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4. 作出决策：若F >F , 拒绝H0，认为能源
消耗量与工业总产值两变量间的线性相关 关系是显著的.
离差来源
平方和
自由度 F值
回归 剩余
SSR 1676.3876
SSE 84.5499
1 14
F 277.5808
总计 SS 2105.75
15
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三、利用回归方程进行估计和预测
点估计
1. 对于自变量x的一个给定值x0,根据回归 方程得到因变量 y 的一个估计值 yc
2. 点估计值有
y 的平均值的点估计 y 的个别值的点估计
3. 在点估计条件下，平均值的点估计和个别
值的的点估计是一样的，但在区间估计中
则不同
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y 的平均值的点估计
利用估计的回归方程,对于自变量x 的一 个给定值x0,求出因变量y的平均值的一个 估计值E(y0) ,就是平均值的点估计
① 提出原假设与备择假设：
H0 : 0; H1 : 0
2
② 构造检验统计量
t b ~ t(n 2) S(b)
其中，S(b) Se 1 ( xi x)2为b的样本方差，
(xi
x)2
nS
2 x
xi2 (
xi )2 n
给定显著性水平α,这是t分布的双侧检验,查
表计算出临界值 t 2(n 2),得出拒绝域;
检验两变量是否线性相关的另一种方法是方差分 析,它是建立在对总离差平方和如下分解的基础上：
yi y 2 nS y2 yi2 ( yi )2 n
SSE SS bnSxy SS b[ xi yi xi yi n ]
值的估计值 yc ,就是个别值的点估计.
– 例如，如果我们只是想知道能源消耗量为 80万吨的工业总产值是多少，则属于个别 值的点估计 。根据估计的回归方程得
yc 6.5142 0.7961 80 57.1738(亿元)
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区间估计
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区间估计
1. 点估计不能给出估计的精度，点估计值与 实际值之间是有误差的，因此需要进行区 间估计
1
( xi x)2
2.457
1 2645
0.0478
3.t 2(n 2) t0.025(14) 2.1448 16.6548, 所以拒绝原假
设,表示Y 与X 之间存在显著的线性关系,即能源消耗量
与工业总产值之间存在显著的线性相关关系.
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二.回归方程的显著性检验(方差分析(F检验))
第三节 线性回归的显著性 检验及回归预测
在回归分析中,要检验因变量Y与自变量 X之间到底有无真正的线性关系,可以通过 回归系数的显著性检验(t检验)或回归方程 的显著性检验(F检验)来判断.
1
一、回归系数的显著性检验
回归系数显著性检验的目的是通过检验回 归系数β的值与0是否有显著性差异，来判断Y 与X之间是否有显著的线性关系.若β=0,则总体 回归方程中不含X项(即Y不随X变动而变动),因 此,变量Y与X之间并不存在线性关系;若β≠0,说 明变量Y与X之间存在显著的线性关系.
③根据已知条件实际计算统计量F的值；
④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
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方差分析——把总离差平方和及其自由度进行分 解,利用F统计量检验两变量间线性相关显著性的 方法称为方差分析.方差分析的结果归纳如下：
一元线性回归的方差分析表
离差来源
平方和
自由度 F值
回归 剩余
SSR
yci y 2
SSE
yi yci 2
1 n-2
F SSR SSE (n 2)
总计 SS yi y 2 n-1
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线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0;
2. 计算检验统计量F
H1 : 0
SS yi2 ( yi )2 n 26175 (625)2 16 1760.9375 nSxy xi yi ( xi yi ) n 37887 (916 625) 16
① 提出原假设与备择假设：
H0 : 0; H1 : 0
② 构造检验统计量
i.构造 2分布统计量：
SSR
2
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~
2(1),
SSE
2
~
2(n 2),
6
ii.构造统F分布计量：
F
SSR
2
1
SSR
~ F (1, n 2)
SSE
2
(n 2)
SSE (n 2)
给定显著性水平α,查表计算出临界值 F (1, n , 2) 得出拒绝域 (F (1, n 2), ).
SSR SS SSE bnSxy
SS, SSE , SSR依赖：b
xi2 xi yi a a ybx
xi 0
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注意：三个平方和SS
,
SSE
,
SS
的自由度分别记为
R
f , fE , fR ,则它们之间也有等式成立：
f fE fR
且：f n-1, fE n 2,则fR f fE 1.
– 在能源消耗量与工业总产值的例子中， 假如我们要估计能源消耗量为78十万吨 的平均工业总产值，那么将78十万吨代 入估计的回归方程，就得到了工业总产 值的点估计：
E( y0 ) 6.5142 0.7961 78 55.5816(亿元)
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y 的个别值的点估计
• 利用估计的回归方程,对于自变量x的 一个给定值x0,求出因变量y的一个个别
2105.75
SSR bnSxy 0.7961 2105.75 1676.3876
SSE SS SSR 84.5499
F SSR 1676.3876 277.5808
SS 2020/4/30
E
(n 2)
84.5499 14
9
3. 确定显著性水平=0.05，并根据分子自由 度1和分母自由度14找出临界值F =4.60
③根据已知条件实际计算统计量t的值；
④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
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回归系数的检验 (例题分析)
• 对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
1. 提出假设 H0 : 0; H1 : 0
2. 计算检验的统计量
t Se
b
0.7961 0.7961 16.6548
2. 对于自变量 x 的一个给定值 x0，根据回归 方程得到因变量 y 的一个估计区间
