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线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量人,乂2，…，x p之间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量X「X2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。
因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。
设随机变量丫与多个普通变量x1, x2^ ,x p的线性回归模型为其中；服从正态分布N（0,；「2）对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i,X2，…,X p从整体上对随机变量y是否有明显的影响。
为此提出原假设如果H。
被接受，则表明随机变量y与x「X2，…，X p的线性回归模型就没有意义。
通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。
正态随机变量y i,y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：n n nS r f （y—y）2为总的偏差平方和，S R=為（懈-y）2为回归平方和，S E f （% - ？）2为残i 1i# im差平方和。
因此，平方和分解式可以简写为：回归平方和与残差平方和分别反映了b = 0所引起的差异和随机误差的影响。
构造F检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下，当原假设H o ：b i =0, b2 =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n -p-1）的F分布。
对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。
，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。
实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。
复相关系数R定义为：平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为0空R乞1。
R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。
2.回归系数的显着性若方程通过显着性检验，仅说明b o，b i，b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。
线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中,我们事先并不能断定随机变量y 与变量p x x x ,,,21 之间确有线性关系,在进行回归参数的估计之前,我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y 与变量p x x x ,,,21 之间的关系,只是根据一些定性分析所作的一种假设;因此,和一元线性回归方程的显着性检验类似,在求出线性回归方程后,还需对回归方程进行显着性检验;设随机变量Y 与多个普通变量p x x x ,,,21 的线性回归模型为其中ε服从正态分布),0(2σN对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受p x x x ,,,21 从整体上对随机变量y 是否有明显的影响;为此提出原假设如果0H 被接受,则表明随机变量y 与p x x x ,,,21 的线性回归模型就没有意义;通过总离差平方和分解方法,可以构造对0H 进行检验的统计量;正态随机变量n y y y ,,,21 的偏差平方和可以分解为：∑=-=n i i T y y S 12)(为总的偏差平方和,∑=-=n i i R y y S 12)ˆ(为回归平方和,∑=-=n i i i E yy S 12)ˆ(为残差平方和;因此,平方和分解式可以简写为： 回归平方和与残差平方和分别反映了0≠b 所引起的差异和随机误差的影响;构造F 检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下,当原假设0,,0,0:210===p b b b H 成立时,F 服从自由度为)1,(--p n p 的F 分布;对于给定的显着水平α,当F 大于临界值)1,(--p n p 时,拒绝0H ,说明回归方程显着,y x 与有显着的线性关系;实际应用中,我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性;复相关系数R 定义为：平方和分解式可以知道,复相关系数的取值范围为10≤≤R ;R 越接近1表明E S 越小,回归方程拟合越好;2.回归系数的显着性若方程通过显着性检验,仅说明p b b b b ,,,210不全为零,并不意味着每个自变量对y 的影响都显着,所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验;若某个系数0=j b ,则j x 对y 影响不显着,因此我们总想从回归方程中剔除这些次要的,无关的变量;检验i x 是否显着,等于假设已知])(,[~ˆ12-'X X B N B σ,p j i c X X ij ,,2,1,0,)(1 =='-）（记,可知],[~ˆ2σijj j c b N b ,,,2,1,0p j =据此可构造t 统计量 其中回归标准差为当原假设0:0=j j b H 成立时,则j t 统计量服从自由度为1--p n 的t 分布,给定显着性水平α,当2αt t j ≥时拒绝原假设0:0=j j b H ,认为j x 对y 影响显着,当2αt t j <时,接受原假设0:0=j j b H ,认为j x 对y 影响不显着;。
多元线性回归——模型、估计、检验与预测⼀、模型假设传统多元线性回归模型最重要的假设的原理为：1. ⾃变量和因变量之间存在多元线性关系，因变量y能够被x1,x2….x{k}完全地线性解释；2.不能被解释的部分则为纯粹的⽆法观测到的误差其它假设主要为：1.模型线性，设定正确；2.⽆多重共线性；3.⽆内⽣性；4.随机误差项具有条件零均值、同⽅差、以及⽆⾃相关；5.随机误差项正态分布具体见另⼀篇⽂章：回归模型的基本假设⼆、估计⽅法⽬标：估计出多元回归模型的参数注：下⽂皆为矩阵表述，X为⾃变量矩阵(n*k维)，y为因变量向量（n*1维）OLS（普通最⼩⼆乘估计）思想：多元回归模型的参数应当能够使得，因变量y的样本向量在由⾃变量X的样本所构成的线性空间G（x）的投影（即y’= xb）为向量y 在线性空间G(x)上的正交投影。
直⽩⼀点说，就是要使得(y-y’)’(y-y’)最⼩化，从⽽能够使y的预测值与y的真实值之间的差距最⼩。
使⽤凸优化⽅法，可以求得参数的估计值为：b = (x’x)^(-1)x’y最⼤似然估计既然已经在假设中假设了随机误差项的分布为正态分布，那么⾃变量y的分布也可以由线性模型推算出来（其分布的具体函数包括参数b在内）。
进⼀步的既然已经抽取到了y的样本，那么使得y的样本出现概率（联合概率密度）最⼤的参数即为所求最终结果与OLS估计的结果是⼀致的矩估计思想：通过寻找总体矩条件(模型设定时已经有的假设，即⽆内⽣性)，在总体矩条件中有参数的存在，然后⽤样本矩形条件来进⾏推导未知参数的解。
在多元回归中有外⽣性假设：对应的样本矩为：最终估计结果与OLS⽅法也是⼀样的。
三、模型检验1.拟合优度检验（1）因变量y是随机变量，⽽估计出来的y’却不是随机变量；（2）拟合优度表⽰的是模型的估计值y’能够在多⼤程度上解释因变量样本y的变动。
（3）y’的变动解释y的变动能⼒越强，则说明模型拟合的越好y-y’就越接近与假设的随机误差（4）⽽因变量的变动是由其⽅差来描述的。
多元线性回归模型的各种检验方法多元线性回归模型是常用于数据分析和预测的方法，它可以用于研究多个自变量与因变量之间的关系。
然而，仅仅使用多元线性回归模型进行参数估计是不够的，我们还需要对模型进行各种检验以确保模型的可靠性和有效性。
下面将介绍一些常用的多元线性回归模型的检验方法。
首先是模型的整体显著性检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道所构建的模型是否能够显著解释因变量的变异。
常见的整体显著性检验方法有F检验和显著性检查表。
F检验是通过比较回归模型的回归平方和和残差平方和的比值来对模型的整体显著性进行检验。
若F值大于一定的临界值，则可以拒绝原假设，即模型具有整体显著性。
通常，临界值是根据置信水平和自由度来确定的。
显著性检查表是一种常用的汇总表格，它可以提供关于回归模型的显著性水平、标准误差、置信区间和显著性因素的信息。
通过查找显著性检查表，我们可以评估模型的显著性。
其次是模型的参数估计检验。
在多元线性回归模型中，我们希望知道每个自变量对因变量的影响是否显著。
通常使用t检验来对模型的参数估计进行检验。
t检验是通过对模型的回归系数进行检验来评估自变量的影响是否显著。
与F检验类似，t检验也是基于假设检验原理，通过比较t值和临界值来决定是否拒绝原假设。
通常，临界值可以通过t分布表或计算机软件来获取。
另外，我们还可以使用相关系数来评估模型的拟合程度。
相关系数可以用来衡量自变量与因变量之间的线性关系强度，常见的相关系数包括Pearson相关系数和Spearman相关系数。
Pearson相关系数适用于自变量和因变量都是连续变量的情况，它衡量的是两个变量之间的线性关系强度。
取值范围为-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
Spearman相关系数适用于自变量和因变量至少有一个是有序变量或者都是有序变量的情况，它衡量的是两个变量之间的单调关系强度。
取值范围也是-1到1，绝对值越接近1表示关系越强。
最后，我们还可以使用残差分析来评估模型的拟合程度和误差分布。
§3 回归方程及回归系数的显著性检验１、回归方程的显著性检验(1) 回归平方和与剩余平方和建立回归方程以后, 回归效果如何呢因变量与自变量是否确实存在线性关系呢这是需要进行统计检验才能加以肯定或否定, 为此, 我们要进一步研究因变量取值的变化规律。
的每次取值是有波动的, 这种波动常称为变差, 每次观测值的变差大小, 常用该次观侧值与次观测值的平均值的差(称为离差)来表示, 而全部次观测值的总变差可由总的离差平方和,其中:称为回归平方和, 是回归值与均值之差的平方和, 它反映了自变量的变化所引起的的波动, 其自由度(为自变量的个数)。
称为剩余平方和(或称残差平方和), 是实测值与回归值之差的平方和, 它是由试验误差及其它因素引起的, 其自由度。
总的离差平方和的自由度为。
如果观测值给定, 则总的离差平方和是确定的, 即是确定的, 因此大则小, 反之, 小则大, 所以与都可用来衡量回归效果, 且回归平方和越大则线性回归效果越显著, 或者说剩余平方和越小回归效果越显著, 如果＝0, 则回归超平面过所有观测点; 如果大, 则线性回归效果不好。
(2) 复相关系数为检验总的回归效果, 人们也常引用无量纲指标,或,称为复相关系数。
因为回归平方和实际上是反映回归方程中全部自变量的“方差贡献”, 因此就是这种贡献在总回归平方和中所占的比例, 因此表示全部自变量与因变量的相关程度。
显然。
复相关系数越接近１, 回归效果就越好, 因此它可以作为检验总的回归效果的一个指标。
但应注意, 与回归方程中自变量的个数及观测组数有关, 当相对于并不很大时, 常有较大的值, 因此实际计算中应注意与的适当比例, 一般认为应取至少为的５到10倍为宜。
(3) 检验要检验与是否存在线性关系, 就是要检验假设,当假设成立时, 则与无线性关系, 否则认为线性关系显著。
检验假设应用统计量,这是两个方差之比, 它服从自由度为及的分布, 即,用此统计量可检验回归的总体效果。
线性回归的显着性检验1.回归方程的显着性在实际问题的研究中，我们事先并不能断定随机变量y与变量x1,x2/ ,x p之间确有线性关系，在进行回归参数的估计之前，我们用多元线性回归方程去拟合随机变量y与变量人〃2，…，X p之间的关系，只是根据一些定性分析所作的一种假设。
因此，和一元线性回归方程的显着性检验类似，在求出线性回归方程后，还需对回归方程进行显着性检验。
设随机变量丫与多个普通变量X j,X2,…，X p的线性回归模型为其中；服从正态分布N（o,；「2）对多元线性回归方程的显着性检验就是看自变量若接受X i, X2，…，X p从整体上对随机变量y是否有明显的影响。
为此提出原假设如果H。
被接受，则表明随机变量y与X i，X2，…，X p的线性回归模型就没有意义。
通过总离差平方和分解方法，可以构造对H o进行检验的统计量。
正态随机变量y i, y2/ , y n的偏差平方和可以分解为：n n nS r八（y i -y）2为总的偏差平方和，S R八（场-y）2为回归平方和，S E八（y i-?）2为残i 1i £i A差平方和。
因此，平方和分解式可以简写为：回归平方和与残差平方和分别反映了 b = 0所引起的差异和随机误差的影响。
构造F检验统计量则利用分解定理得到：在正态假设下，当原假设H°:b1 =0, d =0，…，b p =0成立时，F服从自由度为（p,n - p「1）的F 分布。
对于给定的显着水平［，当F大于临界值（p, n-p-1）时，拒绝H。
，说明回归方程显着，x与y有显着的线性关系。
R定义实际应用中，我们还可以用复相关系数来检验回归方程的显着性。
复相关系数为:平方和分解式可以知道，复相关系数的取值范围为O^R^I。
R越接近1表明S E越小，回归方程拟合越好。
2•回归系数的显着性若方程通过显着性检验，仅说明bog,b2,…b p不全为零，并不意味着每个自变量对y的影响都显着，所以就需要我们对每个自变量进行显着性检验。
