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第十四章疲劳分析的数值计算方法及实例第一节引言零件或构件由于交变载荷的反复作用，在它所承受的交变应力尚未达到静强度设计的许用应力情况下就会在零件或构件的局部位置产生疲劳裂纹并扩展、最后突然断裂。
这种现象称为疲劳破坏。
疲劳裂纹的形成和扩展具有很大的隐蔽性而在疲劳断裂时又具有瞬发性，因此疲劳破坏往往会造成极大的经济损失和灾难性后果。
金属的疲劳破坏形式和机理不同与静载破坏，所以零件疲劳强度的设计计算不能为经典的静强度设计计算所替代，属于动强度设计。
随着机车车辆向高速、大功率和轻量化方向的迅速发展，其疲劳强度及其可靠性的要求也越来越高。
近几年随着我国铁路的不断提速，机车、车辆和道轨等铁路设施的疲劳断裂事故不断发生，越来越引起人们的重视。
疲劳强度设计及其研究正在成为我国高速机车车辆设计制造中的一项不可缺少的和重要的工作。
金属疲劳的研究已有近150年的历史，有相当多的学者和工程技术人员进行了大量的研究，得到了许多关于金属疲劳损伤和断裂的理论及有关经验技术。
但是由于疲劳破坏的影响因素多而复杂并且这些因素互相影响又与构件的实际情况密切相关，使得其应用性成果尚远远不能满足工程设计和生产应用的需要。
据统计，至今有约90%的机械零部件的断裂破坏仍然是由直接于疲劳或者间接疲劳而引起的。
因此，在21世纪的今天，尤其是在高速和大功率化的新产品的开发制造中，其疲劳强度或疲劳寿命的设计十分重要，并且往往需要同时进行相应的试验研究和试验验证。
疲劳断裂是因为在零件或构件表层上的高应力或强度比较低弱的部位区域产生疲劳裂纹，并进一步扩展而造成的。
这些危险部位小到几个毫米甚至几十个微米的范围，零件或构件的几何缺口根部、表面缺陷、切削刀痕、碰磕伤痕及材料的内部缺陷等往往是这种危险部位。
因此，提高构件疲劳强度的基本途径主要有两种。
一种是机械设计的方法，主要有优化或改善缺口形状，改进加工工艺工程和质量等手段将危险点的峰值应力降下来；另一种是材料冶金的方法，即用热处理手段将危险点局部区域的疲劳强度提高，或者是提高冶金质量来减少金属基体中的非金属夹杂等材料缺陷等局部薄弱区域。
490第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集基于有限元理论的疲劳热点应力集中系数 计算方法研究*黄怀州，尹光荣，孟庆政，宋晓秋，王海龙（海洋石油工程股份有限公司，天津 300451） 摘要：疲劳损伤是造成海洋结构物破坏的主要形式之一。
主要讨论了基于有限元理论的疲劳热点应力的不同计算方法的优 劣，研究并分析在不同计算方法下的结果合理性。
通过运用 ANSYS 有限元软件计算对比实验结果和公式推导，首次提出并 验证了利用高斯点积分应力外推热点应力的方法， 并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系， 对利 用有限元方法分析海洋结构物的疲劳寿命具有一定的指导意义和参考价值。
关键词：疲劳；热点应力；有限元；应力集中系数 随着海洋石油工业的发展，通常要在恶劣的海况条件下建造各种平台，以适应海上钻井采油作业的需 要。
海洋平台在工作时受到的环境包括风、波、流、潮汐、冰等情况，其中波浪力不仅能引起巨大的水平 方向交变荷载，且循环次数也非常频繁，是造成结构疲劳破坏的主要因素。
如图 1 所示典型的管结构的疲 劳破坏。
可靠的疲劳热点应力的获得，一直都是工程界的难点。
在文献[1]实验数据基础上，用有限元方法分析 了八种不同的疲劳热点应力集中系数计算方法的优劣，对比验证高斯点积分应力外推热点应力方法的准确 性和稳定性，并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系，得到一套可靠的分析方 法。
图 1 管结构的疲劳破坏1 基本理论和基本假定1.1 基本理论 通常疲劳分析建立在 S-N 曲线和线性损伤假设基础上，公式为：D =∑ki=1式中： D 为累积疲劳损伤； a 为设计 S − N 曲线在 log N 轴上的截距；m 为 S − N 曲线斜率的负倒数；k 为应力组块数量； ni 为应力组 i 的应力循环次数； Ni 为常应力幅值 Δσ i 作用下的疲劳失效循环次数；η 为 利用率，设计疲劳系数的倒数[2-3]。
有限元分析中应力集中的处理方法理论上可以证明，如果插值函数使用了“协调和完整的位移函数”，则当网格尺寸逐渐减小而单元数量增加时，解就会单调收敛。
而且，当单元数目增加时，得到的刚度会降低，并收敛于真实刚度；这就意味着，当单元增加时，得到的位移增加，而收敛于精确位移解。
其图形如下：这里所说的“协调和完整位移函数”，是指：1.近似函数式一般是多项式。
2.近似函数在单元内要保持连续。
3.近似函数应提供单元间的连续性，包括离散单元每一个节点所有自由度都应该是连续的，二维单元和三维单元沿着公共边界线和公共面必须是连续的。
既能够保证单元内的连续，又能够保证单元间的连续的形函数称为协调函数。
4.近似函数应考虑刚体位移和单元内的常应变状态。
即有常数项保证刚体运动（无应变的运动），而有一次项保证有常应变状态发生。
这是形函数的完整性问题。
例如，对于一维单元而言，若取形函数则同时满足上面四个条件，称为协调且完整的位移函数。
一般来说，我们所用的单元使用的位移函数都满足上述四个条件，所以从理论上来说，只要网格加密，就可以收敛于真实解。
为了验证上述理论的真实性，我们选用了一个材料力学中的例子来做仿真。
该例子如下使用材料力学的理论进行求解，简要过程如下使用ANSYS进行分析，使用BEAM188单元，首先创建如图所示的几何模型然后分别对各段直线加密网格划分，得到的结果如下上表中，第一列是划分的单元数，第二列是最大的压应力，第三列是最大的拉应力。
可以看到，随着单元数目的增加，最大拉伸，压缩应力的绝对值都在增加。
从材料力学得到的精确解，最大的压应力是-46.2MPa, 最大的拉应力是28. 8MPa。
这样，当单元数增加到64个时，压应力的误差是（46.2-45.7）/46.2 = 1.1%; 拉应力的精度是（28.8-28.6)/28.8=0.7%.此时精度已经相当高了。
可以明显的看出，随着单元数目的增加，应力解的确是在逐渐逼近真实解。
基于有限元的疲劳分析方法及实践基于有限元的疲劳分析方法及实践疲劳是物体在循环荷载作用下发生的连续循环应力引起的损伤和破坏过程，对于工程结构的安全可靠性至关重要。
为了预测和评估结构在长期使用中的疲劳寿命，我们需要进行疲劳分析。
有限元方法是一种广泛应用的用于疲劳分析的数值模拟方法，它能够预测结构在不同应力循环下的寿命和破坏。
有限元方法基于结构的离散化，通过将结构划分为多个小单元来近似描述结构的力学行为。
在疲劳分析中，有限元方法可以应用于确定结构在复杂载荷历程下的应力和应变分布，并进一步评估结构的寿命。
下面将介绍有限元疲劳分析的基本步骤和实践经验。
首先，进行有限元模型建立。
有限元模型是指根据结构的几何形状和物性参数，以及实际工作条件建立的数值模型。
通过使用计算机辅助设计软件，我们可以将结构的几何形状进行精确建模，并定义结构中的材料参数和加载条件。
其次，确定结构的应力循环历程。
在实际工作中，结构往往会受到多种复杂的载荷作用，在疲劳分析中需要对这些载荷进行定量描述。
一般情况下，我们可以通过实验测量或者数值模拟来获取结构在不同工况下的应力循环历程。
接下来，进行疲劳寿命预测。
通过有限元分析软件，可以计算出结构在不同应力循环下的应力和应变分布。
利用经验公式或者材料的疲劳性能曲线，可以计算出结构在不同应力循环下的疲劳寿命。
疲劳寿命预测是疲劳分析的核心内容，它可以帮助工程师判断结构的安全性，进而进行优化设计。
最后，进行疲劳寿命验证。
在疲劳寿命预测的基础上，需要通过一定的实验验证来确定与有限元分析结果的一致性。
疲劳试验可以使用转子转速、台阶加载或实际工况加载等方法进行，通过实验可以验证有限元模型的准确性和可靠性。
对于疲劳分析的实践经验，有以下几点需要注意：1.准确建立有限元模型。
有限元模型的准确性关系到疲劳分析结果的可靠性。
在建模过程中，需要仔细考虑结构的几何形状、边界条件和材料参数等因素，确保模型与实际工程结构相匹配。
490第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集基于有限元理论的疲劳热点应力集中系数 计算方法研究*黄怀州，尹光荣，孟庆政，宋晓秋，王海龙（海洋石油工程股份有限公司，天津 300451） 摘要：疲劳损伤是造成海洋结构物破坏的主要形式之一。
主要讨论了基于有限元理论的疲劳热点应力的不同计算方法的优 劣，研究并分析在不同计算方法下的结果合理性。
通过运用 ANSYS 有限元软件计算对比实验结果和公式推导，首次提出并 验证了利用高斯点积分应力外推热点应力的方法， 并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系， 对利 用有限元方法分析海洋结构物的疲劳寿命具有一定的指导意义和参考价值。
关键词：疲劳；热点应力；有限元；应力集中系数 随着海洋石油工业的发展，通常要在恶劣的海况条件下建造各种平台，以适应海上钻井采油作业的需 要。
海洋平台在工作时受到的环境包括风、波、流、潮汐、冰等情况，其中波浪力不仅能引起巨大的水平 方向交变荷载，且循环次数也非常频繁，是造成结构疲劳破坏的主要因素。
如图 1 所示典型的管结构的疲 劳破坏。
可靠的疲劳热点应力的获得，一直都是工程界的难点。
在文献[1]实验数据基础上，用有限元方法分析 了八种不同的疲劳热点应力集中系数计算方法的优劣，对比验证高斯点积分应力外推热点应力方法的准确 性和稳定性，并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系，得到一套可靠的分析方 法。
图 1 管结构的疲劳破坏1 基本理论和基本假定1.1 基本理论 通常疲劳分析建立在 S-N 曲线和线性损伤假设基础上，公式为：D =∑ki=1式中： D 为累积疲劳损伤； a 为设计 S − N 曲线在 log N 轴上的截距；m 为 S − N 曲线斜率的负倒数；k 为应力组块数量； ni 为应力组 i 的应力循环次数； Ni 为常应力幅值 Δσ i 作用下的疲劳失效循环次数；η 为 利用率，设计疲劳系数的倒数[2-3]。
理论上应力幅值 Δ σ 是由局部应力 σ local 决定，但是由于局部应力非常难以获得，工程上常采用热点*ni 1 = N i a∑ki=1n i ⋅ (Δ σi)m≤ η（1）作者简介：黄怀州，男，结构工程师，主要从事导管架结构设计工作。
Email：huanghz@第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集491应力 σ hots pot来代替局部应力，热点应力计算公式为：σ hots pot= SCF ⋅ σ no min al（2）式中： SCF 为应力集中系数；σ no min al 为名义应力。
将针对局部应力的研究转化为针对应力集中系数和名 义应力的研究。
1.2 基本假定 由于焊接形式的不同，以及焊接材料的复杂和焊接缺陷的不确定性，一般在建立有限元模型时不包括 焊缝。
这样在焊接的拐角连接处，用的是零半径来模拟这些拐角细部的几何不连续，这就造成了拐角处的 几何应力集中。
而对于有应力集中的有限元模型，应力计算结果对单元尺寸非常敏感：当单元尺寸趋近于 零时，应力结果将趋近于无限大。
因此有必要设定一个单元尺寸的下限，将特定点的应力外推至拐角处。
单元的尺寸选择需要考虑到几个方面；1）具有足够的精度，能够给出焊缝影响区以外区域的应力分布；2） 单元不宜太密，以减少由于几何不连续造成的应力集中；3）单元形状规则，单元形状尽量接近正方形或 者立方体，避免使用三角形或者四面体。
综合以上三点，最终把网格尺寸定为 t × t 。
主应力是分析疲劳裂纹发展的一个重要参数， 参考相关规范， 将最大主应力 σ max 作为推导热点应力的 主要参数[2]。
焊接板结构的有限元分析通常有三种建模方法，如图 2 所示：包括焊缝的三维实体有限元模型，不包 括焊缝的三维实体有限元模型，二维板壳有限元模型[5]。
考虑到工程的实用性和兼顾计算的精确性，将三 维实体模型简化成为二维中面板壳模型。
单元类型分别采用 4 节点 SHELL63 和 8 节点 SHELL93 两种单元， 将对比分析采用这两种单元计算结果的优劣。
A BA BA B图 2 实体模型和有限元模型图3热点应力外推示意2 外推方法按照上节所述，应力集中处的节点应力值是不准确的，而附近区域的应力分布是准确的。
因此焊趾处 的应力需要把附近的应力值经过几次外推得到：首先将应力值外推至板外表面，进而沿某一路径（路径方492第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集向应该尽量与最大主应力方向一致）外推至焊根 A 处，将焊根 A 处的应力外推结果作为焊趾处的热点应 力。
具体如图 3 所示，单元尺寸为 t × t ，将单元外表面应力在 0.5 t 和 1.5 t 处平均，然后沿 A-B 路径线性 外推至焊根处。
外推公式为：σ EX =应力矢量均值[2]。
因此，应力集中系数计算公式：式中： σ EX 为焊根处应力外推值，作为热点应力； σ 0.5t 和 σ 1.5t 分别为单个单元在 0.5 t 处和 1.5 t 处最大主3σ 0.5t − σ 1.5t 2（3）SCFEX =σ no min alσ EX（4）在计算应力时，ANSYS 首先计算高斯积分点处应力，然后将应力结果外推至每个单元的节点，这个 解叫做 ANSYS 的单元解，也叫未平均结果，表示的是属于不同单元的节点应力值。
如果把属于不同单元 的节点应力值在相同节点处做平均（矢量平均） ，这个解叫做 ANSYS 的节点解，也叫平均结果。
分别提取 两种单元的高斯积分点和节点的单元解以及节点解的中面最大主应力值，并做线性外推，然后对比分析外 推结果。
σ 0.5t 和 σ 1.5t 可由 ANSYS 的 Results Query Picker 通过形函数插值得到[4]。
3 分析参考实例DNV-RP-C203 规范附录 D 中提供了 6 种不同非管节点试件在单位名义应力下的热点应力实验值，本 文以此为依据，并选择其中 3 个试件作为研究对象。
如图 4 所示 3 个试件模型。
各个试件加载位置和单位名义应力下的热点应力（也就是应力集中系数）如表 1 所示。
疲劳热点图 4 各个试件有限元模型 表 1 试件数据试件编号 1 2 3 加载位置 端部轴向均布载荷 端部轴向均布载荷 端部轴向均布载荷 名义应力/MPa 1.00 1.00 1.00 应力集中系数/SCF 1.32 1.86~1.96 3.134 计算结果图 5 分别为三个试件主应力云图，显示出热点附近应力最大。
表 2 中整理出了三个试件用八个方法外 推应力集中系数的结果，其中 SCFEX 是根据单元的形函数经矢量外推得到应力集中系数。
表 3 是 SCFEX 误 差分析，计算出八个方法的误差，其中相对误差指外推值与实验值相比较的误差百分比。
第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集493图 5 各个试件主应力云图 表2SHELL63（4 节点） 试件 项目 0.5t 1 1.5t SCFEX 0.5t 2 1.5t SCFEX 0.5t 3 1.5t SCFEX 高斯点应力 MPa 单元解 1.4391 1.1421 1.588 1.6483 1.2178 1.864 3.3363 2.3850 3.812 节点解 1.4187 1.1398 1.558 1.6483 1.2178 1.864 3.2494 2.3511 3.699 节点应力 MPa 单元解 1.5772 1.1679 1.782 1.8548 1.2634 2.151 3.645 2.4924 4.221 节点解 1.5586 1.1657 1.755 1.8548 1.2634 2.151 3.567 2.4599 4.121 单元解 1.3756 1.1276 1.500 1.5934 1.1717 1.804 3.8832 2.4627 4.593计算结果汇总SHELL93（8 节点） 高斯点应力 MPa 节点解 1.3525 1.1274 1.465 1.5934 1.1717 1.804 3.7147 2.4562 4.344 节点应力 MPa 单元解 1.5067 1.1454 1.687 1.8126 1.1924 2.123 4.4668 2.5767 5.412 节点解 1.4799 1.1453 1.647 1.8126 1.1924 2.123 4.3108 2.5765 5.178表 3 SCFEX 误差分析SHELL63（4 节点） 试件 误差 高斯点应力/MPa 节点应力/MPa 单元解 节点解 单元解 节点解 0.268 0.238 0.462 0.435 绝对误差 1 20.30 18.03 35.00 32.95 相对误差/% -0.046 -0.046 0.241 0.241 绝对误差* 2 -2.41 -2.41 12.62 12.62 相对误差*/% 0.682 0.569 1.091 0.991 绝对误差 3 21.79 18.18 34.86 31.66 相对误差/% 0.452 0.3805 0.897 0.8335 绝对误差平均值 19.84 16.9 41.24 38.615 相对误差平均值/% *试件 2 的误差取的是实验值的平均后的误差。
SHELL93（8 节点） 高斯点应力/MPa 节点应力/MPa 单元解 节点解 单元解 节点解 0.180 0.145 0.367 0.327 13.64 10.98 27.80 24.77 -0.106 -0.106 0.213 0.213 -5.55 -5.55 11.15 11.15 1.463 1.214 2.282 2.048 46.74 38.79 72.91 65.43 0.7685 0.6265 1.431 1.294 27.415 22.11 55.93 50.675将表 2、表 3 的数据用柱状图表示出来，如图 6 所示实验测得的三个试件应力集中系数和八个方法外 推应力集中系数的比较。
图 7 为绝对误差曲线，图 8 为相对误差曲线。
表示的是外推值与实验值的误差和离散程度。
图 6 应力集中系数实验值和外推值的比较494第十五届中国海洋（岸）工程学术讨论会论文集图 7 绝对误差曲线图 8 相对误差曲线假定热点应力 σ hotspot与外推应力 σ EX 线性相关，即：σ hotspot= α ⋅ σ EX + β（5） （6）β 0.317 2 0.262 8利用最小二乘法拟合该曲线。
由于名义应力 σ no min al = 1.0 MPa ，推导出应力集中系数 SCF：SCF = α ⋅ SCF EX + β表4 α 和 β 拟合值系数值 方法 高斯点单元解 高斯点节点解 α 0.744 6 0.782 45 结语在分析基于有限元理论的热点应力多种计算方法的基础上，首次提出并验证了利用高斯点积分应力外 推热点应力的方法，并运用最小二乘法推导出应力集中系数外推值与实验值的线性关系，得到如下结论： 1）八种外推方法一般都偏于保守，其中前四个方法误差和离散较小，比较稳定，后四个方法离散较 大。
