快速傅里叶变换FFT

⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。

)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。

以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。

根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。

快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。

而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。

1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。

FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。

这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。

2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。

fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。

在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。

3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。

通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。

这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。

4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。

在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。

通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。

5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。

fft与傅里叶变换的区别FFT（快速傅里叶变换）与傅里叶变换是数字信号处理领域中常用的两种信号变换方法。

它们在频域分析和信号处理中起着重要作用。

虽然它们都基于傅里叶分析理论，但在实际应用中存在一些区别。

傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。

它将一个连续时间域的信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，得到信号的频谱信息。

傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分、频谱特性等，适用于连续时间和连续频率的信号。

而FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法。

它通过对离散时间域信号进行有限点数的离散傅里叶变换来实现。

FFT算法利用了信号的周期性和对称性质，将复杂度为O(n^2)的计算简化为O(nlogn)，提高了计算速度。

因此，FFT广泛应用于数字信号处理、频谱分析、图像处理等领域。

傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，能够得到信号的精确频谱信息。

但是，傅里叶变换需要进行大量的运算，计算复杂度较高，对于大规模数据处理可能会耗费较长的时间。

而FFT通过采用分治的思想，将大规模的傅里叶变换问题分解为多个小规模的傅里叶变换问题，从而提高了计算效率。

傅里叶变换和FFT在数据处理和实现方式上也存在一些差异。

傅里叶变换通常应用于连续时间和连续频率的信号，需要对信号进行采样和插值处理，以满足变换的要求。

而FFT适用于离散时间和离散频率的信号，可以直接对离散数据进行变换，无需额外处理。

在实际应用中，由于FFT算法的高效性和优势，它被广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。

例如，在音频压缩和解码中，FFT算法可以用于将音频信号从时域转换为频域，提取信号的频谱信息，并进行压缩和解码操作。

而傅里叶变换由于计算复杂度较高，通常在对信号进行精确频谱分析时使用。

FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，相比于傅里叶变换具有计算效率高的优势。

傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，适用于连续时间和连续频率的信号。

两者在理论基础和实际应用上有所差异，但都在数字信号处理中起着重要作用。

fft公式
FFT（快速傅里叶变换）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。

它可以将时域信号转换为频域信号，并用于许多领域的信号处理和频谱分析。

FFT的公式可以表示为：
X(k)=Σ[x(n)*e^(-i*2π*k*n/N)]
其中，X(k)表示频域中的第k个离散频率，x(n)表示时域信号的第n个采样点，N表示信号的总采样数。

上述公式中的e^(-i*2π*k*n/N)可以理解为复数的旋转因子，它表示了相位和幅度信息。

在计算过程中，使用了蝶形算法（Butterfly Algorithm）来加速计算，通过分
组计算多个蝶形运算，从而减少计算量。

FFT算法的输入是时域信号，输出是频域信号，可以得到信号的幅度谱和相位谱。

这使得FFT成为许多应用中重要的工具，如频谱分析、滤波、信号压缩、图像处理等。

需要注意的是，FFT是DFT的一种高效实现方式，并且要求输入信号的采样数是2的幂次方。

当输入信号不满足这一条件时，可以进行零填充或使用其他插值方法来满足要求。

长采集快速傅里叶变换 (fft)
长采集快速傅里叶变换（FFT）是一种用于对长时间序列进行高效傅里叶变换的算法。

常规的傅里叶变换（DFT）算法的时间复杂度为O(N^2)，其中N是时间序列的长度。

对于较长的时间序列，这种计算复杂度可能非常高，导致计算时间很长。

FFT算法通过分而治之的方法将DFT分解为较小的DFT问题，使得计算时间大大减少。

它的时间复杂度为O(N logN)，极大地提高了计算效率。

因此，FFT成为了处理长时间序列的标准方法。

在应用中，长采集FFT可以用于信号处理、频谱分析、图像处理等各种领域。

例如，在音频处理中，长采集FFT可以将较长的音频信号转换为频域表示，用于音频特征提取、滤波、频谱分析等。

在图像处理中，长采集FFT可以用于图像压缩、平滑、滤波等操作。

需要注意的是，长采集FFT算法的有效性和准确性取决于采样频率和采样时长的合理选择。

采样频率过低可能导致频率分辨率低，信息丢失；采样时长过长可能导致频率分辨率不足，无法准确表示高频信号。

因此，在使用长采集FFT进行信号处理时，需要权衡采样频率和采样时长的选择，以满足所需的分析要求。

总的来说，长采集快速傅里叶变换是一种高效的算法，可用于对较长时间序列进行频域分析和信号处理。

它在许多领域
和应用中都发挥着重要的作用，为我们理解和处理复杂信号提供了有力的工具。

FFT 快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform) 是一种用于快速计算傅里叶变换的算法，是在傅里叶变换的基础上发展而来的。

FFT 算法被广泛应用于数字信号处理、图像处理、声音处理、卷积操作、解析几何等领域，它的高效性和实时性使得它成为了当今计算机科学领域不可或缺的一部分。

一、傅里叶变换简介傅里叶变换是将一个时域信号转换为频域信号的过程，其公式如下：$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}dt$其中，$f(t)$ 表示时域信号，$F(\omega)$ 表示频域信号，$\omega$ 表示角频率。

傅里叶变换可以分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换两种。

连续傅里叶变换仅适用于连续信号，而离散傅里叶变换适用于离散信号。

二、离散傅里叶变换离散傅里叶变换是一种将离散信号变换为频域信号的方法，其公式如下：$X_k=\sum_{n=0}^{N-1}x_n e^{-\frac{2\pi i}{N}kn},k=0,1,...,N-1$其中，$x_n(n=0,1,...,N-1)$ 表示原始离散信号，$X_k(k=0,1,...,N-1)$ 表示变换后的频域信号。

但是，使用该公式直接计算离散傅里叶变换的时间复杂度为$O(N^2)$，计算效率低下。

三、FFT 快速傅里叶变换FFT 快速傅里叶变换是一种基于DFT 离散傅里叶变换的高效算法，它的时间复杂度可以达到$O(NlogN)$，较之直接计算DFT 的时间复杂度要低得多。

FFT 算法的基本思想是将 DFT 分治成多个较小的 DFT，并利用其重复性降低运算次数。

1.蝴蝶运算蝴蝶运算是 FFT 算法的基本运算，通过它可以将 DFT 的计算复杂度降低为 $O(N)$。

蝴蝶运算的实质是将两个相邻点之间的信号进行乘法和加法运算，其公式如下：$X_k=X_{k1}+W_{N}^kX_{k2},X_{k+N/2}=X_{k1}-W_{N}^kX_{k2}$其中，$X_{k1}$ 表示 $X_k$ 中偶数项，$X_{k2}$ 表示 $X_k$ 中奇数项，$W_N$ 是DFT 的核函数。

【知识总结】快速傅⾥叶变换（FFT ）这可能是我第五次学FFT 了……菜哭qwq 先给出⼀些个⼈认为⾮常优秀的参考资料：快速傅⾥叶变换（FFT ）⽤于计算两个n 次多项式相乘，能把复杂度从朴素的O (n 2)优化到O (nlog 2n )。

⼀个常见的应⽤是计算⼤整数相乘。

本⽂中所有多项式默认x 为变量，其他字母均为常数。

所有⾓均为弧度制。

⼀、多项式的两种表⽰⽅法我们平时常⽤的表⽰⽅法称为“系数表⽰法”，即A (x )=n∑i =0a i x i上⾯那个式⼦也可以看作⼀个以x 为⾃变量的n 次函数。

⽤n +1个点可以确定⼀个n 次函数（⾃⾏脑补初中学习的⼆次函数）。

所以，给定n +1组x 和对应的A (x )，就可以求出原多项式。

⽤n +1个点表⽰⼀个n 次多项式的⽅式称为“点值表⽰法”。

在“点值表⽰法”中，两个多项式相乘是O (n )的。

因为对于同⼀个x ，把它代⼊A 和B 求值的结果之积就是把它带⼊多项式A ×B 求值的结果（这是多项式乘法的意义）。

所以把点值表⽰法下的两个多项式的n +1个点的值相乘即可求出两多项式之积的点值表⽰。

线性复杂度点值表⽰好哇好但是，把系数表⽰法转换成点值表⽰法需要对n +1个点求值，⽽每次求值是O (n )的，所以复杂度是O (n 2)。

把点值表⽰法转换成系数表⽰法据说也是O (n 2)的（然⽽我只会O (n 3)的⾼斯消元qwq ）。

所以暴⼒取点然后算还不如直接朴素算法相乘……但是有⼀种神奇的算法，通过取⼀些具有特殊性质的点可以把复杂度降到O (nlog 2n )。

⼆、单位根从现在开始，所有n 都默认是2的⾮负整数次幂，多项式次数为n −1。

应⽤时如果多项式次数不是2的⾮负整数次幂减1，可以加系数为0的项补齐。

先看⼀些预备知识：复数a +bi 可以看作平⾯直⾓坐标系上的点(a ,b )。

这个点到原点的距离称为模长，即√a 2+b 2；原点与(a ,b )所连的直线与实轴正半轴的夹⾓称为辐⾓，即sin −1ba 。

实验四 快速傅里叶变换（FFT ）4.1实验目的1）加深对快速傅里叶变换（FFT ）基本理论的理解；2）了解使用快速傅里叶变换（FFT ）计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法；3）掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。

4.2实验原理1）用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知，DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法，它适用于有限长序列。

尽管这种变换方法是可以用于数值计算的，但如果只是简单的按照定义进行数据处理，当序列长度很大时，则将占用很大的内存空间，运算时间将很长。

快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称，FFT 只是其中的一种。

FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法，基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列，如基2算法、基4算法等，大大缩短了运算的时间。

MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换（FFT ）的子函数，用fft 计算DFT ，用ifft 计算IDFT 。

2）用FFT 计算有限长序列的频谱基本概念：一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ，它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换，且在奈奎斯特（Nyquist ）频率范围内有界并连续。

序列的长度为N ，则211N n n =−+。

计算()x n 的离散傅里叶变换（DFT ）得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。

其中数字频率为k 2πω()d ωk k N== 式中：d ω为数字频率的分辨率；k 取对应－(N －1)/2到(N －1)/2区间的整数。

在实际使用中，往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱，此时对应的模拟频率为s s 2π2πΩω/T ()()T k k k k kD N L==== 式中：D 为模拟频率的分辨率或频率间隔；T s 为采样信号的周期，Ts ＝1/Fs ；定义信号时域长度L ＝N T s 。

快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换，FFT的理解和编程还是比较难的，特地撰写此文分享一下研究成果。

一、彻底理解傅里叶变换快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法，简称FFT，通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。

模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。

为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍，这称之为采样定理。

假设采样频率为fs，采样点数为N，那么FFT结果就是一个N点的复数，每一个点就对应着一个频率点，某一点n(n 从1开始)表示的频率为：fn=(n-1)*fs/N。

举例说明：用1kHz的采样频率采样128点，则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0，1k/128，2k/128，3k/128，…，127k/128 Hz。

这个频率点的幅值为：该点复数的模值除以N/2（n=1时是直流分量，其幅值是该点的模值除以N）。

二、傅里叶变换的C语言编程1、对于快速傅里叶变换FFT，第一个要解决的问题就是码位倒序。

假设一个N 点的输入序列，那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.码位倒序要解决两个问题：①将t位二进制数倒序；②将倒序后的两个存储单元进行交换。

如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示，例如若最大序号为15，即用4位就可表示n3n2n1n0，则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3，那么怎样才能实现倒序呢？利用C语言的移位功能！程序如下，我不多说，看不懂者智商一定在180以下！复数类型定义及其运算#define N 64 //64点#define log2N 6 //log2N=6/*复数类型*/typedef struct{float real;float img;}complex;complex xdata x[N]; //输入序列/*复数加法*/complex add(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real+b.real;c.img=a.img+b.img;return c;}/*复数减法*/complex sub(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real-b.real;c.img=a.img-b.img;return c;}/*复数乘法*/complex mul(complex a,complex b){complex c;c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;return c;}/***码位倒序函数***/void Reverse(void){unsigned int i,j,k;unsigned int t;complex temp;//临时交换变量for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号{k=i;//当前第i个序号j=0;//存储倒序后的序号，先初始化为0for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次，其中log2N是事先宏定义算好的{j<<=1;j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位k>>=1;//k右移一位，次低位变为最低位}if(j>i)//如果倒序后大于原序数，就将两个存储单元进行交换（判断j>i是为了防止重复交换）{temp=x[i];x[i]=x[j];x[j]=temp;}}}2、第二个要解决的问题就是蝶形运算①第1级（第1列）每个蝶形的两节点“距离”为1，第2级每个蝶形的两节点“距离”为2，第3级每个蝶形的两节点“距离”为4，第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。

快速傅里叶变换（FFT）是一种非常重要的数学工具，它在信号处理、图像处理、计算机视觉等领域有着广泛的应用。

快速傅里叶变换算法的发明有利于对信号频谱的快速计算，从而加快了信号处理的速度。

在本文中，我们将从多个角度来探讨快速傅里叶变换，并深入理解它的原理和应用。

1. 什么是傅里叶变换？傅里叶变换是一种数学工具，它可以将一个函数从时间或空间域转换到频率域。

通过傅里叶变换，我们可以将一个信号拆分成不同频率的成分，从而更好地理解信号的特性。

在信号处理领域，傅里叶变换被广泛应用于声音、图像等数据的分析和处理中。

2. 快速傅里叶变换的原理快速傅里叶变换是一种高效的傅里叶变换算法，它可以在对数时间内完成信号频谱的计算。

其原理是基于分治法和递归思想的，通过将信号分解成子问题，并利用对称性质和周期性质，从而快速计算出频谱信息。

快速傅里叶变换算法的发明极大地加速了信号处理的速度，使得实时处理成为可能。

3. 快速傅里叶变换的应用快速傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

在音频处理中，通过快速傅里叶变换，我们可以快速计算出音频信号的频谱信息，从而进行音频分析、音频合成等操作。

在图像处理中，快速傅里叶变换可以用于图像的频域滤波、图像压缩等操作。

在通信领域，快速傅里叶变换也被应用于调制解调、信道估计等方面。

4. 我对快速傅里叶变换的个人观点和理解作为一种重要的数学工具，快速傅里叶变换在现代科学技术中扮演着不可或缺的角色。

它的高效性和广泛应用性使得它成为了信号处理领域中的核心算法之一。

虽然快速傅里叶变换算法本身较为复杂，但通过对其原理和应用的深入理解，我们可以更好地利用这一工具，为实际问题提供更好的解决方案。

总结在本文中，我们对快速傅里叶变换进行了全面的探讨，从傅里叶变换的基本概念到快速傅里叶变换算法的原理和应用，希望读者能更全面、深刻和灵活地理解这一重要的数学工具。

通过对快速傅里叶变换的研究，我们可以更好地处理和分析信号数据，为实际问题的解决提供更好的方法和工具。