数值分析练习第五套

第一章 绪论1．设,的相对误差为，求的误差。

0x >x δln x 解：近似值的相对误差为*x *****r e x x e x x δ-===而的误差为ln x ()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设的相对误差为2%，求的相对误差。

x n x 解：设，则函数的条件数为()n f x x ='()||()p xf x C f x =又, 1'()n f x nx -= 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且为2(*)r e x ((*))0.02n r x nε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：,, , ,*1 1.1021x =*20.031x =*3385.6x =*456.430x =*57 1.0.x =⨯解：是五位有效数字；*1 1.1021x =是二位有效数字；*20.031x =是四位有效数字；*3385.6x =是五位有效数字；*456.430x =是二位有效数字。

*57 1.0.x =⨯4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ,(2) ,(3) .***124x x x ++***123x x x **24/x x 其中均为第3题所给的数。

****1234,,,x x x x 解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===A A (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=A 又%1(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设，按递推公式 （n=1,2,…）028Y =1n n Y Y -=-计算到（5位有效数字），试问计算将有多大误差？100Y 27.982≈100Y解： 1n n Y Y -=10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =-……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即，1000Y Y =-, 27.982≈100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯的误差限为。

弟二草插值法3.卜列数据点的插值可以得到平方根函数的近似，在区间064］上作图。

(1〉用这9个点做8次多项式插值Q x)。

(2)用三次样条(第一边界条件)程岸求S(X)。

从得到结果石在［0.64］ 1：・哪个插值更粘确：在区间［0,1］ I：•两种插值哪个更精确?(1) 8次多项式插值：(1)8次多项式插值:首先建立新的M-file:输入如卜代码(此为拉格朗口插值的功能函数)并保存function f=Language(x,y,x0)%求Li知数据点的拉格朗Fl插值多项式%己知数据点的x坐标向量：x%已知数据点的y坐标向量:y%插值的x坐标：x0%求得的拉格朗H插值多项式或在X0处的插值：fsyms t;ifi(lcngth(x)=length(y))n=length(x);elsedisp(*x和y的维数不相等!)；return;end %检错tbr(i=l:n)i=y(i);fbr(j=1:i-l)l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))；end;for(j=i-M:n)end;for(j=i+l:n) l=l*(t-x(j))/(x(i)-x(j))； end;simplify(f);if(i==n) if|nargin=3)f=subs(C't\xO);else f=collcct(f);f=vpa(f,6);endendend再建立新的M-file：输入：clear;x=[0 1 49 16 25 36 49 64];y=[0：l：8]；%计算拉格朗口基丞数%计算拉格朗ri插值函数%化简%计算插值点的曲数值%将插值多项式展开%将插值多项式的系数化成6位精度的小数f=Uinguage(x,y) 运行得到f=1.32574*1-381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e・7T7・.328063e・9T8・.498071 e-2*t A4 这就是8次多项式插值L s(x)= 1.32574怜.381410*t A2+.604294e-1 *t A3+.222972e-3 *t A5-.542921 e-5*t A6+.671268e-7*t A7-.328063e-9*t A8-.498071 e-2*t A4. (2)三次样条插值：建立新的M-filc：输入：clear;x=[0 I 49 1625 36 4964];尸[0:8];t=[0:0.1:64];Y=t.A(0.5);O=Language(x,y)f= 1,32574*t-.381410*t.A2+.604294e-1 *t.A3+.222972e-3*t.A5-.542921 e・5*(. W+.671268e-7*t.A7-.328063e-9*t.A8-.498071 e-2 *t.A4;S=interp l(x,y,t.'spline,);plol(x,y,o；(・YY.lf.'b'」S'g:');grid;运行程序得到如下图：从结果屮很明显可以看出在[0.64].上.三次样条插值更精确，儿乎与原函数帀合。

数值分析课程第五版课后习题答案课后习题一：a) 求解非线性方程f(x) = x^3 - 2x - 5的根。

解答：可使用牛顿迭代法来求解非线性方程的根。

牛顿迭代法的迭代公式为：x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)，其中x_n为第n次迭代的近似解。

对于给定的方程f(x) = x^3 - 2x - 5，计算f'(x)的导数为f'(x) = 3x^2 - 2。

选择一个初始近似解x_0，并进行迭代。

迭代的终止条件可以选择两次迭代间的解的差值小于某个预设的精度。

b) 计算矩阵加法和乘法的运算结果。

解答：设A和B为两个矩阵，A = [a_ij]，B = [b_ij]，则A和B的加法定义为C = A + B，其中C的元素为c_ij = a_ij + b_ij。

矩阵乘法定义为C = A * B，其中C的元素为c_ij = ∑(a_ik * b_kj)，k的取值范围为1到矩阵的列数。

c) 使用插值方法求解函数的近似值。

解答：插值方法可用于求解函数在一组给定点处的近似值。

其中，拉格朗日插值法是一种常用的方法。

对于给定的函数f(x)和一组插值节点x_i，i的取值范围为1到n，利用拉格朗日插值多项式可以构建近似函数P(x)，P(x) = ∑(f(x_i) * l_i(x))，其中l_i(x)为拉格朗日基函数，具体表达式为l_i(x) = ∏(x - x_j)/(x_i - x_j)，j的取值范围为1到n并且j ≠ i。

课后习题二：a) 解决数值积分问题。

解答：数值积分是求解定积分的数值近似值的方法。

常用的数值积分方法包括矩形法、梯形法和辛普森法。

矩形法采用矩形面积的和来近似曲边梯形的面积，梯形法采用等距离子区间上梯形面积的和来近似曲边梯形的面积，而辛普森法则利用等距离子区间上梯形和抛物线面积的加权和来近似曲边梯形的面积。

b) 使用迭代方法求解线性方程组。

解答：线性方程组的求解可以通过迭代方法来进行。

数值分析计算实习题第二章2-1程序：clear;clc;x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];n=length(y1);c=y1(:);for j=2:n %求差商for i=n:-1:jc(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));endendsyms x df d;df(1)=1;d(1)=y1(1);for i=2:n %求牛顿差值多项式df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1));d(i)=c(i)*df(i);enddisp('4次牛顿插值多项式');P4=vpa(collect((sum(d))),5) %P4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数pp=csape(x1,y1, 'variational');%调用三次样条函数q=pp.coefs;disp('三次样条函数');for i=1:4S=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1];S=vpa(collect(S),5)endx2=0.2:0.08:1.08;dot=[1 2 11 12];figureezplot(P4,[0.2,1.08]);hold ony2=fnval(pp,x2);x=x2(dot);y3=eval(P4);y4=fnval(pp,x2(dot));plot(x2,y2,'r',x2(dot),y3,'b*',x2(dot),y4,'co');title('4次牛顿插值及三次样条');结果如下：4次牛顿插值多项式P4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98三次样条函数x∈[0.2,0.4]时， S = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时，S = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571x∈[0.6,0.8]时，S = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时，S =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571输出图如下2-3（1）程序：clear;clc;x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64];y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点n=length(y1);a=ones(n,2);a(:,2)=-x1';c=1;for i=1:nc=conv(c,a(i,:));endq=zeros(n,n);r=zeros(n,n+1);for i=1:n[q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end 三次样条插值曲线4次牛顿插值曲线Dw=zeros(1,n);for i=1:nDw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数endp=Dw*q;syms x L8;for i=1:nL8(i)=p(n-i+1)*x^(i-1);enddisp('8次拉格朗日插值');L8=vpa(collect((sum(L8))),5)xi=0:64;yi=polyval(p,xi);figureplot(xi,yi,x1,y1,'r*');hold ontitle('8次拉格朗日插值');结果如下：8次拉格朗日插值L8 =- 3.2806e-10*x^8 + 6.7127e-8*x^7 - 5.4292e-6*x^6 + 0.00022297*x^5 - 0.0049807*x^4 + 0.060429*x^3 - 0.38141*x^2 + 1.3257*x输出图如下：第五章4-1（3）程序：clc;clear;y= (x)sqrt(x).*log(x);a=0;b=1;tol=1e-4;p=quad(y,a,b,tol);fprintf('采用自适应辛普森积分结果为： %d \n', p); 结果如下：采用自适应辛普森积分结果为： -4.439756e-01第九章9-1(a)程序：clc;clear;a=1;b=2;%定义域h=0.05;%步长n=(b-a)/h;y0=1;%初值f= (x,y) 1/x^2-y/x;%微分函数Xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份Yn=zeros(1,n);%结果矩阵Yn(1)=y0;%赋初值%以下根据改进欧拉公式求解for i=1:nxn=Xn(i);xnn=Xn(i+1);yn=Yn(i);yp=yn+h*f(xn,yn);yc=yn+h*f(xnn,yp);yn=(yp+yc)/2;Yn(i+1)=yn;endXn=Yn;%以下根据经典四阶R-K法公式求解for i=1:nxn=Xn(i);yn=Yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);Yn(i+1)=yn;enddisp(' 改进欧拉法四阶经典R-K法'); disp([Xn' Yn'])结果如下：改进欧拉法四阶经典R-K法1 10.99887 0.998850.99577 0.99780.99114 0.996940.98532 0.996340.97857 0.996030.97111 0.996060.96311 0.996450.9547 0.997230.94598 0.998410.93705 10.92798 1.0020.91883 1.00440.90964 1.00730.90045 1.01060.89129 1.01430.88218 1.01840.87315 1.02290.86421 1.02780.85538 1.03310.84665 1.0388（b）程序：clc;clear;a=0;b=1;%定义域H=[0.1 0.025 0.01];%步长y0=1/3;%初值f= (x,y) -50*y+50*x^2+2*x;%微分函数xi=linspace(a,b,11);Y=1/3*exp(-50*xi)+xi.^2;%准确解Ym=zeros(1,11);for j=1:3h=H(j);n=(b-a)/h;Xn=linspace(a,b,n+1);%将定义域分为n等份Yn=zeros(1,n);%结果矩阵Yn(1)=y0;%赋初值for i=1:nxn=Xn(i);yn=Yn(i);k1=f(xn,yn);k2=f(xn+h/2,yn+h/2*k1);k3=f(xn+h/2,yn+h/2*k2);k4=f(xn+h,yn+h*k3);yn=yn+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);Yn(i+1)=yn;endfor k=1:11m=0.1/h;Ym(k)=Yn(1+(k-1)*m);enddelta=Ym-Y;fprintf('步长为： %d \n', h);disp(' 四阶经典R-K法准确解误差'); disp([Ym' Y' delta'])end结果如下：步长为： 1.000000e-01四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 04.6055 0.012246 4.593263.062 0.040015 63.022864.05 0.09 863.9611844 0.16 118431.6235e+05 0.25 1.6235e+052.2256e+06 0.36 2.2256e+063.0509e+07 0.49 3.0509e+074.1823e+08 0.64 4.1823e+085.7333e+09 0.81 5.7333e+097.8594e+10 1 7.8594e+10步长为： 2.500000e-02四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 00.013015 0.012246 0.000768940.040063 0.040015 4.82e-050.090037 0.09 3.6857e-050.16004 0.16 3.6723e-050.25004 0.25 3.6722e-050.36004 0.36 3.6722e-050.49004 0.49 3.6722e-050.64004 0.64 3.6722e-050.81004 0.81 3.6722e-051 1 3.6722e-05步长为： 1.000000e-02四阶经典R-K法准确解误差0.33333 0.33333 00.012256 0.012246 9.5673e-060.040016 0.040015 7.8252e-070.090001 0.09 6.6347e-070.16 0.16 6.6226e-070.25 0.25 6.6225e-070.36 0.36 6.6225e-070.49 0.49 6.6225e-070.64 0.64 6.6225e-070.81 0.81 6.6225e-071 1 6.6225e-07由结果可知，步长越小，结果越精确。

数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。

第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);101h2h(2)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h);10 1 2h1(3)f(x)dx[f(1)2f(x)3f(x)]/3;121h2(4)f(x)dx h[f(0)f(h)]/2ah[f(0)f(h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若h(1)f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101 h令f(x)1，则2h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则2 3322h h A h A11从而解得4A h31A h131A h13令3f(x)x，则h h3f(x)dx x dx0 hhA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

101令4f(x)x，则h h452f(x)dx x dx h hh52A f(h)A f(0)A f(h)h10135故此时，hh f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101h故h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101具有3次代数精度。

2h （2）若2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)101令f(x)1，则4h A A A101令f(x)x，则0A h A h11令2f(x)x，则16 3322h h A h A11从而解得4A h38A h138A h13令3f(x)x，则2h2h3f(x)dx x dx0 2h2hA1f(h)A0f(0)A1f(h)0 2h故2h f(x)dx A f(h)A f(0)A f(h)成立。

数值分析课程第五版课后习题答案李庆扬等在学习数值分析这门课程的过程中，课后习题的练习与答案的参考对于我们深入理解和掌握知识点起着至关重要的作用。

李庆扬等编写的《数值分析》第五版教材，其课后习题涵盖了丰富的知识点和多种解题思路。

下面，我将为大家详细解析部分课后习题的答案。

首先，让我们来看一道关于插值法的习题。

题目是：给定函数值$f(0)＝0$，＄f(1)＝1$，＄f(2)＝4$，利用线性插值和抛物插值分别计算$f(15)＄的值。

对于线性插值，我们设直线方程为$L_1(x)＝ax ＋ b$。

将已知的两个点$（0,0)＄和$（1,1)＄代入，可得方程组：＄＼begin{cases}b ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＝ 1\end{cases}＄解得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，所以$L_1(x) ＝ x$。

则$f(15) ＼approxL_1(15) ＝ 15$。

对于抛物插值，设抛物线方程为$L_2(x)＝ax^2 ＋ bx ＋ c$。

将三个点$（0,0)＄，＄（1,1)＄，＄（2,4)＄代入，得到方程组：＄＼begin{cases}c ＝ 0 ＼＼ a ＋ b ＋ c ＝ 1 ＼＼ 4a ＋ 2b ＋ c ＝4\end{cases}＄解这个方程组，可得$a ＝ 1$，＄b ＝ 0$，＄c ＝ 0$，所以$L_2(x) ＝ x^2$。

则$f(15) ＼approx L_2(15) ＝ 225$。

接下来是一道关于数值积分的题目。

求积分$＼int_{0}＾｛1} x^2 dx$的数值解，分别使用梯形公式和辛普森公式。

梯形公式为：＄T ＝＼frac{b a}｛2} ＼times f(a) ＋ f(b)＄，代入$a ＝ 0$，＄b ＝ 1$，＄f(x) ＝ x^2$，可得：＄T ＝＼frac{1 0}｛2} ＼times 0^2 ＋ 1^2 ＝ 05$辛普森公式为：＄S ＝＼frac{b a}｛6} ＼times f(a) ＋ 4f(＼frac{a ＋ b}｛2}）＋ f(b)＄，代入可得：＄S ＝＼frac{1 0}｛6} ＼times 0^2 ＋ 4 ＼times （＼frac{1}｛2}）＾2 ＋ 1^2 ＝＼frac{1}｛3}＄再看一道关于解线性方程组的习题。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

第2章 复习与思考题01ii i ii kx x x x 的基函数称为主要性质有 0,()1,k i kx i k()1n l x、什么是牛顿基函数？它与单项式基答：牛顿差值基函数为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n 牛顿差值基函数中带有常数项01,,...n x x x ，这有单项式基不同。

阶均差？它有何重要性质 01n 2n 01n 2n -11[,,...,,][,,...,,]n n f x x x f x x x x x xk j 0j 0j-1j j+1j -k x x x x x x x （）...()()...()和k 阶均差的性质0101k-10[,,...,][,,...,]k kf x x x f x x x x x （分子前项多xk ）[a,b]上存在阶导数，且节点2n ,[a,b]x ，则1()!f n0()nn n ik k kk k i i ki kx x y l x y x x ，(j 1,2,....,n)个点的牛顿插值多项式01[,,...,]k f x x x ,(k 1,2,....,n)两者的主要差异是未知数不一致。

拉格朗日插值多项式是系数知道，但基函数不知道。

牛顿插值多项式是函数知道，但系数不知道。

与一般多项式基本相同。

y ，其中系数矩阵用下列基底作多项式插值时，120001211112222121...1...1 (1)...n n n n n nnx x x x x x x x x x x x ，无非零元素。

）拉格朗日基底为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，已知数为未知数为01{(),(),...,()}n l x l x l x ，则系数矩阵为00101x ),(x x )(x x ),...,(x x )(x x )...(x x )}n ，已，未知数为012{,,,...,}n a a a a ，则系数矩阵为102020211010100...010...01()()...0...............1()()...()n nnnnj j x x x x x x x x x x x x x x x x ，为下三角矩阵，矩阵的上三角元0。

第四章：1、（1）：复合梯形建立m文件：function t=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));输入：>> syms x>> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,10)输出：ans =-0.417062831779470输入：>> syms x>> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,100)输出：ans =-0.443117908008157输入：>> syms x>> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,1000)输出：ans =-0.444387538997162复合辛普森建立m文件：function t=comsimpson(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));输入：>> syms x>> f=inline('sqrt(x).*log(x);');>> format long；>>comsimpson(f,eps,1,10)输出：ans =-0.435297890074689输入：>>syms x>>f=inline('sqrt(x).*log(x);');>>comsimpson(f,eps,1,100)输出：ans =-0.444161178415673输入：>>syms x>>f=inline('sqrt(x).*log(x);');>>comsimpson(f,eps,1,1000)输出：ans =-0.444434117614180（2）龙贝格建立m文件：function [RT,R,wugu,h]=Romberg(fun,a,b,wucha,m) %RT是龙贝格积分表%R是数值积分值%wugu是误差估计%h是最小步长%fun是被积函数%a b是积分下、上限%m是龙贝格积分表中行最大数目%wucha是两次相邻迭代值的绝对误差限n=1;h=b-a;wugu=1;x=a;k=0;RT=zeros(4,4);RT(1,1)=h*(feval(fun,a)+feval(fun,b))/2;while((wugu>wucha)&(k<m)|(k<4))k=k+1;h=h/2;s=0;for j=1:nx=a+h*(2*j-1);s=s+feval(fun,x);endRT(k+1,1)=RT(k,1)/2+h*s;n=2*n;for i=1:kRT(k+1,i+1)=((4^i)*RT(k+1,i)-RT(k,i))/(4^i-1);endwugu=abs(RT(k+1,k)-RT(k+1,k+1));endR=RT(k+1,k+1);输入：>>fun=inline('sqrt(x).*log(x)');>> [RT,R,wugu,h]=Romberg(fun,eps,1,1e-5,13)输出：RT =1 至5 列-0.000000268546145 0 0 0-0.245064670140209 -0.326752804004897 0 0-0.358104125949240 -0.395783944552250 -0.400386020588741 0 0-0.408090073087781 -0.424752055467295 -0.426683262861631 -0.427100679405645 0-0.429474601629505 -0.436602777810080 -0.437392825966266 -0.437562819031419 -0.437603847029951-0.438389494461832 -0.441361125405941 -0.441678348578999 -0.441746372747455 -0.4417627788404596 列-0.441766844267449R =-0.441766844267449wugu =4.065426989774412e-06h =0.031250000000000（3）自适应辛普森输入：>> f=inline('sqrt(x).*log(x)');>> q=quad(f,0,1,1e-4)输出：q =-0.4439755729517282.（1）复合辛普森建立m文件function q=combinesimpson2(F,x0,a,b,n)%复合Simpson多元求积公式%F—被积函数%x0—被积函数自变量%[a,b]积分区间%n—区间份数x=linspace(a,b,n+1);q=0;for k=1:nq=q+subs(F,x0,x(k))+4*subs(F,x0,(x(k)+x(k+1))/2)+subs(F,x0,x(k+1)); endq=q*(b-a)/n/6;输入：>> clear>> syms x y;>> F=exp(-x.*y);>> s=combinesimpson2(combinesimpson2(F,'x',0,1,4),'y',0,1,4)输出：s =exp(-1)/576 + exp(-1/2)/144 + exp(-1/4)/72 + exp(-3/4)/144 + exp(-1/8)/36 +exp(-3/8)/36 + exp(-5/8)/72 + exp(-7/8)/72 + (5*exp(-1/16))/144 + exp(-3/16)/24 + exp(-5/16)/36 + exp(-7/16)/36 + exp(-9/16)/144 + exp(-1/32)/36 + exp(-3/32)/18 + exp(-5/32)/36 + exp(-7/32)/36 + exp(-9/32)/36 + exp(-15/32)/36 + exp(-21/32)/36 + exp(-1/64)/36 + exp(-3/64)/18 + exp(-5/64)/18 + exp(-7/64)/18 + exp(-9/64)/36 + exp(-15/64)/18 + exp(-21/64)/18 + exp(-25/64)/36 + exp(-35/64)/18 + exp(-49/64)/36 + 47/576>> double(s)ans =0.796599967946203高斯求积公式function q=gaussquad(F,x0,a,b,n)%Gauss求积公式%F—被积函数%x0—被积函数自变量%[a,b]积分区间%n—节点个数syms t;F=subs(F,x0,(b-a)/2*t+(a+b)/2);[x,A]=gausspoints(n);q=(b-a)/2*sum(A.*subs(F,t,x));输入：>> clear>> syms x y;F=exp(-x.*y);>> s=gaussquad(gaussquad(F,x,0,1,4),y,0,1,4)输出：s =0.7966（2）复合辛普森输入：>> syms x y;>> f=exp(-x.*y);>> s=combinesimpson2(combinesimpson2(f,y,0,sqrt(1-x^2),4),x,0,1,4)输出：s =(3^(1/2)*(exp(-3^(1/2)/4) + 2*exp(-3^(1/2)/8) + 2*exp(-3^(1/2)/16) + 2*exp(-(3*3^(1/2))/16) + 4*exp(-3^(1/2)/32) + 4*exp(-(3*3^(1/2))/32) + 4*exp(-(5*3^(1/2))/32) + 4*exp(-(7*3^(1/2))/32) + 1))/576 + (7^(1/2)*(exp(-(3*7^(1/2))/16) + 2*exp(-(3*7^(1/2))/32) + 2*exp(-(3*7^(1/2))/64) + 2*exp(-(9*7^(1/2))/64) + 4*exp(-(3*7^(1/2))/128) + 4*exp(-(9*7^(1/2))/128) + 4*exp(-(15*7^(1/2))/128) + 4*exp(-(21*7^(1/2))/128) + 1))/1152 + (15^(1/2)*(exp(-15^(1/2)/16) + 2*exp(-15^(1/2)/32) + 2*exp(-15^(1/2)/64) + 2*exp(-(3*15^(1/2))/64) + 4*exp(-15^(1/2)/128) + 4*exp(-(3*15^(1/2))/128) + 4*exp(-(5*15^(1/2))/128) + 4*exp(-(7*15^(1/2))/128) + 1))/1152 + (15^(1/2)*(exp(-(7*15^(1/2))/64) + 2*exp(-(7*15^(1/2))/128) + 2*exp(-(7*15^(1/2))/256) + 2*exp(-(21*15^(1/2))/256) + 4*exp(-(7*15^(1/2))/512) + 4*exp(-(21*15^(1/2))/512) + 4*exp(-(35*15^(1/2))/512) + 4*exp(-(49*15^(1/2))/512) + 1))/1152 + (39^(1/2)*(exp(-(5*39^(1/2))/64) + 2*exp(-(5*39^(1/2))/128) + 2*exp(-(5*39^(1/2))/256) + 2*exp(-(15*39^(1/2))/256) + 4*exp(-(5*39^(1/2))/512) + 4*exp(-(15*39^(1/2))/512) + 4*exp(-(25*39^(1/2))/512) + 4*exp(-(35*39^(1/2))/512) + 1))/1152 + (55^(1/2)*(exp(-(3*55^(1/2))/64) + 2*exp(-(3*55^(1/2))/128) + 2*exp(-(3*55^(1/2))/256) + 2*exp(-(9*55^(1/2))/256) + 4*exp(-(3*55^(1/2))/512) + 4*exp(-(9*55^(1/2))/512) + 4*exp(-(15*55^(1/2))/512) + 4*exp(-(21*55^(1/2))/512) + 1))/1152 + (63^(1/2)*(exp(-63^(1/2)/64) + 2*exp(-63^(1/2)/128) + 2*exp(-63^(1/2)/256) + 2*exp(-(3*63^(1/2))/256) + 4*exp(-63^(1/2)/512) + 4*exp(-(3*63^(1/2))/512) + 4*exp(-(5*63^(1/2))/512) + 4*exp(-(7*63^(1/2))/512) + 1))/1152 + 1/24>> double(s)ans =0.670113633359095。

第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。

（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。

令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。

数值分析第五版-李庆扬--课后习题答案第一章绪论1．设某0,某的相对误差为，求ln某的误差。

e某某某某某解：近似值某某的相对误差为=er某某某某1e某而ln 某的误差为eln某某ln某某ln某某某进而有(ln某某)2．设某的相对误差为2%，求某n的相对误差。

解：设f(某)某n，则函数的条件数为Cp|某n某n1|n,Cp|n某f'(某)|f(某)又f'(某)n某n1又r((某某)n)Cpr(某某)且er(某某)为2r((某某)n)0.02n3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个某某某单位，试指出它们是几位有效数字：某11.1021,某20.031,某3385.6,某某某456.430,某571.0.某解：某11.1021是五位有效数字；某某20.031是二位有效数字；某某3385.6是四位有效数字；某某456.430是五位有效数字；某某571.0.是二位有效数字。

某某某某某某某某4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1)某1,(2)某1.某2某4某2某3,(3)某2/某4某某某某其中某1均为第3题所给的数。

,某2,某3,某4解：121某(某2)10321某(某3)10121某(某4)10321某(某5)1012(某1某)104某某某(1)(某1某2某4)某某某(某1)(某2)(某4)1114331010102221.05103某某某(2)(某1某2某3)某某某某某某某某某某1某2(某3)某2某3(某1)某1某3(某2)1111.10210.0311010.031385.61041.1021385.61032220.215某某(3)(某2/某4)某某某某某2(某4)某4(某2)某某24110.03110356.4301032256.43056.4301055计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R时允许的相对误差限是多少？4解：球体体积为VR33则何种函数的条件数为RV'R4R2Cp34VR33r(V某)Cpr(R某)3r(R某)又r(V某)121故度量半径R时允许的相对误差限为r(R某)10.3331783（n=1,2,…）6．设Y028，按递推公式YnYn1100计算到Y100。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n x 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

第1章复习与思考题习题0，依据定义|X*X|/X*|X*-X|=X***X X：按定义求解E(lnX)=|lnX-LnX*|=ln(X/X*)=ln(1-)X|lnX ln*|/lnX*ln(1)/lnX*ln(1)/lnX*按泰勒展开求解，2(x*)=(x*)(x x*)"()(x x*)f f f1(lnX*)|lnX lnX*|lnX*(X X*)**r(lnX*)|lnX lnX*|/ln */ln *X X X X问题是解法1错了吗？ 很小时，ln(1-)=，求n X 的相对误差*0.02*X X ： 按照定义：{(10.02)X*}*(1.02)n n X (X )(X X*)/X* 1.021(10.02)1n n n n n多项式展开，有100.02n n i i：按照泰勒展开11(X X*)*(X X*)nX*(0.02X*)0.02X*)(XX*)/X*0.02*/*0.02n n n n n nn nn nnX nX X n问题是解法1错了吗？10.02n n i i 收敛于（0.02/(1-0.02)= 0.002004008016032064128256释？应该没有错，按照泰勒展开，相当于将误差限放大了。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字* 1.1021x ，0.031x ，385.6，56.430，7 1.0。

解：有4位有效数字；X2有1位有效数字；X3有3位有效数字；X4有1位有效数字**24x x ，*1x x 其中***123x x x ，，，公式（2.3）：1(A*)|()*|(X )n k k kfX 解：******124124()()()()0.510x x x x x x ************1232311321234313()()()()0.031385.60.510 1.1021385.60.510 1.10210.0310.510(0.59768212.48488 1.708255)100.214790815x x x x x x x x x x x x******2*2442244323335(/)1/()/()()1/56.4300.5100.031/(56.430)0.510(10.031/56.430)/56.4300.510=(0.99945064681906787169945064681907)0.5/56.430100.885610x x x x x x x5、计算求体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 所允许的相对误差是多少？解：球的体积公式3V R23(V)3R (R)/R 3(R)/R 0.01r有(R)0.01/3R (R)(R)/1/300r R6、设Y0=28，按递推公式11783100n nY Y ，1,2,3.....n 计算到Y100，若取27.982（解：n n n (Y )(Y Y )，所以(Y )0n 。

数值分析第一次作业及参考答案1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。

（2）构造差商表。

（3）用Newton 插值求二次插值多项式。

解：(1)Lagrange 插值基函数为0(1)(2)1()(1)(2)(01)(02)2x x l x x x +-==-+-+-同理 1211()(2),()(1)36l x x x l x x x =-=+故2202151()()(1)(2)(2)(1)23631i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑（2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为0112155(1)[,]4,[,]20(1)12f x x f x x ---==-==-----0124(2)[,,]102f x x x ---==-22()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求xe 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.xk x f x e fx e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).6fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e heξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤∈-则436((1)(1)100.006.t t th h--+±<<在点取到极大值令 得3.求2()f x x=在［a,b］上的分段线性插值函数()hI x，并估计误差。