系统数学模型
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Jm：电动机和负载折合到电动机轴上的转动惯量； fm: 电动机和负载折合到电动机轴上的粘性摩擦系数
+
L
+
ur(t)
_
i(t)
C
uc(t)
_
R
L C
依据电学中的基尔霍夫定律
ur(t) di (t ) ur (t ) Ri (t ) L uc (t ), （） 1 dt i(t)
uc(t)
1 uC (t ) i (t ) dt , C
(2)
duC (t ) i (t ) C dt
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
(1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡 方程式为 其中
dia (t ) ua (t ) La Ra ia (t ) Ea (t ) dt
Ea (t ) Cem (t ),电枢反电势, 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压相反
【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。
电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速ωm(t)作为输 出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是 折合到电动机轴上的总负载转矩。
La Ra
-
+
ua -
+ uf SM
ia
Ea +
负载
m
Jm
fm
注：电能转化为机械能，由输入的电枢电压ua在电枢回路中产生电枢电流ia， 再由ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm，从而带动负载运动。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧
阻尼系数f 阻尼器
首先：确定输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据
牛顿第二定律
弹簧的弹力F 1 kx(t ) 阻尼器的阻力F2 fx(t )
F(t) F1(t) x(t)位移
F ma
k
弹簧
m
F2(t)
阻尼系数f 阻尼器
F1为弹簧弹力，方向与运动方向相反，大小与位移成比例，K是弹性 系数。F2是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，大小与运动 速度成比例；f是阻尼系数。
§信息控制类专业重要的专业基础课之一§
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析 与设计的基础。
Ce是反电势系数
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
wk.baidu.com
(2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：
M m (t ) Cmia (t )
C m 为转矩系数
(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为
dm (t ) Jm M m (t ) M c (t ) f mm (t ) dt
2.数学模型的研究意义
能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性 能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运 动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。 以一个模型分析一类系统。
3.数学模型的种类
静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程
微分方程数学模型的标准形式
讨论：
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械 平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完 全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同 的数学模型来描述。（相似系统）
(2)式两边求导消去中间变量i(t)
duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。
但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计
算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系 统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般 情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于 简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求 准确性，使系统的数学模型过于复杂。
微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运 动，必须列写系统的微分方程。
列写微分方程的基本步骤：
1) 确定系统的输入量和输出量 2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传 递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各 环节的线性化原始方程。
3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分 方程式，并且化为标准形式（与输入量有关的项写在 方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方 程两端变量的导数项均按降幂排列）
4.数学模型的建立方法
分析法（白箱模型） 对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化 学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛 顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型） 人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用 恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系 统辨识
综合法（灰箱模型）
F ma
a x(t ) F F (t ) F1 F2
F (t ) kx(t ) fx(t ) mx(t )
机械平移系统的微分方程为：
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程 的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由 高到低排列 。
数学模型的形式
时域（t）
： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系
线性系统
传递函数
拉氏 变换
微分方程
傅氏 变换
频率特性
§2-2 控制系统时域模型
1.微分方程的建立
【例1】RLC电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下 电容上电压uc(t)的变化。 R
+
L
+
ur(t)
_
i(t)
C
uc(t)
_
R
L C
依据电学中的基尔霍夫定律
ur(t) di (t ) ur (t ) Ri (t ) L uc (t ), （） 1 dt i(t)
uc(t)
1 uC (t ) i (t ) dt , C
(2)
duC (t ) i (t ) C dt
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
(1) 根据基尔霍夫定律，电枢绕组的电压平衡 方程式为 其中
dia (t ) ua (t ) La Ra ia (t ) Ea (t ) dt
Ea (t ) Cem (t ),电枢反电势, 其大小与激磁磁通及转速成正比，方向与电枢电压相反
【例3】 求电枢控制直流电动机的微分方程。
电枢电压ua(t)作为输入量，电机转速ωm(t)作为输 出量. Ra La 分别是电枢电路的电阻和电感；Mc是 折合到电动机轴上的总负载转矩。
La Ra
-
+
ua -
+ uf SM
ia
Ea +
负载
m
Jm
fm
注：电能转化为机械能，由输入的电枢电压ua在电枢回路中产生电枢电流ia， 再由ia与激磁磁通相互作用产生电磁转矩Mm，从而带动负载运动。
k
F(t)
x(t)位移
m
弹簧
阻尼系数f 阻尼器
首先：确定输入F(t),输出x(t) 其次：理论依据
牛顿第二定律
弹簧的弹力F 1 kx(t ) 阻尼器的阻力F2 fx(t )
F(t) F1(t) x(t)位移
F ma
k
弹簧
m
F2(t)
阻尼系数f 阻尼器
F1为弹簧弹力，方向与运动方向相反，大小与位移成比例，K是弹性 系数。F2是阻尼器的阻尼力，其方向与运动方向相反，大小与运动 速度成比例；f是阻尼系数。
§信息控制类专业重要的专业基础课之一§
自动控制原理
——第二章系统数学模型
第二章 控制系统的数学模型
2-1 引言 2-2 微分方程（时域模型） 2-3 传递函数（复域模型） 2-4 结构图和信号流图（图形描述） 2-5 小结
§2-1 引言
1.数学模型的概念
描述系统内部变量之间关系的表达式，自控系统分析 与设计的基础。
Ce是反电势系数
La + ua ia
Ra
-
Ea +
SM
+ uf -
负载
m
Jm f m
wk.baidu.com
(2) 电磁转矩 Mm与电枢电流成正比：
M m (t ) Cmia (t )
C m 为转矩系数
(3) 电机轴上的转矩平衡方程式为
dm (t ) Jm M m (t ) M c (t ) f mm (t ) dt
2.数学模型的研究意义
能够比定性分析更加精细准确，从理论上对系统的性 能进行定量的分析和计算。 许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运 动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示。 以一个模型分析一类系统。
3.数学模型的种类
静态模型：静态条件下各变量之间的关系 动态模型：描述变量各阶导数关系的微分方程
微分方程数学模型的标准形式
讨论：
(t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
这两个式子很相似，故可用电子线路来模拟机械 平移系统，这也证明了我们前面讲到的，看似完 全不同的系统，具有相同的运动规律，可用相同 的数学模型来描述。（相似系统）
(2)式两边求导消去中间变量i(t)
duC (t ) d 2 u C (t ) u r (t ) RC LC u C (t ) 2 dt dt
整理成规范形式 (t ) RCuC (t ) uC (t ) ur (t ) LCuC
【例2】建立下面机械平移系统的数学模型 求在外力F(t)作用下，物体的运动轨迹。
但实际上有的系统还是了解一部分的，可以分析计
算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系 统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般 情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于 简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求 准确性，使系统的数学模型过于复杂。
微分方程是控制系统最基本的数学模型，要研究系统的运 动，必须列写系统的微分方程。
列写微分方程的基本步骤：
1) 确定系统的输入量和输出量 2) 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传 递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各 环节的线性化原始方程。
3) 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分 方程式，并且化为标准形式（与输入量有关的项写在 方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方 程两端变量的导数项均按降幂排列）
4.数学模型的建立方法
分析法（白箱模型） 对系统各部分的运动机理进行分析，根据物理、化 学规律列写相应的运动方程，如基尔霍夫定律、牛 顿定律、热力学关系等等 实验法（黑箱模型） 人为给系统施加某种测试信号，记录其响应，并用 恰当的数学模型进行逼近，形成一个独立学科：系 统辨识
综合法（灰箱模型）
F ma
a x(t ) F F (t ) F1 F2
F (t ) kx(t ) fx(t ) mx(t )
机械平移系统的微分方程为：
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
注意：写微分方程时，常习惯于把输出写在方程 的左边，输入写在方程右边，而且微分的次数由 高到低排列 。
数学模型的形式
时域（t）
： 微分方程 复域（s）： 传递函数 频域（w）：频率特性
三种数学模型之间的关系
线性系统
传递函数
拉氏 变换
微分方程
傅氏 变换
频率特性
§2-2 控制系统时域模型
1.微分方程的建立
【例1】RLC电路如下图，分析输入电压ur(t)作用下 电容上电压uc(t)的变化。 R