相加即得Y 的边缘分布律具有分布律如果二维两点分布常见的二维离散型分布)Y ,X ()(15点分布的边缘分布均为一维两与此时服从二维两点分布则称Y X ,)Y ,X ( Y X 0 11p −1 0 0 px0 1.i p p −1 pY0 1j.p p −1 p二维等可能分布)(2{}{}{}n,...,j ,ny Y P p m,...,i ,m x X P p Y X .,)Y ,X (n,...,j ,m ,...,i ,mny Y ,x X P ,)Y ,X (j j .i .i j i 21121121211=============可能分布的边缘分布均为一维等与此时即离散型均匀分布服从等可能分布则称即等取每对可能值的概率相若{}服从二维等可能分布即此的概率分布为则现的点数第二颗骰子出记第一颗以抛两颗相同的骰子一次例),(6,...,2,1,361,),(,,,,6.1Y X ij j Y i X P Y X Y X ====二维连续型随机变量三{}{}{}{}y Y x X P y Y x X P y Y x X P y Y x X P Y X Y X y x y x F Y X Y X Y X y x f Y X dxdy y x f y x F y x y x f y x F Y X x y≤<=<≤<<=≤≤=∫∫∞−∞−,,,,0),(),(2,),(),(1),(),(),()9.1(),(),(),(),(),(5.1.1。

第三章 二维随机变量及其分布 一、 二维随机变量及其联合分布设Ω为某实验的样本空间，X 和Y 是定义在Ω上的两个随机变量，则称有序随机变量对（X,Y ）为比如，研究某地区人口的健康状况可能取身高和体重两个参数作为随机变量；打靶弹着点选取横纵坐标。

§3.1.1联合分布函数定义1：设（X ，Y ）为二维随机变量，对任意实数χ，y为（X ，Y ）的分布函数或称为X 与Y 几何上，F （χ，y ）表示（X ，Y ）落在平面直角坐标系中以（χ,y ）为顶点左下方的无穷矩形内的概率（见图） y 二维随机变量（X ，Y ）的分布函数F （x,y 1°F(x,y)对每个自变量是单调不减的，即若x1<x2，则有F(x1,y)≤F(x2,y); 若y1<y2，则有F(x,y1)≤F(x,y2).2°0≤F(x,y)≤1且 F(x,-∞)=F(-∞,y)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=13° F(x,y)对每个自变量是右连续的，即 F （x+0,y ）= F （x,y ）, F （x,y+0）= F （x,y ） 4° 对任意x1≤x2, y1≤y2有 F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0事实上，由图可见(见右图)F(x2,y2)-F(x1,y2)- F(x2,y1)+F(x1,y1)例1设（X ，Y ）的分布函数为解：由性质4°可得X，Y）的所有可能取值为有限对或可列对，则称（X，Y设（X，Y）的所有可能取值为（xi,yj）,i ,j=1,2,……P{X=xi,Y=yj }=pij,i,j=1,2,……，为（X，Y）的分布律，或称为X与Y 用表格表示:性质 1. pij≥0,一切i,j,2. 显然，（X，Y）落在区域D内的概率应为由此便得（X，Y）的分布函数与分布律之间关系为例2两封信随机地向编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的四个邮筒内投，令 X表示投入Ⅰ号邮筒内的信件数； Y 表示投入Ⅱ号邮筒内的信件数。