2018年高中数学必修一学案 人教版A版 第二单元 习题课 基本初等函数(Ⅰ) Word版含答案

习题课 基本初等函数(Ⅰ)
学习目标 1.能够熟练进行指数、对数的运算(重点).2.进一步理解和掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质，并能应用它们的图象和性质解决相关问题(重、难点)．
1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )
A ．0.76<60.7<log 0.76
B ．0.76<log 0.76<60.7
C ．log 0.76<60.7<0.76
D ．log 0.76<0.76<60.7
解析 由指数函数和对数函数的图象可知：60.7>1,0<0.76<1，log 0.76<0，∴log 0.76<0.76<60.7，故选D ．
答案 D
2．已知0<a <1，－1<b <0，则函数y ＝a x ＋b 的图象必定不经过( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析 因为0<a <1，所以函数y ＝a x 的图象过(0,1)，且过第一、二象限，又－1<b <0，所以函数y ＝a x ＋b 的图象可认为是由y ＝a x 的图象向下平移|b |个单位得到的，所以函数y ＝a x ＋b 的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
答案 C
3．12lg 32－43lg 8＋lg 5＝________. 解析 原式＝12lg 25－43lg 232＋lg 512＝52lg 2－2lg 2＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12
lg 10＝12
. 答案 12
4．函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋7)的值域是________．
解析 ∵－x 2＋2x ＋7＝－(x －1)2＋8≤8，
∴log 2(－x 2＋2x ＋7)≤log 28＝3，故f (x )的值域是(－∞，3]．
答案 (－∞，3]
类型一 指数与对数的运算
【例1】 计算：
(1)2log 32－log 3329
＋log 38－5log 53； (2)0.064－13 －⎝⎛⎭
⎫－780＋[(－2)3]－43 ＋16－0.75＋0.0112 .
解 (1)原式＝log 322×8329
－3＝2－3＝－1. (2)原式＝0.43×()－13 －1＋2－
4＋24
×⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－34 ＋0.1＝52－1＋116＋18＋110＝14380. 规律方法 指数、对数的运算应遵循的原则
(1)指数的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算；其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的；
(2)对数的运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明的常用技巧．
【训练1】 计算： (1)3(－4)3－⎝⎛⎭⎫120＋0.2512 ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－4； (2)log 34
273＋2log 510＋log 50.25＋71－log 7
2. 解 (1)原式＝－4－1＋12
×(2)4＝－3. (2)原式＝log 333
4 3＋log 5(100×0.25)＋7÷7log 72＝log 33－14 ＋log 552＋72＝－14＋2＋72＝214
. 类型二 指数、对数型函数的定义域、值域
【例2】 (1)求函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 2
－2x ＋2(0≤x ≤3)的值域； (2)已知－3≤log 12
x ≤－32，求函数f (x )＝log 2x 2·log 2x 4的最大值和最小值． 解 (1)令t ＝x 2－2x ＋2，则y ＝⎝⎛⎭
⎫12t .又t ＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1,0≤x ≤3，∴当x ＝1时， t min ＝1；当x ＝3时，t max ＝5.故1≤t ≤5，
∴⎝⎛⎭⎫125≤y ≤⎝⎛⎭⎫121，故所求函数的值域为⎣⎡⎦
⎤132，12. (2)∵－3≤log 12
x ≤－32，∴32≤log 2x ≤3， ∴f (x )＝log 2x 2·log 2x 4
＝(log 2x －1)(log 2x －2)＝(log 2x )2－3log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎫log 2x －322－14. 当log 2x ＝3时，f (x )max ＝2，当log 2x ＝32
时， f (x )min ＝－14
. 规律方法 函数值域(最值)的求法
(1)直观法：图象在y 轴上的“投影”的范围就是值域的范围．
(2)配方法：适合二次函数．
(3)反解法：有界量用y 来表示．如y ＝1－x 21＋x 2中，由x 2＝1－y 1＋y
≥0可求y 的范围，可得值域． (4)换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，特别注意新变量的范围．
(5)单调性：特别适合于指、对数函数的复合函数．
【训练2】 (1)函数f (x )＝3x 2
1－x
＋lg (3x ＋1)的定义域是________． (2)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 解析 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x >0，3x ＋1>0，
lg (3x ＋1)≥0，
解得0≤x <1，
则f (x )的定义域是[0,1)．
(2)当x ≥1时，log 12 x ≤log 12 1＝0，当x <1时，0<2x <21＝2，
所以f (x )的值域为(－∞，0]∪(0,2)＝(－∞，2)．
答案 (1)[0,1) (2)(－∞，2)
类型三 指数函数、对数函数、幂函数的图象问题
【例3】 (1)若log a 2<0(a >0，且a ≠1)，则函数f (x )＝a x ＋1的图象大致是( )
(2)当0<x ≤12
时，4x <log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫0，22 B ．⎝⎛⎭⎫22，1 C ．(1，2)
D ．(2，2) 解析 (1)由log a 2<0(a >0，且a ≠1)，可得0<a <1，函数f (x )＝a x ＋1＝a ·a x ，故函数f (x )在R 上是减函数，且经过点(0，a )，故选A ．
(2)∵0<x ≤12
时，1<4x ≤2，要使4x <log a x ，由对数函数的性质可得0<a <1，数形结合可知
只需2<log a x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，log a a 2<log a x ，即⎩⎪⎨⎪⎧
0<a <1，a 2>x 对0<x ≤12时恒成立， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，a 2>12，解得22<a <1，故选B ． 答案 (1)A (2)B
规律方法 函数图象及应用
(1)根据函数解析式特征确定其图象时，一般要从函数的性质(如单调性、奇偶性)和函数图象所过的定点，或函数图象的变换等几个方面考虑，若是选择题，还要结合选择题的排除法求解．
(2)判断方程根的个数、求参数问题，若不能具体解方程或不等式，则一般转化为判断指数函数、对数函数、幂函数等图象交点个数问题．
【训练3】 (1)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2(x <0)，2x －1(x ≥0)的图象大致是( )
(2)已知a >0且a ≠1，函数y ＝|a x －2|与y ＝3a 的图象有两个交点，则a 的取值范围是________．
解析 (1)当x <0时，y ＝x 2的图象是抛物线的一部分，可排除选项C 和D ；当x ≥0时，y ＝2x －1的图象是由y ＝2x 的图象向下平移一个单位得到，故排除A ，选B ．
(2)当a >1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，因为a >1，所以3a >3，故两函数图象只有一个交点．
当0<a <1时，在同一坐标系中作出函数y ＝|a x －2|和y ＝3a 的图象，若使二者有两个交点，
则0<3a <2，即0<a <23，。