图像傅立叶变换

图像傅里叶变换
傅里叶变换（Fourier Transformation）是一种重要的数学工具，用于分析正弦波、矩形波和其他不同类型的函数。

最初，傅里叶变换
是用来解决热力学方程的，但是后来发展成多种多样的应用，其中之
一就是图像处理。

图像傅里叶变换是把图像中的所有信息转换为一组与波频成正比
的数字。

它通过傅里叶公式，把一副图像分割成它的频率和振幅组成
的多个部分，每一部分都表示图像中的一个特征。

图像傅里叶变换的
最重要的应用之一就是进行图像压缩，在这种压缩技术中，可以利用
傅里叶变换将某些低频成分合并，而抛弃某些高频成分，进而减小图
像的数据量，而且没有太多损失。

另外，图像傅里叶变换还可以用来
识别图像中的不同特征，可以用于图像检索、图像处理、图像分类等。

图像傅里叶变换是解决图像处理问题的一种重要手段，它能够使
我们提取图像像素、压缩图像数据和检测图像特征的能力大大提高，
已成为当今图像处理的重要工具。

图像处理之傅⾥叶变换图像处理之傅⾥叶变换⼀、傅⾥叶变换傅⾥叶变换的作⽤：⾼频：变化剧烈的灰度分量，例如边界低频：变化缓慢的灰度分量，例如⼀⽚⼤海滤波：低通滤波器：只保留低频，会使得图像模糊⾼通滤波器：只保留⾼频，会使得图像细节增强OpenCV:opencv中主要就是cv2.dft()和cv2.idft()，输⼊图像需要先转换成np.float32 格式。

得到的结果中频率为0的部分会在左上⾓，通常要转换到中⼼位置，可以通过shift变换来实现。

cv2.dft()返回的结果是双通道的（实部，虚部），通常还需要转换成图像格式才能展⽰（0,255）。

import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)dft_shift = np.fft.fftshift(dft)# 得到灰度图能表⽰的形式magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()import numpy as npimport cv2from matplotlib import pyplot as pltimg = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) #时域转换到频域dft_shift = np.fft.fftshift(dft) #将低频部分拉到中⼼处rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) #确定掩膜的中⼼位置坐标# 低通滤波mask = np.zeros((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 1# IDFTfshift = dft_shift*mask #去掉⾼频部分，只显⽰低频部分f_ishift = np.fft.ifftshift(fshift) #将低频部分从中⼼点处还原img_back = cv2.idft(f_ishift) #从频域逆变换到时域img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) #该函数通过实部和虚部⽤来计算⼆维⽮量的幅值plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()img = cv2.imread('lena.jpg',0)img_float32 = np.float32(img)dft = cv2.dft(img_float32, flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT) dft_shift = np.fft.fftshift(dft)rows, cols = img.shapecrow, ccol = int(rows/2) , int(cols/2) # 中⼼位置# ⾼通滤波mask = np.ones((rows, cols, 2), np.uint8)mask[crow-30:crow+30, ccol-30:ccol+30] = 0# IDFTfshift = dft_shift*maskf_ishift = np.fft.ifftshift(fshift)img_back = cv2.idft(f_ishift)img_back = cv2.magnitude(img_back[:,:,0],img_back[:,:,1]) plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.subplot(122),plt.imshow(img_back, cmap = 'gray')plt.title('Result'), plt.xticks([]), plt.yticks([])plt.show()。

图像傅立叶变换（二维傅立叶变换fourier, 二维DFT, 2d-fft）的原理和物理意义图像傅立叶变换图像的傅立叶变换，原始图像由N行N列构成，N必须是基2的，把这个N*N个包含图像的点称为实部，另外还需要N*N个点称为虚部，因为FFT是基于复数的，如下图所示：计算图像傅立叶变换的过程很简单：首先对每一行做一维FFT，然后对每一列做一维FFT。

具体来说，先对第0行的N个点做FFT（实部有值，虚部为0），将FFT输出的实部放回原来第0行的实部，FFT输出的虚部放回第0行的虚部，这样计算完全部行之后，图像的实部和虚部包含的是中间数据，然后用相同的办法进行列方向上的FFT变换，这样N*N的图像经过FFT得到一个N*N的频谱。

下面展示了一副图像的二维FFT变换：频域中可以包含负值，图像中灰色表示0，黑色表示负值，白色表示正值。

可以看到4个角上的黑色更黑，白色更白，表示其幅度更大，其实4个角上的系数表示的是图像的低频组成部分，而中心则是图像的高频组成部分。

除此以外，FFT的系数显得杂乱无章，基本看不出什么。

将上述直角坐标转换为极坐标的形式，稍微比较容易理解一点，幅度中4个角上白色的区域表示幅度较大，而相位中高频和低频基本看不出什么区别来。

上述以一种不同的方法展示了图像频谱，它将低频部分平移到了频谱的中心。

这个其实很好理解，因为经2D-FFT的信号是离散图像，其2D-FFT的输出就是周期信号，也就是将前面一张图周期性平铺，取了一张以低频为中心的图。

将原点放在中心有很多好处，比如更加直观更符合周期性的原理，但在这节中还是以未平移之前的图来解释。

行N/2和列N/2将频域分成四块。

对实部和幅度来说，右上角和左下角成镜像关系，左上角和右下角也是镜像关系；对虚部和相位来说，也是类似的，只是符号要取反，这种对称性和1维傅立叶变换是类似的，你可以往前看看。

为简单起见，先考虑4*4的像素，右边是其灰度值，对这些灰度值进行2维fft变换。

图像处理1--傅⾥叶变换（FourierTransform）楼下⼀个男⼈病得要死，那间壁的⼀家唱着留声机；对⾯是弄孩⼦。

楼上有两⼈狂笑；还有打牌声。

河中的船上有⼥⼈哭着她死去的母亲。

⼈类的悲欢并不相通，我只觉得他们吵闹。

OpenCV是⼀个基于BSD许可（开源）发⾏的跨平台计算机视觉库，可以运⾏在Linux、Windows、Android和Mac OS操作系统上。

它轻量级⽽且⾼效——由⼀系列 C 函数和少量 C++ 类，同时提供了Python、Ruby、MATLAB等语⾔的接⼝，实现了和计算机视觉⽅⾯的很多通⽤算法。

OpenCV⽤C++语⾔编写，它的主要接⼝也是C++语⾔，但是依然保留了⼤量的C语⾔。

该库也有⼤量的Python、Java andMATLAB/OCTAVE（版本2.5）的接⼝。

这些语⾔的API接⼝函数可以通过在线获得。

如今也提供对于C#、Ch、Ruby,GO的⽀持。

所有新的开发和算法都是⽤C++接⼝。

⼀个使⽤CUDA的GPU接⼝也于2010年9⽉开始实现。

图像的空间域滤波：空间域滤波，空间域滤波就是⽤各种模板直接与图像进⾏卷积运算，实现对图像的处理，这种⽅法直接对图像空间操作，操作简单，所以也是空间域滤波。

频域滤波说到底最终可能是和空间域滤波实现相同的功能，⽐如实现图像的轮廓提取，在空间域滤波中我们使⽤⼀个拉普拉斯模板就可以提取，⽽在频域内，我们使⽤⼀个⾼通滤波模板（因为轮廓在频域内属于⾼频信号），可以实现轮廓的提取，后⾯也会把拉普拉斯模板频域化，会发现拉普拉斯其实在频域来讲就是⼀个⾼通滤波器。

既然是频域滤波就涉及到把图像⾸先变到频域内，那么把图像变到频域内的⽅法就是傅⾥叶变换。

关于傅⾥叶变换，感觉真是个伟⼤的发明，尤其是其在信号领域的应⽤。

⾼通滤波器，⼜称低截⽌滤波器、低阻滤波器，允许⾼于某⼀截频的频率通过，⽽⼤⼤衰减较低频率的⼀种滤波器。

它去掉了信号中不必要的低频成分或者说去掉了低频⼲扰。

计算机与信息工程学院验证性实验报告一、实验目的1了解图像变换的意义和手段；2熟悉傅立叶变换的基本性质； 3熟练掌握FFT 变换方法及应用； 4通过实验了解二维频谱的分布特点；5通过本实验掌握利用MATLAB 编程实现数字图像的傅立叶变换。

6评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

二、实验原理1 应用傅立叶变换进行图像处理傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字化系统、采样点、电子放大器、卷积滤波器、噪音和显示点等的作用。

通过实验培养这项技能，将有助于解决大多数图像处理问题。

对任何想在工作中有效应用数字图像处理技术的人来说，把时间用在学习和掌握博里叶变换上是很有必要的。

2 傅立叶（Fourier ）变换的定义对于二维信号，二维Fourier 变换定义为：2()(,)(,)j ux uy F u v f x y e dxdy π∞∞-+-∞-∞=⎰⎰逆变换：2()(,)(,)j ux uy f x y F u v e dudv π∞∞+-∞-∞=⎰⎰二维离散傅立叶变换为：112()001(,)(,)i k N N j mn N Ni k F m n f i k eNπ---+===∑∑逆变换：112()001(,)(,)i k N N j mn N Nm n f i k F m n eNπ--+===∑∑图像的傅立叶变换与一维信号的傅立叶变换变换一样，有快速算法，具体参见参考书目，有关傅立叶变换的快速算法的程序不难找到。

实际上，现在有实现傅立叶变换的芯片，可以实时实现傅立叶变换。

3利用MATLAB软件实现数字图像傅立叶变换的程序：I=imread(‘原图像名.gif’);%读入原图像文件imshow(I); %显示原图像fftI=fft2(I); %二维离散傅立叶变换sfftI=fftshift(fftI); %直流分量移到频谱中心RR=real(sfftI); %取傅立叶变换的实部II=imag(sfftI); %取傅立叶变换的虚部A=sqrt(RR.^2+II.^2); %计算频谱幅值A=（A-min(min(A))）/(max(max(A))-min(min(A)))*225 %归一化figure; %设定窗口imshow(A); %显示原图像的频谱三、实验步骤1．将图像内容读入内存；2．用Fourier变换算法，对图像作二维Fourier变换；3．将其幅度谱进行搬移，在图像中心显示；4．用Fourier系数的幅度进行Fourier反变换；5．用Fourier系数的相位进行Fourier反变换；6．比较4、5的结果，评价人眼对图像幅频特性和相频特性的敏感度。

图像处理与傅‎里叶变换1背景傅里叶变换是‎一个非常复杂‎的理论，我们在图像处‎理中集中关注‎于其傅里叶离‎散变换离散傅‎立叶变换(Discre ‎t e Fourie ‎r Transf ‎o rm) 。

1.1离散傅立叶‎变换图象是由灰度‎（R GB ）组成的二维离‎散数据矩阵，则对它进行傅‎立叶变换是离‎散的傅立叶变‎换。

对图像数据f ‎(x,y)（x=0,1,… ,Ｍ-1； y=0,1,… ,N-1）。

则其离散傅立‎叶变换定义可‎表示为：式中，u=0,1,…, M-1;v= 0,1,…, N-1其逆变换为式中，x=0,1,…, M-1;y= 0,1,…, N-1在图象处理中‎，一般总是选择‎方形数据，即Ｍ＝Ｎ影像f(x,y)的振幅谱或傅‎立叶频谱： 相位谱： 能量谱（功率谱） )1(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=M x N y N vy M ux i y x f MN v u F π)2(2exp ),(1),(1010∑∑-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=M u N v N vy M ux i v u F MN y x f π),(),(),(22v u I v u R v u F +=[]),(/),(),(v u R v u I arctg v u =ϕ),(),(),(),(222v u I v u R v u F v u E +==1.2快速傅里叶‎变化可分离性的优‎点是二维的傅‎立叶变换或逆‎变换由两个连‎续的一维傅立‎叶变换变换来‎实现，对于一个影像‎f (x,y)，可以先沿着其‎每一列求一维‎傅立叶变换，再对其每一行‎再求一维变换‎正变化逆变换 由于二维的傅‎立叶变换具有‎可分离性，故只讨论一维‎快速傅立叶变‎换。

正变换逆变换由于计算机进‎行运算的时间‎主要取决于所‎用的乘法的次‎数。

按照上式进行‎一维离散由空‎间域向频率域‎傅立叶变换时‎，对于N 个F ∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N v N u N u N v N vy i v u F N N ux i v u F N N vy ux i v u F NN y x f πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102exp )(1)(N x N ux i x f N u F π∑∑∑∑-=-=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=10101010)(2exp ),(1)(2exp ),(1)(2exp ),(1),(N y N x N x N y N vy i y x f N N ux i y x f NN vy ux i y x f NN v u F πππ∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=102exp )(1)(N u N ux i u F N x f π（u)值，中的每一个都‎要进行N 次运‎算，运算时间与N ‎2成正比。

图像的傅里叶变换
图像的傅里叶变换是将图像的像素用时间或频率的形式表示的一种变换方式。

一般来说，图像的每个像素点都可以用其周围的邻居来描述，而傅里叶变换可以对图像中所有的邻居进行变换，有效地减少图像的深度和宽度，使图像更轻巧。

傅里叶变换的一个重要用途便是图像分析和处理，它可以将复杂的信息减缩到更小的空间中，从而使图像变得更容易理解。

比如，使用傅里叶变换可以有效地抽取图像中最重要的特征，例如颜色、对比度、形状等。

此外，傅里叶变换还可以用于图像压缩，通过傅里叶变换可以把复杂的信息转换为高频信号和低频信号，通过减少低频信号可以压缩图像的体积，但这样做不会影响图像的整体清晰度，而是减少了细节的某些程度上。

总而言之，傅里叶变换是一种对图像进行分析和处理的非常有效的方法，可以有效地提取图像中最重要的特征，可以大大减少图像的深度和宽度，并且可以用于图像压缩以及图像处理等任务中，从而大大改善图像的处理效果。