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⽂中内容均为个⼈理解，如有错误请指出，不胜感激前⾔先解释⼏个⽐较容易混淆的缩写吧FMT 快速莫⽐乌斯变化—>感谢stump提供多项式复数在介绍复数之前，⾸先介绍⼀些可能会⽤到的东西(好像画的不是很标准。
)定义设a ,b 为实数，i 2=−1，形如a +bi 的数叫复数，其中i 被称为虚数单位，复数域是⽬前已知最⼤的域在复平⾯中，x 代表实数，y 轴（除原点外的点）代表虚数，从原点(0,0)到(a ,b )的向量表⽰复数a +bi模长：从原点(0,0)到点(a ,b )的距离，即√a 2+b 2幅⾓：假设以逆时针为正⽅向，从x 轴正半轴到已知向量的转⾓的有向⾓叫做幅⾓运算法则加法：因为在复平⾯中，复数可以被表⽰为向量，因此复数的加法与向量的加法相同，都满⾜平⾏四边形定则（就是上⾯那个）乘法：⼏何定义：复数相乘，模长相乘，幅⾓相加代数定义：(a +bi )∗(c +di )=ac +adi +bci +bdi 2=ac +adi +bci −bd=(ac −bd )+(bc +ad )i单位根下⽂中，默认n 为2的正整数次幂在复平⾯上，以原点为圆⼼，1为半径作圆，所得的圆叫单位圆。
以圆点为起点，圆的n 等分点为终点，做n 个向量，设幅⾓为正且最⼩的向量对应的复数为ωn ，称为n 次单位根。
根据复数乘法的运算法则，其余n −1个复数为ω2n ,ω3n ,…,ωn n 注意ω0n =ωn n =1（对应复平⾯上以x 轴为正⽅向的向量）那么如何计算它们的值呢？这个问题可以由欧拉公式解决ωk n =cos k ∗2πn +i sin k ∗2πn例如图中向量AB 表⽰的复数为8次单位根单位根的幅⾓为周⾓的1n在代数中，若z n =1，我们把z 称为n 次单位根单位根的性质ωk n =cos k2πn +i sin k 2πn （即上⾯的公式）ω2k 2n =ωk n证明：ω2k 2n =cos2k ∗2π2n +i sin2k ∗2π2n =ωk nωk +n2n =−ωk n ωn2n =cos n 2∗2πn +i sin n 2∗2πn =cos π+i sin π=−1ω0n =ωn n =1讲了这么多，貌似跟我们的正题没啥关系啊。
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种在数字信号处理和数值分析中广泛应用的算法，它能够高效地计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT），从而在频域中分析信号的频谱特性。
而在matlab中，使用FFT函数可以方便地进行快速傅里叶变换的计算和处理。
1. FFT的基本原理在介绍matlab中的FFT函数之前，我们先来了解一下FFT的基本原理。
FFT算法是一种分治法的思想，在计算傅里叶变换时通过将原始信号分解为奇偶部分，然后递归地进行计算，最终得到傅里叶变换的结果。
这种分治的思想使得FFT算法的计算复杂度降低到了O(n log n)，比直接计算DFT的O(n^2)复杂度要低很多，因此在实际应用中得到了广泛的应用。
2. matlab中的FFT函数在matlab中，可以使用fft函数来进行快速傅里叶变换的计算。
fft函数的基本语法如下：```Y = fft(X)```其中，X表示输入的信号序列，可以是实数或复数序列；Y表示经过FFT变换后得到的频谱结果。
在使用fft函数时，最常见的是对时域信号进行FFT变换，然后得到其频谱特性。
3. FFT在信号处理中的应用FFT算法在信号处理中有着广泛的应用，其中最常见的就是对信号的频谱特性进行分析。
通过对信号进行FFT变换，可以得到其频谱图，从而可以直观地了解信号的频域特性，包括频率成分、幅度特性等。
这对于音频处理、振动分析、通信系统等领域都是非常重要的。
4. FFT在图像处理中的应用除了在信号处理中的应用，FFT算法也在图像处理中有着重要的地位。
在图像处理中，FFT可以用来进行频域滤波，包括低通滤波、高通滤波、带通滤波等操作。
通过FFT变换，我们可以将图像从空域转换到频域，在频域中进行滤波操作，然后再通过逆FFT变换将图像恢复到空域，从而达到图像增强、去噪等效果。
5. FFT在数学建模中的应用除了在信号处理和图像处理中的应用外，FFT算法还在数学建模和仿真计算中有着重要的作用。
fft与傅里叶变换的区别FFT（快速傅里叶变换）与傅里叶变换是数字信号处理领域中常用的两种信号变换方法。
它们在频域分析和信号处理中起着重要作用。
虽然它们都基于傅里叶分析理论，但在实际应用中存在一些区别。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的方法。
它将一个连续时间域的信号分解成一系列正弦和余弦函数的和，得到信号的频谱信息。
傅里叶变换可以用于分析信号的频率成分、频谱特性等，适用于连续时间和连续频率的信号。
而FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法。
它通过对离散时间域信号进行有限点数的离散傅里叶变换来实现。
FFT算法利用了信号的周期性和对称性质，将复杂度为O(n^2)的计算简化为O(nlogn)，提高了计算速度。
因此，FFT广泛应用于数字信号处理、频谱分析、图像处理等领域。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，能够得到信号的精确频谱信息。
但是，傅里叶变换需要进行大量的运算，计算复杂度较高，对于大规模数据处理可能会耗费较长的时间。
而FFT通过采用分治的思想，将大规模的傅里叶变换问题分解为多个小规模的傅里叶变换问题，从而提高了计算效率。
傅里叶变换和FFT在数据处理和实现方式上也存在一些差异。
傅里叶变换通常应用于连续时间和连续频率的信号，需要对信号进行采样和插值处理，以满足变换的要求。
而FFT适用于离散时间和离散频率的信号，可以直接对离散数据进行变换，无需额外处理。
在实际应用中，由于FFT算法的高效性和优势，它被广泛应用于信号处理、图像处理、音频处理等领域。
例如，在音频压缩和解码中，FFT算法可以用于将音频信号从时域转换为频域，提取信号的频谱信息，并进行压缩和解码操作。
而傅里叶变换由于计算复杂度较高，通常在对信号进行精确频谱分析时使用。
FFT是一种快速计算傅里叶变换的算法，相比于傅里叶变换具有计算效率高的优势。
傅里叶变换是一种精确的信号分析方法，适用于连续时间和连续频率的信号。
两者在理论基础和实际应用上有所差异，但都在数字信号处理中起着重要作用。
fft公式
FFT（快速傅里叶变换）是一种高效计算离散傅里叶变换（DFT）的算法。
它可以将时域信号转换为频域信号，并用于许多领域的信号处理和频谱分析。
FFT的公式可以表示为：
X(k)=Σ[x(n)*e^(-i*2π*k*n/N)]
其中，X(k)表示频域中的第k个离散频率，x(n)表示时域信号的第n个采样点，N表示信号的总采样数。
上述公式中的e^(-i*2π*k*n/N)可以理解为复数的旋转因子，它表示了相位和幅度信息。
在计算过程中，使用了蝶形算法（Butterfly Algorithm）来加速计算，通过分
组计算多个蝶形运算，从而减少计算量。
FFT算法的输入是时域信号，输出是频域信号，可以得到信号的幅度谱和相位谱。
这使得FFT成为许多应用中重要的工具，如频谱分析、滤波、信号压缩、图像处理等。
需要注意的是，FFT是DFT的一种高效实现方式，并且要求输入信号的采样数是2的幂次方。
当输入信号不满足这一条件时，可以进行零填充或使用其他插值方法来满足要求。
