第一章
题12给定节点01x =−，11x =，23x =，34x =，试分别对下列函数导出拉格朗日插
值余项：（1）（1）3()432f x x x =−+（2）（2）
43
()2f x x x =−解（1）
(4)()0f x =，由拉格朗日插值余项得(4)0123()
()()()()()()0
4!f f x p x x x x x x x x x ξ−=−−−−=；
（2）
(4)()4!f x =由拉格朗日插值余项得
01234!
()()()()()()
4!
f x p x x x x x x x x x −=
−−−−(1)(1)(3)(4)x x x x =+−−−.题15
证明：对于()f x 以0x ，1x 为节点的一次插值多项式()p x ，插值误差
012
10()()()max ()
8x x x x x f x p x f x ≤≤−′′−≤.
证由拉格朗日插值余项得01()
()()()()2!f f x p x x x x x ξ′′−=
−−，其中0
1x x ξ≤≤，01
0101max ()()()()()()()()
2!2!x x x f x f f x p x x x x x x x x x ξ≤≤′′′′−=−−≤−−01210()max ()
8x x x x x f x ≤≤−′′≤.
题22
采用下列方法构造满足条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式
()p x ：
（1）（1）用待定系数法；
（2）（2）
利用承袭性，先考察插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式
()p x .
解（1）有四个插值条件，故设230123()p x a a x a x a x =+++，2
123()23p x a a x a x ′=++，
代入得方程组
001231123010231
a a a a a a a a a =⎧
⎪+++=⎪⎨
=⎪
⎪++=⎩解之，得0123
0021
a a a a =⎧⎪=⎪⎨
=⎪⎪=−⎩
23()2p x x x ∴=−；
（2）先求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)1p =的插值多项式()p x ，由0为二重零点，
可设2()p x ax =，代入(1)1p =，得1a =，2
()p x x ∴=；
再求满足插值条件(0)(0)0p p ′==，(1)(1)1p p ′==的插值多项式()p x ，可设
22()(1)p x x bx x =+−，2()22(1)p x x bx x bx ′=+−+∵，代入(1)1p ′=，得1b =−，2223()(1)2p x x x x x x ∴=−−=−.
题33设分段多项式
323
2
01
()2112x x x S x x bx cx x ⎧+≤≤=⎨++−≤≤⎩是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数,b c 的值.
解由(1)2S =得212b c ++−=，1b c ∴+=；
22
3201
()6212x x x S x x bx c x ⎧+<<′=⎨++<<⎩，由(1)5S ′=得625b c ++=，21b c ∴+=−；
联立两方程，得2,3b c =−=，
且此时62
01()12212x x S x x b x +<<⎧′′=⎨
+<<⎩，(1)8(1)S S −+′′′′==，
()S x 是以0,1,2为节点的三次样条函数.
题35
用最小二乘法解下列超定方程组：24113532627
x y x y x y x y +=⎧⎪−=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎩.
解记残差的平方和为
2222(,)(2411)(353)(26)(27)f x y x y x y x y x y =+−+−−++−++−令00f x f y ∂⎧=⎪∂⎪⎨∂⎪=∂⎪⎩，得3661020692960x y x y −−=⎧⎨−+−=⎩
，解之得83027311391x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.题37
用最小二乘法求形如2
y a bx =+的多项式，使与下列数据相拟合：
x
1925313844y
19.0
32.3
49.0
73.3
97.8
解拟合曲线中的基函数为0()1x ϕ=，2
0()x x ϕ=，
其法方程组为0001010001(,)(,)(,)(,)(,)(,)f a f b ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎞⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠
⎝⎠，
其中
00(,)5ϕϕ=，0110(,)(,)5327ϕϕϕϕ==，11(,)7277699ϕϕ=，0(,)271.4f ϕ=，
1(,)369321.5f ϕ=，解之得5320.97265472850.055696a b ⎧==⎪⎪⎨
⎪==⎪⎩，2
0.97260.05y x ∴=+.
第二章
题3确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量地高，并指明求积公式所具有的代数精度：
（2）
1
0120
113
()(()()
424
f x dx A f A f A f ≈++∫
（2）从结论“在机械求积公式中，代数精度最高的是插值型的求积公式”出发，
11000013()(224()11133()()
4244x x A l x dx dx −−===
−−∫∫，11
110013()()144()11133()()2424x x A l x dx dx −−===−−−∫∫，
11
220011()242()31313()4442x x A l x dx dx −−===−−∫∫，
10211123()()()(343234f x dx f f f ∴≈−+∫，
当3()f x x =时，有
左边＝1
1
30
01
()d d 4f x x x x ==
∫∫，右边＝
3332111232111231()()()()()()3432343432344f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边＝右边，
当4()f x x =时，有
左边＝1
1
40
01
()d d 5f x x x x ==
∫∫，右边＝44421112321112337()()()()()()3
43234343234192f f f −+=⋅−⋅+⋅=，左边≠右边，所以该求积公式的代数精度为3.
题8已知数据表
x 1.1
1.3 1.5x
e
3.0042
3.6693
4.4817
