第四章 控制系统的传递函数(1)

d 2 xo dx o 运动方程为 T + To + xo = Kx i 2 dt dt
两边取拉氏变换得 Ts 2 X o ( s ) + To sX o ( s ) + X o ( s ) = KX i ( s )
2 K Kωn = 2 ∴ G (s ) = 2 2 Ts + To s + 1 s + 2ξωn s + ωn
例4
右图为一齿轮齿条传动机构。n(t) 为输入转速， xo(t)为线位移。求 该传动机构的传递函数。
解：根据传动关系有
dxo = πDn dt
sX o ( s ) = πDN ( s )
G (s) =
πD
s
但如以vo(t)表示齿条的移动速度，则
v o ( t ) = π Dn
Vo ( s ) = πDN ( s )
2 U o ( s) Z ωn R G( s) = = = 2 = 2 2 U i ( s ) Z L + Z LRCs + Ls + R s + 2ξωn s + ωn
① 比例环节 ② 微分环节 ③ 积分环节
xo(t)=kxi(t) =
dxi (t ) xo (t ) = T dt
G( s) =
csX o ( s ) + kX o ( s ) = AP ( s )
X o (s) A = P( s) cs + K
c
G( s) =
求图示液压阻尼器的 传递函数,并判断属于 什么环节 解
q
R xo(t) K A
A( p2 − p1 ) = Kxo (t )
p1
p2
dxi dxo q = A − ρ dt dt p2 − p1 dx dx q= A 2 Rρ i − o = Kx o R dt dt
X i1 X i2
② 传递函数以简明的数学形式表达了系统的动态模型组 成，只要动态性能相似，就可以用相似的传递函数； ③ 传递函数可以有量纲，也可以无量纲； ④ 传递函数是s的有理分式； ⑤若传递函数分母s的最高阶次为m，则该系统为m阶系统
3. 典型环节传递函数
系统总是由各种元件组成，这些元件可能是机械 的、液压的、热力学的，也可能是电气的、光学的， 或者几者兼而有之。不管这些元件的属性如何，只要 其动态性能相似，就可以用相同的传递函数来表达。 如果把系统的元件按其运动方程(微分方程)的形式来 分类，就得到各种不同的动态环节,简称环节。 这样，就可以把一个复杂的系统分解为由简单的 环节组成，从而方便地建立整个系统的数学模型。
R2 Eo ( s ) =− = −k G( s) = Ei ( s ) R1
k — 运算放大器的闭环增益 注意：
eo
增益k前面的符号一律先取正号，带全部求解结束后，再确 定k的符号； 称脚端a为虚地点
② 微分环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)的一阶导数 的一阶导数成比例的环节，又称 的一阶导数 为D调节器。
求
l[sin(5t +
π
3
)]
l[sin(5t +
π
3
)] = l[sin 5(t +
π
15
)]
=e
π
15
s
5 ⋅ 2 s + 25
l[sin(5t +
π
3
3 π 5 π s = cos + sin 2 3 s + 25 3 s 2 + 25
)] = l[cos
π
sin 5t + sin
π
3
cos 5t ]
④ 惯性环节
凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。 凡能用一阶线性微分方程来描述的环节，又称为一阶环节。
dx o K + xo = Kx i 因此传递函数为：∴ G ( s ) = 运动方程为 T Ts + 1 dt
K—惯性环节的增益；T—惯性环节的时间常数
例6
求右图电路的G(s)。 。 ui
ni(t)
z1
no z1 =k = ni z2
∴G(s)=k
no(t)
z2
例2
i1=i2
求右图运算放大器的传递函数
ei − ea ea − eo ∴ = R1 R2
ei − eo ∴ = R1 R2
ei
eo 数伏 ~ 10多 伏 = ea = 10 4 ~ 10 6 Ko
R2 R1 e i2 a Ko a i3 i1 +
③ 积分环节
凡输出量x 与输入量 与输入量x 的一次积分成比例的环节， 的一次积分成比例的环节 凡输出量 o(t)与输入量 i(t)的一次积分成比例的环节，又称为 调节器。 I调节器。 运动方程为
xo (t ) = T ∫ xi (t )dt 因此传递函数为： G(s)=T/S
n(t) D xo(t)
定义：初始条件为零时，系统的输出量的拉氏变换与 输入量的拉氏变换之比，称为该系统的传递函数。
X o ( s) 即 G( s) = ，特别地，当xi(t)=δ(t)，亦即 X i ( s)
Xi(s)=1时，G(s)=Xo(s)
因此，系统的传递函数就是系统单位脉冲响应的 拉氏变换。 关于传递函数的几点说明(P38) 关于传递函数的几点说明(P38)
① 比例环节
凡输出量xo(t)与输入量xi(t)成比例，不失真也不延时的环节， 又称P调节器。 比例环节运动方程为 xo(t)=kxi(t)，所以比例环节传递函数为 = ，
G( s) = X o ( s) X i ( s) (s
=k
k为比例环节的增益或称为放大系数
例1
解
求一对齿轮传动的传递函数 忽略传动间隙
m
查表法
m n k1 p ki A( s ) =∑ +∑ F (s) = B ( s ) i =1 s − si p =1 (s − s k )n +1− p
系数的求法:①系数比较法 ②留数法 ki = F ( s )( s − si ) s = s i
k11 = F ( s )( s − sk ) n
G( s) = e
例：见P45图2-18 P45图
−τs
Q X o ( s ) = X i ( s )e −τs
1 注意延时环 节和惯性环 节的区别 0 1
xi(t)=1(t) t
1 t 0
t 0
求右图油缸-阻尼-弹簧 系统的传递函数.其中， p为输入，xo为输出。
xo
K A
解
p
dxo c + kxo = pA dt
上例中，如果输入量 为外力f (t),则系统的 则系统的 固有频率和阻尼系数 为多少
Xo(t) f (t)
d 2 xo dxo m 2 +c + kxo = f (t ) dt dt
ms X o ( s ) + csX o ( s ) + kX o ( s ) = F ( s )
2
G( s) =
1 = 2 ms + cs + k
G (s) = s K s+ 2 A Rρ
xi(t)
K X o ( s ) s + 2 = sX i ( s ) A Rρ
令
A 2 Rρ =T K
G( s) =
Ts Ts + 1
求下图的传递函数
L i ZL I(s) R C
ui
uo
Ui(S)
Z
Uo(S)
ZL=Ls
Z=R//1/cs
R i C uo I Ui Uo
解： Q Z c = 1 cs
zc uo = ui R + zc
∴ G( s) =
Zc ∴U o ( s ) = Ui ( s) R + Zc
Zc 1 = R + Z c Rcs + 1
如果Rcs »1，则G(s)=1/Rcs=1/Ts ，
例7 下图是运算放大器组பைடு நூலகம்的惯性环节，求该环节的 和T。 该环节的K和 。 该环节的
dxi (t ) 运动方程为 xo (t ) = T dt
因此传递函数为：G(s)=TS i
例3
解
求图示微分电路的G(s)
Ui
Uo
1 U o ( s) + U o ( s) = U i ( s) Rcs
{
1 ∫ idt + uo = ui c u i= o R
1 ∫ uodt + uo = ui Rc
G ( s ) = πD
例5
ui
下图是一个由运算放大器组成的积分器，求G(s)。 。 Zc C 对各变量取 I 拉氏变换 i uc R R Ui(s) uo + +
Uo(s)
解： 1 u c = ∫ idt c
I(s) Uc(s) = cs
K = s
1 Zc = cs
1 K= Rc
1 Z ∴G( s) = c = R Rcs
Ts Rcs = ∴G( s) = Rcs + 1 Ts + 1
≈ Ts
理想的微分环节是不存在的， 理想的微分环节是不存在的，微分环节不能 单独存在。
假若对微分环节输入一阶跃函数，则按理论计算 得出一个幅值为无穷大而时间宽度为零的脉冲， 只在实际上是不可能的。另外，只有当输入量为 变量时，微分环节才有输出，当系统进入稳态时， 则微分环节输出为零，这在实际中是不允许的。
一般地, 一般地,传递函数的表达式为
X o ( s ) a0 s n + a1s n −1 + a2 s n − 2 + L + an G ( s) = = X i ( s ) b0 s m + b1s m −1 + b2 s m − 2 + L + bm