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控制系统的数学模型

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二 控制系统的数学模型2-2-1 试建立下图所示各系统的微分方程并说明这些微分方程之间有什么特点，其中电压)(t u r 和位移)(t x r 为输入量；电压)(t u c 和位移)(t x c 为输出量；1,k k 和2k 为弹簧弹性系数；f 为阻尼系数。

【解】：)(a方法一：设回路电流为i ，根据克希霍夫定律，可写出下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰i R u u dt i C u c c r 1 削去中间变量，整理得：dtduRC u dt du RCr c c =+ 方法二：r c c r c u RC u uRC RCs RCsCsR R s U s U =+⇒+=+=11)()( )(b 由于无质量，各受力点任何时刻均满足∑=0F ，则有：c c r kx x x f =-)( r c c x kf x x k f =+⇒)(c ()r r c c r c u u C R u uC R R Cs R R Cs R CsR R Cs R s U s U +=++⇒+++=+++= 221212212)(1111)()( )(d 设阻尼器输入位移为a x ，根据牛顿运动定律，可写出该系统运动方程r r c c a a ca r c r x xk fx x f k k k k x f x x k x x k x x k +=++⇒⎩⎨⎧=--=- 22121221)()()( 结论：)(a 、)(b 互为相似系统，)(c 、)(d 互为相似系统。

四个系统均为一阶系统。

【解】：可利用复阻抗的概念及其分压定理直接求传递函数。

(a) 1212212222212)()(1//)1(//)1()()(R s L C R R LCs R R s LCR R CsR Ls R Cs R LsR Cs s U s U r c ++++=+⨯+++= (b)1)(1)(1)1//(1//1)()(21221122121221122121221111+++++++=++-=s C R C R C R s C C R R s C R C R s C C R R sC R s C R sC R s U s U r c(c) 2121212212)()//(1)//(1)()(R R s L C R R LCs R Ls R Ls R CsR Ls R Cs s U s U r c +++++=+++= (d)sC R Rs C R s C R R sC R s C R s C R sC s U s U r c 121121211//)1(//)1(1//)1(1)()(+⨯++++++=1)2(1221221212212+++++=s RC RC s C C R s RC s C C R2-2-3 工业上常用孔板和差压变送器测量流体的流量。

通过孔板的流量Q 与孔板前小变化，试将流量方程线性化。

【解】：取静态工作点),(00Q P ，将函数在静态工作点附近展开成泰勒级数，并近似取前两项)(2)(21)(000000000P P P k Q Q P P P k Q P P Q Q Q P P -=-⇒-+=-'+==设21P k R =（R 为流动阻力），并简化增量方程为 P RQ 1=2-2-4 系统的微分方程组为：【解】：对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换得：)()()()()()()()()()()()(322323211211s X k s C s sC T s C k s X s X s X s X k s sX T s C s R s X =+-=-=-=绘制方框图题2-2-4图传递函数为)1()()()(23211231221221++++++=k k k k s T k k T T s T T k k s R s C【解】：利用理想运算放大器及其复阻抗的特性求解。

)1()()(1//)(1)()(211221121122sC R s C R C C R R s U s U sC R s U s C R s U a r c r c +++-=⇒-=+ 11)()()(1//)()(21212+⋅-=⇒-=Cs R R R s U s U R s U CsR s U b r c r c(a ) (b )(c)(d)题2-2-6图(a【解】：)(1)(2)(3)(4)（b）(1)(2)(3)(4)（c）(1)(2)(3)(4)(d)(1)(2)(3)(4)【解】：（a ）（1）该图有一个回路)1(301)1(301+-=∆⇒+=s s s s l （2）该图有三条前向通路)1(301101)1(104321+=+==+=s s P s P s P s s P 所有前向通路均与1l 回路相接触，故14321=∆=∆=∆=∆。

（3）系统的传递函数为304111)(1)()()(244332211-++=∆+∆+∆+∆∆==s s s P P P P s R s C s G （b ）（1）为简化计算，先求局部传递函数)()()(s E s C s G ='。

该局部没有回路，即1=∆， 有四条前向通路：43444321332221111G G P G G G G P P G G P =∆-=∆-=∆=∆所以 1)(43214321--+='G G G G G G G G s G（2） 43214321432143211)(1)()()()(G G G G G G G G G G G G G G G G s G s G s R s C s G -+--+='+'==2-2-8 设线性系统结构图如题2-2-8图所示，试（1） 画出系统的信号流图； （2）【解】：（1） 系统信号流图如图：1-（2） ① 求传递函数)()(1s R s C 。

令0)(2=s R 。

有三个回路：)1()2)(1(21321+-=++=+-=s s Kl s s Kl s l 1l 和3l 互不接触：)2)(1(31++=s s s Kl l因此 )2)(1()1()2)(1(211+++++++-++=∆s s s Ks s K s s K s 有三条前向通路：1)2)(1()1(1112211=∆++-=++=∆+=s s s KP s s K s P1)2)(1(33=∆++-=s s KPKs s s K s s s R s C 334)1()()(2321+++-+= ② 求传递函数)()(2s R s C 。

令0)(1=s R 。

求解过程同①，∆不变。

11211)1(2211=∆+=++=∆+=s K P s s s K PKs s s s s K s R s C 334)33()()(2322+++++= 2-2-9 系统的动态结构图如图所示，试求【解】：（1）根据梅森增益公式得3212321321321)1(1)1()()(k k k s Ts k k k Ts s k k k Ts s k k k s R s C ++=+++= 32124332132143321)()1(11)1()()()(k k k s Ts sk k s G k k k Ts s k k k Ts k k Ts s k k k s G s N s C c c ++-=+++-+= （2）根据题意21443321)(0)(0)()(k k s k s G s k k s G k k k s N s C c c =⇒=-⇒=题2-2-10图【解】：根据梅森增益公式得：1)1()1(1)1(11111)1()()(23232323=++++++++=++++++++-+++=ss Ks s K s s Ks s K s s K s s K ss Ks s s s s s K s R s C ττττττ【解】：（1）对微分方程组进行零初始条件下的Laplace 变换,并加以整理得)()()()()()(10211s X K t X sN K s sC s R s X =+-=τ)(1)()()()()(34523s X Tss X s X s N s X s X =--=)(11)()()()(545s X s s C s C s X s X +=-=（2题2-2-11解图（3）求传递函数)()(s R s C ，令0)(=s N1)12()1(1111)1()()(02000++++=++++++=s K T Ts K s Ts s K s Ts s Ts K s R s C ττ （4）求传递函数)()(s N s C ，令0)(=s R 1)12(1)1(1111)1(1)1()()(0210010++++-=++++++-=s K T Ts K K s Ts s K s Ts s Ts K K s N s C ττ题2-2-12图【解】：（1）求)()(,)()(s R s E s R s C 。

令0)(0)(==s F s N 6323213211)()(G G G G G G G G G s R s C ++=63232163211)()(G G G G G G G G G s R s E +++=（2）求)()(,)()(s N s E s N s C 。

令0)(0)(==s F s R 632321321)()(G G G G G G G G s N s C ++=632321321)()(G G G G G G G G s N s E ++-= （3）求)()(,)()(s F s E s F s C 。

令0)(0)(==s N s R6323214353211)()(G G G G G G G G G G G G s F s C +++=6323214353211)()(G G G G G G G G G G G G s F s E +++-=（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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控制工程基础第一章控制系统的数学模型

控制工程基础第一章控制系统的数学模型


(t)
m dt
m
1a
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c
式中，
Tm
Ra
Ra J m f m CmCe
为电动机机电时间常数,s；
K1
Ra
f
Cm
C C
m
me
K2
Ra
f
Ra
C C
m
me
为电动机传递系数。
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计，式（1-9）
还可进一步简化为
C u (t) (t)
em
a
这时，电动机的转速ωm(t)与电枢电压ua(t)成正比，于是电动机可作为
（1）运算放大器Ⅰ。输入量（即给定电压）ug与速度反馈电压uf在此 合成产生偏差电压并经放大，即
u1 K1(ug u f )
式中，
K1
R2 R3
为运算放大器Ⅰ的比例系数。
（2）运算放大器Ⅱ。考虑RC校正网络，u2与u1之间的微分方程为
u2
K（2
d u1
dt
u1）
式中，K 2
R5 R4
为运算放大器Ⅱ的比例系数；τ=R4C为微分时间常数。
m
(t) (t) (t)
m dt
mm
m
c
式中，fm为电动机和负载折合到电动机轴上的黏性摩擦系数；Jm为电
动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量。
由式（1-5）、式（1-6）和式（1-7）中消去中间变量ia(t)、Ea及
Mm(t)，便可得到以ωm(t)为输出量，以ua(t)为输入量的直流电动机微
分方程，即
按照其建立的条件，数学模型可分为两种。一是静态数学模型： 静态条件（变量各阶导数为零）下描述变量之间关系的代数方程。 它反映了系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间的关系。二 是动态数学模型：动态条件（变量各阶导数不为零）下描述变量各 阶导数之间关系的微分方程；也可定义为描述实际系统各物理量随 时间演化的数学表达式。它反映了动态系统瞬态与过渡态的特性。 本章以动态数学模型的研究为主。
控制系统的数学模型

控制系统的数学模型


[(s
s1 ) m
F (s)]
13
当无重根时：
则：
F(s) C1 C2 Ci
Cn
n
Ci
s s1 s s2
s si
s sn i1 s si
f
(t)
L1[F(s)]
n
L1[
i 1
Ci s si
]
n i1
Ci e si t
其中：
Ci
lim (s
ssi
si ) F(s)
或
B(s)
Ci A' (s) |ssi
例：求F(s)的原函数
F (s)
s2
s
3 2s
2
解：分母多项式的根为： s1 1 j1 ,
s2 1 j1
方法一、F(s)可表示为
F(s)
s3
C1 C2
(s 1 j)(s 1 j) s 1 j s 1 j
其中：
C1
lim (s
s1 j
1
j)
(s
1
s3 j)(s 1
L[eat f (t)] F(s a)
例:
f(t) 1
t1 t2
f (t)=1(t-t1)-1(t-t2)
L[ f (t)] L[1(t t1)] L[1(t t2 )]
t
e t1s 1 e t2s 1
s
s
例:
f (t) e2t cos 3t
L[
f
(t
)]
(s
s2 2)2
9
四、拉氏反变换 拉氏反变换的定义如下
三、拉氏变换基本法则
1. 线性法则： 设：F1(s)=L[f1(t)]， F2(s)=L[f2(t)]，a和b为常数，则
第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】

第二章-控制系统的数学模型【可编辑全文】


Z2
减速器
J Lc fL
负载
r
操纵手柄
W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
W1
W2 位置随动系统结构图绘制
r (s)
U(rs)
m (s)
1 r
操纵手柄
k
Ut (s)
1
i
kW1
Urr (s)
U(s)
c
(s)
uε
E
ur uε
ut
cc (s) k Uc (s) Ur (s) Uc(s) U
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
Kt U(s)
ut (t)
Kt
d (t)
dt
Ut (s) Ks(s)
G(s)
Ut (s) (s)
Kt
s
(s)
U (s)
Kts
典型元部件的传递函数
直流电动机：
Tm
dm (t)
dt
m (t)
K1ua (t)
K2Mc (t)
Tm
dm (t)
dt
m
(t)
K1ua
(t)
Tm
X3(s)=X2(s)+R(s)G4(s)+N(s)G3(s)
G4(s)
N(s) G3(s)
R(s)
E(s) X1(s) G1(s) X2(s)
X3(s) G2(s) X4(s) C(s)
C(s)
H(s) X4(s)
)
C(s)
C(s)
T2
X1(s) N(s) C(s) sX2(s) k1R(s) T2C(s)
第二章控制系统的数学模型.

第二章控制系统的数学模型.


2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9