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线性回归的显著性检验

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第三节 线性回归的显著性检验及回归预测

第三节 线性回归的显著性检验及回归预测
i
xy
i
n
]
2 b x i x i yi a x i 0 SS , SS E , SS R依赖： a y bx
5
注意：三个平方和SS , SS E , SS R的自由度分别记为 f , f E , f R , 则它们之间也有等式成立： f fE fR 且：f n-1, f E n 2, 则f R f f E 1.
2
x
i 1
n
i
x
2
式中：se为回归估计标准差
置信区间估计(例题分析)
【例】求出工业总产值的点估计为100亿元时， 工业总产值95%置信水平下的置信区间. yc 100 解：根据前面的计算结果,已知n=16， • se=2.457，t(16-2)=2.1448 • 置信区间为 1 (73 57.25)2
一元线性回归的方差分析表
离差来源 平方和 自由度 F值 SS R 回 归 SS y y 2 1 F R ci SS E 2 剩余 n-2
SS E yi yci
( n 2)
总计
SS yi y
2
n-1
8
线性关系的检验(例题分析)
1. 提出假设 H0 : 0; 2. 计算检验统计量F
i
(x
x ) nS xi
2 2
( xi )
2
③根据已知条件实际计算统计量t的值； ④ 比较②与③中的计算结果,得到结论.
3
回归系数的假设
b Se 1
对例题的回归系数进行显著性检验(＝0.05)
H0 : 0;

i
H1 : 0

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法

对多元线性回归模型的各种检验方法对于形如u X X X Y k k +++++=ββββ 22110 （1） 的回归模型，我们可能需要对其实施如下的检验中的一种或几种检验：一、 对单个总体参数的假设检验：t 检验在这种检验中，我们需要对模型中的某个（总体）参数是否满足虚拟假设0H ：j j a =β，做出具有统计意义（即带有一定的置信度）的检验，其中j a 为某个给定的已知数。

特别是，当j a =0时，称为参数的（狭义意义上的）显著性检验。

如果拒绝0H ，说明解释变量j X 对被解释变量Y 具有显著的线性影响，估计值j βˆ才敢使用；反之，说明解释变量j X 对被解释变量Y 不具有显著的线性影响，估计值j βˆ对我们就没有意义。

具体检验方法如下：（1） 给定虚拟假设 0H ：j j a =β；（2） 计算统计量 )ˆ(ˆ)ˆ()(ˆjj j j j j Se a Se E t βββββ-=-= 的数值； 11ˆ)ˆ(++-==j j jj jj j C C Se 1T X)(X ，其中σβ（3） 在给定的显著水平α下（α不能大于1.0即 10%，也即我们不能在置信度小于90%以下的前提下做结论），查出双尾t （1--k n ）分布的临界值2/αt ；（4） 如果出现 2/αt t >的情况，检验结论为拒绝0H ；反之，无法拒绝0H 。

t 检验方法的关键是统计量 )ˆ(ˆj jj Se t βββ-=必须服从已知的t 分布函数。

什么情况或条件下才会这样呢？这需要我们建立的模型满足如下的条件（或假定）：（1） 随机抽样性。

我们有一个含n 次观测的随机样(){}n i Y X X X i ik i i ,,2,1:,,,,21 =。

这保证了误差u 自身的随机性，即无自相关性，0))())(((=--j j i i u E u u E u Cov 。

（2） 条件期望值为0。

给定解释变量的任何值，误差u 的期望值为零。

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法

多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。

然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。

下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。

首先是模型的整体显著性检验。

在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。

常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。

F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。

若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。

通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。

显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。

通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。

其次是模型的参数估计检验。

在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。

通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。

t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。

与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。

通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。

另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。

相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。

Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。

取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。

Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。

取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。

最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。

回归分析(2))回归方程的检验

回归分析(2))回归方程的检验

x1 x 2
2 7 5 12 l 3 3 6 7 0 3 0 8 6 0 3 7 16 6 0 9 4 0 9 2 18 9 14 3 20 12 17 5 8 23 16 18 4 14 21 14 12 0 16 15 0 6 17 0 16
编 号
26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

1 1 ij ij
§2.5 线性回归模型预测精度估计

通过对模型及变量的显著性检验后，我们可 用所建立的回归模型进行预测或控制。但用模 型进行预测，所得结果的精度如何?即真值 （实际值）与模型预测值的误差有多大?这是 我们关心的问题，应该作出估计，为此给出剩 余标准差
r剩 S剩 /(n r 1)
2 i 1 i 1 i 1
n
n
§ 2.4 回归方程的显著性检验——方差分析
ˆ ˆ 其中， ( yi yi )( yi y ) 0 ，事实上，由式（2.8)
i 1 n
可知
y b0 b1 x1 b2 x2 bm xm
ˆ yi y b0 b1 xi 1 b2 x i 2 bm xim (b0 b1 x1 bm x m ) b1 ( xi 1 x1 ) b2 ( xi 2 x2 ) bm ( xim xm )
§ 2.4 回归方程的显著性检验及精度估计
此外，在检验得知线性回归方程是显著之后， 我们还可以进一步判断在线性回归方程中， y x1 , x2 ,是影响 的重要变量， , xm 哪些变量 哪些变量是不重要变量，由此分析可对回归 方程作更进一步简化，从而得到最优回归方 x1 , x2要 , xm , 程。这就是所谓的对每个变量 进行显著性检验问题。

线性回归的显著性检验

线性回归的显著性检验

线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量x1,x2/ ,x p之间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量人〃2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。

因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。

设随机变量丫与多个普通变量X j,X2,…，X p的线性回归模型为其中；服从正态分布N（o,；「2）对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i, X2，…，X p从整体上对随机变量y是否有明显的影响。

为此提出原假设如果H。

被接受，则表明随机变量y与X i，X2，…，X p的线性回归模型就没有意义。

通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。

正态随机变量y i, y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：n n nS r八（y i -y）2为总的偏差平方和，S R八（场-y）2为回归平方和，S E八（y i-?）2为残i 1i £i A差平方和。

因此，平方和分解式可以简写为：回归平方和与残差平方和分别反映了 b = 0所引起的差异和随机误差的影响。

构造F检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下，当原假设H°:b1 =0, d =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n - p「1）的F 分布。

对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。

，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。

R定义实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。

复相关系数为:平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为O^R^I。

R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。

2•回归系数的显着性若方程通过显着性检验，仅说明bog,b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。

一元线性回归,方差分析,显著性分析

一元线性回归,方差分析,显著性分析
F0.10 (1, N 2) F F0.05 (1, N 2), 回归在的水平上显著。
F F0.10 (1, N 2), 回归不显著。 （三）残余方差与残余标准差 残余方差：排除了 x 对 y 的线性影响后，衡量 y 随机波动的特征量。
2 Q N 2
残余标准差：
Q N 2
含义： 越小，回归直线的精度越高。
lxx
N t 1
( xt
x)2
N t 1xt 21 NN Nhomakorabea(
t 1
xt )2
N
N
1N
N
lxy
t 1
( xt
x)( yt
y)
t 1
xt yt
N
(
t 1
xt )(
t 1
yt )
lyy
N t 1
( yt
y)2
N t 1
yt 2
1( N N t1
yt )2
二、回归方程的方差分析及显著性检验 问题：这条回归直线是否符合 y 与 x 之间的客观规律回归直线的预报精度
N
U ( yt y)2 blxy ，U 1 t 1
N
Q ( yt yˆt )2 lyy blxy ， Q N 2 t 1
U—回归平方和，反映总变差中由于 x 和 y 的线性关系而引起 y 变化的部分。
Q—残余平方和，反映所有观测点到回归直线的残余误差，即其它因素对 y 变差 的影响。 （二）回归方程显著性检验— F 检验法 基本思路：方程是否显著取决于 U 和 Q 的大小，U 越大 Q 越小说明 y 与 x 的线 性关系愈密切。 计算统计量 F
常称它为自变量或控制变量，y 为随机变量，常称其为因变量或响应变量。通过 散点图或计算相关系数判定 y 与 x 之间存在着显著的线性相关关系，即 y 与 x 之 间存在如下关系：

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验


ˆ b ˆ X b ˆY ˆ b Y t 0 1 t 2 t 1 ˆ b ˆ X b ˆ Y b ˆY ˆ b Y
t 0 1 t 2 t 1
3 t 2
其中t为当前期变量，t-k称为k期滞后变量。
1) 使用软件估计模型
将之前已经建立的Workfile文件打开 点击菜单中的“Quick”→“Estimate Equations”
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
Yi b0 b1 X1i b2 X 2i bk X ki ui
样本回归方程为：
ˆ b ˆ X b ˆ X b ˆ X ˆ b Y i 0 1 1i 2 2i k ki
我们将Yi与其平均值Y之间的离差分解如下 ˆ ) (Y ˆ Y ) Y Y (Y Y
B)调整后的拟合优度(样本决定系数)
RSS n k 1 n 1 RSS R 1 1 TSS n 1 n k 1 TSS n 1 2 2 即，R 1 ( 1 R ) n k 1
2
说明：
n 1 “ ”与“1-R 2? 一增一减，此消彼长 n k 1 从而保证R 2不会随解释变量个数的变化产生大的波动。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。

从统计学看线性回归（2）——一元线性回归方程的显著性检验

从统计学看线性回归（2）——⼀元线性回归⽅程的显著性检验⽬录1. σ2 的估计2. 回归⽅程的显著性检验 t 检验（回归系数的检验） F 检验（回归⽅程的检验） 相关系数的显著性检验 样本决定系数 三种检验的关系⼀、σ2 的估计 因为假设检验以及构造与回归模型有关的区间估计都需要σ2的估计量，所以先对σ2作估计。

通过残差平⽅和（误差平⽅和）（1）（⽤到和，其中）⼜∵（2）∴（3）其中为响应变量观测值的校正平⽅和。

残差平⽅和有n-2 个⾃由度，因为两个⾃由度与得到的估计值与相关。

（4）（公式（4）在《线性回归分析导论》附录C.3有证明）∴σ2的⽆偏估计量：（5）为残差均⽅，的平⽅根称为回归标准误差，与响应变量y 具有相同的单位。

因为σ2取决于残差平⽅和，所以任何对模型误差假设的违背或对模型形式的误设都可能严重破坏σ2的估计值的实⽤性。

因为由回归模型残差算得，称σ2的估计值是模型依赖的。

⼆、回归⽅程的显著性检验 ⽬的：检验是否真正描述了变量 y 与 x 之间的统计规律性。

假设：正态性假设（⽅便检验计算）1. t 检验 ⽤t 检验来检验回归系数的显著性。

采⽤的假设如下：原假设 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系）对⽴假设 H1：β1 ≠ 0 回归系数的显著性检验就是要检验⾃变量 x 对因变量 y 的影响程度是否显著。

下⾯我们分析接受和拒绝原假设的意义。

（1）接受 H0：β1 = 0 （x 与 y 不存在线性关系） 此时有两种情况，⼀种是⽆论 x 取值如何， y 都在⼀条⽔平线上下波动，即，如下图1，另⼀种情况为， x 与 y 之间存在关系，但不是线性关系，如图2。

图 1图 2 （2）拒绝 H0：β1 = 0 （x 对解释 y 的⽅差是有⽤的） 拒绝原假设也有两种情况，⼀种是直线模型就是合适的，如图 3，另⼀种情况为存在 x 对 y 的线性影响，也可通过 x 的⾼阶多项式得到更好的结果，如图 4。

计量经济学第三章第3节多元线性回归模型的显著性检验

2
当增加一个对被解释变量有较大影响的解释变量时， 残差平方和减小的比n-k-1 减小的更显著，拟合优度 就增大，这时就可以考虑将该变量放进模型。 如果增加一个对被解释变量没有多大影响的解释变量， 残差平方和减小没有n-k-1减小的显著，拟合优度会减 小，其说明模型中不应该引入这个不重要的解释变量， 可以将其剔除。
在对话框中输入：
y c x y(-1)
y c x y(-1) y(-2)
字母之间用空格分隔。 注：滞后变量不需重新形成新的时间序列，软件 自动运算实现，k期滞后变量，用y(-k)表示。
• 使用k期滞后变量，数据将损失k个样本观察值， 例如：
序号 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 y 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Y(-1) Y(-2) Y(-3)
2
2
2
*赤池信息准则和施瓦茨准则
• 为了比较所含解释变量个数不同的多元回归模型的 拟合优度，常用的标准还有: 赤池信息准则（Akaike information criterion, AIC） e e 2( k 1) AIC ln n n 施瓦茨准则（Schwarz criterion，SC）
一元、二元模型的系数均大于0，符合经济意义，三元模型 系数的符号与经济意义不符。 用一元回归模型的预测值是1758.7，二元回归模型的预测值 是1767.4，2001年的实际值是1782.2。一元、二元模型预测 的绝对误差分别是23.5、14.8。
3) 三个模型的拟合优度与残差
二元：R2 =0.9954，E2 ei2 13405 三元：R2 =0.9957，E3 ei2 9707
746.5 788.3

线性回归的显著性检验及回归预测


解：根据前面的计算结果有
n 16, Se 2.457, yc 51.6011, ta / 2 (n 2) t0.025 (14) 2.1448
x
x
/
n
57.25,
nS
2 x
( x x)2 2645
故置信上下限为：
51.6011 2.1448 2.457 1 1 (73 57.25)2 / 2645 16
y
预测区间上限
yc a bx
预测区间下限
x x0
x
第四节 可线性化的回归方程
一、可线性化的常用曲线类型 二、配合回归曲线的问题 三、非线性判定系数与相关系数
拒绝H0，表明总体的两变量之间存在着 显著的线性相关关系，即能源消耗量与 工业总产值之间存在显著的线性相关关 系。
回归方程的显著性检验
1、目的：对回归方程拟合优度的检验 2、具体方法：将回归离差平方和(SSR)同 剩余离差平方和(SSE)加以比较，应用F检 验来分析二者之间的差别是否显著
♥如果是显著的，两个变量之间存在线性 关系 ♥如果不显著，两个变量之间不存在线性 关系
H1: b 0
❖ 构造检验统计量 t b ~ t(n 2)
S(b)
1 S(b) Se n
( xi x)2
n
i 1
n
n
( xi
x )2
nS
2 x
xi2 ( x)2 / n
i 1
i 1
i 1
•计算实际统计量t的值
•确定显著性水平a，查t分布表得临界值 ta/2(n-2),作出统计决策： ♥ |t|>=ta/2，拒绝H0,说明变量X与Y之间存 在着显著的线性关系；
即51.6011 5.6666
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线性回归的显着性检验
1.回归方程的显着性
在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量人,乂2，…，x p之间确有线
性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量
X「X2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。

因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。

设随机变量丫与多个普通变量x1, x2^ ,x p的线性回归模型为
其中；服从正态分布N（0,；「2）
对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i,X2，…,X p从整体上对随机变
量y是否有明显的影响。

为此提出原假设如果H。

被接受，则表明随机变量y与x「X2，…，X p的
线性回归模型就没有意义。

通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。

正
态随机变量y i,y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：
n n n
S r f （y—y）2为总的偏差平方和，S R=為（懈-y）2为回归平方和，S E f （% - ？）2为残
i 1i# im
差平方和。

因此，平方和分解式可以简写为：
回归平方和与残差平方和分别反映了b = 0所引起的差异和随机误差的影响。

构造F检验统计量则利用分解定理得到：
在正态假设下，当原假设H o ：b i =0, b2 =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n -p-1）的F分布。

对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。

，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。

实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。

复相关系数R定义为：
平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0空R乞1。

R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。

2.回归系数的显着性
若方程通过显着性检验，仅说明b o，b i，b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。

若某个系数b^0，则X j对y
影响不显着，因此我们总想从回归方程中剔除这些次要的，无关的变量。

检验X i是否显着，等于假设
已知N[B,；「2(XX)J]，记(XX)，( C j) i, j =0,1,2,…，p,可知b j ~N[b j,c 产2],
j =0,1,2，…p,据此可构造t统计量
其中回归标准差为
当原假设H°j:b j=0成立时，则t j统计量服从自由度为n-p-1的t分布，给定显着性水平〉，当tj>^2时拒绝原假设H°j:b j= 0,认为X j对y影响显着，当耳<02时，接受原假设 H 0j : b j = 0，认为X j对y影响不显着。