实现快速傅里叶变换)

从傅里叶变换到快速傅里叶变换的基本实现方法（原创实用版4篇）目录（篇1）I.傅里叶变换的概念和意义1.傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法2.在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用II.快速傅里叶变换（FFT）的基本原理1.傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下2.快速傅里叶变换利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算3.FFT的基本算法思想：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题III.FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现2.迭代实现方法的优化：使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代正文（篇1）一、傅里叶变换的概念和意义傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学变换方法。

它可以将一个时域信号表示为不同频率的正弦和余弦函数的线性组合，使得信号的频域分析变得更加方便。

傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域有着广泛的应用。

二、快速傅里叶变换（FFT）的基本原理傅里叶变换的乘法运算导致计算效率低下，快速傅里叶变换（FFT）利用了周期函数的周期性性质，将乘法运算转化为加法运算。

FFT的基本算法思想是：基于递归的方式，将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题。

FFT算法可以分为迭代实现方法和直接实现方法，其中迭代实现方法主要用于离散傅里叶变换（DFT）的实现。

三、FFT的具体实现方法1.迭代实现方法：迭代实现方法的主要思想是将大的傅里叶变换问题分解为更小的子问题，通过递归的方式逐步求解。

迭代实现方法可以使用蝶形图表示FFT的运算过程，便于理解和计算。

2.迭代实现方法的优化：迭代实现方法的优化主要是为了减少计算量，例如使用树形结构来存储中间结果，减少重复计算。

3.直接实现方法：对于特定的离散序列，可以直接计算其FFT结果，不需要进行迭代。

离散时间信号的基2快速傅里叶变换FFT （时间抽取）蝶形算法实现一、一维连续信号的傅里叶变换连续函数f(x)满足Dirichlet （狄利克雷）条件下，存在积分变换：正变换：2()()()()j ux F u f x e dx R u jI u π+∞--∞==+⎰ 反变换：2()()j ux f x F u e du π+∞-∞=⎰其中()()cos(2)R u f t ut dt π+∞-∞=⎰，()()sin(2)I u f t ut dt π+∞-∞=-⎰定义幅值、相位和能量如下：幅度：1222()()()F u R u I u ⎡⎤⎡⎤=+⎣⎦⎣⎦ 相位：()arctan(()/())u I u R u ϕ= 能量：22()()(E u R u I u =+）二、一维离散信号的傅里叶变换将连续信号对自变量进行抽样得到离散信号（理想冲击抽样脉冲），利用连续信号的傅里叶变换公式得到离散时间傅里叶变换DTFT ；再利用周期性进行频域抽样，得离散傅里叶变换DFT （详情参考任何一本《数字信号处理》教材）。

DFT 变换如下：正变换：12/0()(),0,1,2,1N j ux Nx F u f x eu N π--===-∑。

反变换：12/01()(),0,1,2,1N j ux Nu f x F u ex N Nπ-===-∑。

DFT 是信号分析与处理中的一种重要变换，因为计算机等数字设备只能存储和处理离散数据（时域、频域）。

因直接计算DFT 的计算量大（与变换区间长度N 的平方成正比，当N 较大时，计算量太大），所以在快速傅里叶变换(简称FFT)出现以前，直接用DFT 算法进行谱分析和信号的实时处理是不切实际的。

直到1965年发现了DFT 的一种快速算法（快速傅里叶变换，即FFT ）以后，情况才发生了根本的变化。

FFT 有时间抽取和频率抽取两种，下面介绍时间抽取FFT 。

三、时间抽取的基2快速傅里叶变换FFT令2j NN W eπ-=，则2jkm km NNWeπ-=称为旋转因子，把DFT 正变换改写为：1[][],0,1,1N km N k F m f k W m N -===-∑将函数记作x ，变换后为X ，则为：10[][],0,1,1N kmN k X m x k W m N -===-∑时间抽取的FFT 算法利用了旋转因子的三个性质：周期性、对称性和可约性。

快速傅立叶变换（FFT ）的实现一、实验目的1.了解FFT 的原理及算法；2.了解DSP 中FFT 的设计及编程方法；3.熟悉FFT 的调试方法；二、实验原理FFT 是一种高效实现离散付立叶变换的算法，把信号从时域变换到频域，在频域分析处理信息。

对于长度为N 的有限长序列x (n )，它的离散傅里叶变换为：(2/)j N nk N W e π-=，称为旋转因子，或蝶形因子。

在x (n )为复数序列的情况下，计算X (k )：对某个k 值，需要N 次复数乘法、(N -1)次复数加法；对所有N 个k 值，需要2N 次复数乘法和N (N -1)次复数加法。

对于N 相当大时（如1024）来说，直接计算它的DFT 所作的计算量是很大的，FFT 的基本思想在于： 利用2()j nk N N W e π-=的周期性即：k N k N N W W +=对称性：/2k k N N N W W +=-将原有的N 点序列分成两个较短的序列，这些序列的DFT 可以很简单的组合起来得到原序列的DFT 。

按时间抽取的FFT ——DIT FFT 信号流图如图5.1所示：图5.1 时间抽取的FFT —DIT FFT 信号流图FFT 算法主要分为以下四步。

第一步 输入数据的组合和位倒序∑=-=10)()(N n nk N W n x k X把输入序列作位倒序是为了在整个运算最后的输出中得到的序列是自然顺序。

第二步 实现N 点复数FFT第一级蝶形运算；第二级蝶形运算；第三级至log2N 级蝶形运算；FFT 运算中的旋转因子N W 是一个复数，可表示：为了实现旋转因子N W 的运算，在存储空间分别建立正弦表和余弦表，每个表对应从0度到180度，采用循环寻址来对正弦表和余弦表进行寻址。

第三步 功率谱的计算X (k )是由实部()R X k 和虚部()I X k 组成的复数：()()()R I X k X k jX k =+；计算功率谱时只需将FFT 变换好的数据，按照实部()R X k 和虚部()I X k 求它们的平方和，然后对平方和进行开平方运算。

一、概述傅里叶变换是信号处理和数据压缩中常用的数学工具，它可以将时域信号转换为频域信号，从而便于分析和处理。

而快速傅里叶变换（FFT）则是一种高效的计算傅里叶变换的方法，可以大大提高计算效率，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。

二、傅里叶变换原理傅里叶变换的基本思想是将一个时域信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的叠加，从而得到该信号的频谱图。

具体来说，对于一个连续信号x(t)，它的傅里叶变换X(ω)定义为：X(ω) = ∫[0,∞]x(t)e^(-jωt)dt其中，ω为频率变量，X(ω)表示在频率ω处的信号能量。

而对于离散信号x[n]，它的傅里叶变换X[k]则定义为：X[k] = ∑[n=0,N-1]x[n]e^(-j2πkn/N)其中，N为信号的采样点数，k为频率域的序号。

上述公式称为离散傅里叶变换（DFT），计算复杂度为O(N^2)。

而快速傅里叶变换则通过巧妙的算法设计，将计算复杂度降低到O(NlogN)。

三、快速傅里叶变换算法概述快速傅里叶变换的算法最早由Cooley和Tukey在1965年提出，它的基本思想是将一个长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT的组合，通过递归地分解和合并，最终实现对整个信号的快速计算。

下面我们来介绍一种常用的快速傅里叶变换算法：递归式分治法。

四、递归式分治法递归式分治法是一种高效的计算DFT的方法，它的基本思想是将长度为N的DFT分解为两个长度为N/2的DFT，并通过递归地调用自身，最终实现对整个信号的傅里叶变换。

具体来说，假设有一个长度为N的信号x[n]，对其进行快速傅里叶变换的过程可以分为如下几个步骤：1. 将长度为N的信号x[n]分为长度为N/2的偶数序号和奇数序号的两个子信号x_even[n]和x_odd[n]；2. 对子信号x_even[n]和x_odd[n]分别进行快速傅里叶变换，得到它们的频域表示X_even[k]和X_odd[k]；3. 结合X_even[k]和X_odd[k]，计算原信号的频域表示X[k]。

c语言快速傅里叶变快速傅里叶变换的实现可以使用递归或迭代两种方式：1. 递归实现递归版本的快速傅里叶变换（FFT）是一种标准实现方法，它的时间复杂度为O(n * log2(n))。

快速傅里叶变换的代码实现如下：```void fft(double complex* x, int n){if(n == 1)return;double complex odd[n/2], even[n/2];for(int i=0, j=0; i<n; i+=2, j++){even[j] = x[i];odd[j] = x[i+1];}fft(even, n/2);fft(odd, n/2);for(int i=0; i<n/2; i++){double complex t = cexp(-I * 2 * M_PI * i / n) * odd[i];x[i] = even[i] + t;x[i+n/2] = even[i] - t;}}```2. 迭代实现迭代实现 FFT 的主要思路是根据蝴蝶定理将一次变换的复杂度降为 O(n)，多次迭代后复杂度为 O(n*logn)。

代码实现如下：```void fft(double complex* x, int n){int k = log2(n);double complex w[n/2];for (int i=0; i<n/2; i++)w[i] = cexp(-I * 2 * M_PI * i / n);for (int i=0; i<k; i++)for (int j=0; j<n; j++)if (!(j & (1<<i))){int x1 = j, x2 = j | (1<<i);double complex t = x[x2] * w[x2 & ((1<<i)-1)];x[x2] = x[x1] - t;x[x1] += t;}}```以上两种方式都是可行的，但是迭代实现方式更加快速。

matlab快速傅里叶变换代码
以下是 MATLAB 中的快速傅里叶变换 (FFT) 代码示例:
```matlab
% 定义被采样信号
x = 2*pi*100*[-1:0.01:1];
% 计算采样间隔
delta_t = 1/100;
% 计算信号长度
N = length(x);
% 进行 FFT
fft_x = fft(x);
% 将 FFT 结果逆变换回时域
x_naive = real(ifft(fft_x));
% 计算真实信号
x_true = 2*pi*100*[-0.01:0.01:1];
% 比较真实信号和计算信号的误差
error = max(max(x_true-x_naive)));
```
在此代码中，首先定义了被采样的信号 `x`,并计算了采样间隔`delta_t`。

然后，计算了信号长度 `N`,并使用 FFT 算法对信号进行分解。

最后，将 FFT 结果逆变换回时域，并计算真实信号和计算信号之间的误差。

请注意，该代码假定输入信号是严格的周期信号，其采样间隔为1 秒。

如果输入信号不是严格的周期性信号，或者采样间隔不是 1 秒，则可能需要使用不同的 FFT 算法来计算其快速傅里叶变换。

实验14 快速傅里叶变换(FFT)(完美格式版，本人自己完成，所有语句正确，不排除极个别错误，特别适用于山大，勿用冰点等工具下载，否则下载之后的word 格式会让很多部分格式错误，谢谢)XXXX 学号姓名处XXXX一、实验目的1、加深对双线性变换法设计IIR 数字滤波器基本方法的了解。

2、掌握用双线性变换法设计数字低通、高通、带通、带阻滤波器的方法。

3、了解MA TLAB 有关双线性变换法的子函数。

二、实验内容1、双线性变换法的基本知识2、用双线性变换法设计IIR 数字低通滤波器3、用双线性变换法设计IIR 数字高通滤波器4、用双线性变换法设计IIR 数字带通滤波器三、实验环境MA TLAB7.0四、实验原理1、实验涉及的MATLAB 子函数（1）fft功能：一维快速傅里叶变换(FFT)。

调用格式：)(x fft y =；利用FFT 算法计算矢量x 的离散傅里叶变换，当x 为矩阵时，y 为矩阵x每一列的FFT 。

当x 的长度为2的幂次方时，则fft 函数采用基2的FFT 算法，否则采用稍慢的混合基算法。

),(n x fft y =；采用n 点FFT 。

当x 的长度小于n 时，fft 函数在x 的尾部补零，以构成n点数据；当x 的长度大于n 时，fft 函数会截断序列x 。

当x 为矩阵时，fft 函数按类似的方式处理列长度。

（2）ifft功能：一维快速傅里叶逆变换(IFFT)。

调用格式：)(x ifft y =；用于计算矢量x 的IFFT 。

当x 为矩阵时，计算所得的y 为矩阵x 中每一列的IFFT 。

),(n x ifft y =；采用n 点IFFT 。

当length(x)<n 时，在x 中补零；当length(x)>n 时，将x 截断，使length(x)＝n 。

（3）fftshift功能：对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中心。

调用格式：)(x fftshift y =；对fft 的输出进行重新排列，将零频分量移到频谱的中心。

标题：FPGA实现快速傅里叶变换加速卷积的原理与应用在当今信息时代，数字信号处理和数据处理已经成为许多领域中不可或缺的部分。

而在处理这些信号和数据时，快速傅里叶变换（FFT）和卷积运算是常用的数学工具。

在很多实际应用中，由于其高复杂度，这两个运算往往需要花费大量的时间和资源。

然而，通过利用现代的FPGA技术，我们可以实现这些运算的高效加速，本文将探讨如何利用FPGA来加速实现快速傅里叶变换卷积。

1. 背景介绍快速傅里叶变换（FFT）是一种离散傅里叶变换（DFT）的快速算法。

它不仅可以用于频域分析和信号处理，还被广泛应用于图像处理、通信、雷达和生物医学领域等。

而卷积运算则是数字信号处理和图像处理中常见的运算之一，用于实现信号的滤波、特征提取和模式识别等。

然而，这两种运算都具有较高的计算复杂度，特别是在涉及大规模数据时，传统的处理方法往往效率低下。

2. FPGA加速计算的优势FPGA（Field-Programmable Gate Array）是一种灵活可编程的数字集成电路，它通过可编程的逻辑单元和可编程的连接网络，可以实现大规模的并行计算和高速数据处理。

这使得FPGA在加速计算领域具有独特的优势。

与传统的CPU和GPU相比，FPGA可以根据具体的应用需求进行快速定制和优化，提供更高的计算密度和更低的功耗。

利用FPGA来加速实现FFT和卷积运算，可以大幅提高运算速度和效率。

3. FPGA实现快速傅里叶变换在实现FFT时，FPGA可以充分利用其并行计算的特性，通过设计合适的硬件结构和算法，实现FFT运算的高效加速。

可以采用基于蝶形运算单元（Butterfly）的并行计算结构，利用FPGA的片上资源进行数据流控制和计算单元的并行化。

通过巧妙的数据流设计和数据重用策略，还可以有效地减少时序延迟和资源消耗，进一步提高FFT算法的运行速度。

在实际应用中，基于FPGA的FFT加速器已经被广泛应用于通信系统、无线电频谱监测和图像处理等领域。

快速傅里叶变换代码快速傅里叶变换代码快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的方法。

它以特殊的方式计算DFT，从而大大提高了计算速度。

FFT算法应用十分广泛，比如在图像处理、信号处理和音频处理中都有广泛的应用。

本文将针对FFT的具体代码实现进行阐述，按照不同的类别进行分类。

1. 递归实现FFT算法递归实现是FFT算法的一种经典实现方式。

其基本思想是将输入序列分为偶数项和奇数项两部分，然后对偶数项和奇数项进行递归计算，最终将它们合并到一起。

具体实现代码如下：```pythonimport cmathdef fft_recursive(x):n = len(x)if n == 1:return xeven = fft_recursive(x[0::2])odd = fft_recursive(x[1::2])return [even[k] + cmath.exp(-2j*cmath.pi*k/n)*odd[k] for k in range(n//2)] + \[even[k] - cmath.exp(-2j*cmath.pi*k/n)*odd[k] for k in range(n//2)] ```2. 基于迭代的FFT算法另一种实现FFT算法的方法是基于迭代的。

该算法也是从分治的思想出发，将DFT分解成多个小DFT计算的过程中实现的。

具体实现代码如下：```pythonimport cmathdef fft_iterative(x):n = len(x)levels = int(cmath.log2(n))assert n == 2**levels, "Length of input must be a power of 2"output = [None] * nfor level in range(levels):offset = 2**levelstep = 2**(levels - level)for i in range(0, n, offset):j = i + offsetdiff = cmath.exp(-2j*cmath.pi*i/n)for k in range(i, j):x = output[k + offset]*diffoutput[k + offset] = output[k] - xoutput[k] += xreturn output```3. Bit-reversal排序实现FFT最后一种实现FFT算法的方式是基于Bit-reversal排序的，该算法的基本思想是将输入数列中的数反转二进制位，同时重新排列数列中的数，最终使得计算过程中所需的索引连续排列。

一、概述FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

DFT对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。

改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。

虽然它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。

主要原冈是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算。

在这里利用LabVIEW来实现快速傅立叶变化。

LabVIEW是一种程序开发环境，类似于BASIC开发环境；但LabVIEW与其它计算机语言相比，有一个特别重要的不同点：其它计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码行；而LabVIEW使用图形化编程语言G编写程序，产生.的程序是框图的形式。

像C或BASIC一样，LabVIEW也是通用的编程系统，有一个可完成任何编程任务的庞大的函数库。

LabVIEW的函数库包括数据采集、GPIB、串口控制、数据分析、数据显示及数据存储等。

LabVIEW也有传统的程序调试工具，如设置断点、以动画方式显示数据及其通过程序(子V1)的结果、单步执行等，便于程序的调试。

二、方案论证1：单一频率正弦信号的FFT采用Labview的信号产生模板提供的常用的信号发生器，从中找到正弦信号发生器，使其产生一个正弦信号。

将此正弦信号输入到实数FFT.vi中的X端进行快速傅里叶变换处理，使时域信号转换为频域信号。

然后经过复数至极坐标转换后将其显示出来。

快速傅里叶变换(FFT)算法C++实现代码#include <math.h>#define DOUBLE_PI 6.283185307179586476925286766559// 快速傅里叶变换// data 长度为 (2 * 2^n), data 的偶位为实数部分, data 的奇位为虚数部分// isInverse表示是否为逆变换void FFT(double * data, int n, bool isInverse = false){int mmax, m, j, step, i;double temp;double theta, sin_htheta, sin_theta, pwr, wr, wi, tempr, tempi;n = 2 * (1 << n);int nn = n >> 1;// 长度为1的傅里叶变换, 位置交换过程j = 1;for(i = 1; i < n; i += 2){if(j > i){temp = data[j - 1];data[j - 1] = data[i - 1];data[i - 1] = temp;data[j] = temp;data[j] = data[i];data[i] = temp;}// 相反的二进制加法m = nn;while(m >= 2 && j > m){j -= m;m >>= 1;}j += m;}// Danielson - Lanczos 引理应用mmax = 2;while(n > mmax){step = mmax << 1;theta = DOUBLE_PI / mmax;if(isInverse){theta = -theta;}sin_htheta = sin(0.5 * theta);sin_theta = sin(theta);pwr = -2.0 * sin_htheta * sin_htheta;wr = 1.0;wi = 0.0;for(m = 1; m < mmax; m += 2){for(i = m; i <= n; i += step){j = i + mmax;tempr = wr * data[j - 1] - wi * data[j];tempi = wr * data[j] + wi * data[j - 1];data[j - 1] = data[i - 1] - tempr;data[j] = data[i] - tempi;data[i - 1] += tempr;data[i] += tempi;}sin_htheta = wr;wr = sin_htheta * pwr - wi * sin_theta + wr;wi = wi * pwr + sin_htheta * sin_theta + wi;}mmax = step;}}输入数据为data，data是一组复数，偶数位存储的是复数的实数部分，奇数位存储的是复数的虚数部分。

快速傅⾥叶变换（fft）及其逆变换（iff）的c代码实现#define float sample_t// data的长度为n,必须是2的指数倍，result的长度为2n，其中奇数项保存虚数，偶数项保存的是实数int fft(sample_t *data, int sample_number, sample_t *result){// 需要给奇数部分填充虚数0for(int i = 0; i < sample_number; ++i){result[2*i] = data[i];result[2*i+1] = 0;}int flag = 1;flag = fft_ifft_implement(result, sample_number, flag);return flag;}// data的长度是2n，result的长度为n,n必须是2的指数倍int ifft(sample_t *data, int sample_number, sample_t *result){int flag = -1;flag = fft_ifft_implement(data, sample_number, flag);// 奇数部分是虚数，需要舍弃for (int i = 0; i < sample_number; i++){result[i] = data[2*i] / sample_number;}return flag;}static int fft_ifft_implement(sample_t *data, int sample_number, int flag){// 判断样本个数是不是2的指数倍，如果不是能否补零成指数倍？sample_t number_log = log(sample_number) / log(2);int mmax = 2, j=0;int n = sample_number<<1;int istep, m;sample_t theta, wtemp, wpr, wpi, wr, wi, tempr, tempi;if (((int)number_log - number_log) != 0){return 0;}for(int i = 0; i < n-1; i=i+2){if(j > i){swap(data, j ,i);swap(data, j + 1 ,i + 1);}m = n / 2;while(m >= 2 && j >= m){j = j - m;m = m / 2;}j = j + m;}while(n > mmax){istep = mmax<<1;theta = -2 * PI / (flag * mmax);wtemp = sin(0.5 * theta);wpr = -2.0 * wtemp * wtemp;wpi = sin(theta);wr = 1.0;wi = 0.0;for(int m = 1; m < mmax; m = m + 2){for(int i = m; i < n + 1; i = i + istep){int j = i + mmax;tempr = wr * data[j-1] - wi * data[j];tempi = wr * data[j] + wi * data[j-1];data[j-1] = data[i-1] - tempr;data[j] = data[i] - tempi;data[i-1] += tempr;data[i] += tempi;}wtemp = wr;wr += wr * wpr - wi * wpi;wi += wi * wpr + wtemp * wpi;}mmax = istep;}return 1;}static void swap(sample_t *data ,int m, int n) {sample_t temp = data[m];data[m] = data[n];data[n] = temp;}。

fft快速傅里叶变换c语言快速傅里叶变换（FFT）是一种在计算离散傅里叶变换（DFT）及其逆变换时非常有效的算法。

在C语言中实现FFT，需要理解FFT的基本原理和步骤，包括位反转、分治和蝶形运算等。

以下是一个简单的FFT实现，使用了Cooley-Tukey的算法：```cinclude <>include <>include <>define PIvoid fft(complex double a, int n) {if (n <= 1) return;complex double a0[n/2], a1[n/2];for (int i = 0; i < n/2; i++) {a0[i] = a[i2];a1[i] = a[i2 + 1];}fft(a0, n/2);fft(a1, n/2);for (int k = 0; k < n/2; k++) {complex double t = cexp(-IPIk/n) a1[k];a[k] = a0[k] + t;a[k + n/2] = a0[k] - t;}}int main() {int N = 8; // 输入的点数，必须是2的幂complex double x[N]; // 输入数据，即要进行FFT的序列for (int i = 0; i < N; i++) {x[i] = i; // 例如，输入为简单的等差序列 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}fft(x, N); // 进行FFT变换for (int i = 0; i < N; i++) {printf("%f + %fi\n", creal(x[i]), cimag(x[i])); // 输出FFT的结果，即序列的频域表示}return 0;}```这个程序首先定义了一个`fft`函数，它接受一个复数数组和数组的大小作为参数。

fpga 快速傅里叶变换
FPGA（Field-Programmable Gate Array）是一种硬件设计技术，它可以被用户定制以满足特定的计算需求。

而快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种高效的计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的方法。

在FPGA中实现快速傅里叶变换，通常需要以下几个步骤：
1. 数据预处理：将输入的数据进行预处理，使其符合FFT算法的要求。

这通常包括将数据分为多个小段，并对每个小段进行重新排序。

2. 查找表（Look-Up Table，LUT）实现：在FPGA中，可以使用查找表来实现FFT。

查找表中的每个表项对应一个复数，这些复数构成了FFT的结果。

查找表的大小取决于输入数据的点数和FFT的阶数。

3. 循环移位和点积：在得到了查找表的结果后，可以通过循环移位和点积操作来得到最终的FFT结果。

4. 结果后处理：根据需要，可以对FFT的结果进行一些后处理，例如取绝对值、反三角等。

通过这种方式，FPGA可以实现快速傅里叶变换，从而提高计算效率。

为了看明⽩那堆积分变换，不得不把复变函数扫了⼀遍，可看完了，才发现原来这堆变换说⽩了只是⼀些数字游戏，Examda提⽰: 也没⽤到啥复变函数的知识。

最后，⽤C++程序实现了下FFT，也算告⼀段落，代码如下： #include #include #include using namespace std; const double PI = 3.14159265358979323846; int n; // 数据个数 = 2的logn次⽅ int logn; /// 复数结构体 struct stCompNum { double re; double im; }; stCompNum* pData1 = NULL; stCompNum* pData2 = NULL; /// Examda提⽰: 正整数位逆序后输出 int reverseBits(int value, int bitCnt) { int i; int ret = 0; for(i=0; i { ret |= (value & 0x1) << (bitCnt - 1 - i); value >>= 1; } return ret; } void main() { ifstream fin("data.txt"); int i,j,k; // input logn fin>>logn; // calculate n for(i=0, n=1; i // malloc memory space pData1 = new stCompNum[n]; pData2 = new stCompNum[n]; // input raw data for(i=0; i>pData1[i].re; for(i=0; i>pData1[i].im; // FFT transform int cnt = 1; for(k=0; k { for(j=0; j { int len = n / cnt; double c = - 2 * PI / len; for(i=0; i { int idx = len * j + i; pData2[idx].re = pData1[idx].re + pData1[idx + len/2].re; pData2[idx].im = pData1[idx].im + pData1[idx + len/2].im; } for(i=len/2; i { double wcos = cos(c * (i - len/2)); double wsin = sin(c * (i - len/2)); int idx = len * j + i; stCompNum tmp; tmp.re = pData1[idx - len/2].re - pData1[idx].re; tmp.im = pData1[idx - len/2].im - pData1[idx].im; pData2[idx].re = tmp.re * wcos - tmp.im * wsin; pData2[idx].im = tmp.re * wsin + tmp.im * wcos; } } cnt <<= 1; stCompNum* pTmp = NULL; pTmp = pData1; pData1 = pData2; pData2 = pTmp; } // resort for(i=0; i { int rev = reverseBits(i, logn); stCompNum tmp; if(rev > i) { tmp = pData1[i]; pData1[i] = pData1[rev]; pData1[rev] = tmp; } } // output result data for(i=0; i cout< for(i=0; i cout< // free memory space delete []pData1; delete []pData2; fin.close(); system("pause"); } 输⼊⽂件data.txt的内容如下： 4 2.2 4.5 6.7 8.5 10.2 12.3 14.5 16.2 19.3 21.2 25.2 29.4 36.4 39.2 45.2 50.1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0。

快速傅立叶变换（FFT）的C++实现收藏标准的离散傅立叶DFT 变换形式如：y k=Σj=0n-1a jωn-kj = A (ωn-k).（ωn k为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式A (x)=Σj=0n-1a j x j）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：a j=(Σk=0n-1y kωn kj)/n .yk=Σj=0n-1 ajωn-kj = A (ωn-k).（ωnk 为复数1 的第k 个n 次方根，且定义多项式 A (x) = Σj=0n-1 ajxj ）而离散傅立叶逆变换IDFT (Inverse DFT)形式如：aj=(Σk=0n-1 ykωnkj)/n .以下不同颜色内容为引用并加以修正：快速傅立叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是离散傅立叶变换（Discrete Fourier transform，DFT）的快速算法，它是根据离散傅立叶变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。

它对傅立叶变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。

设Xn 为N 项的复数序列，由DFT 变换，任一Xi 的计算都需要N 次复数乘法和N -1 次复数加法，而一次复数乘法等于四次实数乘法和两次实数加法，一次复数加法等于两次实数加法，即使把一次复数乘法和一次复数加法定义成一次“运算”（四次实数乘法和四次实数加法），那么求出N 项复数序列的Xi ，即N 点DFT 变换大约就需要N2 次运算。

当N =1024 点甚至更多的时候，需要N2 = 1048576 次运算，在FFT 中，利用ωn 的周期性和对称性，把一个N 项序列（设N 为偶数），分为两个N / 2 项的子序列，每个N / 2点DFT 变换需要(N / 2)2 次运算，再用N 次运算把两个N / 2点的DFT 变换组合成一个N 点的DFT 变换。

快速傅⾥叶变换及python代码实现⼀、前⾔ 我想认真写好快速傅⾥叶变换（Fast Fourier Transform，FFT），所以这篇⽂章会由浅到细，由窄到宽的讲解，但是傅⾥叶变换对于寻常⼈并不是很容易理解的，所以对于基础不牢的⼈我会通过前⾔普及⼀下相关知识。

我们复习⼀下三⾓函数的标准式：y=A\cos (\omega x+\theta )+k A代表振幅，函数周期是\frac{2\pi}{w}，频率是周期的倒数\frac{w}{2\pi}，\theta 是函数初相位，k在信号处理中称为直流分量。

这个信号在频域就是⼀条竖线。

我们再来假设有⼀个⽐较复杂的时域函数y=f(t)，根据傅⾥叶的理论，任何⼀个周期函数可以被分解为⼀系列振幅A，频率\omega或初相位\theta 正弦函数的叠加y = A_1sin(\omega_1t+\theta_1) + A_2sin(\omega_2t+\theta_2) + A_3sin(\omega_3t+\theta_3) 该信号在频域有三条竖线组成，⽽竖线图我们把它称为频谱图，⼤家可以通过下⾯的动画了解 如图可知，通过时域到频域的变换，我们得到了⼀个从侧⾯看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。

因为频谱只代表每个正弦波对应频率的振幅是多少，⽽没有提到相位。

基础的正弦波Asin(wt+\theta )中，振幅，频率，相位缺⼀不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要⼀个相位谱。

我依稀记得⾼中学正弦函数的是时候，\theta 的多少决定了正弦波向右移动多少。

当然那个时候横坐标是相位⾓度，⽽时域信号的横坐标是时间，因此我们只需要将时间转换为相位⾓度就得到了初相位。

相位差则是时间差在⼀个周期中所占的⽐例\theta=2\pi \frac{t}{T} 所以傅⾥叶变换可以把⼀个⽐较复杂的函数转换为多个简单函数的叠加，将时域（即时间域）上的信号转变为频域（即频率域）上的信号，看问题的⾓度也从时间域转到了频率域，因此在时域中某些不好处理的地⽅，在频域就可以较为简单的处理，这就可以⼤量减少处理信号计算量。

以下是使用Java的JTransforms库实现快速傅里叶变换（FFT）和计算功率谱的示例代码：```javaimport org.jtransforms.fft.DoubleFFT_1D;public class FFTExample {public static void main(String[] args) {// 创建一个长度为N的数组，并填充数据int N = 1024;double[] x = new double[N];for (int n = 0; n < N; n++) {x[n] = Math.sin(2 * Math.PI * n / N);}// 创建FFT对象，对数组进行快速傅里叶变换DoubleFFT_1D fft = new DoubleFFT_1D(N);double[] X = new double[N];fft.realForward(X); // 对实数数组进行正向FFT变换// 计算功率谱double[] Pxx = new double[N];for (int n = 0; n < N; n++) {Pxx[n] = X[n] * X[n]; // 计算每个频率分量的功率谱}// 输出结果System.out.println("频谱（幅度）:");for (int n = 0; n < N; n++) {System.out.println(n + " " + X[n]);}System.out.println("功率谱:");for (int n = 0; n < N; n++) {System.out.println(n + " " + Pxx[n]);}}}```在上面的代码中，我们首先创建了一个长度为N的数组，并填充了一些数据。

然后，我们使用JTransforms库中的DoubleFFT_1D类对数组进行快速傅里叶变换。

vba快速傅里叶变换代码在VBA中实现快速傅里叶变换（FFT）可能比较复杂，因为VBA本身并没有提供FFT的内置函数。

但是，我们可以使用一些现成的库或者自己编写FFT的算法。

下面是一个简单的递归实现的快速傅里叶变换（FFT）的例子。

请注意，这个代码可能不是最优的，但它可以作为一个起点。

vbaFunction FFT(ByRef input() As Double, ByVal n As Integer) As VariantDim output() As DoubleReDim output(n)Dim wn As DoubleDim i As IntegerDim nDiv2 As IntegerDim k As IntegerDim t As DoubleDim arg As DoubleDim exp As DoubleDim real As DoubleDim imag As DoubleIf n <= 1 Thenoutput(0) = input(0)GoTo exitPointEnd IfnDiv2 = n \ 2For i = 0 To nDiv2 - 1k = i + nDiv2t = input(k) * input(k) + input(i) * input(i) - input(k + nDiv2) * input(k + nDiv2) - input(i + nDiv2) * input(i + nDiv2)If t > 0 Thenoutput(i) = Sqr(t) * Sqr(2) / 2output(k) = Sqr(t) / 2output(k + nDiv2) = -Sqr(t) / 2output(i + nDiv2) = -Sqr(t) * Sqr(2) / 2Elseoutput(i) = -Sqr(-t) * Sqr(2) / 2output(k) = -Sqr(-t) / 2output(k + nDiv2) = Sqr(-t) / 2output(i + nDiv2) = Sqr(-t) * Sqr(2) / 2End IfNext iarg = PI / n * 4For i = 0 To nDiv2 - 1exp = Sin(arg * i / nDiv2) / Sin(arg / 2)real = output(i) * exp - output(i + nDiv2) * exp * -1jimag = output(i + nDiv2) * exp - output(i) * exp * -1joutput(i + nDiv2 / 2) = real + imag * -1joutput(i + nDiv2 - (nDiv2 / 2)) = real - imag * -1jNext iexitPoint:FFT = outputEnd Function注意，上述代码是基于递归实现的，而且对于大输入可能非常慢。