一笔画七桥问题

【精品】一笔画(七桥问题)18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡，那里有七座桥。

如图1所示：河中的小岛A 与河的左岸B、右岸C各有两座桥相连结，河中两支流间的陆地D与A、B、C各有一座桥相连结。

当时哥尼斯堡的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点? 大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。

七桥问题引起了著名数学家欧拉(1707——1783)的关注。

他把具体七桥布局化归为图所示的简单图形，于是，七桥问题就变成一个一笔画问题：怎样才能从A、B、C、D中的某一点出发，一笔画出这个简单图形(即笔不离开纸，而且a、b、c、d、e、f、g各条线只画一次不准重复)，并且最后返回起点?欧拉经过研究得出的结论是：图是不能一笔画出的图形。

这就是说，七桥问题是无解的。

这个结论是如何产生呢?如果我们从某点出发，一笔画出了某个图形，到某一点终止，那么除起点和终点外，画笔每经过一个点一次，总有画进该点的一条线和画出该点的一条线，因此就有两条线与该点相连结。

如果画笔经过一个n次，那么就有2n条线与该点相连结。

因此，这个图形中除起点与终点外的各点，都与偶数条线相连。

如果起点和终点重合，那么这个点也与偶数条线相连：如果起点和终点是不同的两个点，那么这两个点部是与奇数条线相连的点。

综上所述，一笔画出的图形中的各点或者都是与偶数条线相连的点，或者其中只有两个点与奇数条线相连。

图2中的A点与5条线相连结，B、C、D各点各与3条线相连结，图中有4个与奇数条线相连的点，所以不论是否要求起点与终点重合，都不能一笔画出这个图形。

欧拉定理：如果一个图是连通的并且奇顶点的个数等于0或2，那么它可以一笔画出；否则它不可以一笔画出。

一笔画：■1.凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。

画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■2.凡是只有两个奇点的连通图(其余都为偶点)，一定可以一笔画成。

七桥问题与一笔画赤城四小 叶考良【教学目标】1、让学生体会用数学知识解决问题得方法。

2、通过其中抽象出点、线得过程,使学生对点、线有进一步得认识。

3、生活中得许多问题,可以用数学方法解决,但首先要通过抽象化与理想化建立数学模型、解决问题,通过“一笔画”得数学问题,解决实际问题。

4、究“一笔画”得规律得活动,锻炼学生克服困难得意志及勇于发表见解得好习惯。

5、“一笔画”问题及其结论得了解,扩大学生知识视野,激发学生学习兴趣。

【重点】,运用“一笔画”得规律,快速正确地解决问题。

【难点】,探究“一笔画”得规律 【教学过程】一、展示问题引入新课下面呢老师要给大家讲个故事: 18世纪时,欧洲有一个风景秀丽得小城哥尼斯堡,那里有七座桥。

(课件出示)如图所示:河中有两个小岛, 一个岛与河得左岸、右岸各有两座桥相连结,另一个岛与河得左岸、右岸各有一座桥相连结,两个岛屿之间也有一座桥相连结。

人们经常在桥上走过,一天又一天,７座桥上走过了无数得行人。

不知从什么时候起,脚下得桥梁触发了人们得灵感,一个有趣得问题在居民中传开了:谁能够一次走遍所有得７座桥,而且每座桥都只通过一次呢？大家都想找出问题得答案,但就是谁也解决不了这个七桥问题。

同学们,您能解决这个问题吗？为什么？您就是怎样想得。

二、分析并构建数学模型:后来著名数学家欧拉就是这样解决得:她把两个岛屿与陆地分别瞧成点A,B,C,D 、所走得七桥路线用线条表示,这样就构成了一个简单图形,于就是,七桥问题就变成了这样一个图形问题:也就就是怎样才能从A 、B 、C 、D 中得某一点出发,一笔画出这个图形。

这节课我们重温欧拉得研究之路,探寻什么样得图形可以一笔画。

一笔画指:1、下笔后笔尖不能离开纸。

2、每条线都只能画一次而不能重复。

同学们快速判断下面哪些图形能够一笔画?像这样各部分连在一起得图形,叫做连通图。

能一笔画得图形必须就是连通图。

A 岛D 岸B 岛C● 点A 、B 表示岛 点C 。

世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题请你做下面的游戏：一笔画出如图1的图形来。

规则：笔不离开纸面，每根线都只能画一次。

这就是古老的民间游戏——一笔画。

你能画出来吗？如果你画出来了，那么请你再看图2能不能一笔画出来？虽然你动了脑筋，但我相信你肯定不能一笔画出来！为什么我的语气这么肯定？我们来分析一下图2。

我们把图2看成是由点和线组成的一种集合。

图里直线的交点叫做顶点，连结顶点的线叫做边。

这个图是联通的，即任何二个顶点之间都有边。

很显然，图中的顶点有两类：一类是有偶数条边联它的，另一类是有奇数条边联它的。

一个顶点如果有偶数条边联它的，这点就称为偶点；如果有奇数条边联它的，就称它为奇点。

我们知道，能一笔画的图形只有两类：一类是所有的点都是偶点。

另一类是只有二个奇点的图形。

图2有六个奇点，四个偶点，当然不能一笔画出来了。

为什么能一笔画的图形只有上述两类呢？有关这个问题的讨论，要追溯到二百年前的一个著名问题：哥尼斯堡七桥问题。

十八世纪东普鲁士哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河，它有两个支流，在城市中心汇成大河，中间是岛区，河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图3所示。

由于岛上有古老的哥尼斯堡大学，有教堂，还有哲学家康德的墓地和塑像，因此城中的居民，尤其是大学生们经常沿河过桥散步。

渐渐地，爱动脑筋的人们提出了一个问题：一个散步者能否一次走遍7座桥，而且每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。

这就是七桥问题，一个著名的图论问题。

图3这个问题看起来似乎很简单，然而许多人作过尝试始终没有能找到答案。

因此，一群大学生就写信给当时年仅20岁的大数学家欧拉。

欧拉从千百人次的失败，以深邃的洞察力猜想，也许根本不可能不重复地一次走遍这七座桥，并很快证明了这样的猜想是正确的。

欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图4所示。

图4 图5于是“七桥问题”就等价于图5中所画图形的一笔画问题了。

Konigsberg 七橋問題(一筆畫問題)當Euler在1736年訪問Konigsberg,Prussia(now Kaliningrad Russia)時，他發現當地的市民正從事一項非常有趣的消遣活動。

Konigsberg城中有一條名叫Pregel這項有趣的消遣活動是在星期六作一次走過所有七座橋的散步，每座橋只能經過一次，而且起點與終點必須是同一地點。

Euler把每一塊陸地考慮成一個點，連接兩塊陸地的橋以線表示，便得如下的圖形Euler後來推論出此種走法是不可能的。

他的論點是這樣的，除了起點以外，每一次當一個人由一座橋進入一塊陸地(或點)時，他(或她)同時也由另一座橋離開此點。

所以每行經一點時，計算兩座橋(或線)，從起點離開的線與最後回到始點的線亦計算兩座橋，因此每一個陸地與其他陸地連接的橋數必為偶數。

我們從Konigsberg七橋所成之圖形中，沒有一點含有偶數條數，因此上述的任務是不可能實現的。

Eulerian graphs 歐拉圖形一條途徑v0e1e2v2………..e k v k稱為Euler walk(歐拉走路)如果沒有邊(edge)是重複的，此處v i表頂點，e i表邊。

若一個圖形G中，v0e1v1e2v2……………e k v k行經每一邊恰好一次，且v0=v k（起點=終點），則稱此途徑為Euler tour（歐拉路徑）。

例：從下右圖中找出一歐拉路徑一.筆劃問題問題：有一商人欲推銷某一商品，該商人在下圖中每一地點，A，B，...，J都希望去推銷該商品，但為了達到最低成本故希望不要重複行走已走過的路徑以減低車費成本，問該商人應如何行走？Eulerian graphs 歐拉圖形一條路徑V0e1V1e2V2…..e k V k稱為Euler walk (歐拉走路)如果沒有邊(edge)是重複的，此處V1表頂點，e1表邊。

若一個圖形Ｇ中，V0e1V1e2V2…..e k V k行徑每一邊恰好一次且( 起點=終點)，則稱此途徑為Euler tour (歐拉路徑)。

一笔画哥尼斯堡七桥问题1736年29岁的欧拉向圣彼得堡科学院递交了《哥尼斯堡的七座桥》的论文，在解答问题的同时，开创了数学的一个新的分支—-图论与几何拓扑.也由此展开了数学史上的新进程.问题提出后,很多人对此很感兴趣，纷纷进行试验，但在相当长的时间里，始终未能解决。

七桥问题和欧拉定理。

欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题，而且得到并证明了更为广泛的有关一笔画的三条结论，人们通常称之为“欧拉定理”。

故事背景七桥问题18世纪著名古典数学问题之一。

在哥尼斯堡的一个公园里，有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来（如图）。

问是否可能从这四块陆地中任一块出发，恰好通过每座桥一次,再回到起点？欧拉于1736年研究并解决了此问题,他把问题归结为如下右图的“一笔画"问题，证明上述走法是不可能的.有关图论研究的热点问题。

18世纪初普鲁士的柯尼斯堡，普雷格尔河流经此镇，奈发夫岛位于河中，共有7座桥横跨河上，把全镇连接起来.当地居民热衷于一个难题:是否存在一条路线,可不重复地走遍七座桥。

这就是柯尼斯堡七桥问题。

欧拉用点表示岛和陆地,两点之间的连线表示连接它们的桥，将河流、小岛和桥简化为一个网络，把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。

他不仅解决了此问题，且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的，且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。

当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia（now Kaliningrad Russia）时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。

Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中,这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点.Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示。

著名数学家欧拉后来推论出此种走法是不可能的。

七桥问题——一笔画
18世纪东普鲁士的哥尼斯堡城，有一条河穿过，河上下有两个小岛，有七座桥把两个岛与河岸联系起来（如下图一）。

有人提出一个问题：一个步行者怎样才能不重复，不遗漏地一次走完七座桥，最后回到出发点。

这个问题提出后在很长一段时间内很多人进行了研究都没有研究出答案。

后来大数学家欧拉把它转化成一个几何问题——一笔画问题，使问题得到了解决。

（如下图二）
图一图二
问题的答案如何呢？让我们先来了解三个新概念。

①有奇数条边相连的点叫奇点。

②有偶数条边相连的点叫偶点。

③一笔画指：1、下笔后笔尖不能离开纸。

2、每条线都只能画一次而不能重复。

结论：
课堂练习
1、一辆洒水车要给
再回到出发点？
2、甲乙两个邮递员去送信，两人同时出发以同样的速度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发，最后都回到邮局（C点）。

如果要选择最短的线路，谁先回到邮局？。

可编写可更正2021—2021 第一学期南开区六十三中学教师授课设计第 1 周周课时_ 1 ____第___1___课时课题：?七桥问题与一笔画?欧拉渊博的知识，无量无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人吃惊不已的！他从19 岁开始公布论文，直到76 岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文．到今几乎每一个数学领域都能够教看到欧拉的名字。

据统计他那不倦的一世，共写下了886 本书籍和材论文，其中解析、代数、数论占 40%，几何占 18%，物理和力学占 28%，简天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，圣彼得堡科学院析为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。

欧拉著作的惊人多产其实不是有时的，他能够在任何不良的环境中工作，他经常抱着孩子在膝上完成论文，也不论孩子在旁边喧华．他那坚毅的毅力和忘餐废寝的治学精神，使他在双目失明此后，也没学有停止对数学的研究，在失明后的 17 年间，他还口述了几本书和400情篇左右的论文． 19 世纪伟大数学家高斯〔 Gauss，1777-1855 年〕曾分说： " 研究欧拉的著作永远是认识数学的最好方法．"析欧拉还创立了好多数学符号，比方π〔 1736 年〕， i 〔1777 年〕， e 〔1748 年〕， sin 和 cos〔1748 年〕， tg 〔 1753 年〕，△ x〔 1755 年〕，Σ〔 1755 年〕， f(x) 〔1734 年〕等．教知识与能力：1可编写可更正学1、让学生认识一笔画问题的解决方法；目2、经过学习，认识图论睁开的起源及其应用之广泛；标3、让学生领悟数学地思虑问题的作用，激发学生对数学的兴趣。

过程与方法：1、经过学生对相关问题的思虑和谈论，激发学生学习和研究的梦想。

2、经过本节学习，近一步培养学生研究的精神和强烈的社会责任感。

3、经过对资料和信息的获取，培养学生的分工合作精神。

重重点：一笔画问题的解决过程、方法点难点分析教将班级学生分成 12 个小组，每个小组 3-4 人，分别采集月球与表面的形态、月球的运动、月相和日食及月食的成因的相关资料。